中考數(shù)學(xué)壓軸題100題精選(1-10題)

中考數(shù)學(xué)壓軸題100題精選(1-10題)【001】如圖，已知拋物線y二a(x-1)2+3J3(aMO)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(—2,0)，拋物線的頂點(diǎn)為D,過(guò)O作射線OM〃AD.過(guò)頂點(diǎn)D平行于x軸的直線交射線OM于點(diǎn)C,B在x軸正半軸上，連結(jié)BC．求該拋物線的解析式；若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿射線OM運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s).問(wèn)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？若OC=OB，動(dòng)點(diǎn)P和動(dòng)點(diǎn)Q分別從點(diǎn)O和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，分別以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位和2個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿OC和BO運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)?設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)，連接PQ,當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCPQ的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈导按藭r(shí)PQ的長(zhǎng).圖16圖16【002】如圖16,在RtAABC中，ZC=90°,AC=3,AB=5.點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來(lái)的速度沿AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng).伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E.點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t>0).當(dāng)t=2時(shí)，AP=，點(diǎn)Q到AC的距離是；在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；(不必寫(xiě)出t的取值范圍)在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值．若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由當(dāng)DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值.【003】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).拋物線y=ax2+bx過(guò)A、C兩點(diǎn).直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā).沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.過(guò)點(diǎn)P作PE±AB交AC于點(diǎn)E，①過(guò)點(diǎn)E作EF丄AD于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)G.當(dāng)t為何值時(shí)，線段EG最長(zhǎng)？②連接EQ.在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，判斷有幾個(gè)時(shí)刻使得ACEQ是等腰三角形？請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的t值。28【004】如圖，已知直線1:y=x+與直線1:y=一2兀+16相交于點(diǎn)C,I、I分別交x軸于133212A、B兩點(diǎn).矩形DEFG的頂點(diǎn)D、E分別在直線1、l上，頂點(diǎn)F、G都在x軸上，且點(diǎn)G與12點(diǎn)B重合．（1）求厶ABC的面積；（2）求矩形DEFG的邊DE與EF的長(zhǎng)；（3）若矩形DEFG從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸的反方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（0<tW⑵秒，矩形DEFG與AABC重疊部分的面積為S，求S關(guān)t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的t的取值范圍.y/E2Dii必OF:CG\Bx第26題）【005】如圖1,在等腰梯形ABCD中，AD〃BC,E是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF〃BC交CD于點(diǎn)f.AB=4,BC=6,ZB=60。.（1）求點(diǎn)E到BC的距離；（2）點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PM丄EF交BC于點(diǎn)M，過(guò)M作MN〃AB交折線ADC于點(diǎn)N，連結(jié)PN，設(shè)EP=x.當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時(shí)（如圖2），△PMN的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出APM"的周長(zhǎng)；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上時(shí)（如圖3），是否存在點(diǎn)P，使APM"為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.C圖1M圖4（備用）MC圖1M圖4（備用）M【006】如圖13,二次函數(shù)y二X2+px+q(p<0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C5(0,-1),AABC的面積為丁。4求該二次函數(shù)的關(guān)系式；過(guò)y軸上的一點(diǎn)M(0,m)作y軸的垂線，若該垂線與AABC的外接圓有公共點(diǎn)，求m的取值范圍；在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)D,使四邊形ABCD為直角梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。【007】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABCO是菱形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一3，4），點(diǎn)C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點(diǎn)M,AB邊交y軸于點(diǎn)H.（1）求直線AC的解析式；（2）連接BM,如圖2,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線ABC方向以2個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)△PMB的面積為S（SM0）,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，ZMPB與ZBCO互為余角，并求此時(shí)直線OP與直線AC所夾銳角的正切值.