1.3　等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)、基本不等式

1.3等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)、基本不等式第一章課標(biāo)要求1.梳理等式的性質(zhì),理解不等式的概念,掌握不等式的性質(zhì).2.掌握基本不等式

(a,b>0).3.結(jié)合具體實(shí)例,能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大值或最小值問(wèn)題.備考指導(dǎo)不等式的性質(zhì)貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué),是解不等式、研究不等式問(wèn)題的根本.復(fù)習(xí)時(shí)要理清各條性質(zhì)的應(yīng)用條件,準(zhǔn)確使用.以提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).基本不等式是高考的重點(diǎn),有時(shí)單獨(dú)考查,有時(shí)與其他知識(shí)綜合求最值.應(yīng)用時(shí)要注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件,根據(jù)已知條件適當(dāng)變形.內(nèi)容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)【知識(shí)篩查】

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的法則

2.等式的基本性質(zhì)3.不等式的基本性質(zhì)問(wèn)題思考若a>b,且a與b都不為0,則

的大小關(guān)系確定嗎?溫馨提示1.不等式還有以下幾條常用性質(zhì)(1)移項(xiàng)法則:a+b>c?a>c-b.即不等式的任何一項(xiàng)移到不等號(hào)的另一邊時(shí)一定要改變符號(hào).2.兩個(gè)重要不等式

4.基本不等式

注意:(1)基本不等式應(yīng)用的條件是“一正二定三相等”.一正:一般要求a,b同為正數(shù);二定:a+b或ab為定值;三相等:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),不等式取得等號(hào).(2)基本不等式可敘述為:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).5.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0,則【知識(shí)鞏固】

1.下列說(shuō)法正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b之間,有且只有a>b,a=b,a<b三種關(guān)系中的一種.(

)(2)一個(gè)不等式的兩邊同時(shí)加上或乘同一個(gè)數(shù),不等號(hào)方向不變.(

)(3)一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大,其倒數(shù)就越小.(

)√×××××2.已知a,b∈R,下列結(jié)論正確的是(

)A.若a>b,則|a|>|b| B.若a>b,則C.若|a|>b,則a2>b2 D.若a>|b|,則a2>b2D當(dāng)a=1,b=-2時(shí),A不正確,B不正確,C不正確;對(duì)于D,a>|b|≥0,則a2>b2.故選D.3.若a,b∈R,且ab>0,則下列不等式恒成立的是(

)D∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A錯(cuò)誤;對(duì)于B,C,當(dāng)a<0,b<0時(shí),明顯錯(cuò)誤;對(duì)于D,∵ab>0,4.若x>0,y>0,且2(x+y)=36,則

的最大值為(

)A.9 B.18 C.36 D.81A由2(x+y)=36,得x+y=18,所以

,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時(shí),等號(hào)成立.5.某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸,每次購(gòu)買(mǎi)x噸,運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x的值是

.

30第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點(diǎn)1比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小例1

(1)已知a1,a2∈(0,1),記M=a1a2,N=a1+a2-1,則M與N的大小關(guān)系是(

)A.M<N B.M>NC.M=N D.不確定BM-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0.∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.∴M>N.A.a<b<c

B.c<b<aC.c<a<b

D.b<a<cB解題心得比較兩個(gè)數(shù)(式)大小的常用方法

作差法步驟:作差?變形?判斷差與0的大小?得出結(jié)論常用配方、因式分解、有理化等變形作商法步驟:作商?變形?判斷商與1的大小?得出結(jié)論適用于分式、指數(shù)式、對(duì)數(shù)式構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值賦值法可以多次取特殊值,根據(jù)特殊值比較大小,從而得出結(jié)論適用于選擇題或填空題提示:當(dāng)兩個(gè)代數(shù)式正負(fù)不確定且為多項(xiàng)式形式時(shí),常用作差法比較大小;當(dāng)兩個(gè)代數(shù)式均為正且均為冪的乘積式時(shí),常用作商法比較大小.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)若x∈R,y∈R,則(

)A.x2+y2>2xy-1 B.x2+y2=2xy-1C.x2+y2<2xy-1 D.x2+y2≤2xy-1A因?yàn)閤2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0,所以x2+y2>2xy-1,故選A.(2)已知a>0,b>0,試比較aabb與abba的大小.能力形成點(diǎn)2不等式的性質(zhì)及應(yīng)用例2

(1)如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小關(guān)系是(

)A.a2>a>-a2>-a

B.a2>-a>a>-a2C.-a>a2>a>-a2

D.-a>a2>-a2>aD由a2+a<0,即a(a+1)<0,解得-1<a<0.由不等式的性質(zhì),可知-a>a2>0,而a<-a2<0,所以a<-a2<0<a2<-a.故選D.D(方法一)由c<d<0,得cd>0.(方法二)依題意取a=2,b=1,c=-2,d=-1,代入驗(yàn)證知A,B,C錯(cuò)誤,只有D正確.解題心得判斷多個(gè)不等式是否成立的常用方法:方法一是直接使用不等式性質(zhì),逐個(gè)驗(yàn)證;方法二是用特殊值法,即舉反例排除.而常見(jiàn)的反例構(gòu)成方式可從以下幾個(gè)方面思考:(1)不等式兩邊都乘一個(gè)代數(shù)式時(shí),要注意所乘的代數(shù)式是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是0;(2)不等式左邊是正數(shù),右邊是負(fù)數(shù),兩邊同時(shí)平方后不等號(hào)方向不一定保持不變;(3)不等式左邊是正數(shù),右邊是負(fù)數(shù),兩邊同時(shí)取倒數(shù)后不等號(hào)方向不變等.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)若a>1>b>-1,則下列不等式恒成立的是(

