平均數(shù)加減一個標準差課件

隨機變數(shù)X的機率模式是一個足以描述其行為特定形式的機率分配。其機率是以與群體特徵相連的未知參數(shù)以及抽樣方式表示。

1隨機變數(shù)X的機率模式是一個足以描述其行為特定形式的機率分配。柏努利隨機試行(Bernoullirandomtrial)是一項只有兩種可能出象的隨機試驗。隨機變數(shù)X若與柏努利試行相關(guān)，則稱為柏努利隨機變數(shù)(Bernoullirandomvariable)。2柏努利隨機試行(Bernoullirandomtrial例8.1某產(chǎn)婦即將生產(chǎn)，正常出象必為男嬰或女嬰，即隨機變數(shù)X為柏努利試行。假設(shè)她希望生一子，如果生下男嬰，則令隨機變數(shù)X=1；如果生下女嬰，令X=0。反之，假設(shè)她希望生一女，如果生女，則令隨機變數(shù)X=1，如果生下男嬰，令隨機變數(shù)X=0。3例8.13

(8.1)(8.2)4

(8.1)(8.2)4

5

5

6

6例8.2由兩分類群體(dichotomouspopulation)中抽樣：設(shè)有一批產(chǎn)品(群體)，其中每件產(chǎn)品可以區(qū)分為良品或不良品。7例8.27

8

8

9

9例8.2(c)在大群體中不放回抽樣：設(shè)於2,500件的大批產(chǎn)品中以不放回方式抽取2件，若已知此批中不良品為500件，設(shè)沿用(b)中符號，則10例8.210

11

11若以放回方式自兩分類群體中抽取一隨機樣本，則滿足柏努利試行的條件，當以不放回方式進行時，則不合乎「獨立」的條件。然而，若群體量N比樣本量n大很多(N>>10n)，則違反的影響可忽略不計。因此仍可用柏努利試行作為近似的模式。12若以放回方式自兩分類群體中抽取一隨機樣本，則滿足柏努利試行的

13

13

14

14例如，我們可計算X=3如下：X=3且若恰有一次不成功，這一次可能發(fā)生在第一次、第二次、第三次或第四次，因此15例如，我們可計算X=3如下：15例8.4回顧連續(xù)投擲一枚硬幣三次，則依據(jù)二項分配的計算公式，設(shè)X表正面出現(xiàn)的次數(shù)。X的機率分配如下所示。16例8.416例8.4上述計算結(jié)果與第7章中例7.2完全一致。17例8.417

18

18

19

19例8.5

【解】

(c)同(a)作法可得，20例8.520

21

21例8.5

【解】

由附錄表A.1得知因此得出10-r=4，r=6。22例8.522

23

23例8.6在籃球賽的終場前，有些球隊故意犯規(guī)讓對方罰球而取得發(fā)球權(quán)。假設(shè)二項實驗可應(yīng)用在大?；@球隊員的罰球情況?，F(xiàn)已知對方最好的球員罰球命中率為0.82，最差的球員罰球命中率為0.56。24例8.624例8.6(a)試求最好的球員罰2球時，投中0球、1球及2球的機率為何？(b)試求最差的球員罰2球時，投中0球、1球及2球的機率為何？(c)教練是否可在終場前，針對對方某球員事前計畫故意犯規(guī)？請解釋。25例8.625例8.6

【解】(a)本例服從p=0.82的二項分配26例8.626例8.6

【解】(b)本例服從p=0.56的二項分配p=0.56f(0)=0.1936f(1)=0.4928f(2)=0.3136(c)是的，從百分比看可對最差的球員故意犯規(guī)。27例8.627例8.7假設(shè)客人在某家鞋店購買鞋子是服從二項分配，購買的機率為0.3?，F(xiàn)在有10個人進入鞋店，利用Excel求出：(a)剛好有3個人購買鞋子的機率。(b)至多有2個人購買的機率。28例8.728例8.7