【【008】如圖所示，在直角梯形ABCD中，ZABC=90°,AD〃BC,AB=BC,E是AB的中點(diǎn)，CE丄BD。(第託題團(tuán))(第託題團(tuán))求證：BE=AD；求證：AC是線段ED的垂直平分線；△DBC是等腰三角形嗎？并說(shuō)明理由。k【009】一次函數(shù)y=ax+b的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M,N,與反比例函數(shù)y=的圖象相x交于點(diǎn)A,B?過(guò)點(diǎn)A分別作AC丄x軸，AE丄y軸，垂足分別為C,E；過(guò)點(diǎn)B分別作BF丄x軸,BD丄y軸，垂足分別為F,D,AC與BD交于點(diǎn)K，連接CD.若點(diǎn)AB在反比例函數(shù)y=-的圖象的同一分支上，如圖1,試證明：xS二S；四邊形AEDK四邊形CFBKAN二BM.k若點(diǎn)A,B分別在反比例函數(shù)y=—的圖象的不同分支上，如圖2,則AN與BM還相等x嗎？試證明你的結(jié)論．y)2?xy)2?x第25題圖2)[010]如圖，拋物線y二ax2+bx-3與x軸交于AB兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,-3a）,對(duì)稱軸是直線x=1，頂點(diǎn)是M.（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）經(jīng)過(guò)C,M兩點(diǎn)作直線與x軸交于點(diǎn)N，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)PAC，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）設(shè)直線y=-x+3與y軸的交點(diǎn)是D，在線段BD上任取一點(diǎn)E（不與B,D重合），經(jīng)過(guò)AB,E三點(diǎn)的圓交直線BC于點(diǎn)F，試判斷厶AEF的形狀，并說(shuō)明理由；（4）當(dāng)E是直線y=-x+3上任意一點(diǎn)時(shí)，（3）中的結(jié)論是否成立？（請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論）.中考數(shù)學(xué)壓軸題100題精選(1-10題)答案【001】解：(1)Q拋物線y二a(x-1)2+3再(a豐0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(—2,0),1分0二9a*3心?-a1分???二次函數(shù)的解析式為:y???二次函數(shù)的解析式為:y一逼x2+空x+婕3333分⑵QD為拋物線的頂點(diǎn)?D(1，<3)過(guò)D作DN丄OB于N，則DN=3、［3,AN=3,???AD=$32+(3^3)2=6,\ZDAO=60°QOM〃AD①當(dāng)AD二AN=3,???AD=$32+(3^3)2=6,\ZDAO=60°QOM〃AD①當(dāng)AD二OP時(shí),四邊形DAOP是平行四邊形?OP=6?t=6(s)5分②當(dāng)DP丄OM時(shí),四邊形DAOP是直角梯形過(guò)O作OH丄AD于H,AO=2,則AH=1(如果沒(méi)求出ZDAO=60°可由Rt^OHAsRt^DNA求AH=1)4分6分?OP=DH=5t=5(s)③當(dāng)PD=OA時(shí)，四邊形DAOP是等腰梯形?OP=AD-2AH=6-2=4?t=4(s)綜上所述：當(dāng)t=6、5、4時(shí)，對(duì)應(yīng)四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形.分(3)由(2)及已知，ZCOB=60°,OC=OBAOCB是等邊三角形則OB=OC=AD=6,OP=t,BQ=2t,?OQ=6—2t(0<t<3)過(guò)P作PE丄OQ于E，則PE=8分?sbcpq卜6x朋—2x(6—2t)咨t巫「—亠9分當(dāng)t=2時(shí)，SBCP的的面積最小值為￥帯310分33393^/3?此時(shí)OQ=3,OP=-,OE=-?QE=3—-=-PE=3—2444411分圖411分圖4①當(dāng)DE//QB時(shí)，如圖4.TDE丄PQ,：?PQ丄QB,四邊形QBED是直角梯形.此時(shí)ZAQP=90°.由AAPasAabc,得些=AP,ACAB即-=口.解得t=9.358②如圖5,當(dāng)PQIIBC時(shí)，DE丄BC,四邊形QBED是直角梯形.此時(shí)ZAPQ=90°.由AAQPsAabc,15t=-8t=5或t=45.214【注：①點(diǎn)P由C向A運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.方法一、連接QC,作QG±BC于點(diǎn)G,如圖6.34PC=t,QC2=QG2+CG2=〒(5-1)]2+[4—(5-1)]2.345由PC2=QC2，得12=[_(5-1)]2+[4-_(5-1)]2，解得t=552方法二、由CQ=CP=AQ，得ZQAC=ZQCA，進(jìn)而可得ZB=ZBCQ，得CQ=BQ，?:AQ=BQ=5..It=5.22②點(diǎn)P由A向C運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,如圖7.(6-1)2=[3(5-1)]2+[4-4(5-1)]2,t=蘭】5514【003】解.(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,8)…1分將A(4,8)、C(8,0)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx

8=16a+4b0=64a+8b解得a=-2,b=4?拋物線的解析式為：y=—2x2+4x3分(2)①在Rt^?拋物線的解析式為：y=—2x2+4x3分(2)①在Rt^APE和Rt^ABC中,tanZPAE=PEBCPE4~ap=~ab'即~ap=811…PE=2AP=2匚PB=8-t．???點(diǎn)E的坐標(biāo)為1(4+t,8-t).2111???點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為：一^(4+t)2+4(4+t)=—t2+8.22282211??EG=—§t2+8-(8-t)=—§t2+t.881???-6V0,?當(dāng)t=4時(shí)，線段EG最長(zhǎng)為2.85分7分②共有三個(gè)時(shí)刻.②共有三個(gè)時(shí)刻.8分1640t1640t=,t=,t=1321338打2+11分【004】(1)解：由3x+3=0,得x=一4.A點(diǎn)坐標(biāo)為(—4,0).由一2x+16二0,得x二8.B點(diǎn)坐標(biāo)為(&0).AB=8-(-4)=12.(2分)28x+328x+33Y=-2x+16.Ix=5,解得=6.?C點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，6).(3分)S=AB?y=x12x6=36.(4分)△ABC2C2(2)解：?點(diǎn)D在l上且x=x=8y=x8+=8?D點(diǎn)坐標(biāo)為(8,8).(5分)又?點(diǎn)1DBD33E在I上且y=y=8,.?.-2x+16=8.「.x=4.E點(diǎn)坐標(biāo)為(4,8).(6分)2EDEE.OE=8-4=4,EF=8．(7分)(3)解法一：①當(dāng)0WT<3時(shí)，如圖1,矩形DEFG與厶ABC重疊部分為五邊形CHFGR(T=0時(shí)，為四邊形CHFG).過(guò)C作CM丄AB于M，則RtARGBsRtACMB.

