線代 第1章 消元法課件

線性代數主講教師：凌思濤1序言是一門討論數學中線性關系經典理論的課程；是代數學中一個最初等的分支；一、課程性質2線性關系:數學對象之間的關系是以一次形式來表達的。例如，在解析幾何里，平面上直線的方程是二元一次方程；空間平面的方程是三元一次方程，而空間直線視為兩個平面相交，由兩個三元一次方程所組成的方程組來表示。含有n個未知量的一次方程稱為線性方程。關于變量是一次的函數稱為線性函數。線性關系問題簡稱線性問題。解線性方程組是最簡單的線性問題。3向量概念的引入，形成了向量空間的概念。凡是線性問題都可以用向量空間的觀點加以討論。因此，向量空間及其線性變換，以及與此相聯系的矩陣理論，構成了線性代數的中心內容。線性代數的含義隨數學的發(fā)展而不斷擴大。線性代數的理論和方法已經滲透到數學的許多分支。比如，“以直代曲”是人們處理很多數學問題時一個很自然的思想。很多實際問題的處理，最后往往歸結為線性問題，它比較容易處理。同時也是理論物理和理論化學所不可缺少的代數基礎知識。5因此，線性代數在工程技術和國民經濟的許多領域都有著廣泛的應用，是一門基本的和重要的學科。線性代數的計算方法是計算數學里一個很重要的內容。矩陣理論與線性方程組是線性代數的基本內容。矩陣是1850年由西爾維斯特首先提出的，1858年卡萊建立了矩陣運算規(guī)則，矩陣理論廣泛應用在線性代數中，矩陣是它的重要研究對象之一。6二、研究內容基本內容：矩陣理論線性方程組理論向量空間線性代數研究對象——線性方程組線性代數研究工具——矩陣線性代數研究方法——矩陣的初等變換71.消元法與矩陣的初等變換2.3.向量空間Rn4.線性方程組解的結構5.方陣的特征值與特征向量主要內容矩陣理論基礎6.二次型及其標準形*7.線性空間與線性變換8第一組：四、作業(yè)及答疑第三組：

第二組：

交作業(yè)時間：每周一5,6節(jié)答疑時間：周4（2,3周），周2,4（4,5,7,8,9周）時間：7、8節(jié)；地點：教1C30010§1.1若干典型問題§1.2矩陣及其初等變換§1.3解線性方程組的消元法第一章解線性方程組的消元法與矩陣的初等變換12線性方程組它的解取決于系數和常數項故對線性方程組的研究可轉化為對這張表的研究.一、矩陣的若干典型問題引例1141表示有航班,0表示沒有航班

引例2(P2問題3

)四個城市間的單向航線如圖：1234④③②①④③②①可簡單地用一個數表來表示：15為表示它是一個整體，總是加一個括號，并用大寫字母記之。定義16(1)1×1的矩陣就是一個數。(2)行數與列數都等于n的矩陣A，稱為n階方陣(SquareMatrix)或n階矩陣。(3)只有一行的矩陣稱為行矩陣(RowMatrix)或n維行向量。二、特殊矩陣(4)只有一列的矩陣稱為列矩陣(ColumnMatrix)或m維列向量。17(5)元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為O。(6)矩陣(約定未寫出元素全為零)稱為單位矩陣(IdentityMatrix)。(7)矩陣稱為對角矩陣(DiagonalMatrix)。記作18稱矩陣的下面三種變換分別為第一、第二、第三種初等行變換(1)交換矩陣的某兩行，記為(2)以不等于０的數乘矩陣的某一行，記為(3)把矩陣的某一行乘上一個數加到另一行上，記為類似定義三種初等列變換以上六種變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換定義三、矩陣的初等變換2015-1-11-2131-93738-111-2131-937r2r415-1-138-11例如15-1-11-2131-93738-114r21-15-113-973-18144-81215-1-11-2131-93738-11r3-3r115-1-11-2131-9370-72421初等變換的作用？定義行階梯形矩陣及行最簡(階梯)形矩陣(行最簡形就是所謂的最簡單的“代表”)書P.5-定義4行階梯形矩陣（1）臺階左下方元素全為零；（2）每個臺階上只有一行；（3）每個臺階上第一個元素不為零。23行最簡階梯形矩陣（1）臺階左下方元素全為零；（2）每個臺階上只有一行；（3）每個臺階上第一個元素不為零。行階梯形矩陣：行最簡階梯形(1)(2)(3)+(4)臺階上的第一個元素為1,且其所在列其它元素全為零。24注意:箭頭不能為等號26化階梯形：從上到下，從左到右,化最簡形：從下向上，從右到左。

例227(等價關系)在一個集合S中如果有一種關系R滿足:(1)自反性：aRa;(2)對稱性：aRb

bRa;(3)傳遞性：aRb,bRc

aRc。則稱R為S的一個等價關系。定義

有了等價關系就可以把S的元素進行分類，把相互等價的元素歸于同一類，稱為等價類。即同一類中的元素都等價，不同類中的元素不等價。在等類價中通常選一個“簡單”的元素作為代表，在矩陣中常稱這個代表為某某標準形。如果矩陣A經過有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價，記作。28若B=(b1,b2,…,bm)T≠O，則稱(1)為非齊次線性方程組若B=(b1,b2,…，bm)T＝O，即：

則稱(2)為(1)對應的齊次線性方程組（或(1)的導出組）30系數矩陣增廣矩陣31解線性方程組解互換(1)與(2)的位置得例132(2)-(1)×2,(3)-(1)×4(3)-(2)33(3)×(-1/2)消元過程結束，以下過程稱為“回代過程”。34(2)×(-1/3)(1)-(3)×2，(2)+(3)×235所以，消元法增廣矩陣的初等行變換消元過程就是增廣矩陣化為行階梯形矩陣，回代過程就是繼續(xù)化成行最簡階梯形的過程。(1)－(2)原方程組的解為：36解：同