【解】(a)(1)「插入」→「函數(shù)」，「函數(shù)類別」選擇「統(tǒng)計」，「函數(shù)名稱」選擇「BINOMDIST」。點選「確定」。(2)「Number_s」輸入「3」，「Trials」輸入「10」，「Probability_s」輸入「0.3」，「Cumulative」輸入「FALSE」。(3)點選「確定」後得到P(X=3)=0.266827932。29例8.729

30

30二項分配描述在n次柏努利試行中，事件S發(fā)生次數(shù)的機遇變動，其中每一試行中，P(S)=p。當n值相當大，p值相當小時，二項機率的計算十分不便。本節(jié)將介紹另一個重要機率分配，稱為波瓦松分配，簡稱波氏分配(Poissondistribution)。31二項分配描述在n次柏努利試行中，事件S發(fā)生次數(shù)的機遇變動，其設(shè)隨機變數(shù)X在單位時段(空間)內(nèi)事件S發(fā)生的次數(shù)，符合下述三個公設(shè)：獨立性(independence)：S在任一時段內(nèi)，發(fā)生次數(shù)與其他不相鄰的時段內(nèi)發(fā)生次數(shù)為獨立。32設(shè)隨機變數(shù)X在單位時段(空間)內(nèi)事件S發(fā)生的次數(shù)，符合下述三不聚集性(lackofclustering)：在同一時段內(nèi)，發(fā)生兩次或以上的機率為0。33不聚集性(lackofclustering)：在同一時段

(8.8)34

(8.8)34

35

35

36

36

37

37

38

38例8.9【解】當然不能只有兩罐，因為平均歸平均，銷售量超過平均數(shù)的機率很大。然而庫存太多也會影響整個商店的運作。根據(jù)波氏分配p(x;2)，在此算得下表。39例8.939例8.9【解】40例8.940例8.9【解】由上表可知銷售量達到5罐以上的機率只有5.3%，而達到6罐以上則只有1.7%。所以合理的庫存量為4罐，如果怕萬一，那麼5罐就相當保險。41例8.941

42

42例8.1043例8.1043

λ=2.0

P(X=3)=0.1804λ=2.5

P(X=3)=0.2138P(X=3)=0.1804+λ=2.１44

λ=2.0P(X=3)=0.1804λ=2.5例8.12假設(shè)大卡車經(jīng)過高速公路某定點呈波氏分配，每小時通過8部，試以Excel求出：(a)1小時內(nèi)經(jīng)過2部大卡車的機率。(b)1小時內(nèi)最多經(jīng)過3部大卡車的機率。45例8.1245例8.12【解】(a)(1)「插入」→「函數(shù)」，「函數(shù)類別」選擇「統(tǒng)計」，「函數(shù)名稱」選擇「POISSON」。點選「確定」。(2)「X」輸入「2」，「Mean」輸入「8」，「Cumulative」輸入「FALSE」。(3)點選「確定」後，得到P(X=2)=0.010734804。46例8.1246

47

47常態(tài)分配為一具有鐘形密度的機率分配，其曲線如圖8.3所示，其中48常態(tài)分配為一具有鐘形密度的機率分配，其曲線如圖8.3所示，其下列各區(qū)間的機率分別為：平均數(shù)加減一個標準差

P[μ?σ<X<μ+σ]=0.683平均數(shù)加減兩個標準差

P[μ?2σ<X<μ+2σ]=0.954平均數(shù)加減三個標準差

P[μ?3σ<X<μ+3σ]=0.99749下列各區(qū)間的機率分別為：49

(8.11)50

(8.11)505151

52

52

53

53例8.1354例8.1354例8.13又Z>1.22與Z<1.22呈現(xiàn)互補情形，故55例8.1355

56

56例8.1357例8.1357

58

58例8.14

【解】

如圖8.10所示。59例8.1459例8.15求解P(Z<?2.1或Z>1.9)?！窘狻?Z<?2.1)與(Z>1.9)為兩互斥事件，所以我們可將其機率相加P(Z<?2.1或Z>1.9)=P(Z<–2.1)+P(Z＞1.9)60例8.1560例8.15

