成才之路2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教版必修二第四章圓方程課件強(qiáng)化練習(xí)12份

第四章圓的方程4.1

圓的方程第四章4.1.1

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程互動課堂2隨堂3課后強(qiáng)化作業(yè)4預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)1預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)課標(biāo)展示明確圓的基本要素，能用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．會求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能夠判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．溫故知新舊知再現(xiàn)1．圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓，其中定點(diǎn)是圓心，定長是半徑長．確定|AB|＝x2－x12＋y2－y12.圓心2．確定圓的基本條件：(1)已知

圓心

和半徑長

可以確定一個圓，圓的位置，

半徑長

確定圓的大??；(2)過不在同一條直線上的

三個點(diǎn)可確定一個圓，其中由這三點(diǎn)確定的三角形的外心即為該圓的圓心，圓心到三點(diǎn)中任一點(diǎn)的距離即為圓的半徑長．3．平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)，則新知導(dǎo)學(xué)1．圓基本要素當(dāng)圓心的位置與半徑的大小確定后，圓就唯一確定了，因此，確定一個圓的基本要素是

圓心和

半徑

標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為C(a，b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2圖示說明若點(diǎn)M(x，y)在圓C上，則點(diǎn)M的

坐標(biāo)適合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；反之，若點(diǎn)M(x，y)的坐標(biāo)適合方程

(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則點(diǎn)M在圓C

上[拓展]

特殊位置圓的標(biāo)準(zhǔn)方程如下表所示.條件方程形式圓過原點(diǎn)(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0)圓心在x

軸上(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)圓心在y

軸上x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)圓心在原點(diǎn)x2＋y2＝r2(r≠0)2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓

C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圓心為(a，b)，半徑為r，點(diǎn)

P(x0，y0)，設(shè)

d＝|PC|＝

x0－a2＋y0－b2.位置關(guān)系d

與r的大小圖示點(diǎn)P

的坐標(biāo)的特點(diǎn)點(diǎn)在圓外d

>

r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2點(diǎn)在圓上d

＝

r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點(diǎn)在圓內(nèi)d

<

r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2B．(1,1)D．不存在自我檢測1．圓x2＋y2＝1的圓心為(

)A．(0,0)C．(0,1)[答案]

A2．圓(x－1)2＋(y＋2)2＝2

的半徑為(

)A．1．2B．

2D．4[答案]

B3．圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，點(diǎn)P(x0，y0)在圓C

，且d＝(x0－1)2＋(y0＋2)2，則有(

)A．d>2C．d>4B．d<2D．d<4[答案]

D互動課堂典例探究求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出下列各圓的方程：圓心在原點(diǎn)，半徑是

3；圓心在點(diǎn)C(3,4)處，半徑是

5；經(jīng)過點(diǎn)

P(5,1)，圓心在點(diǎn)

C(8，－3)處．[分析]

各小題全部給出了圓的圓心坐標(biāo)，要求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出(或已知)圓的半徑，再寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．[解析]

(1)圓心為(0,0)，r＝3，方程為：x2＋y2＝9.方程為：(x－3)2＋(y－4)2＝5.r＝

8－52＋－3－12＝5，方程為：(x－8)2＋(y＋3)2＝25.規(guī)律總結(jié)：對于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的幾點(diǎn)認(rèn)識：要準(zhǔn)確方程的形式；從方程上看要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要兩個條件(包含三個代數(shù)量)：圓的圓心坐標(biāo)和圓的半徑長；反之如果已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程也能直接得到圓的圓心坐標(biāo)和半徑；求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，一般先求出圓心和半徑，再寫方程．特別提醒：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中等號的右側(cè)是半徑的平方．寫出下列方程表示的圓的圓心坐標(biāo)和半徑長．①(x－2)2＋(y－5)2＝9；②x2＋y2＝256；③(x＋1)2＋(y－2)2＝m(m>0)．寫出下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．①圓心在原點(diǎn)，半徑長為2；②圓心是直線x＋y－1＝0

與2x－y＋3＝0

的交點(diǎn)，半徑長1為4.[解析]

(1)根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)中圓心為(a，b)，半徑為

r，故①圓心坐標(biāo)是(2,5)，半徑長是3.②圓心坐標(biāo)是(0,0)，半徑長是16.③圓心坐標(biāo)是(－1,2)，半徑長是m.(2)①∵圓心在原點(diǎn)，半徑長為2，即a＝0，b＝0，r＝2.∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝4.②圓心是兩直線的交點(diǎn)，即圓心在x＋y－1＝02x－y＋3＝0上，∴圓心為(－3，3)2