BGRGtRG???=，即一=,?RG二2t.QRtAAFHsRt^AMC,BMCM36BGRGtRG???=，即一=,?RG二2t.QRtAAFHsRt^AMC,BMCM36???S二S-S-S二36—1xtx2t-1（8-1）x2（8—t）.△ABC△BRG△AFH22341644即S=——t2+—t+—.（10分）【005】（1）如圖1,過(guò)點(diǎn)E作EG丄BC于點(diǎn)G.???E為AB的中點(diǎn)，.??BE=1AB=2.2在Rt^EBG中，ZB=60。，ZBEG=30°..??BG=1BE=1,EG=邁2—12=爲(wèi).2即點(diǎn)E到BC的距離為€—G圖13分(2)①當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，5PMN的形狀不發(fā)生改變.???PM丄EF，EG丄EF，?PM〃EG.EF〃BC，:.EP二GM，PM二EG二爲(wèi).同理MN=AB=4.如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PH丄MN于H，?MN〃AB,.??ZNMC二ZB二60°，ZPMH二30°.4分???PH二23.??MH=PMgcos30°=-.35則NH=MN—MH=4—=.22C圖2在Rt△PNH中，PN斗NH2+PH26分???△PMN的周長(zhǎng)=PM+PN+MN二J3+叮7+46分②當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，“PMN的形狀發(fā)生改變，但AMNC恒為等邊三角形.當(dāng)PM二PN時(shí)，如圖3作PR丄MN于R，則MR二NR.

3類似①，MR=2?.??MN二2MR=3.7分???△MNC是等邊三角形，???MC二MN二3.此時(shí)，x二EP二GM二BC-BG-MC二6-1-3二2.8分當(dāng)MP=MN時(shí)此時(shí)，X目E，如圖4,這時(shí)°Mc當(dāng)MP=MN時(shí)此時(shí)，X目E，如圖4,這時(shí)°Mc=MN=M二6—1—壯3—5—p3.［當(dāng)NP二NM時(shí)，如圖5，B(則zpmN二120。,又幺mNcg60。，m:.ZP圖M3+ZMNC=180。.圖4因此點(diǎn)P與F重合，5PMC為直角三角形.???MC二PMgtan30。二1.M二ZPMNN匚30。.C圖5此時(shí)，x—EP—GM—6-1-1—4．綜上所述，當(dāng)x—2或4或G-朽)時(shí)，△PMN為等腰三角形.55【006】解：(1)OC=1,所以,q=-1，又由面積知0.5OCXAB=4,得AB=亍，I厶設(shè)A(設(shè)A(a,0),B(b,0)AB=b-a=(a+b)2—4ab=—,解得p=土2，但p<o，所以p=-2。3所以解析式為：y—x2-2x-1311令y=0,解方程得X2-x—1—0，得x—-只,x—2,所以A(—,0),B(2,0),在直角三角形AOC21222中可求得AC=^，同樣可求得BC=J5，顯然AC2+BC2=AB2，得厶ABC是直角三角形。AB為斜2TOC\o"1-5"\h\z555邊，所以外接圓的直徑為AB=，所以m=。244存在，AC丄BC,①若以AC為底邊，則BD//AC,易求AC的解析式為y=-2x-1,可設(shè)BD的解析式y(tǒng)—x2_—x-15為y=-2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式為y=-2x+4，解方程組］2得D(--，9)y—-2x+4②若以BC為底邊，則BC//AD,易求BC的解析式為y=0.5x-1，可設(shè)AD的解析式為y=0.5x+b，把1A(-2，0)1A(-2，0)代入得AD解析式為y=0.5x+0.25,解方程組y—0.5x+0.2553得D(2,2)綜上，所以存在兩點(diǎn)：553(-2,9)或(2‘2)。(1)過(guò)點(diǎn)A作AEix軸垂足為E(如圖1)aAE品OE=3.,OA=VAP+OE1=5.四邊形ARCO為菱形.+OC-CB=BA=OA^5,.C(5,盯…