【解】

如圖8.11所示，P(Z>1.9)是指1.9右方區(qū)域面積，即為1?(1.9左方區(qū)域面積)=1?0.9713=0.0287，由常態(tài)表查得P(Z<–2.1)=0.0179，相加得P(Z<?2.1或Z>1.9)=0.0179+0.0287=0.046661例8.1561例8.15

【解】

62例8.1562例8.16求解一使P(Z>z)=0.05的z值?！窘狻咳粑覀兪褂玫目偯娣e為1的性質(zhì)，則z值左方的面積必為1–0.05=0.95，而由表8.5可知當面積為0.95時的z值為1.645。63例8.1663例8.16

【解】

64例8.1664例8.16

【解】

65例8.1665

66

66例8.17

【解】

又由常態(tài)表可知當z=–1.96時，P(Z<–1.96)=0.025，又z=1.96時，P(Z>1.96)=0.025，故由此可知，z值為1.96。67例8.1767例8.17

【解】

68例8.1768例8.18某君住在市郊，他到公司上班的平均單程需時24分鐘，標準差為3.8分鐘，假設(shè)交通時間為常態(tài)分配。試求單程至少需費時30分鐘的機率。若辦公時間為上午9時，而他每日上午8時45分離家，試求他會遲到的機率。若他在上午8時35分離家，而公司於上午8時50分至9時提供咖啡，試求他趕不上喝咖啡的機率。69例8.1869例8.18【解】

設(shè)X=單程交通時間(a)(b)7070例8.18【解】

(c)71例8.1871例8.19某班的統(tǒng)計學期中考，經(jīng)批閱後得知成績符合平均數(shù)為45分，標準差為10的常態(tài)分配。已知甲生的成績?yōu)?3分，試問成績比甲生高的學生占多少百分比？72例8.1972例8.19【解】

平均數(shù)為45，標準差為10的常態(tài)分配中，下圖63分以上所占斜線部分的面積。73例8.1973例8.19【解】

74例8.1974例8.19【解】

在「期中考試結(jié)果」標準化後的標準常態(tài)分配中：75例8.1975

76

76例8.19【解】本例的另外兩種敘述方式分別為：得分在63分以上的考生，占全體考生的比率為0.5–0.4641=0.0359(=3.59%)。從全體考生之中，隨機抽出一人，其統(tǒng)計學成績得分在63以上的機率為

0.5–0.4641=0.0359(=3.59%)?？偠灾?，從上例可知這類問題中的「面積」、「比例」以及「機率」為同義。

77例8.1977

78

78例8.20【解】

79例8.2079例8.20【解】

由標準常態(tài)分配表中可知面積0.01相對於–2.33。即因此平均數(shù)應(yīng)設(shè)為15.767英兩方能保證僅有1%為充填重量不足。80例8.2080

81

81

82

82同理可知P(X≥5)≈P(Y≥5?0.5)P(X>5)≈P(Y≥5+0.5)P(X≤5)≈P(Y≤5+0.5)P(X<5)≈P(Y≤5?0.5)83同理可知83例8.21假設(shè)隨機變數(shù)X為p=0.6的n=20二項分配，試求x=15的機率?！窘狻?a)由查附錄表A.1得0.0747。(b)若使用常態(tài)分配，則(1)所以可以常態(tài)分配求出二項分配的近似值。84例8.2184例8.21【解】

(2)(3)以15加減0.5以進行連續(xù)化校正，得出區(qū)間為14.5<x<15.5。(4)進行標準化85例8.2185例8.21【解】

(5)查附表A.3求取P(1.14<Z<1.60)=0.9452–0.8729=0.0723比較兩種方法所求出的機率值得知，二項分配所求出者為0.0747，常態(tài)分配所求出的數(shù)值為0.0723，相差不多，可見近似的效果相當良好。86例8.21868787例8.22假設(shè)托?？荚?TOEFL)成績呈常態(tài)分配，平均數(shù)為500，標準差為100。正誠成績?yōu)?50，試問他在考生中約贏了多少人。又如果要贏90%的考生，要考多少分才行？88例8.2288例8.22【解】

