北京科技大學計算方法試試題庫

目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"北京科技大學2010年 2\o"CurrentDocument"北京科技大學201I年 9\o"CurrentDocument"北京科技大學2012年 15\o"CurrentDocument"北京科技大學2013年 20\o"CurrentDocument"北京科技大學2014年《計算方法》 26\o"CurrentDocument"北京科技大學2015年 32\o"CurrentDocument"北京科技大學2016年《計算方法》 40\o"CurrentDocument"北京科技大學2017年《計算方法》 46\o"CurrentDocument"《計算方法》試題庫 54北京科技大學2010年《科學與工程計算》

研究生考試試題答案一、填空題(每空題2分,共20分).為使胸的近似值的相對誤差限不超過IO-,則近似值至少需要取3位有效數(shù)字.TOC\o"1-5"\h\z注 :府X = 9-! §—— 〇8 271908 8.944271908.為了提高數(shù)值計算精度,當數(shù)ス非常接近〇時,應將I二““ざ改寫為smxsinx 1+cosx"5 3 -11.設A=3-23ト則網(wǎng)］=10,同"=9匚-22 4.若使用二分法求解方程xe*=l在［0,1)上的根,要求誤差小于0.5x10-3,則至少需要迭代_10_步。注:二分k步誤差小于”^-1T40.5xri)f?2N10(施>21 2.已知函數(shù)Z(-l)=-5,/⑴=0,/(2)=7,用此函數(shù)表作牛頓插值多項式,那么插值多項式X?的系數(shù)是_7/2_..設f(x)=5x7+4x4+3x3+2x+l,則差商/［0,1,2,3,4,5,6,7］=5,/M,-3,-2,-l,0,l,2,3,4,5］=0.求解初值問題ザ=-10y+x2,y(0)=l時,若用改進歐拉方法的絕對穩(wěn)定域中步長h不超過.0.2。. (X—1)+g(x—I)?+b(x—1)+10<x<1_.r,.,,.、，，、，ーー、“，.設S(x)={\ )ゝ,ノ、 7 是［0,2］上的三次樣條函數(shù),3x3-2x 1<x<2那么a=_9_二、(20分)分別用Jacobi迭代與高斯ー賽德爾迭代法解線性方程組,I2給出迭代格式與迭代矩陣,說明上述迭代是否收斂,若全兩者均收斂問哪種方法收斂快。ザ）=談_2染+5解:本問題的Jacobi迭代格式為《=丄染+。)-131 37 7 7（2分）迭代矩陣為Bj=（2分）-1卬一味,1327A2--34,2—Z+-7722--

3,8

ス+—77=r-1U3№22（4分）（1分）Jacobi迭代收斂 （1分）本問題的高斯ー賽德爾迭代格式為燈ー燈ー2巖）+5（2（2分）メ?+1)_1(*+1),1(*)_1 メ?+1),2メわ+23 3 3- 3 3錯釗=-2靖"）一士ぜ釗+亞

（2分）TOC\o"1-5"\h\z0 1 -2（2分）迭代矩陣為紇=0 --s3 3〇-12AI2121丿（3分）（1分） Seidel迭代收斂 （1分）=居 Jacobi迭代收斂的快（1分）三、（10分）給定數(shù)據(jù)（f（x）=孤）,X12fix)11.1892f(x)0.25試用hermite插值多項式計算/（1.75）的近似值,并估計誤差。解:方法1首先構造差商表:X112fix)111.18920.250.1892-0.0608那么,（每個插商2分）N（x）=l+0.25（x-l）-0.0608（スーザ（1分）最后計算可以得到/（L75）aN（1.75）=1.1533。 （1分）/(%)=</%ブ"(め=旨? maxげ(小さ（誤差2R(1.75)<^-xi|(l.75-1)(1.75-l)(1.75-2)|=0-=（誤差2分)方法2待定系數(shù)法G(x)=a+fec+52G'(勾=耳2(.G(l)=a+み+c=l (1分)G(2)=a+2Z?+4c=1.1892(1分)G(2)=A+2c=0.25(1分)解得a=0 .6=6 8c=9 2 ( 3分)N(x)=0.6892+0.3716x-0.0608x2(1分)最后計算可以得到了(1.75)aG(1.75)=1.1533。 (1分)誤差同方法1方法3基函數(shù)法G(x)=a(x)+1.1892b(x)+0.25c(x)a(l)=l,a(2)=0,a'(I)=0伙1)=0,/2)=1力’(1)=0c(1>Ot;(2)20,=TOC\o"1-5"\h\za(x)=(x-2)(A+Bx)a(l)=-A-B=a'(l)=A=fa(x)=-(x-2)x (2分)b(x)=C(x-l)2 b(2)=C=1 r/x)=(x-l)2 (2分)c(x)=D(x—l)(x—2) cr(x)=。(2ギ cz(l)=—D—1—>c(x)=—(x—l)(x—2)(2分)G(x)=-(x-2)x+1.1892(x-1)2-(x-l)(x-2) (1分)

最后計算可以得到〃L75）aG（1.75）=1.1533。 （1分）誤差同方法1四、（15分）已知數(shù)據(jù)表ム-2-1012-17-14-102052求最小二乘法求其二階擬合多項式并計算平方誤差。計算中間數(shù)值及結果保留6位小數(shù)。解:y=a+反+C%2 %=10尸スPテx(%,%)=5 (/用)=Z%=0 (%,夕)=(6)核ザ=1(四,。2)=Z，=。(e2,02)=モX:=34(の,y)=Zy=31?，y)=Z%y,=172飽,y)=Zx；y,=146，5解方程〇JO103431)172146a\，5解方程〇JO103431)172146a\-29/586/5（每個非。系數(shù)1分,共6分）二階擬合多項式為y=129+8"+3°x （a,b,c系數(shù)!分）近似值y(-2)=す=-17+— y(-l)=-17=-14+3y(0)=ー丁=-10+二?、87“13小、263“3y(l)=—=20 y(2)==52+—5 5 - 5 5平方誤差二(升(3)、陽+閏+?弋(誤差1分)五、（10分）用牛頓法求狛的近似值,取初始值』=1,要求誤差（IO-解:近為ピー5=0的根利用牛頓法構造遞推公式ム+|=丸ーユづ=?ム+三,（23ム 3 3%分）毛=1,計算結果如下,看:=2.3333333341分セ:=L86167800f1分々:=1.7220018811分x4:=1.71005973￠2分々:=170997595セ分歸5ーム|〈1。ゼザ之1.709975（1分）六、（15分）用改進的歐拉方法求解初值問題丁=-0.9y/（l+2x）:必）=1取步長〃=0.25,計算ー0.5）,并與準確值y=（1+2x）445比較.&2 1ri\《穴 —0.9（%+3）解: &=/（ム,％）= ， &=/（x“+i，X,+ん〃）= ；_,1+2ム 1+2%加=%+*+&］公式2分%=0,/=0,xy=0.1,k、=-0.9（2分）右=-0.465（2分），X=0.829375,（2分）真實值〇.8332185564（1分）ム=0.25,尤2=。5,占=-0.497625（!分）,k2=-0.3172359375（1分）,%=0.7275173828（1分）真實值〇.7320428480（1分）y誤差約為0.0038435564,（1分）カ誤差約為0.0045254652（1分）七、（10分）己知某連續(xù)可微函數(shù)/（x）的幾點函數(shù)值如下表x 0 0.125 0.250.375 0.5 0.6250.750.875 1f（x） 1 0.99610.98430.96460.93680.90060.85540.80060.7351使用復化梯形求積公式及其外推公式估計エ，（x）dx,使估計值盡可能準確（注:每步計算結果保留小數(shù)點后6位。）解:￠1）工=デ［1+0.735"=0.85755 。分）

