高考專題復(fù)習(xí)：二次求導(dǎo)-教師

高考專題復(fù)習(xí)：二次求導(dǎo)-教師高考專題復(fù)習(xí)：二次求導(dǎo)-教師高考專題復(fù)習(xí)：二次求導(dǎo)-教師高考專題復(fù)習(xí)：二次求導(dǎo)-教師編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:高考專題：二次求導(dǎo)例題1、已知函數(shù)f(x)＝lnx－.(1)若a>0，試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；(2)若f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍．例題2、設(shè)f(x)＝lnx＋ax(a∈R且a≠0)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若a＝1，證明：x∈[1，2]時，f(x)－3<成立．例題3.已知函數(shù)函數(shù)在x=1處的切線與直線垂直.（1）求實數(shù)a的值；（2）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，若，求的最小值.例題4、已知函數(shù)（為常數(shù)，為自然對數(shù)的底）（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在上無零點，求的最小值；（3）若對任意的，在上存在兩個不同的使得成立，求的取值范圍．強化訓(xùn)練1、已知函數(shù)在點處的切線方程為，且對任意的，恒成立.（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）求實數(shù)的最小值；（Ⅲ）求證：（）2.已知函數(shù)（Ⅰ）試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并說明理由；（Ⅱ）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）求證：.參考答案例題1、【解】(1)由題意知f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)．(2)∵f(x)<x2，∴l(xiāng)nx－<x2.又x>0，∴a>xlnx－x3.令g(x)＝xlnx－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，h′(x)＝－6x＝∵x∈(1，＋∞)時，h′(x)<0，∴h(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)．∴h(x)<h(1)＝－2<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(1，＋∞)上也是減函數(shù)．g(x)<g(1)＝－1，∴當(dāng)a≥－1時，f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立．那a的取值范圍是[－1，＋∞)．例題2、【解】(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝＋a，當(dāng)a>0時，f′(x)>0，∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．當(dāng)a<0時，f′(x)＝，由f′(x)>0得0<x<－；由f′(x)<0得，x>－.∴函數(shù)f(x)在(0，－)上是增函數(shù)；在(－，＋∞)上是減函數(shù)．(2)證明：當(dāng)a＝1時，f(x)＝lnx＋x，要證x∈[1，2]時，f(x)－3<成立，只需證xlnx＋x2－3x－1<0在x∈[1，2]時恒成立．令g(x)＝xlnx＋x2－3x－1，則g′(x)＝lnx＋2x－2，設(shè)h(x)＝lnx＋2x－2，則h′(x)＝＋2>0，∴h(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，∴g′(1)≤g′(x)≤g′(2)，即0≤g′(x)≤ln2＋2，∴g(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，∴g(x)≤g(2)＝2ln2－3<0，∴當(dāng)x∈[1，2]時，xlnx＋x2－3x－1<0恒成立，即原命題得證．例題3、解：(1)∵，.

∵與直線垂直，∴，∴.

（2）由題知在上有解，設(shè)，則，所以只需故b的取值范圍是.

，故所求的最小值是

例題4、（1）時，由得

得故的減區(qū)間為

增區(qū)間為

（2）因為在上恒成立不可能故要使在上無零點，只要對任意的，恒成立即時，

令則再令

于是在上為減函數(shù)故在上恒成立在上為增函數(shù)

在上恒成立又故要使恒成立，只要若函數(shù)在上無零點，的最小值為

（3），當(dāng)時，，為增函數(shù)當(dāng)時，，為減函數(shù)

函數(shù)在上的值域為

當(dāng)時，不合題意當(dāng)時，故①

此時，當(dāng)變化時，，的變化情況如下—0+↘最小值↗時，，任意定的，在區(qū)間上存在兩個不同的

使得成立，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件即

②即

③

令

令得，當(dāng)時，

函數(shù)為增函數(shù)當(dāng)時，

函數(shù)為減函數(shù)所以在任取時有即②式對恒成立

由③解得

④，由①④當(dāng)時對任意，在上存在兩個不同的使成立強化訓(xùn)練1、解：（Ⅰ）將代入直線方程得，∴①

，∴②

①②聯(lián)立，解得∴

（Ⅱ），∴在上恒成立；即在恒成立；

設(shè)，，∴只需證對于任意的有

設(shè)，1）當(dāng)，即時，，∴在單調(diào)遞增，∴

2）當(dāng)，即時，設(shè)是方程的兩根且由，可知，分析題意可知當(dāng)時對任意有；∴，∴

綜上分析，實數(shù)的最小值為.

（Ⅲ）令，有即在恒成立-令，得

∴，∴原不等式得證.

強化訓(xùn)練2、【解析】：（Ⅰ）