(a)NORMSDIST(z)，NORMSDIST(0.5)=0.69NORMDIST(550,500,100,True)=0.6989例8.22NORMSDIST(z)，NORMSDIST(0.例8.22【解】(b)要贏90%的考生即計算累積機率為0.9為Z值，可以鍵入NORMSINV(0.9)=1.28或直接鍵入=NORMINV(0.9,500,100)=628

90例8.22或直接鍵入=NORMINV(0.9,500,100例8.23假設(shè)某廠牌電池的使用壽命是常態(tài)分配，平均數(shù)為700天，標準差為100。試以手算及Excel求下列問題。(a)隨機抽取一個電池，其壽命少於600天的機率。(b)如果該廠牌公司想訂定一個保固期，顧客在保固期內(nèi)可以免費更換該廠牌的電池，該公司最多願意承擔5%的免費更換，請問保固期應(yīng)該設(shè)多久？91例8.2391例8.22【解1】

(a)(b)92例8.2292例8.22【解2】

(a)步驟一：93例8.2293例8.22【解2】

(a)步驟二：94例8.2294例8.22【解2】

(a)步驟三：95例8.2295例8.22【解2】

(b)步驟一：96例8.2296例8.22【解2】

(b)步驟二：97例8.2297例8.22【解2】

(b)步驟三：98例8.2298隨機變數(shù)X的機率模式是一個足以描述其行為特定形式的機率分配。其機率是以與群體特徵相連的未知參數(shù)以及抽樣方式表示。

99隨機變數(shù)X的機率模式是一個足以描述其行為特定形式的機率分配。柏努利隨機試行(Bernoullirandomtrial)是一項只有兩種可能出象的隨機試驗。隨機變數(shù)X若與柏努利試行相關(guān)，則稱為柏努利隨機變數(shù)(Bernoullirandomvariable)。100柏努利隨機試行(Bernoullirandomtrial例8.1某產(chǎn)婦即將生產(chǎn)，正常出象必為男嬰或女嬰，即隨機變數(shù)X為柏努利試行。假設(shè)她希望生一子，如果生下男嬰，則令隨機變數(shù)X=1；如果生下女嬰，令X=0。反之，假設(shè)她希望生一女，如果生女，則令隨機變數(shù)X=1，如果生下男嬰，令隨機變數(shù)X=0。101例8.13

(8.1)(8.2)102

(8.1)(8.2)4

103

5

104

6例8.2由兩分類群體(dichotomouspopulation)中抽樣：設(shè)有一批產(chǎn)品(群體)，其中每件產(chǎn)品可以區(qū)分為良品或不良品。105例8.27

106

8

107

9例8.2(c)在大群體中不放回抽樣：設(shè)於2,500件的大批產(chǎn)品中以不放回方式抽取2件，若已知此批中不良品為500件，設(shè)沿用(b)中符號，則108例8.210

109

11若以放回方式自兩分類群體中抽取一隨機樣本，則滿足柏努利試行的條件，當以不放回方式進行時，則不合乎「獨立」的條件。然而，若群體量N比樣本量n大很多(N>>10n)，則違反的影響可忽略不計。因此仍可用柏努利試行作為近似的模式。110若以放回方式自兩分類群體中抽取一隨機樣本，則滿足柏努利試行的

111

13

112

14例如，我們可計算X=3如下：X=3且若恰有一次不成功，這一次可能發(fā)生在第一次、第二次、第三次或第四次，因此113例如，我們可計算X=3如下：15例8.4回顧連續(xù)投擲一枚硬幣三次，則依據(jù)二項分配的計算公式，設(shè)X表正面出現(xiàn)的次數(shù)。X的機率分配如下所示。114例8.416例8.4上述計算結(jié)果與第7章中例7.2完全一致。115例8.417