)A(2)下列說(shuō)法正確的是(

)A.若a>b,c>d,則ac>bdB.若ac>bc,則a>bD.若a>b,c>d,則a-c>b-dC取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A錯(cuò)誤;當(dāng)c<0時(shí),ac>bc?a<b,故B錯(cuò)誤;因?yàn)?/p>

,且c≠0,所以c2>0,即a<b,C正確;取a=c=2,b=d=1,可知D錯(cuò)誤.能力形成點(diǎn)3利用基本不等式證明不等式解題心得利用基本不等式證明不等式是證明不等式的一種情況,要從整體上把握運(yùn)用基本不等式,對(duì)不滿足使用基本不等式條件的可通過(guò)“變形”來(lái)轉(zhuǎn)換,常見(jiàn)的變形技巧有:拆項(xiàng),并項(xiàng),也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù),“1”的代換法等.能力形成點(diǎn)4利用基本不等式求最值命題角度1求不含等式條件的函數(shù)最值例4

下列說(shuō)法正確的是(

)C命題角度2求含有等式條件的代數(shù)式的最值

A10命題角度3已知不等式恒成立求參數(shù)取值范圍

A.[-2,0)∪(0,4] B.[-4,0)∪(0,2]

C.[-4,2] D.[-2,4]D解題心得1.利用基本不等式求解不含等式條件的函數(shù)最值的關(guān)注點(diǎn):(1)依據(jù):利用基本不等式求最值的依據(jù)是“積定和小”與“和定積大”.(2)定值:即和(或積)為定值,必要時(shí)需配湊、拆分出定值.如果求乘積的最值,那么就提出合適的系數(shù),使兩項(xiàng)之和為定值;如果求和的最值,那么就添加相同的常數(shù),使兩項(xiàng)之積是定值.拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形,拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(3)驗(yàn)證:即驗(yàn)證等號(hào)成立時(shí)的自變量的值是否在所給范圍內(nèi).2.求解條件最值問(wèn)題的兩種方法(1)常數(shù)代換法求最值,其基本步驟為:①定“值”:即根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù));②變“1”:即把確定的定值(常數(shù))變形為1;③“1”代:即把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除,進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式;④求最:即利用基本不等式求解最值.(2)消元法求最值消元法,即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系,然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解.有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問(wèn)題,解決方法是消元后利用基本不等式求解.3.已知不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的一般方法是分離常數(shù),利用基本不等式求最值.若不能利用基本不等式,可考慮利用函數(shù)的單調(diào)性.B4能力形成點(diǎn)5基本不等式的實(shí)際應(yīng)用例7

(2021廣東廣州執(zhí)信中學(xué)月考)某車站準(zhǔn)備在某倉(cāng)庫(kù)外,利用其一側(cè)原有墻體,建造一面高為3m,底面積為12m2,且背面靠墻的長(zhǎng)方體形狀的保管員室.由于保管員室的后背靠墻,無(wú)需建造費(fèi)用,因此,甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)如下:屋子前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米400元,左右兩面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米150元,屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)7200元,設(shè)屋子的左右兩面墻的長(zhǎng)度均為xm(2≤x≤6).(1)當(dāng)左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少米時(shí),甲工程隊(duì)的整體報(bào)價(jià)最低?(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與此保管員室建造競(jìng)標(biāo),其給出的整體報(bào)價(jià)為

元(a>0),若無(wú)論左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少米,乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功,求a的取值范圍.解題心得利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),應(yīng)先仔細(xì)閱讀題目信息,理解題意,明確其中的數(shù)量關(guān)系,并引入變量,依題意列出相應(yīng)的函數(shù)解析式,再用基本不等式求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5某單位在國(guó)家科研部門(mén)的支持下,進(jìn)行技術(shù)攻關(guān),采用了新工藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸,最多為600噸,月處理成本y(單位:元)與月處理量x(單位:噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為

,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.(1)該單位月處理量為多少噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低?(2)該單位每月能否獲利?如果獲利,那么求出最大利潤(rùn);如果不獲利,那么需要國(guó)家每月至少補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損?解

(1)由題意可知,二氧化碳每噸的平均處理成本為

因?yàn)閤∈[400,600],所以該單位月處理量為400噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低,最低平均處理成本為200元.(2)不獲利.設(shè)該單位每月獲利為S元,因?yàn)閤∈[400,600],所以S∈[-80

000,-40

000].故該單位每月不獲利,需要國(guó)家每月至少補(bǔ)貼40

000元才能使該單位不虧損.第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升應(yīng)用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍

典例

設(shè)f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范圍.思路分析f(-1)=a-b,f(1)=a+b.思路1:由條件知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,因此可確定字母a,