（1分）T,=-7：+-x0.9368=0.902（1分）22124=gn+丄（0.9843+0.9368+0.8554）=0.911025 （1分）￡=-7；+-（0.9961+0.9646+0.9006+0.8006）=0.91324375?0.913244（1分）2 8外推第一層S[=（+3トム3*0.913717（1分）§2=7；+S[=（+3トム3*0.913717（1分）§2=7；+ゝー厶*0.913958*0.913988（1分）（1分）外推第二層Ct=S2+S2~^'*0.913974外推第三層凡=C2+ら一6?0.91399063（1分）G=$4+3二ら=0.913990（1分）（1分）北京科技大學2011年《科學與工程計算》研究生考試試題答案一、填空題(每空題2分,共20分).x=1.6491是精確值&的近似值,則其有4位有效數(shù)字.1.6487212707001281468486507878142.為了提高數(shù)值計算精度,當數(shù)え非常大時,應將ln(x)-改寫為ー"-ln(l—v).2x.設A=]],貝!!(琳=4，榊2=也+0"°=ス+1。.已知/(x)為區(qū)間[0,1]上關于權函數(shù)X?(x)=l-x的首項系數(shù)為1的正交多項式族,%(x)=l,則ワ](x)=xーラ。.設イ(x)=バーイ+%+],則差商ア[T,-3,-2,-1,0,1,2,3,4]=1。/[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]=0.求解初值問題y=-20y-x,y(0)=l時,若用改進歐拉方法的絕對穩(wěn)定域中步長h不超過.0.1。.設S(x)=く] , 一 是[0,2]上的三次樣條函數(shù),[2x3+ax2+bx-\l<x<2那么a=Z，b=丄.二、(10分)用牛頓法求xe'=l的近似值,取初始值X。=0.5,要求誤差(IO-解:利用牛頓法構造遞推公式ム+1=%ームexp(x*)-1_x,-exp(-xjム+1=%ー(x*+l)exp(xj トム+1ホ=1,計算結果如下,%:=0.57102043%2分x,:=0.567155568*2分飛:=0.567143290”分x4:=0.56714329042分|x4-x,|<10-5x*?0.567143：(1分）三、（10分）使用Dolittle三角分解求解線性方程組3-63解:A=1—213-63-1394 1一1101-6/111-214-248-134-101-6/11yy2ソ34-16-52/113-13940-2219“2=-160026/11,X3.-52/11求解得再X2x3四、（10分）設ス=Gauss-Seide!迭代矩陣,解Gs=-(D+L)-'U=-丫（"1）ル］或由巖.〃+1）人33-1-2其中a*±1,給出求解Ax=い的并給出Gauss-Seide!迭代收斂時a的范圍。00、-i’〇a〇、'1 00]僅a0、‘0a〇1000a-67 1 00067=0a2aa1ノ、〇0〇,ci~ _a 1J[〇0〇,3(()a—a1,2a0=b]-ax^)=b2-ax[k+i)=b2—ab]イス?-翊わ導出迭代矩陣=A—uh、+crb[ーガお")+ )\AI-GS\=0スー。20 -a3-aA+a2=ス（儲_2ガ）=。 「（@）=ハ211</2Gauss-Seide!迭代收斂時,p(Gv)=也〇1<11</2い、五、（10分）找到合適的household矩陣”,使得〃ラ=cゝ4ノ、。ノ其中c為某常數(shù)。解:v=（l,2,2,4）r,||v||1=Vl2+22+22+42=5,c=-5w=レw=レーcq=(6,2,2,4尸=62+22+22+42=60有Hv=v-2uutv=-5et〇六、（10分）已知函數(shù)ア（x）在［-1,1］上存在連續(xù)的五階導數(shù),試求一個不超過4次多項式p（x）,使得/?(-1)=-10,p(0)=-5,/?(1)=2和"(-1)=10,^(1)=18。解:方法1首先構造差商表:X-1 -1 0 1 1fix)-10 -10 -52210 5 7 18-5 1 113 51那么,（每個插商1分,總9分）/7(x)=-10+10(x+1)-5(x+1)2+3(x+1)2x+(x+1)2a：U-1)=a：4+4x3+2x-5(1分）方法2待定系數(shù)法//(ス)=々+法+ぴ2+ポ+ex*H^x)=b+2cx+3dx2+4ex3H(-\)=a-b+c-d+e=-lO (1分)”⑼=a=-5(1分)H(l)=a+〃+c+d+e=2(1分)“'(一1)=クー2c+3d—4e=10 (1分) ”(1)=み+2c+3d+4e=(1分)解得。=一5,わ=2,c=0,d=4,e=l(5分)"(力=ザ+4ピ+2スー5(0分)或"(x)=—10+10(x+1)+a(x+1)?+僅x+Ip+c(x+l)4"⑼=-10+10+a+b+c=-5 -^a+b+c=-5”(l)=-10+20+4a+8b+16c=2 fa+2わ+4c=-2”'⑴=10+4a+12b+32c=18 fa+3b+8c=2解得?=-6,6=〇,c=l"(同=-10+10(*+1)-6(ズ+1)2+。+1)4=バ+4ピ+2*-5或先由〃(-1)=-10,〃(0)=-5,"(1)=2構造出拉格朗日插值多項式，,ハin(x-0)(x-Dく(x+D(x-l)丄つ(x+l)(x-0)(-1-0)(-1-1) (0+1X0-1) (1+1)(1-0)ニー5(え?-x)+5(x—-1)+えー+x=x~+6x—5q(x)=〃は)ーム(x),由り(-1)=￠(0)=り⑴=0,且q(x)的次數(shù)為4,所以ワは)="(ス)ーム(x)=(x+l)x(x-l)(Ar+3)=(ギース)(Ar+B)H(x)=q(x)4?し2(x)=(x3-x)(Ar+S)4-x24-6x-5H'(x)=(3x2—l)(Ar4-B)4-(x3—x)A4-2x4-6/T(-1)=2(-A+8)+4=10 8=A+3 H'(l)=2(A+8)+8=18A+B=5解得A=l,3=4 H(x)=(i-x)(>鈾2x+6c-麥x+34r+：七、(10分)已知數(shù)據(jù)表012333514用最小二乘法求二次擬合多項式y(tǒng)=a+Z;x+cx2。解:y=a+bx+cx2 ヤ〇=\(pqxcp,ラx：

（の，例）=4 （の必）=とモ=6（の,。2）=?M）=JX=14（q,。2）=とガ=36（傷,。2）=エガ=98（の,y）=Zx=25（%y）=Zx,y=55（@,サ）=と片y=149,4解方程6J461436,4解方程6J46143614ヽ36哭ノ'25ヽ55ゝ149ノ13/4-13/4