116

18

117

19例8.5

【解】

(c)同(a)作法可得，118例8.520

119

21例8.5

【解】

由附錄表A.1得知因此得出10-r=4，r=6。120例8.522

121

23例8.6在籃球賽的終場前，有些球隊故意犯規(guī)讓對方罰球而取得發(fā)球權(quán)。假設(shè)二項實驗可應(yīng)用在大?；@球隊員的罰球情況?，F(xiàn)已知對方最好的球員罰球命中率為0.82，最差的球員罰球命中率為0.56。122例8.624例8.6(a)試求最好的球員罰2球時，投中0球、1球及2球的機率為何？(b)試求最差的球員罰2球時，投中0球、1球及2球的機率為何？(c)教練是否可在終場前，針對對方某球員事前計畫故意犯規(guī)？請解釋。123例8.625例8.6

【解】(a)本例服從p=0.82的二項分配124例8.626例8.6

【解】(b)本例服從p=0.56的二項分配p=0.56f(0)=0.1936f(1)=0.4928f(2)=0.3136(c)是的，從百分比看可對最差的球員故意犯規(guī)。125例8.627例8.7假設(shè)客人在某家鞋店購買鞋子是服從二項分配，購買的機率為0.3?，F(xiàn)在有10個人進入鞋店，利用Excel求出：(a)剛好有3個人購買鞋子的機率。(b)至多有2個人購買的機率。126例8.728例8.7

【解】(a)(1)「插入」→「函數(shù)」，「函數(shù)類別」選擇「統(tǒng)計」，「函數(shù)名稱」選擇「BINOMDIST」。點選「確定」。(2)「Number_s」輸入「3」，「Trials」輸入「10」，「Probability_s」輸入「0.3」，「Cumulative」輸入「FALSE」。(3)點選「確定」後得到P(X=3)=0.266827932。127例8.729

128

30二項分配描述在n次柏努利試行中，事件S發(fā)生次數(shù)的機遇變動，其中每一試行中，P(S)=p。當n值相當大，p值相當小時，二項機率的計算十分不便。本節(jié)將介紹另一個重要機率分配，稱為波瓦松分配，簡稱波氏分配(Poissondistribution)。129二項分配描述在n次柏努利試行中，事件S發(fā)生次數(shù)的機遇變動，其設(shè)隨機變數(shù)X在單位時段(空間)內(nèi)事件S發(fā)生的次數(shù)，符合下述三個公設(shè)：獨立性(independence)：S在任一時段內(nèi)，發(fā)生次數(shù)與其他不相鄰的時段內(nèi)發(fā)生次數(shù)為獨立。130設(shè)隨機變數(shù)X在單位時段(空間)內(nèi)事件S發(fā)生的次數(shù)，符合下述三不聚集性(lackofclustering)：在同一時段內(nèi)，發(fā)生兩次或以上的機率為0。131不聚集性(lackofclustering)：在同一時段

(8.8)132

(8.8)34

133

35

134

36

135

37

136

38例8.9【解】當然不能只有兩罐，因為平均歸平均，銷售量超過平均數(shù)的機率很大。然而庫存太多也會影響整個商店的運作。根據(jù)波氏分配p(x;2)，在此算得下表。137例8.939例8.9【解】138例8.940例8.9【解】由上表可知銷售量達到5罐以上的機率只有5.3%，而達到6罐以上則只有1.7%。所以合理的庫存量為4罐，如果怕萬一，那麼5罐就相當保險。139例8.941

140

42例8.10141例8.1043

λ=2.0

P(X=3)=0.1804λ=2.5

P(X=3)=0.2138P(X=3)=0.1804+λ=2.１142

λ=2.0P(X=3)=0.1804λ=2.5例8.12假設(shè)大卡車經(jīng)過高速公路某定點呈波氏分配，每小時通過8部，試以Excel求出：(a)1小時內(nèi)經(jīng)過2部大卡車的機率。(b)1小時內(nèi)最多經(jīng)過3部大卡車的機率。143例8.1245例8.12【解】(a)(1)「插入」→「函數(shù)」，「函數(shù)類別」選擇「統(tǒng)計」，「函數(shù)名稱」選擇「POISSON」。點選「確定」。(2)「X」輸入「2」，「Mean」輸入「8」，「Cumulative」輸入「FALSE」。(3)點選「確定」後，得到P(X=2)=0.010734804。144例8.1246

