2005考研數(shù)二真題及解析

2005年入學考試數(shù)學二試一、填空題：1-6小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上y1sinx)x

3(1x)x曲線y 的斜漸近線方程 x

1 1x20(21x2xy2yxlnxy(1)19x0時，(x)kxk 設1,2,33

.x等價無窮小，則A(1,2,3)，

(1

3,12

如果A1，那么B n1xn1x處處可導

，則f(x)在(,)內 恰有一個不可導點 Fxfx的一個原函數(shù)，"MN表示MN則必有 Fx是偶函數(shù)

f(x)是奇函數(shù) (B)F(x)是奇函數(shù)

fx是偶函數(shù)(C)Fx是周期函數(shù)

f(x)是周期函數(shù) (D)F(x)是單調函數(shù)

fx是單調函數(shù)xt2yy(x由參數(shù)方程yln(1

yy(xx3軸交點的橫坐標是 1ln23 8

1ln238

Dxyx2y24x0y0}fxDab f f(x) f(f(x) f(D

d

ab

ab 2

(ab)

ab2x設函數(shù)u(x,y)(xy)(xy)xy(t)dt,其中函數(shù)具有二階導數(shù)，x

2u

.

xf(x)

xex1

,則 x0x1fx的第一類間斷點x0x1fx的第二類間斷點x0fxx1fx的第二類間斷點x0fxx1fx的第一類間斷點12A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為1,2，則1A(12)線性無關的充分必要條件是

10

20.

10

20Ann2)A12B的伴隨矩陣，則

A*B*A交換A*的第1列與第2列得B* (B)交換A*的第1行與第2行得B*(C)交換A*的第1列與第2列得B* (D)交換A*的第1行與第2行得B*三、解答題：15－23小題94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說(15)(11分

f(

f(0)

，求極限

0(xt)f(t)dtxxx0f(xxx(16)(11分C和Cy1(1exyex

的圖象，過點(0,1)的曲線C3是一單調增函數(shù)的圖象過C2M(x,yxy軸的直線lx和ly.記C1,C2與lx所圍圖形的面積為S1(x)C2,C3與lyS2yS1(x)S2y，求曲線C3xyy1O1xCy

f(x(32)l1與l2分別是曲線在點(00)與(32處的切線，其交點為(24.fx分3(x2xf0(18)(12分xcost(0t)(1x2yxyy0

2的特解(19)(12分fx在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)f(0)0,f(11.(I)存在0,1),f()1(II)存在兩個不同的點,0,1f(f((20)(10分zf(xydz2xdx2ydyf(1,12.f(xy2Dxyx224

(21)(9分D

x2y21dDxy0x1,0y(22)(9分1確定常數(shù)a使向量組1,1a)T1

22

3 1,1a)T,2a,4)T,2aa)T不能由向量組13 (23)(9分

已知3階矩陣A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全為零矩陣B 6(k為常數(shù)AB0,AX0的通解

k2005年入學考試數(shù)學二試題解一、填空【詳解】先求出函數(shù)的導數(shù),再求函數(shù)在某點的微分1y1sinx)xexln(1sinx

]nn從

=y()dx2lnyxln(1sinxx1yln(1sinx)y

xcos，1sin于 x

=y()dx3(1x)x曲線y 的斜漸近線方程 xyaxb(a

f ax]) a

3

blimf(x)ax

(1x)2x

3x2xyx321xsin

(0t,2

sin(2x2(2x2)1x2

dt 22 0(22

t)

02sin0

dcos111

0arctan(cost)2042：

tx21t2xdxtdt，其中0t

arctant1(2x2)11 0(2x2)11

13

9dyP(xyQ(xy

(x)dxdx

(其中C是常數(shù)

y2ylnxxy

dx1

x2lnxdxC]= x1x

其中C是常數(shù)

y(1)1得C09

13

9coslimcos

arcsin1( arcsin1(x0

1

1limarcsinxlim1cosxcsinx1cos2kcsinx1cos

lim1cosx1，limarcsin

arcsinx

u0sin所 lim(x)1(11)x0 2k x0時(x)~(x，所以

1，得k34【答案】1：因為(

)(

,)1，

4)(

,)2

(

)(

,)3

1 故B,24,39(

, 3

3 A1,2,3 BA

3129方法2：利用行列式性質(在行列式中，把某行的各元素分別乘以非零常數(shù)加到另一行的對B123,12243,132123,233,22[3]

====123,233,=2123,233

====212,2[2]