9/4（每個非。系數(shù)1分,共8共8分）_A.u.宀q亠、r 9—13x+13x~ /?ノ1ヽ二階擬合多項式為y= （2分）41ハ、（10分）構造求積公式，/（よ）ム^/（玉）+/（ス2），-1使其代數(shù)精度盡可能高,（1）給出最髙的代數(shù)精度I（2）使用此公式和Simpson求積公式計算jcosxdx,-1對比兩者誤差并分析原因。]解:/（幻=1時/f（x）dx=2=/（X）+/（ム）=2相等-1/（x）=x時jf（x）dx—Jxdx=0=/（^）+f（f）=1r+最高代數(shù)精度為3最高代數(shù)精度為31（2）JcosAz/r=2sinl?1.68294196961.67582365541.6758236554誤差0.00711831422581Simpson公式—[cos（-1）+4cos0+cos（l）]=1.693534870誤差ー〇.010592900兩者代數(shù)精度均為3,但前者計算量與誤差均小于后者。九、（10分）用改進的歐拉方法求解初值問題\y'=xy240）=i取步長ん=0.1,計算y（0.1）,y（0.2）的近似值并與準確值y=——T比較.2-x~解:&=/（怎,”）=ル片，厶=/（%|，%+"）=玉+1（然+"）2，”+1=尤+%+&］公式2分%=1,/=〇,〇=0.1,4=0（1分）た2=0.1（1分），y=1.005,（1分）真實值1.005025126（1分）,誤差〇.00005025126（1分）毛=0.2,kl：=0.1010025000 （!分）,A2:=0.2060857036 （1分）,y2-1.02035441（（1分）真實值1.020408163（1分）,誤差0.000053753北京科技大學2012年《科學與工程計算》

研究生考試試題答案

一、填空題(每空題2分,共20分)x產1.234具有4位有效數(shù)字,，。)=丿［7ふ則，(み)的絕對誤差限大致為0.000268491447..設A是ー個5x10的矩陣,B是ー個10x6的矩陣,C是一個6x5的矩陣,。是ー個5x3的矩陣,根據(jù)矩陣乘法結合率,產=A3CD可按如下公式計算(1)F=［A(BC)］D(2)ド=［(AB)(C。)］則公式qと效率更高,其計算量為咽flops。'10〇、.已知向量x=(2,3,4)r,存在household矩陣H使得小=(2,5,0)7",則H=00.60.8、〇0.8-0.6ノnion....I 1022A= ,則At=J10204,co〃城A)8=——=104.04.1 ”3 *100.已知由數(shù)據(jù)(0,0),(1,2)和(2,y)三點構造出的二次插值多項式中X2的系數(shù)為1,則y=6〇注:7V(x)=2x+x(x-1)=x2+xy=N(2)=6.按下列數(shù)據(jù)表構造適合的三次樣條插值函數(shù)5(x)?則有S'(0)=-5X-101y-113y1428.利用積分肚いM4計算ln4時,要求誤差不超過。.5xい若采用復化梯形公式，至少應取咽個節(jié)點,若采用復化Simpson公式,至少應取項個節(jié)點就要使誤差超過0.5x1。＜二、(10分)用牛頓法求ア(x)=ズー2x2+x-7=0在區(qū)間［2,3］內的根,取初始值七=2.5,要求誤差＜10-5〇解:/(X)=x3—2x2+x—7f(x)=3x2—4x+lX；- +Xf.—7'3X-4ム+12ム(ム—1)+7

(3x*-l)(x*-1)（2分）計算過程%,=2.641025641天=2.631150582だ=2.631099299ム=2.631099298%*?2.631099298每步兩分三、（10分）使用Doolittle三角分解求解線性方程組3芭ー*2+4七=7

一司+2x,-2&=—1

2X]—3x2—2x3=0100ド-14-1/31〇。5/3-2/32/37/5I00-28/53-14解:A=-12-22-3-210〇ー一7-7求解-1/310必二-1得%二-4/32/37/51%0為-14/5345/3-2/3-28/5四、（16分）分別用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程組"2032ヽ'24ヽ215-3x=3018丿ゝ12ノ」川）—24-3巖）一2x*王20解:Jacobi迭代格式,皿)30-2舉+3ザ~ 201づ ア（幻ー”）（4+1）_丄1）人1 人2[3 8精確至2位有效數(shù)。初始向量均?。?,1,1ゾ石=(0.950,2.067,1.25)x2=(0.765,2.123,1.123)x,=(0.769,2.123,1.138)x,=(0.767,2.125,1.139)(0.77,2.13,1.139)24-3靖22?Seideli迭Seideli迭代格式.2030-2ザD+3染%=(0.950,2.073,1.122)毛=(0.777,2.121,1.138) x,=(0.768,2.125,1.138)x,=(0.767,2.125,1.138)X=(0.77,2.12,1.14)五、(10分)試求一個不超過4次多項式p(x),使得p(0=)'p0,=(域A'Ip,=(1解: 設p(x)=p(0)+pr(0)x+ax2+bx3+cx4=x+ax2+bxi+cx4,〃’(x)=1+2ax+3bx2+4cx3p(l)=l+tz+Z?+c=1 a=-1.ブ(1)=1+2。+3み+4c=2 解得シ=2p'(2)=l+4a+12わ+32c=3 c=-0.p(x)=x—1.5x2+2x3—0.5x4七、(12分)用最小二乘法求一個形如y=a+/?x+“2的經驗公式,使與下列數(shù)據(jù)相擬合X-3-1024Y2625.9601552.64解:依題意設例（X）=l明（X）=X,0（X）=X2(%,％)=5 (/用)=2七=2 3,◎=(%)電ザ=](件㈤=とガM44(@,。2)=とザ=354(/,y)=￡y=119.6

（q,y）=ミ%ノ=136.6（份,y）=とイy=h62.2（每個非〇系數(shù)1分,共8分）’5 2解方程230ゝ304444’5 2解方程230ゝ304444b354丿（cノ'119.8ヽ137.1得ゝ1164.7ノマヽ

b，8.8ヽ0.3<2.5,方程1分,每個解1二階擬合多項式為二階擬合多項式為y=8.8+O.3x+2.5/ハ、（12分）構造求積公式試確定下面求積公式￡f（x）dx?C[f（x0）+/（XJ+/（x2）],使其代數(shù)精度盡可能髙。⑴給出,使其代數(shù)精度盡可能髙。⑴給出最高的代數(shù)精度（2）使用此公式計算積分Jk-dx，給出其誤差。解:公式若有3次代數(shù)精度,需有C(1+1+1)=J給出其誤差。解:公式若有3次代數(shù)精度,需有C(1+1+1)=J，dx=2C(x0+x,+x2)=Jxdx=0' 2(4分)C(Xq+x；+x；)=jx2dx=—C(Xy+x)3+x2)=JXsdx=02 /?解得:C=~,x0=0,Xj= ,x2= (解2分)故求積公式為[ノ（幻厶=|[/（〇）+f冷+當/(%)=ザ/(x4)=[x4dx=—^/2(x4)=—5 " 3為3 (1分)（1分）最高代數(shù)精度3I2(1

