廣東省江門市示范中學2021-2022學年高三適應性調(diào)研考試數(shù)學試題含解析

2022年高考數(shù)學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數(shù)，則對應的點在復平面內(nèi)位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．盒子中有編號為1，2，3，4，5，6，7的7個相同的球，從中任取3個編號不同的球，則取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的概率是（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則的最小值為()A． B． C． D．4．已知集合，，則A． B．C． D．5．已知，滿足條件（為常數(shù)），若目標函數(shù)的最大值為9，則（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的最大值為，若存在實數(shù)，使得對任意實數(shù)總有成立，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知等差數(shù)列{an}，則“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件8．如圖，在平面四邊形ABCD中，若點E為邊CD上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．9．關于函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，下列敘述正確的是（）A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．先遞減后遞增 D．先遞增后遞減10．給出下列四個命題：①若“且”為假命題，則﹑均為假命題；②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；③若命題，，則命題，；④設集合，，則“”是“”的必要條件；其中正確命題的個數(shù)是（）A． B． C． D．11．已知（i為虛數(shù)單位，），則ab等于（）A．2 B．-2 C． D．12．射線測厚技術原理公式為，其中分別為射線穿過被測物前后的強度，是自然對數(shù)的底數(shù)，為被測物厚度，為被測物的密度，是被測物對射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用镅241（）低能射線測量鋼板的厚度.若這種射線對鋼板的半價層厚度為0.8，鋼的密度為7.6，則這種射線的吸收系數(shù)為（）（注：半價層厚度是指將已知射線強度減弱為一半的某種物質厚度，，結果精確到0.001）A．0.110 B．0.112 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知變量x，y滿足約束條件x-y≤0x+2y≤34x-y≥-6，則14．若滿足約束條件，則的最小值是_________，最大值是_________.15．如圖，在菱形ABCD中，AB=3，，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點，，若線段EF上存在一點M，使得，則____________，____________．（本題第1空2分，第2空3分）16．設,滿足約束條件,若目標函數(shù)的最大值為,則的最小值為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）的內(nèi)角的對邊分別為，若（1）求角的大?。?）若，求的周長18．（12分）2019年春節(jié)期間，某超市準備舉辦一次有獎促銷活動，若顧客一次消費達到400元則可參加一次抽獎活動，超市設計了兩種抽獎方案.方案一：一個不透明的盒子中裝有30個質地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到白球則獲得20元的返金券，且顧客有放回地抽取3次.方案二：一個不透明的盒子中裝有30個質地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則未中獎，且顧客有放回地抽取3次.（1）現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎機會，且都按方案一抽獎，試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率；（2）若某顧客獲得抽獎機會.①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數(shù)學期望；②為了吸引顧客消費，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應選擇哪一種抽獎方案進行促銷活動？19．（12分）已知函數(shù).（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）設函數(shù)的極值點為，當變化時，點構成曲線，證明：過原點的任意直線與曲線有且僅有一個公共點.20．（12分）已知函數(shù)．（1）若在處取得極值，求的值；（2）求在區(qū)間上的最小值；（3）在（1）的條件下，若，求證：當時，恒有成立．21．（12分）如圖，已知橢圓C:x24+y2=1，F(xiàn)為其右焦點，直線l:y=kx+m(km<0)與橢圓交于P(x1(I)試用x1表示|PF|(II)證明：原點O到直線l的距離為定值.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知在處的切線與軸垂直，若方程有三個實數(shù)解、、（），求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

利用復數(shù)除法運算化簡，由此求得對應點所在象限.【詳解】依題意，對應點為，在第一象限.故選A.【點睛】本小題主要考查復數(shù)除法運算，考查復數(shù)對應點的坐標所在象限，屬于基礎題.2．B【解析】

由題意，取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的情況有，所有的情況有種，由古典概型的概率公式即得解.【詳解】由題意，取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的情況有，所有的情況有種由古典概型，取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的概率為：故選：B【點睛】本題考查了排列組合在古典概型中的應用，考查了學生綜合分析，概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.3．C【解析】

利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)為標準正弦型三角函數(shù)，即可容易求得最小值.【詳解】由于，故其最小值為：.故選：C.【點睛】本題考查利用降冪擴角公式、輔助角公式化簡三角函數(shù)，以及求三角函數(shù)的最值，屬綜合基礎題.4．D【解析】