5

，又∵半徑長為14.∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x

2

＋(y

5

＝

1.＋3)2

－3)2

16判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的圓的方程，并判斷點(diǎn)M(5,3)，N在圓內(nèi)，還是在圓外？[分析]直徑兩端點(diǎn)坐標(biāo)→圓心坐標(biāo)和半徑長可得→圓的標(biāo)準(zhǔn)方程→將各點(diǎn)坐標(biāo)代入方程判斷[解析]設(shè)圓心C(a，b)，半徑長為r，則由C

為線段P1P2的中點(diǎn)得a＝3＋5

8＋42

2＝4，b＝ ＝6，即圓心坐標(biāo)為C(4,6)又由兩點(diǎn)間的距離公式得

r＝|CP1|＝

4－32＋6－82＝5，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋(y－6)2＝5.分別計(jì)算點(diǎn)M，N，P

到圓心C

的距離：|CM|＝

4－52＋6－32＝

10>

5，|CN|＝

4－32＋6－42＝

5，|CP|＝

4－32＋6－52＝

2<

5，所以點(diǎn)M

在此圓外，點(diǎn)N

在此圓上，點(diǎn)P

在此圓內(nèi)．規(guī)律總結(jié)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法：(1)幾何法：利用圓心到該點(diǎn)的距離d與圓的半徑r比較；

(2)代數(shù)法：直接利用下面的不等式判定：①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，點(diǎn)在圓外；②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，點(diǎn)在圓上；③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，點(diǎn)在圓內(nèi)．寫出圓心為(3,4)，半徑為5的圓的方程，并判定點(diǎn)A(0,0)，B(1,3)與該圓的位置關(guān)系．[分析]由點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的大小關(guān)系來確定此點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，也可先求出圓的方程，從數(shù)的角度作判斷．[解析]

該圓的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25，把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入圓的方程(0－3)2＋(0－4)2＝25，(1－3)2＋(3－4)2＝5<25.∴A點(diǎn)在圓上，B點(diǎn)在圓內(nèi)．規(guī)律總結(jié)：解答這種類型的題目可以從形的角度，比較圓的半徑與圓心到定點(diǎn)的距離的大小，從而作出判斷，還可以從數(shù)的角度，將定點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程左邊，再與右邊的值比較作出判斷．兩種方法體現(xiàn)了幾何與代數(shù)相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的綜合應(yīng)用求圓心在直線x－2y－3＝0

上，且過點(diǎn)A(2，－3)，B(－2，－5)的圓心的標(biāo)準(zhǔn)方程．[分析]圓的幾何性質(zhì)→尋求圓心坐標(biāo)和半徑長→可得標(biāo)準(zhǔn)方程[解析]

方法

1：設(shè)點(diǎn)

C

為圓心，∵點(diǎn)

C

在直線

x－2y－3＝0

上，∴可設(shè)點(diǎn)

C

的坐標(biāo)為(2a＋3，a)．∵該圓經(jīng)過

A，B

兩點(diǎn)，∴|CA|＝|CB|，∴

2a＋3－22＋a＋32＝

2a＋3＋22＋a＋52，解得

a＝－2，∴圓心坐標(biāo)為

C(－1，－2)，半徑長

r＝

10.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.方法

2：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，2－a2＋－3－b2＝r22

22由條件知－2－a

＋－5－b

＝ra－2b－3＝0a＝－1，解得b＝－2r2＝10，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.方法

3：線段

AB

的中點(diǎn)為(0，－4)，k－3－－51AB＝

2－－2

＝2，∴弦

AB

的垂直平分線的斜率為

k＝－2，∴弦

AB的垂直平分線的方程為

y＋4＝－2x，即

y＝－2x－4.又圓心是直線y＝－2x－4

與直線x－2y－3＝0的交點(diǎn)，由y＝－2x－4

x＝－1x－2y－3＝0

y＝－2，得

，∴圓心坐標(biāo)為(－1，－2)，∴圓的半徑長

r＝

－1－22＋－2＋32＝10，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.規(guī)律總結(jié)：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有以下兩種方法：(1)待定系數(shù)法．由于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有a，b，r三個參數(shù)，必須具備三個獨(dú)立條件，才能求出一個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求圓的方程，即列出關(guān)于a，b，r的方程組，解方程組求a，b，r.一般步驟如下：①設(shè)出所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2