(1Z2（cosx）=|Z2（cosx）=|也］211H 7H 7園2,14~9（2分）rr］4誤差1"ーと20.015242574（1分）九、(12分)九、(12分)用改進的歐拉方法求解初值問題y=スT2ゴ‘。'x",取步長〃=0.25,y（0）=0計算y(0.25),y(0.5)的近似值并與準確值y(x)=x/(l+f)比較.解:K=f（xn,-2yn,k2=/（xn+1,yn+kth）= —2（y“+貼），1+X" l+±+iy“+i=y,+軸+ん］公式2分%=〇,毛=0,辦=0.25,4=1（1分）l<2:=0.8161764706 （1分），N”=0.2270220582（1分）真實值〇.2352941176。分）,誤差〇.0082720587（1分）x,:=0.50x2=0.2,kl-0.8380984401 （1分），k2:=0.4188540118 （1分）,y2-0.3841411154（1分）真實值0.4（1分）,誤差0.01585588846。分）北京科技大學2013年《科學與工程計算》

研究生考試試題答案ー、填空題(每空題2分,共20分).南北朝科學家祖沖之計算的圓周率的密率為単,此近似值具有ユー位有效數(shù)字.解:x=——=3.1415929203539823008849557522124,具有7位有效數(shù)字。.為了提高數(shù)值計算精度,應將表達式“20001一如999改寫為, ~J-.720001+V19999+0.6x2+x3=1.寫出求解方程組<ー。/玉+X2+CSX,=1的Gauss-Seide!迭代公式—0.2X1+0.7x7+X3=1xド!'〇.-5 色?3)甘。［5,< x**+=1+〇/ス丄I>陰.5丄,1.電〇!.1,迭代矩陣的行范數(shù)為0.82,石?+工)1+〇百ッ，4./(-1)=-1,/(2)=2,/(3)=1,則過這三點的二次插值多項式中ズ的系數(shù)為-0.5t牛頓插值多項式為ー^x-4./(-1)=-1,/(2)=2,/(3)=1,則過這三點的二次插值多項式中ズ的系數(shù)為-0.5t牛頓插值多項式為ー^x-~1—x+1〇答案:ム(x)=x+a(x+l)(x-2)ム(3)=3+4a=lnaニー; I、3厶(x)=x—~(x+l)(x—2)=—x~+5x+15.設函數(shù)以ブ=ピ+イゼ+な+$,若=1,那么p[2,3j]=3_(,解:p1l,2,3,打=1=或,3"]-ML2,“—16.用二分法求方程y(x)=d+x-1=0在區(qū)間[0,1]內的根,進行兩步后根的所在區(qū)間為 10.5,0.7517.數(shù)值積分公式Jf[x}dx?-[/(-l)+8/(0)+/'(l)]的代數(shù)精度為2〇1 98.已知如下分段函數(shù)為三次樣條,x<-1S(x)=〈2x<-1S(x)=〈2+2.x+Bx~H—ピ2-l<x<0—PAjc22+2.x+Cx~—x^ 0<x<1則A=1/2 ,B=3/2 ,C=3/2二、（10分）方程x3-x2-l=0在區(qū)間ユ4,1.6］有根x*,首先討論迭代格式（1）Xk+iXk+i點⑵Xメ折⑶x—一齬的收斂性;若收斂則取迭代格式計算2步,取初始值f=1.5解:⑴0(x)=(%—l)T2,“(め=_1/2(x_1)-W2,|^'(x)|>^'(1.6)=1.076>1,Vxe[1.4,1.6]所以,迭代x』=5-1)2不收斂;。(幻=(x2+1嚴,?！?ヵ=2x/3(x2+びム,グ(%)=(6-2x2)/27(x2+1)5/3>0,迭代x?m=（x：+l）3收斂;|"(x)區(qū)迭代x?m=（x：+l）3收斂;0(x)=x-ダ(x)=('Iー叱一"3x-2x在零點處グ(x)=。,所以其局部收斂22 , 17441xn=1.5,X,=—?1.46666667,x,= ?1.465572391° 115 -11880三、(10分)使用Dolittle三角分解求解線性方程組IX1+2x2-2.xデ7-Xj—3x2+4x扌xアー10—2,X-,+7Xj+7x4=—4x,+2x2-1lx3-14x4=21解:-1

0解:1四、（10分）用SOR方法解下列方程組（取松馳因子3=1.2）,要求ド?旬一x”>,<1（）-2.2x}+x2=1

%1—4x2=5解:SOR方法Xドリ=X，+啟（ム_即づわ_）?iiY（4+1）_Y（氏）4.つ〃つc丫伏+1） c丫（わ、%-X2+ （り2ー。2內 ー。22七）。2クdy?=2,ciy2=LciyJ=1,d^j=-11、4,b、=1,b>=5,co——1.2故ザ旬=-0.2/)—0.6Hれ+0.6,巖1=-0.2建)+0.3ザ口一1.5迭代初值エ°>=K°>=ok珠,ズわ00.0000000.00000010.6000000-1.32000021.2720000-0.85440030.858240-1.07164841.071341-0.96426850.964293-1.01785961.017857-0.99107170.991071-0.99776881.004464-0.99776890.997768-1.001116101.001116-0.999442卜⑹_”)IL=0000052<10",芯"⑹=1.000017ろ=す6>=-0.999991五、（10分）a，B為n維向量,aナ0,但|悶|,=|網(wǎng)?，，證明存在合適的household矩陣H,使得〃a=萬。解:

令a）=~~H=E-loo'\\a-p\\H（a）=Ha={^E-2（ocor^a=a-2co（ora\\a-p\\\\a-p\\a'a-p'

IIスー而.a-paT-PT=a-2\\a-p\\\\a-p\\a'a-p'

IIスー而Ila-/?ll2=（a-p^a-J3）=（a,a）-2（a/）+（ガ,ガ）=2（（a,a）一（a,尸））=2^aaT-pTH（a）=a-（a一夕）=p.六、（10分）給出概率積分f（x）=-^=\'e~x'dx的數(shù)據(jù)表:試用二次插值計算ア（0472.X0.460.470.480.49f（x）0.48465550.49375420.50274980.5116683解:取插值節(jié)點:Xo=0-46Xi=047 x2=0.482L2（x）=Iyル（x）i=0=丫"一用）（イ一42）I）,（XX0）（XF）Iレ.（ス一刈）」ー制）.”（和一用）（刈ー*2）.（用—尤0）（內―*2）.1（x2-xq）（x2-x\）L,（0.472）=0.4955616/（0.472）=L,（0.472）=0.4955616

七、（10分）用最小二乘法求一個形如yna+Zu2的經驗公式,使與下列數(shù)據(jù)相擬合X1925313844Y19.032.349.073.397.8解:依題意用(り=1,q(ス)=ゼ(外,％)=53用)=5327(す陽)=7277699(%,#=271.4 (%?=369321.5法方程為5。+53g 271.4法方程為,532。+727^6=99 36解得“=0.972578?5=69, 0.050故擬合曲線為y=0.9725786569+0.05003512422x2ハ、（10分）分別用復合梯形公式及復合Simpson公式計算f2Xf 厶,（均取6等分區(qū)間）.』ln（x+l）注:各步驟保留5位有效數(shù)字即可。解:(1)用復合梯形公式。=1,わ=2,〃=ー故^=6f(x)= 6 ln(x+l)TOC\o"1-5"\h\z7 8 9/(1)=1.4427,/(-)=1.5089,/(-)=1.5736,/(-)=1.6370,6 6 6fA=1.6992J(ソ)=1.7604,/(2)=1.82056 〇1*2X 1 $J,—~—[/(?)+fS)+2Z人怎)]=1.6351167ln(x+l) 12 Zi(2)用復合Simpson公式:f；TT2-rムイ"⑴+4兄)+2心)+4バ)+2脛)+4痔+f(2)]?1.6344Jlln(x+l) 18 6 6 6 6 6九、(10分)用改進的歐拉方法求解初值問題u(t)=0.09〃。一〃/20)-0.45"レ "(0)=1.6v\t)=0.06レ(1ーU/15)—0.00\uv v(0)=1.2