145

47常態(tài)分配為一具有鐘形密度的機率分配，其曲線如圖8.3所示，其中146常態(tài)分配為一具有鐘形密度的機率分配，其曲線如圖8.3所示，其下列各區(qū)間的機率分別為：平均數(shù)加減一個標準差

P[μ?σ<X<μ+σ]=0.683平均數(shù)加減兩個標準差

P[μ?2σ<X<μ+2σ]=0.954平均數(shù)加減三個標準差

P[μ?3σ<X<μ+3σ]=0.997147下列各區(qū)間的機率分別為：49

(8.11)148

(8.11)5014951

150

52

151

53例8.13152例8.1354例8.13又Z>1.22與Z<1.22呈現(xiàn)互補情形，故153例8.1355

154

56例8.13155例8.1357

156

58例8.14

【解】

如圖8.10所示。157例8.1459例8.15求解P(Z<?2.1或Z>1.9)?！窘狻?Z<?2.1)與(Z>1.9)為兩互斥事件，所以我們可將其機率相加P(Z<?2.1或Z>1.9)=P(Z<–2.1)+P(Z＞1.9)158例8.1560例8.15

【解】

如圖8.11所示，P(Z>1.9)是指1.9右方區(qū)域面積，即為1?(1.9左方區(qū)域面積)=1?0.9713=0.0287，由常態(tài)表查得P(Z<–2.1)=0.0179，相加得P(Z<?2.1或Z>1.9)=0.0179+0.0287=0.0466159例8.1561例8.15

【解】

160例8.1562例8.16求解一使P(Z>z)=0.05的z值?！窘狻咳粑覀兪褂玫目偯娣e為1的性質(zhì)，則z值左方的面積必為1–0.05=0.95，而由表8.5可知當面積為0.95時的z值為1.645。161例8.1663例8.16

【解】

162例8.1664例8.16

【解】

163例8.1665

164

66例8.17

【解】

又由常態(tài)表可知當z=–1.96時，P(Z<–1.96)=0.025，又z=1.96時，P(Z>1.96)=0.025，故由此可知，z值為1.96。165例8.1767例8.17

【解】

166例8.1768例8.18某君住在市郊，他到公司上班的平均單程需時24分鐘，標準差為3.8分鐘，假設(shè)交通時間為常態(tài)分配。試求單程至少需費時30分鐘的機率。若辦公時間為上午9時，而他每日上午8時45分離家，試求他會遲到的機率。若他在上午8時35分離家，而公司於上午8時50分至9時提供咖啡，試求他趕不上喝咖啡的機率。167例8.1869例8.18【解】

設(shè)X=單程交通時間(a)(b)16870例8.18【解】

(c)169例8.1871例8.19某班的統(tǒng)計學期中考，經(jīng)批閱後得知成績符合平均數(shù)為45分，標準差為10的常態(tài)分配。已知甲生的成績?yōu)?3分，試問成績比甲生高的學生占多少百分比？170例8.1972例8.19【解】

平均數(shù)為45，標準差為10的常態(tài)分配中，下圖63分以上所占斜線部分的面積。171例8.1973例8.19【解】

172例8.1974例8.19【解】

在「期中考試結(jié)果」標準化後的標準常態(tài)分配中：173例8.1975

174

76例8.19【解】本例的另外兩種敘述方式分別為：得分在63分以上的考生，占全體考生的比率為0.5–0.4641=0.0359(=3.59%)。從全體考生之中，隨機抽出一人，其統(tǒng)計學成績得分在63以上的機率為

0.5–0.4641=0.0359(=3.59%)?？偠灾?，從上例可知這類問題中的「面積」、「比例」以及「機率」為同義。

175例8.1977

176

78例8.20【解】

177例8.2079例8.20【解】

由標準常態(tài)分配表中可知面積0.01相對於–2.33。即因此平均數(shù)應(yīng)設(shè)為15.767英兩方能保證僅有1%為充填重量不足。178例8.2080

179

81

180

82同理可知P(X≥5)≈P(Y