向量理論(第三章)課件

第三章n維向量空間n維向量的定義n維向量的線性運(yùn)算向量組的線性相關(guān)性向量組的極大線性無(wú)關(guān)組向量空間習(xí)題課定義1分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量.分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，一維向量的概念例如n維實(shí)向量n維復(fù)向量第1個(gè)分量第n個(gè)分量第2個(gè)分量令表示一切n維實(shí)向量組成的集合。若是n維實(shí)向量，則可簡(jiǎn)記,如果沒有特別的說明，我們指的都是實(shí)向量。

若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組．例如一些特殊的向量：向量組,,…，稱為矩陣A的行向量組．n維0向量：注：維數(shù)不同的零向量是不同的向量n階單位矩陣的n個(gè)列向量分別記為：稱為n維基本向量注：設(shè)n維向量的對(duì)應(yīng)分量相等，即稱這兩個(gè)量是相等的，即注：1與要么都是行向量，要么都是列向量。

2與的維數(shù)應(yīng)相同。例1(1)求，的負(fù)向量(2)計(jì)算

對(duì)于給定的向量組A:1,2,

…,m和向量b,如果存在一組數(shù)k1,k2,…,km使關(guān)系式則稱向量b是向量組1,2,

…,m的線性組合,或稱向量b可以由向量組1,2,

…,m線性表示.比如說：為n維基本向量結(jié)論：任何n維向量都是n維基本向量的線性組合設(shè)有向量稱b是的線性組合.或b可以由線性表示.例如：２向量組的線性相關(guān)性定義２對(duì)于向量組A:1,2,…,m,成立,則稱向量組1,2,…,m線性相關(guān).如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,km使關(guān)系式反之則稱向量組1,2,…,m線性無(wú)關(guān).例1：設(shè)有向量則稱向量組線性相關(guān)例2：則由，得線性無(wú)關(guān)。注：n維基本向量線性無(wú)關(guān)向量組中的一個(gè)部分組線性相關(guān)，則向量組線性相關(guān)，若一個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)，則其中任何一個(gè)部分組線性無(wú)關(guān)討論x1,x2,…,xm的情況.

如果解得x1,x2,…,xm不全為零,則1,2,…,m線性相關(guān);

如果推出x1=x2=

…=xm=0,則1,2,…,m線性無(wú)關(guān).

例3討論的線性相關(guān)性e1=(1,0,…,0)Ten=(0,0,…,1)Te2=(0,1,…,0)T向量組線性相關(guān),但線性無(wú)關(guān)，則向量可由向量組唯一地線性表示。定理2例4：討論向量組，的線性相關(guān)性。解：設(shè)有實(shí)數(shù)使即系數(shù)行列式故方程組有非零解。如取有，所以線性相關(guān)。例5：設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，試證向量組也線性無(wú)關(guān)。證明：設(shè)即因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)系數(shù)行列式為2，故方程組只有零解，故得證第三節(jié)向量組的秩問:其中線性無(wú)關(guān)的部分組最多可以包含多少個(gè)向量?定義1

若向量組中的每一個(gè)向量都可以由向量組線性表示,則稱向量組可由向量組線性表示，若向量組和可以互相線性表示，則稱兩個(gè)向量組等價(jià)一、等價(jià)的向量組向量組可由線性表示向量組可由線性表示等價(jià)于存在的矩陣使若向量組和等價(jià)等價(jià)向量組的性質(zhì)：1：自反性：一個(gè)向量組與其自身等價(jià)2：對(duì)稱性：若向量組和等價(jià)，則向量組和等價(jià)。3：傳遞性：若向量組和等價(jià)，向量組和等價(jià)，則向量組和等價(jià)。定理1設(shè)中的兩個(gè)向量組和若向量組可由線性表示，且，則向量組線性相關(guān)少的表示多的，多的一定線性相關(guān)注：，不能相等，時(shí)，結(jié)論不一定成立定理1的逆否命題：推論1：若向量組可由向量組

線性表示，又已知

線性無(wú)關(guān)，則必有推論2：兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組互相等價(jià)，則它們所含的向量個(gè)數(shù)相等注：若只是等價(jià)的向量組，它們所含的向量個(gè)數(shù)未必相等極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)定義二極大線性無(wú)關(guān)組1.一個(gè)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組可能不唯一2.向量組和其極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)(一個(gè)向量組的任何兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都等價(jià))3.一個(gè)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)唯一確定。注:定義3一個(gè)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)稱為向量組的秩。線性無(wú)關(guān)的向量組的秩等于向量組的向量的個(gè)數(shù)例1：設(shè)n維基本向量組可由向量組

線性表示。證明線性無(wú)關(guān)三向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系定理2矩陣A的行初等變換不改變A的列向量組的線性相關(guān)性和線性組合關(guān)系例2:等于它的行向量組的秩.

定理3

矩陣的秩等于它的列向量組的秩,也求向量組的最大無(wú)關(guān)組的步驟:例3：設(shè)有向量組(1)求向量組的秩，并討論它的線性相關(guān)性。(2)求向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。(3)把其余向量表示成為該極大線性無(wú)關(guān)組的線性組合解：取(1)向量組即為A的列向量R(A)=2,所以向量組的秩為2。(2)為向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組(3)推論：設(shè)A為矩陣，秩，則有:(1)當(dāng)r=m時(shí)，A的行向量組線性無(wú)關(guān);當(dāng)r<m時(shí)，A的行向量組線性相關(guān)(2)當(dāng)r=n時(shí)，A的列向量組線性無(wú)關(guān);當(dāng)r<n時(shí)，A的列向量組線性相關(guān)。

當(dāng)A為n階方陣時(shí)，即當(dāng)m=n時(shí)，A的列(行)向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是由矩陣的秩和它的向量組的秩的關(guān)系，我們立刻會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：第四節(jié)向量空間一、向量空間的定義定義1

設(shè)V為n維向量的集合,如果集合V非空,且那么就稱集合V為向量空間.則a+bV;若a

V,R,則aV.若a

V,bV,

例１集合V={x=(0,x2,...,xn)T|x2,...,xn

R}是一個(gè)向量空間.例２集合V={x=(1,x2,...,xn)T|x2,...,xn

R}不是向量空間.一般地，L={x=a+b|,R}x1=1a+1b,x2=2a+2b則有x1+x2=(1+1)a+(1+2)bL,kx1=(k1)a+(k1)bL.這個(gè)向量空間稱為由向量a,b所生成的向量空間.是一個(gè)向量空間.因?yàn)槿粲上蛄拷Ma1,a2,...,am

所生成的向量空間一般形式為L(zhǎng)={x=1a1+2a2+...+mam

|1,

2,...,

mR}.例3設(shè)向量組a1,...,am與向量組b1,...,bs等價(jià),記L1={x=1a1+2a2+...+mam

|1,...,

mR},L2={x=1b1+2b2+...+sbs

|1,...,

sR},試證L1=L2.二、向量空間的基向量空間的維數(shù)定義2

設(shè)有向量空間V1及V2,若V1V2,

總有VRn,所以這樣的向量空間總是Rn的子空間.

例如任何由n維向量所組成的向量空間V,就稱V1是V2的子空間.向量空間.定義3

設(shè)V為向量空間,如果r個(gè)向量a1,a2,...,arV,且滿足(i)

a1,a2,...,ar線性無(wú)關(guān);(ii)

V中任一向量都可由a1,a2,...,ar線性表示.那么,向量組a1,a2,...,ar

就稱為向量空間V的一個(gè)基,r稱為向量空間V的維數(shù),并稱V為