取t的步長〃=1,計算“(1),レ(1),“(2),レ(2)的近似值f(u,v)=0.09u(l-u/20)-0.45〃リg(“,レ)=0.06v(l-v/15)-0.00\uvスち,セ)ヽ

、統(tǒng)丿員(以，匕)ノ/(““+刀ム],匕,+他2)ヽ

g(u“+hk]],V"スち,セ)ヽ

、統(tǒng)丿員(以，匕)ノUn+l第一步:H/:=-0.731520000ZJ2:=0.0643200000メ2八=-0.419347443k22:=0.0683671431%:=1.02456627i匕:=1.26634357：也*U7--0.496366661H2-0.0682686572)127:=-0.270941261第二步: ， )k22-0.0722470328ム:=0.640912316:匕:=1.33660141,北京科技大學2014年《計算方法》ー、填空題（每空題2分,共20分）1.數(shù)值%,=-3.14,工2=0。1.乂=0.10均為四舍五入得到,那么內+も+乂的相對誤差限約為0.00495注: 相對誤差限約為0.00495注: 0.005x3

-3.14+0.01+0.10?0.495%2.設A是ー個6X3的矩陣,8是ー個3X8的矩陣,C是一個8X2的矩陣,D是一個2X7的矩陣,根據(jù)矩陣乘法結合率,尸=他8可按如下公式計算(1)/=[A(8C)]0 (2)F=[(AB)(CD)]其中計算量較小的是公式（1）,其計算量為168flods一543-.設A=128,則14=14,||4=13^481.使用弦截法求解方程x+cosx=2的迭代格式為v一（ム+cosムー2）（ムームづ）xi+lームxk—+COSX&—COSXj.已知函數(shù)ア（-1）=一5,/（0）=0,/⑴=7,用此函數(shù)表作拉格朗日插值多項式，進而求出X=1處的導數(shù)值r⑴的近似值為其。注:厶（x）=6x+f,厶（x）=6+2x,ム⑴=8.已知/（め=丄ザ+丄ボ+丄メ+丄,那么/［〇/,2,3］=3〇2 3 4 5-10-2ヽ-10-5變換-10-2ヽ-10-5變換得"x=-5 14ノ可使用household矩陣”="5——102_'4102ヽ「11-10-2ヽ102551-10-10-530ゝ251ノ-15「2-514丿8.設8.設S(x)ユx+ax^+fax+1

x3+4x+l" 是ー1,1］上的三次樣條函數(shù),那么a=_0_0<x<1二、（10分）用矩陣的直接三角分解法求解線性方程組解:1-12-1342-471-12（2分）131-125-I30得ス=丄556.111126ヽ2.888980.8889（2分）三、（10分）設有方程組a一13當參數(shù)。滿足什么條件時,雅可比迭代法對任意的初始向量都收斂解:Jacobi迭代法的迭代矩陣為當=同一因=譜半徑。（為）=013aa丄02aa320aa（3分）4=分，（3分）

a'<1（2分）得時>2時雅可比迭代法對任意的初始向量都收斂。（2分）四、（20分）已知連續(xù)函數(shù)y=/（x）的如下數(shù)據(jù)一1012-1.1-0.50.91.9構造其三階Newton插值多項式N(x),再使用牛頓法求解方程N(x)=0在區(qū)間(0,1)內根的近似解。(取%=0.5,迭代2步,結果僅需精確到小數(shù)點后4位)解:第一步首先構造差商表:(三個1階差商各1分,2階差商、3階差商各2分,全對9分)XfM-1-1.10?0.50.610.91.40.421.91.0?0.2?0.2得到牛頓插值多項式(3分)N(x)=-l.l+0.6(x+l)+0.4(x+l)x-0.2(x+l)Xx-1)=-0.5+1.2尤+0.4x2-0.2x3第二步:k=Xk-~°5:個+。ザー〇なリ分)取初始值%=o.1?2+0.8ムー0?6ス1有X=0.3793103448/2=0.3780343843(每步2分)/(x)=0的解約為0.378034(1分)五、(10分)已知ア(x)有如下的數(shù)據(jù)X,1232412f(西)：■；試寫出滿足插值條件P(x,)=f(xJ以及P(2)=尸(2)的插值多項式尸(x),并寫出誤差的表達形式。解:待定系數(shù)法1：P(x)=a+bx+cx2+dxi尸(l)=〃+b+c+d=2 尸(2)=a+2b+4c+8d=4尸(3)=〃+3み+9c+27d=12尸(3)=b+4c+l2d=3(每個方程1分,共4分)

解得。=-6,シ=15.c=-9,d=2（每個系數(shù)1分,共4分）「(xQZx3—9ゼ+15x-6(I分)R(x)=二呉（一）……R(x)=二呉（一）……(1分)待定系數(shù)法2：P(x)=4+3(x-2)+c(x-2)2+d(x-2)3 (2分)尸⑴=4-3+c-d=2(1分)尸(3)=4+3+c+d=12(1分)解得c=3,d=2(每個系數(shù)1分,共2分)P(x)=4+3(x-2)+3(x-2)2+2(x-2)3=2X3-9x2+15x-6(2分)R(x)=R(x)=二呉(1)(x-2)2(x-3)(2分)差商法:（每個差商各1分,全對6分XfM122422431312852P(x)=2+2(x-1)+(x-1)(x-2)4-2(x-1)(x-2)3=2x3-9x2+15x-6(2分)7?(x)=— (x—l)(x-2)~(x—3)(2分)六、（10分）已知一組實驗數(shù)據(jù),求它的二次擬合多項式。X，1345678910Z1054211234計算中間數(shù)值及結果保留5位小數(shù)。

解:設擬合多項式為y=。〇+。/+。2ギ于是％=13.459666=-3.60531%=026757.（2分,錯ー個得1分,錯2個以上不得分）則由條件得到正規(guī)方程組9 53 381丫則由條件得到正規(guī)方程組9 53 381丫4ヽ53381 3017qゝ381301725317I七ノ'32ヽ147 （每個系數(shù)1分,共8分）J02ラ所以所求的擬合多項式為y=13.45966-3.6053k+0.2675Tv2漏掉x=!點后，852380ヽ70ヽ'22ヽ則由條件得到正規(guī)方程組5238030164=137（每個系數(shù)1分,共8分）ゝ381301625316ノ丿ゝ1015,于是4=14.25,4=-3.85714,%=0.28571.（2分,錯ー個得1分,錯2個以上不得分）所以所求的擬合多項式為ヅ=14.25-3.85714x+0.28571f七、（10分）用改進的歐拉方法求解初值問題y=x'+x-yy=x'+x-y：y(0)=0(OWxWO.3)取步長ん=0.1,計算y（0.5）,并與準確值ギ=一0ーゝ+デーx+1比較.計算過程中數(shù)值保留5位小數(shù)。解:建立改進歐拉的迭代公式ソ用=笫+0。5ガ（怎2+x“一%）+xn+l2+xn+I-（yn+0.1（x?2+xn-yn））］=+0.05x(l.9x“+2.lx“-1.9y“+0.11) n=0,1,2,3,4 (1分)迭代計算如下:演/M怎）誤差0.10.005500.00516-0.0034（3分）0.20.021930.02127-0.0066(3分)0.30.050150.04918-0.0097(3分)ハ、（10分）設有積分/=卜2ビ厶01）取7個等距節(jié)點（包括端點0和1）,列出被積函數(shù)在這些節(jié)點上的函數(shù)值表（小數(shù)點后保留6位）；2）用復化simpson公式求該積分的近似值,并由截斷誤差公式估計誤差大小。解:1）數(shù)值5分,除兩端點外其他各1分X01/61/31/22/35/61y00.0328160.1550680.4121800.8656601.5979002.718282