【00刀設(shè)直線AC的解析式為:y-kx+b直線AC的斛析式為:圖12分2_$討學(xué)仔＜ts⑵由（1）得M點(diǎn)坐標(biāo)為W號(hào)）-設(shè)直線AC的解析式為:y-kx+b直線AC的斛析式為:圖12分2_$討學(xué)仔＜ts出斗BP-MH=y（5-2t）-y4'i■峠（0"p當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記為P,.zlOCM=^BCMCO=CBCM=CMz.AOMC^ABMC/.OM=BM=?一需斗PERM斗⑵-5）號(hào)/（3）設(shè)OP與AC相交于點(diǎn)Q連接OB交扎C于點(diǎn)K.Z.At）C=AABC,.ZAOM=2LABM/AMPB+ZBCO=90'4LBA0=^ECO乙BAO+乙AOH=90D.上MPB^LAOH/+乙1WFB二乙MBH'氣P點(diǎn)在AB詁上運(yùn)動(dòng)時(shí)t如圖2.-^MPB=ZMBH\PM=BM丄FU/TH=HB=2/.PA=AH-PH=I■,ABffOC/,￡FAQ±乙OCQvzLAQP=2LCQ0/.AAQP^ACQO在Rt△AEC中AC^VAE'+EC^二詔"在RtAOHB中OR^VlIB^HO2=g+尹=2V5".AC丄OHOK=KBAK=CKz.OK=VTAK=KC=2VT/.QK^AK-AQ-^-^當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3/JunZ_MPB=lanZ_MBH,\tanZ.OQK=由PC//OA?COAQ_3vOK=V5_綜匕所述,當(dāng)匸務(wù)時(shí)上/JunZ_MPB=lanZ_MBH,\tanZ.OQK=由PC//OA?COAQ_3vOK=V5_綜匕所述,當(dāng)匸務(wù)時(shí)上MPB與￡.BCO互為余角.直線OP與H線AC崩夾銳角的讓切值塢當(dāng)隹字時(shí)工hlPB與^BCO互為余他直線0P與直線AC所夾銳爲(wèi)的正切值為16-+tanL.OQG=???Z1與Z3互余，Z2與Z3互余，.\Z1=Z21分（第関題團(tuán)）VZABC=ZDAB=90°,AB=AC

（第関題團(tuán)）TOC\o"1-5"\h\z.?.△BAD^ACBE2分.??AD=BE3分（2）VE是AB中點(diǎn)，.??EB=EA由（1）AD=BE得：AE=AD5分VAD#BCAZ7=ZACB=45°VZ6=45°AZ6=Z7由等腰三角形的性質(zhì)，得：EM=MD,AM丄DE。即，AC是線段ED的垂直平分線。7分（3）^DBC是等腰三角（CD=BD）8分理由如下：由（2）得：CD=CE由（1）得：CE=BD.CD=BD.?.△DBC是等腰三角形。10分【009】解：（1）①Q(mào)AC丄x軸，AE丄y軸,四邊形AEOC為矩形.QBF丄x軸，BD丄y軸，.四邊形BDOF為矩形.QAC丄x軸，BD丄y軸，.四邊形AEDK，DOCK，CFBK均為矩形．QOC=x，AC=y，xgy=k，.S矩形AEOC=OC.S矩形AEOC=OCgAC=xgy=k111分QOF=x，F(xiàn)B=y，xgy=k，2222.S=OFgFB=xgy=k．TOC\o"1-5"\h\z矩形BDOF22.S=S．矩形AEOC矩形BDOFQS=S-S，矩形AEDK矩形AEOC矩形DOCKS=S-S，矩形CFBK矩形BDOF矩形DOCK???S=S?2分矩形AEDK矩形CFBK②由（1②由（1）知S矩形AEDK矩形CFBK.AKgDK=BKgCK．4分.AK=4分'~CK~~DK'QZAKB=ZCKD=90°,.△AKB^△CKD.5分.ZCDK=ZABK..AB〃.AB〃CD.6分QAC〃y軸,四邊形ACDN是平行四邊形.TOC\o"1-5"\h\zAN二CD.7分同理BM二CD.AN二BM.8分（2）AN與BM仍然相等.9分QS二S+S矩形AEDK矩形AEOC矩形ODKCS二S+S11分矩形BKCF矩形BDOF矩形ODKC11分又QS=S=k,矩形AEOC矩形BDOF.S=S/r/