====21,2又因為A1,2

1

2

2二、選擇【答案】【詳解】分段，并應用準則n1|xn當|x|1時，有n1 ，命n取極限，得limn11，n1|xnn1|x由準則得n1|x

1

當|x|1f(xlimn11limn2 n|xn1|xn2|x當|x|1時， n|xn1|xn2|x

n2|xx|x|3n2|xx |x| 再f(x)的不可導點.按導數(shù)定義，易知x1處f(x)不可導，故應選【答案】方法1：應用函數(shù)奇偶性的定義判定函數(shù)fx的任一原函數(shù)可表示為F(xxf(t)dtC，且F(x0

f當Fx)為偶函數(shù)時，有F(x)F(x)，于是F(x1)F(x)，即f(x)f(xf(x)f(xfx反過來若f(x)為奇函數(shù)則F(x) f(t)dtC令tk則有dtdk所 F(x) ft 0 k

0f(k)dkCF(x)x從 F(x)x

f(t)dt

方法2：排除法f(x)1,F(x)x1,排除(B)、f(x)xF(x)1x2,排除2【答案】x3時，有t22t3，得t

3(y無意義 yy(x

dydt

1t

2t 2(tyy(xx3(即t1)8于是在該處的法線的斜率為8,所以過點(3ln2)yln28(x3)y=0,x1ln23,故應8【答案】Dyx對稱的,xy互換后積分值不變, f(x f(x) f(f(x) f(D

f f(y) ff(y) f f(x) f f(x) f(f(x) f( f(y) ff(y) f2D

=abdab122ab

應選 u(xy(xy)(xy(xyu(xy)(xy)(xy)(xy) (x

y)(x

y)(x

y)(x

y)

(x

y)(x

y)(x

y)(x

y)

2uy (x

y)(x

y)(x

y)(x

y)

y

，應選【答案】fxx0x1點處無定義，因此是間斷點且

f(x)x0

f(x)0，

f(x)1x1為第一類間斷點，故應選【答案】方法1：利用線性無關的定1,2分別是特征值1,2對應的特征向量，根據(jù)特征值、特征向量的定義，因12，因不同特征值對應的特征向量必線性無關，故1,2k1k21

k22當

20k10k20，此時1A(121A(12)線性無關，則必然有20否則，1A(1211線性相關)，故應選(B).2：將向量組的表出關系表示成矩陣形式1,2分別是特征值1,2對應的特征向量，根據(jù)特征值、特征向量的定義， 由于1,A(12)1,11221,2 2因121,2線性無關.若1A(12r1A(12)22r

minr

,r

121 2 1 2 2 2

故2r 2，從而r

2，從而 2 2

2 若 20，則r 2，又1,2線性無關， 2r

1r

12 2 2 2則r,A()r

1

從而1A(12方法3：利用矩陣的

20故應選21,2分別是特征值1,2對應的特征向量，根據(jù)特征值、特征向量的定義，12，因不同特征值對應的特征向量必線性無關，故1,2A(121122，故1A(12線性無關r(1A(12又因

1,22則r(1,1122)r(1,22)220(若20，與r(1,22) 方法4：利用線性齊次方程1,2分別是特征值1,2對應的特征向量，根據(jù)特征值、特征向量的定義，由12，因不同特征值對應的特征向量必線性無關，故1,21A(12111221,11

0,

X0只有零解，又

1 2

1 2 2

1x10

2 2 x 22,線性無關時

Y0只有零解，故Y

1x10

xY

1x10

22

x 22

0，故應選5：由121,21,2分別是特征值1,2對應的特征向量，根據(jù)特征值、特征向量的定義，向量組I:1,2和向量組II:1A(121122.顯然向量組II可以由向量組I線性表出；當20時，不論1的取值如何，向量組I可以由向量II線性表

(1)1

)11A()

1 2

從而III是等價向量組當20時r1,2r11122【答案】方法1：E12(n階單位矩陣的第1行與第2行所得)

AB，(AA左乘初等矩陣)

B*(EA)*A*E* E

12又 E1(行列式的兩行互換，行列式反號)，

1EB* A* E1A*E1

， 即 B*,可見應選又因為A是可逆陣，

1，故BE12A

AA0 BB1EA)1A1E AA

A,

BB BB

E，又因BA，故 B*A三、解答Axxtuxx00f(xt)dtx0

f(u)(du)

f(u)dux(xt)fx

xf(t)dttf

洛必達法

tf

xf

lim

f(x

x0fx

f

整

f

x

f(x)1xf而lim

(xfxf(t)dtlim limf(x)x

xf1xf

lim1xf

f(0)0原式 x

x0x

f 1f(x) f

limf(x)lim1xf

f(0)f x xC3在C1S(x)x[et1(1et)]dt1(exx1) y1O1xy1O1xyS2y1(lnt(t))dt，由S1(x)S2y，得1(exx1)y(lnt(t))dt M(x,yyex于 1(ylny1)y(lnt2y

2

1)lny(y)yxy)lny

y1.2y【詳解】由直線l1過(0,0)和(2,4)兩點知直線l12.由直線l1是曲線C在點(0,0)f(0)2.f(3)2.另外由點(3,2)是曲線C的f(3 3(x2 /