2）&中"。）+呢）+2順+4嗎）+2順+4靜”）＞0.718407（公式2分,結果1分）誤差r=ーセ［!廣）?=上一ピ（12+8介グ）180ガ 'ノ233280v '-1233280e(12+8+l)</?<-12-1233280e(12+8+l)</?<-12233280?-0.00005144032922-0.0002447012962<R<-0.00005144032922 (誤差2分)注:實際誤差=e-2-0.718407二一0.000125172北京科技大學2015年《科學與工程計算》

研究生考試試題答案暨評分標準

一、填空題（每小題2分,共20分）.*R3.1415為圓周率n的近似值具有丄位有效數(shù)字,”+2X作為W+2だ的近似值,其絕對誤差限大致為ー0.00003.（各!分,共2分）.為了使計算y=4+2+亠ラ+」二的乘除法次數(shù)盡量地少,應將該X-1（x-1）2（X-1）3表達式改寫為r=-^—,y=（（r+2）r+3レ+4。 （2分）X—1.設A是ー個3x10的矩陣,8是ー個10x5的矩陣,C是一個5x7的矩陣,O是ー個7x2的矩陣,根據(jù)矩陣乘法結合率，/=ABCル可按如下公式計算（いF=[A（BC）]D（2）ド則公式（2）效率更高,其計算量為320flops。（各1分,共2分）10*5*7+3*10*7+3*7*2=502 3*10*5+5*7*2+3*5*2=320‘7 58ヽ.已知矩陣A=-246,則!^=14,||A||z=20o（各1分,共2分）ゝ4-20丿 00.已知函數(shù)f⑴=2,f⑵=3,f⑷=6,用此函數(shù)表作牛頓插值多項式，那么插值多項式X2的系數(shù)是丄,一次項X的系數(shù)為;。（各1分,共2分）注:N(x)=x+1+C(x-1)(x-2)ル(4)=5-66="0.8 0.6〇、.已知向量ス=（4,3,2尸，存在household矩陣H使得/irnSO：）7"，則H=0.6-0.80、〇 0 1ノ(2分)’4ヽ3ゝ2ノ’5ヽ02「1ヽ

3"0.80)=0.600.6〇、-0.800 17.按下列數(shù)據(jù)表構造適合的三次樣條插值函數(shù)S（x）,,則有S'（0）=-3（2分）X-101y231y'45注:m關系式丄x4+2見+丄x5=3

2 1 213-2 11-3J0+120+1得到?=-38.利用積分J丄ム=ln3計算,采用復化Simpson公式,至少應取殂等分節(jié)點就可使誤差不超過。5x10ゝ2分）X24“c”(3-D5ハ「4 25600000—,M=24, ；- <0.5x10rガ> ,nx54 180ガ 4 354.049,求解初值問題セ=-40（バ+ダ）,ア（0）=1時,若用改進歐拉方法的絕對穩(wěn)定域中步長h不超過.0.05,4級4階RK方法的絕對穩(wěn)定域中步長h不超過.0.07（精確到0.01水平）.10.求解方程組ド"+釵2=1的髙斯ー塞德爾迭代格式為Xj4-4x2=0f 1-3”I— 4 3一，,該迭代格式的迭代矩陣的譜半徑。=ユ。（各1分洪2--Xド3ザ-1 3L- 4 16分）二、（10分）用牛頓法求/（x）=ボー3ピ+4イ-5=0在區(qū)間［2,3］內的根,取初始值.q=2.5,要求誤差＜10-5。解:/（x）=x3-3x2+4x-5 /（尤）=3づー6x+4迭代公式X』ビ二雲(yún)+,セ[5=2.マニ3415 （2分）3x1—6ム+4 3x1—6ム+4計算過程へ:=2.25806451fx2:=2.214705331%3:=2.21341278^，，%,:=2.213411663%?2.213411663每步兩分（精確到萬分位即可）x}+2ム+3芻=14三、（10分）利用矩陣的Dolittle丄U分解法解方程組72%+5工2+5芻=27。3ス1+6x2+lx3=36ロy123ヽ答案:A=21 1-1 （6分,L和U各3分,錯一個數(shù)字扣一分,扣完ゝ301ハ ー2ノ為止）’1’1解21ゝ30分）15xt+x2+2xj=22四、（15分）用Jacobi迭代解線性方程組12王+4ス2+七=18,［尤I+2x,+4x3=11給出迭代格式與迭代矩陣,說明上述迭代是否收斂,并使用收斂迭代公式計算4步,每步結果保留5位小數(shù)。取初始值メ°）=（1,1,1ド。解:迭代格式迭代矩陣x1（i+,）=1（22-x**）-2x；t,）/0]_"5ュヽ"5x'd=：（18一2ギー（3分）B廣丄-20丄（2分）パ+り=；（11ーザ）-2xア）2ゝマ,120丿

原系數(shù)矩陣為嚴格對角占優(yōu)矩陣（或!B』=0.75<1或怛ル=0.75<1）,迭代收斂。（2分）K焼Y（k）人3011113.823.75222.852.1252.8533.653.2343751.812543.0281252.42968751.03515625迭代每步2分,錯ー個數(shù)字扣一分,錯兩個或三個扣2分五、（10分）試求一個不超過4次多項式p（x）,使得p（隹）'p"（同）’與,（Eル。解:方法1:待定系數(shù)法1設p（x）=〃（0）+〃’（〇）x+加+加+cx4=1+2x-hax2+加+cx4（2分）〃くス）=2+2奴+3加+4-（1分）〃⑴=l+2+〃+b+c=3〃‘⑴=2+2〃+3〃+4c=4 方程3分,ー個一分p（2）=l+8+4a+80+16c=5a=-4解得6=6 解3分,ー個一分c=-2p（x）=1+2x-4x2+6x3—2x4（l分）方法2:待定系數(shù)法2滿足前4項的三次多項式為（Hermite插值多項式公式）“3は）=x-0VX-]]〇ー1丿"1丿x-lYx-O\1-0“3は）=x-0VX-]]〇ー1丿"1丿x-lYx-O\1-0丿11-0）+2（x-0）x—10-1+4x-oy=l+2x-2x2+2x3（6分）