＋(y－b)2

＝r2；②根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a，b，r的方程組；③解方程組時，求出a，b，r的值，并把它們代入所設(shè)的方程中，就得到所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)幾何法．通過研究已知條件，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，求得圓的基本量(圓心坐標(biāo)，半徑長)，進(jìn)而求得方程．圓的常用的幾何性質(zhì)：①圓心到圓上的點(diǎn)的距離等于半徑；②圓心到圓的切線的距離等于半徑；③圓的弦的垂直平分線過2，圓心；④兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)為圓心；⑤r2＝d2＋(l

)2其中r

為圓的半徑，d

為弦心距，l

為弦長．(1)(2013～2014·吉安高二檢測)圓心為(1,1)且與直線x＋y＝4相切的圓的方程是(

)A．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2[答案]

AB．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4[解析]

由題意知，圓心到直線的距離即為圓的半徑，即

r＝|1＋1－4|12＋12

＝2，故所求圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)求經(jīng)過兩點(diǎn)A(－1,4)、B(3,2)，且圓心在y軸上的圓的方程．[解析]

解法

1：∵圓心在

y軸上，可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2＋(y－b)2＝r2.∵該圓經(jīng)過

A、B

兩點(diǎn)，∴－12＋4－b2＝r2，2

2

23

＋2－b

＝r

，∴

2b＝1，r

＝10.所以圓的方程是

x2＋(y－1)2＝10.解法

2：線段

AB

的中點(diǎn)為(1,3)，ABk

＝2－413－－1＝－2，∴弦

AB的垂直平分線方程為

y－3＝2(x－1)，即

y＝2x＋1，由y＝2x＋1x＝0得(0,1)為所求圓的圓心．由兩點(diǎn)間距離公式得圓半徑r＝

0＋12＋1－42＝

10，∴所求圓的方程為

x2＋(y－1)2＝10.規(guī)律總結(jié)：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是求圓心坐標(biāo)和圓的半徑，解法1是先設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而后用待定系數(shù)法求出圓心坐標(biāo)和圓半徑，解法2抓住圓的性質(zhì)及題目的特點(diǎn)，求出線段AB的垂直平分線方程并與y軸的方程聯(lián)立組成方程組，先求出了圓心的坐標(biāo)，而后求出圓的半徑．誤區(qū)警示易錯點(diǎn) 忽視標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)致錯求圓(x＋2)2

＋(y－3)2

＝b2(b≠0)的圓心及半徑長．[錯解]

由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知圓心為(2，－3)，半徑長為b.[錯因分析]在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2

＋(y－b)2

＝

r2(r>0)中，此圓的圓心為(a，b)，半徑長為r.此題錯解是因?yàn)闆]有準(zhǔn)確把握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)形式．[正解]

由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知圓心為(－2,3)，半徑長為|b|.(2013～2014·湛江高一檢測)已知A(0，－5)，B(0，－1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是(

)A．(x＋3)2＋y2＝2C．(x＋3)2＋y2＝4B．x2＋(y＋3)2＝4D．(x－3)2＋y2＝2[答案][解析]B圓的圓心是(0，－3)，半徑是r＝1

－5－(－1)|＝2.2|故圓的方程為x2＋(y＋3)2＝4.隨堂1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝0表示的圖形是(A．以(a，b)為圓心的圓

B．以(－a，－b)為圓心的圓

C．點(diǎn)(a，b)D．點(diǎn)(－a，－b)[答案]

C)2．下面各點(diǎn)在圓(x－1)2＋(y－1)2＝2

上的是(

)A．(1,1)

B．(2,1)C．(0,0)

D．( 2，

2)[答案]

C3．某圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2＋(y＋1)2＝8，則此圓的圓心與半徑分別為(

)A．(1,0)，4

B．(－1,0)，2

2C．(0,1)，4

D．(0，－1)，2

2[答案]

D4

．圓x2

＋y2

＝

1

的圓心到直線3x

＋4y

－25

＝

0

的距離是(

)B．3D．2A．5C．4[答案]

A[解析]圓心為(0,0)，d＝|3×0＋4×0－25|32＋42＝5，故選A.5．據(jù)下列不同條件寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為原點(diǎn)，半徑為

2

的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．圓心為(0，－2)，半徑為

3

的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(3)圓心為C(－1,2)，半徑為

5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．(4)圓心為(3，－4)，過原點(diǎn)的圓心的標(biāo)準(zhǔn)方程為

圓心為(

－

2

，－

3)

與

x

軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．圓心為(－5,4)與

y

軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．[答案]

(1)x2＋y2＝4

(2)x2＋(y＋2)2＝9

(3)(x