因為，，所以，，故選D．5．B【解析】

由目標函數(shù)的最大值為9，我們可以畫出滿足條件件為常數(shù)）的可行域，根據(jù)目標函數(shù)的解析式形式，分析取得最優(yōu)解的點的坐標，然后根據(jù)分析列出一個含參數(shù)的方程組，消參后即可得到的取值．【詳解】畫出，滿足的為常數(shù)）可行域如下圖：由于目標函數(shù)的最大值為9，可得直線與直線的交點，使目標函數(shù)取得最大值，將，代入得：．故選：．【點睛】如果約束條件中含有參數(shù)，我們可以先畫出不含參數(shù)的幾個不等式對應的平面區(qū)域，分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線的交點，然后得到一個含有參數(shù)的方程（組，代入另一條直線方程，消去，后，即可求出參數(shù)的值．6．B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的兩角和差公式得到，進而可以得到函數(shù)的最值，區(qū)間(m,n)長度要大于等于半個周期，最終得到結果.【詳解】函數(shù)則函數(shù)的最大值為2，存在實數(shù)，使得對任意實數(shù)總有成立，則區(qū)間(m,n)長度要大于等于半個周期，即故答案為：B.【點睛】這個題目考查了三角函數(shù)的兩角和差的正余弦公式的應用，以及三角函數(shù)的圖像的性質的應用，題目比較綜合.7．C【解析】試題分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．解：在等差數(shù)列{an}中，若a2＞a1，則d＞0，即數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”充分必要條件，故選C．考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．8．A【解析】

分析：由題意可得為等腰三角形，為等邊三角形，把數(shù)量積分拆，設，數(shù)量積轉化為關于t的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。詳解：連接BD,取AD中點為O,可知為等腰三角形，而，所以為等邊三角形，。設=所以當時，上式取最小值，選A.點睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時利用向量共線轉化為函數(shù)求最值。9．C【解析】

先用誘導公式得,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象可由向左平移個單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選：C【點睛】本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎題.10．B【解析】

①利用真假表來判斷，②考慮內(nèi)角為，③利用特稱命題的否定是全稱命題判斷，④利用集合間的包含關系判斷.【詳解】若“且”為假命題，則﹑中至少有一個是假命題，故①錯誤；當內(nèi)角為時，不是象限角，故②錯誤；由特稱命題的否定是全稱命題知③正確；因為，所以，所以“”是“”的必要條件，故④正確.故選：B.【點睛】本題考查命題真假的問題，涉及到“且”命題、特稱命題的否定、象限角、必要條件等知識，是一道基礎題.11．A【解析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)相等的條件列式求解．【詳解】，，得，．．故選：．【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)相等的條件，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，是基礎題．12．C【解析】

根據(jù)題意知,，代入公式,求出即可.【詳解】由題意可得,因為,所以,即.所以這種射線的吸收系數(shù)為.故選:C【點睛】本題主要考查知識的遷移能力,把數(shù)學知識與物理知識相融合;重點考查指數(shù)型函數(shù),利用指數(shù)的相關性質來研究指數(shù)型函數(shù)的性質,以及解指數(shù)型方程；屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．-5【解析】

畫出x，y滿足的可行域，當目標函數(shù)z=x-2y經(jīng)過點A時，z最小，求解即可?！驹斀狻慨嫵鰔，y滿足的可行域，由x+2y=34x-y=-6解得A-1,2，當目標函數(shù)z=x-2y經(jīng)過點A【點睛】本題考查的是線性規(guī)劃問題，解決線性規(guī)劃問題的實質是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結合思想。需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域;二，畫目標函數(shù)所對應的直線時，要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯;三，一般情況下，目標函數(shù)的最大值或最小值會在可行域的端點或邊界上取得。14．06【解析】

作不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，即可求出結果．【詳解】作出可行域，如圖中的陰影部分：求的最值，即求直線在軸上的截距最小和最大時，當直線過點時，軸上截距最大，即z取最小值，．當直線過點時，軸上截距最小，即z取最大值，.故答案為：0；6.【點睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中的最值問題，利用數(shù)形結合是解決問題的基本方法，屬于中檔題．15．【解析】

根據(jù)題意，設，則，所以，解得，所以，從而有.16．【解析】

先根據(jù)條件畫出可行域,設,再利用幾何意義求最值,將最大值轉化為軸上的截距,只需求出直線,過可行域內(nèi)的點時取得最大值,從而得到一個關于,的等式,最后利用基本不等式求最小值即可．【詳解】解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當直線過直線與直線的交點時,目標函數(shù)取得最大,即,即,而．故答案為．【點睛】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用、簡單的線性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值,屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）11【解析】