則p(x)=H.(x)+ax2(x-1)2=1+2x-2x2+2X3+ax2(x-1)2(2分)由“⑵=13+4a=5 知a=-2 (1分)HLp(x)=1+2x—2x2+2x"，-2x2(x-1)2=1+2x—4x2+6x3-2x4(I分)方法3:基函數(shù)法p(x)=a(x)+20(x)+3c(x)+4d(x)+5e(x)其中基函數(shù)要求為a(0)=la/(0)=0a(l)=0a'⑴=0a(2)=0b(0)=0b'(0)=lb(l)=0b”)=0b(2)=0c(0)=0c'(0)=0c(l)=lc'⑴=0c(2)=0d(0)=0d，(0)=0d(l)=0d”)=ld(2)=0e(0)=0e'(0)=0e(l)=0e”)=0e(2)=l可得至(Ja(x)=-(g+?x](x-l)2(x-2), b(x>6 (x-11-4每個基函數(shù)2分.所以“(力=」丄+ビス!(x-l)2(x-2)—x(x-l)2(x—2)+3x2(x-2)2-4x2(x-1)(x-2)+x2(x-1)2=1+2x-4x2+6x3-2x4方法4：newton插值XYー階差商ー階差商二階差商四階差商010121320

13422252-2-2-2差商表ー階差商ー個0.5分,其他差商各1分所以p(x)=1+2x+2a2(x-1)-2x2(x-1)-=1+2x-4x2+6x3-2x4(2分)六、（10分）已知看-10123/（七）3261834求ア@）的二次擬合曲線〃2（力,并用此多項式估計f'（1）的近似值。解:〃23=%+平+02ゼ，5法方程為5ゝ155，5法方程為5ゝ1551535141（4分,每個系數(shù)0.5分）1387ノ解得〇〇=ヽ,4=\,。2=3（3分,各1分）P2（x）=3+3+3/ （2分） 生‘（ス）=*+6スハ1以（）、+號=（1分）七、（15分）請用復合Simpson公式計算J：/（xMx的近似值§2、S&和鼠,并使用外推法外推二次,得到更精確的近似值.已知部分函數(shù)值如下X11.1251.251.3751.51.6251.751.8752.00f(X2.7182.1501.7551.4771.2841.1511.0641.0151)33190057計算結果保留五位有效數(shù)字解:S2=^^[/(1)+4/(1.5)+/(2)]=-(2.7183+4x1.2840+1)=1.475716667(36 6分)s,咱ハ1）+”（1.25）+2八1.5）+"（1.75）+〃1）]=1.463725（3分）&=如（D+4順+2順+ザ償+2同+4順）+2順+4痣）+”1）=1.4627125（3分）§2”的誤差主項為0（ガ）,所以外推公式為G=54+2廣=1.462925556（2分）C.=SX+鳥二邑=1.462645（2分） E=G+C*2=1.4626405454 8 15 4 63（2分）八、（10分）用二步法%+1=5+""T+力,然）+（1-7）/（レ,”_1）]求解常微分方程的初值問題F（X）ラ‘（べ’3）時,如何選擇參數(shù)a,ガ,ア使方法.yM=y0階數(shù)盡可能高,并求此時局部截斷誤差主項和確定該方法的階。解:R=y（九）一"+1=y（z）+例’（ム）+マザ（當）+ズゾ（ム）+。（ガ）-"（ム）ーとル（ム）一如’（乙）+ラメ（ル）-キゾ（爲）+。（ガ））ー妙ブ（ム）ーん（1ーア）卜（ム）ーカメ（乙）+ラゾ（ム）+。（パ））=（1-a一夕）y（七）+〃（1+/-リy（x.）+（l一夕+2-2ア）5y”（x"）+（1+夕+3-3ア）うゾ（x“）+o（ガ）泰勒展開y[n+l]的2分,y[n-l]2分,的1分令1一a一4=1+萬ー1=1ーガ+2—2ア=0得a=l,0=O,y=|（3分,每個系數(shù)1分）R=?ヅは）+。（ガ）,主項:キキゾ（x“），（1分）該方法是二階的。（1分）北京科技大學2016年《計算方法》ー、填空題(每小題2分,共20分)1.為了減少運算次數(shù),應將表達式バ+17ザ+18ギー14Yー13ズー15改寫為(.-17).8.14.13.15..用二分法求方程y(x)=2x3-5x-1=0在區(qū)間[1,3]內的根,進行一步后根所在區(qū)間為M進行二步后根所在區(qū)間為[り.2].設A是一個5X2的矩陣,8是ー個2X3的矩陣,C是ー個3X6的矩陣,D是ー個6X4的矩陣,根據(jù)矩陣乘法結合率,ド=ABCO可按如下公式計算(1)/=[A(BC)]O (2)F=[(AB)(CO)]其中計算量較小的是公式(2),其計算量為162floDs一52r.設A=-142,則⑷當，Mいユ2-36f'M5,求，(x)=0有m重根時,牛頓迭代公式中的迭代格式應為f'M.當x=-l,0,l時,對應的函數(shù)值分別為ル1)=0,f(0)=2,f(l)=10,則](x)的拉格朗日插值多項式是^^)j2-5x^^!0.設プ(x)=5x3-x2+3,求差商，[0,1]=ユハ7,6,3,5]=5〇ヽ] (~\2-21 ド.向量x=-2可使用household矩陣”=丄2 2 1變換得“x=0.-212-2,H=1-22丿-88-8-2,H=1-22丿-88-84-48-44~222-I2、ー22-221.若函數(shù)x3, 0<x<1S(x)ユ］,3 ,2, , c—(x—1)+iz(x—1)~+/?(x—1)+1,1<xW3.2為ー個三次樣條函數(shù),則。=1.5,b=2.‘-31 0、.應用圓盤定理說出矩陣A=1 2-1的特征值所在區(qū)域為 し-29ノ（10分）求解線性方程組Ar=b,其中112A=144（10分）求解線性方程組Ar=b,其中112A=144035⑴求矩陣A的Doolittle分解,即分解成A=LU的形式,其中ム為單位下三角矩陣,U10/3得x=-16/3(2分)3三、（12分）設有方程組使用Gauss-Seidel使用Gauss-Seidel迭代法求解此方程,給出迭代格式和迭代矩陣,并采用初始值Xo=[O,O,O]’迭代計算2步（1）_11ー八3玉一4一44七解:Gauss-Seidel迭代格式〈ざ叫=6-x；_ニ史=”ーユぐ）（3分）4 1616メ1）_2-2スド尸）.69,11“⑻5 80803，100——4迭代矩陣為Bg=300——16（3分）00—1 80モ=[0,0,0]'%111369'一4'16'80.r=[2.75,0.8125,-0.8625]' （3分）=[2.9656625,0.97421875,-0.98109375],9491247_6279320‘1280’6400（3分）四、（10分）已知方程ギーピー1=。在ホ=1.5附近有根,使用牛頓迭代法求解此方程,精確到匕+1_/|<0.005.解:1=ムーをご已分）取初始值ホ=i.W22,“ハI7411—x=——?1.46667,あ= *1.46557，%,15 -11880431569078279129447158138201.46557,（每步2分）/（x）=0的解約為1.46557（1分）注:實際解 ,辦（116+12v93） 2 1大約數(shù)值為五、（12分）設函數(shù)/（x）在區(qū)間［0,3］上具有四階連續(xù)導數(shù),試用埃爾米特插值法求ー個次數(shù)不高于3的多項式P3（x）,使其滿足如下數(shù)據(jù)表值,并給出截斷誤差估計公式。（10分）已知門幻有如下的數(shù)據(jù)012122/（七）3試寫出滿足插值條件p5）=八セ）以及p?）=r⑴的插值多項式「"）,并寫出誤差的表達形式。解:待定系數(shù)法1：P（x）=a+bx+cx2+dx3P(0)=a=\ P(2)=a+b+c+d=2尸⑶=a+2b+4c+8d=2P'(l)=b+2c+3d=3(每個方程1分,共4分)解得。=1,6=-，,c=7,d=-3（每個系數(shù)1分,共4分）TOC\o"1-5"\h\z5 7Pは)=ーーx3+lx2ーー+1(2分)2 27?(x)=—~I)2(x-2)(2分)待定系數(shù)法2：P(x)=2+3(x-1)+c(x-1)2+d(x-1)3 (3分)P⑴=2-3+c-d=l(1分)P⑵=2+3+c+d=2(1分)解得c=-1,ムー*(每個系數(shù)1分,共2分)2 21 5 5 7尸(x)=2+3(x—l)——(I)2——(x-1)3=——ピ+7ピー+1(3分)2 2 2 2R(x)=了（不）（元—l）（x—2）2（スー3）（2分）差商法:（每個差商各1分,全對6R(x)=/W

011211232220?3-2.5尸(x)=14-jc+2x(x-1)--x(x-l)2=--x3+7x2--+1(4分)R(x)=———l)(x-2)-(x—3)(2分)方法4:基函數(shù)法(此類法計算量較大,每個基函數(shù)3分)“3(x)=a(x)+2Z?(x)+2c(x)+3d(x)滿足a(O)=1,み(0)=0,c(0)=0,J(0)=0a(l)=0,Z?(l)=l,c(l)=0,J(l)=0a(2)=0,Z?(2)=0,c(2)=l,J(2)=0a'⑴=0,げ(l)=0,c'(l)=0,d‘⑴=1可求得。(x)=-I(x-1)2(x-2) /?(x)=-x(x-2)c(x)=-x(x-l)~ d(x)=—x(x—l)(x-2)所以H3(x)=a(x)+2》(x)+2c(x)+3d(x)P(x)=——x3+7x2--+1夕（光）=夕（光）=ビ昌x—1)(x-2)2(x—3)(2分)六、（10分）已知實驗數(shù)據(jù)如下X-1012V121-2用最小二乘法求形如y=a+6x+cx2的經驗公式。（10分）解:設擬合多項式為y=a+bx+cx2'42則由條件得到正規(guī)方程'42則由條件得到正規(guī)方程組26ゝ688b=-4（每個系數(shù)1分,共8分）解得。=2力=0,c=-l.（2分,錯ー個得1分,錯2個以上不得分）所以所求的擬合多項式為y=2-f七、（16分）用改進的歐拉方法求解初值問題yy=-y+2x2y（0）=〇（0<x<0.3）取步長ん=0.1,計算y（0.3）的近似值,計算過程中數(shù)值保留5位小數(shù)。匕=/（%，%）=-%+2ガ解:建立改進歐拉的迭代公式ス2=/（ム+1,%+桃）=一°-9%一0.2ボ+2x。 （4分）y*+i=%+5（ム+た2）=0.905%+0.09/+o.lxt+1迭代計算如下:kl:=0.k2:=0.02 %:=0.00100000000（（各2分）kl1=0.01900000000k2:=0.07710000000為:=0.00580500000（（各2分）kl:=0.07419500000k2:=0.1667755000 %:=0.0178535250（（各1分）八、（10分）利用復化Simpson公式S”計算定積分/=￡sinxdx若使|/-S“|＜1ダ,問應取〃為多少?并求此近似值。^121?0.215

sinl解由于I（sinx）"）冃sinx區(qū)sinl,（1^121?0.215

sinl要7?,,（/）4嘴ガ＜10-5（1分）,僅要〃＜勺所以,n=—>2.3249,（2分）2h故,應取n=3。（1分）即對[0,1]區(qū)間做6等分:I?—[sin0+4sin—+2sin—+4sin—+2sin—+4sin—+sin1]*0.4596997（5分）18 6 3 2 3 6注:實際值/=1一cosla0.459698

北京科技大學2017年《計算方法》ー、填空題(每小題2分,共20分)1,已知。=1.2345,。=0.987是經過四舍五入后得到的近似值,則a+b至少有ユ位有效數(shù)字,axカ至少有3位有效數(shù)字。e(a+l>)=e[aj+e[d)=0.00005+0.0005=0.00055<0.005ど(a+わ)aん:(.)+慫(の=O.(XX)6666O<O.(X)5.用二分法求方程イ(ス)=ザー2在區(qū)間[1,2]內的根,進行一步后根所在區(qū)間為口,1.5],進行三步后根所在區(qū)間為[1.125』.25].。.設A是一個5X3的矩陣,8是ー個3X6的矩陣,C是ー個6X7的矩陣,D是ー個7X2的矩陣,根據(jù)矩陣乘法結合率,ド= 可按如下公式計算(1)八[4旳]。 (2)尸=[(則(。。)]其中計算量較小的是公式(2),其中計算量較小的是公式(2),其計算量為234flops。.使用復化拋物線求積公式計算Je、厶,要求誤差小于一xltr4,那么至少需要將區(qū)間01]〇 2做等分。.已知〃ー1)=2ノ⑼=/⑴=1,則對應節(jié)點x=—l,o,l的/(X)的拉格朗日插值多項式的一次項式的一次項系數(shù)是1。厶（X）-—- -1）+1.設〃ス）=7x3+8x2+9x+10,求差商/[04]=4f口,2,3,4]=7〇⑶ 1（一3-4ゝ （一5ゝ.X= ,可使用household矩陣”=ー 變換得"X二 〇⑷ 3丿 10丿2（2100-LS(x)=<x3+x20<x<lax3+bx2+3x-l,1<x<2為ー個三次樣條函數(shù),則。=2,b=-210.用歐拉法求解初值問題げ+2y=/ヽ,步長ん最大不能超過0.1。I皿0）=0二、（10分）求解線性方程組Ar=b,其中'234"，0ヽ119,x=x2,b=212-6、ス3ノ、ー3ノA=（1）求矩陣A的Doolittle分解,即分解成A=LU的形式,其中L為單位下三角矩陣,U為上三角矩陣;（2）利用上述分解求解方程組Ax=b.解得y=解:0〇]ド3410。-1/27-1d。0一1（分解6分,LU各三分）02-1(2分)~234「0'0-1/27X=200-1-1解得x=-17101(2分)三、（15分）設有方程組使用Jacobi迭代法求解此方程,給出迭代格式和迭代矩陣,判斷迭代收斂時。的范圍。并取。=1采用初始值モ=[0,0,0]‘迭代計算3步#+1)_11a(n52解:Jacobi迭代格式!X?り=3，xド，ザ(3解:Jacobi迭代格式!X，”)=1-ax(2'

0-4（2分）迭代矩陣為8=一;（2分）0—CLp（Gs）=1?<l得到冋（壺=う，而時Jacobi迭代收斂（2分）「"1，TOC\o"1-5"\h\zx0=[0,0,0]x,=—,3,1=[2.75,3,1] （2分）?〇T tx2=2,-,-2=[2,1.125,-1.140625] （2分）8X3=79X3=79丄32 8=[2.46875,3,-0,125],（2分）四、（10分）已知方程x3-4x2+4x