（1）利用二倍角公式將式子化簡成，再利用兩角和與差的余弦公式即可求解.（2）利用余弦定理可得，再將平方，利用向量數(shù)量積可得，從而可求周長.【詳解】由題解得，所以由余弦定理，，再由解得：所以故的周長為【點睛】本題主要考查了余弦定理解三角形、兩角和與差的余弦公式、需熟記公式，屬于基礎題.18．(1)(2)①②第一種抽獎方案.【解析】

(1)方案一中每一次摸到紅球的概率為，每名顧客有放回的抽3次獲180元返金劵的概率為，根據(jù)相互獨立事件的概率可知兩顧客都獲得180元返金劵的概率(2)①分別計算方案一，方案二顧客獲返金卷的期望，方案一列出分布列計算即可，方案二根據(jù)二項分布計算期望即可②根據(jù)①得出結論.【詳解】（1）選擇方案一，則每一次摸到紅球的概率為設“每位顧客獲得180元返金劵”為事件A，則所以兩位顧客均獲得180元返金劵的概率（2）①若選擇抽獎方案一，則每一次摸到紅球的概率為，每一次摸到白球的概率為.設獲得返金劵金額為元，則可能的取值為60，100，140，180.則；；；.所以選擇抽獎方案一，該顧客獲得返金劵金額的數(shù)學期望為（元）若選擇抽獎方案二，設三次摸球的過程中，摸到紅球的次數(shù)為，最終獲得返金劵的金額為元，則，故所以選擇抽獎方案二，該顧客獲得返金劵金額的數(shù)學期望為（元）.②即，所以該超市應選擇第一種抽獎方案【點睛】本題主要考查了古典概型，相互獨立事件的概率，二項分布，期望，及概率知識在實際問題中的應用，屬于中檔題.19．（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）由恒成立，可得恒成立，進而構造函數(shù)，求導可判斷出的單調(diào)性，進而可求出的最小值，令即可；（2）由，可知存在唯一的，使得，則，，進而可得，即曲線的方程為，進而只需證明對任意，方程有唯一解，然后構造函數(shù)，分、和三種情況，分別證明函數(shù)在上有唯一的零點，即可證明結論成立.【詳解】（1）由題意，可知，由恒成立，可得恒成立.令，則.令，則，，，在上單調(diào)遞增，又，時，；時，，即時，；時，，時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增，時，取最小值，.（2）證明：由，令，由，結合二次函數(shù)性質可知，存在唯一的，使得，故存在唯一的極值點，則，，，曲線的方程為.故只需證明對任意，方程有唯一解.令，則，①當時，恒成立，在上單調(diào)遞增.，，，存在滿足時，使得.又單調(diào)遞增，所以為唯一解.②當時，二次函數(shù)，滿足，則恒成立，在上單調(diào)遞增.，，存在使得，又在上單調(diào)遞增，為唯一解.③當時，二次函數(shù)，滿足，此時有兩個不同的解，不妨設，，，列表如下：00↗極大值↘極小值↗由表可知，當時，的極大值為.，，，，，..下面來證明，構造函數(shù)，則，當時，，此時單調(diào)遞增，，時，，，故成立.，存在，使得.又在單調(diào)遞增，為唯一解.所以，對任意，方程有唯一解，即過原點任意的直線與曲線有且僅有一個公共點.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應用，考查不等式恒成立問題，考查利用單調(diào)性研究圖象交點問題，考查學生的計算求解能力與推理論證能力，屬于難題.20．（1）2；（2）；（3）證明見解析【解析】

（1）先求出函數(shù)的定義域和導數(shù)，由已知函數(shù)在處取得極值，得到，即可求解的值；（2）由（1）得，定義域為，分，和三種情況討論，分別求得函數(shù)的最小值，即可得到結論；（3）由，得到，把，只需證，構造新函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1）由，定義域為，則，因為函數(shù)在處取得極值，所以，即，解得，經(jīng)檢驗，滿足題意，所以.(2)由（1）得，定義域為，當時，有，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最小值為，當時，由得，且，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，最小值為，當時，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以在處取得最小值，綜上可得：當時，在區(qū)間上的最小值為1，當時，在區(qū)間上的最小值為.（3）由得，當時，，則，欲證，只需證，即證，即，設，則，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，即，故，即當時，恒有成立.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，以及不等式的證明，著重考查了轉化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于此類問題，通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．21．(I)|FP|=2-32x【解析】

(I)直接利用兩點間距離公式化簡得到答案.(II)設Ax3,y3，Bx4【詳解】(I)橢圓C:x24|FP|=x(II)設Ax3,y3，B4k2+1x2OA=OB，故y3PA=PF，故1+k由已知得：x3<x故1+k即1+k2?/r