2023屆山東省“學情空間”區(qū)域教研共同體高三上學期10月第一次階段性測試數(shù)學試題(解析版)_第1頁
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試卷第=page22頁,共=sectionpages44頁2023屆山東省“學情空間”區(qū)域教研共同體高三上學期10月第一次階段性測試數(shù)學試題一、單選題1.已知集合,則中元素的個數(shù)是(

)A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【分析】解一元二次不等式求出集合,再根據(jù)并集運算求出,進而得到結(jié)果.【詳解】因為,所以,所以中元素的個數(shù)有4個.故選:C.2.已知,則“”是“”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】從充分性和必要性兩方面進行討論即可.【詳解】充分性:當,時充分性不成立;必要性:由可得,即,所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B【點睛】本題主要考查充要條件的判定,涉及到不等式的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.3.已知,則在上的最大值為(

)A. B. C. D.0【答案】B【分析】對求導得,令其為0,得到其單調(diào)性,最后得到最大值.【詳解】,且,,令,(負舍),,,,,所以在上單調(diào)遞減,在到上單調(diào)遞增,又,所以在上的最大值是.故選:B.4.現(xiàn)有如下信息:(1)黃金分割比(簡稱:黃金比)是指把一條線段分割為兩部分,較短部分與較長部分的長度之比等于較長部分與整體長度之比,其比值為(2)黃金三角形被譽為最美三角形,是較短邊與較長邊之比為黃金比的等腰三角形.(3)有一個內(nèi)角為的等腰三角形為黃金三角形,由上述信息可求得(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】如圖作三角形,先求出,再求出的值.【詳解】如圖,等腰三角形,,,取中點連接.,由題意可得,所以,所以,所以.故選:D【點睛】關(guān)鍵點睛:解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造一個恰當?shù)娜切?,再解三角形求?5.已知函數(shù)是R上的奇函數(shù),且,且當時,,則的值是(

)A.1 B. C.0 D.【答案】A【分析】利用奇函數(shù)性質(zhì)可知,由可知函數(shù)的周期性,從而可得結(jié)果.【詳解】解:因為函數(shù)是R上的奇函數(shù),所以,由得,,所以所以函數(shù)為周期函數(shù),周期為6,所以,又,所以.故選:A6.已知函數(shù),圖象向左平移個單位后關(guān)于直線對稱,則下列說法正確的是(

)A.在區(qū)間上有一個零點 B.關(guān)于對稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.在區(qū)間上的最大值為2【答案】A【分析】通過函數(shù)的平移變換后圖象關(guān)于直線對稱可求得值,從而可求出函數(shù)解析式,然后使用換元法畫出函數(shù)圖象,再逐項判斷即可.【詳解】函數(shù),圖象向左平移個單位后的圖象對應(yīng)的解析式為:;而圖象關(guān)于直線對稱,且,于是,;;,所以不關(guān)于對稱,故B錯誤;當時,則,令,則,此時函數(shù)圖象如圖:結(jié)合圖象可知,當時,即,與坐標軸只有一個交點,即只有一個零點,故A正確;當時,則,結(jié)合圖象可知,此時有增有減,故C錯誤;當時,則,結(jié)合圖象可知,此時單調(diào)遞增,所以,當時,即,函數(shù)取最大值,,故D錯誤;故選:A.7.設(shè),則(

)A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù),判斷的大小,由,構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)判斷單調(diào)性,即可得到.【詳解】由不等式可得,即;,設(shè),因為,所以在上單調(diào)遞增,所以當,所以,即.所以.故選:C8.若關(guān)于的不等式對一切正實數(shù)恒成立,則實數(shù)的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù),將原不等式轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最小值,通過導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的最值,得到,再利用基本不等式進行求解即可.【詳解】解:設(shè),則對一切正實數(shù)恒成立,即,由,令,則恒成立,所以在上為增函數(shù),當時,,當時,,則在上,存在使得,當時,,當時,,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在處取得最小值為,因為,即,所以恒成立,即,又,當且僅當,即時取等號,故,所以.故選:C.【點睛】方法點睛:不等式恒成立問題常見方法:①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立(即可);②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可);③討論最值或恒成立;④討論參數(shù).二、多選題9.已知命題p:關(guān)于x的不等式的解集為R,那么命題p的一個必要不充分條件是(

)A. B. C. D.【答案】CD【分析】求出命題p成立時的取值范圍,再根據(jù)必要不充分條件的定義逐個判斷選項,得出答案.【詳解】命題p:關(guān)于x的不等式的解集為R,則,解得又,且,故選:CD10.給出下列結(jié)論,其中正確的結(jié)論是(

)A.函數(shù)的最大值為B.已知函數(shù)(且)在(0,1)上是減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是(1,2]C.在同一平面直角坐標系中,函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱D.若,則的值為1【答案】BCD【解析】直接利用復合函數(shù)的性質(zhì)判定的結(jié)論,利用對數(shù)的運算判斷、的結(jié)論,利用函數(shù)的對稱性判斷的結(jié)論.【詳解】解:對于:函數(shù)的最小值為,故錯誤;對于:已知函數(shù)且在上是減函數(shù),所以,解得,故正確.對于:同一平面直角坐標系中,由于函數(shù)與互為反函數(shù),所以他們的的圖象關(guān)于直線對稱,故正確;對于:由于,則,則,同理,所以,故正確.故選:.【點睛】本題考查復合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,復合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”的法則判斷即可;11.如圖所示,設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點,以軸非負半軸為始邊作銳角,,,它們的終邊分別與單位圓相交于點,,,則下列說法正確的是(

)A.的長度為B.扇形的面積為C.當與重合時,D.當時,四邊形面積的最大值為【答案】ACD【分析】利用弧長公式判斷A,利用扇形面積公式判斷B,利用銳角三角函數(shù)判斷C,根據(jù)、三角形面積公式及三角恒等變換公式化簡,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算出面積最大值,即可判斷D.【詳解】解:依題意圓的半徑,,,,所以的長度為,故A正確;因為,所以扇形的面積,故B錯誤;當與重合時,即,則,則,故C正確;因為,所以所以當,即時,故D正確;故選:ACD12.已知函數(shù),下列說法不正確的是(

)A.當時,函數(shù)僅有一個零點B.對于,函數(shù)都存在極值點C.當時,函數(shù)不存在極值點D.,使函數(shù)都存在3個極值點【答案】ABD【分析】由時,即可判斷A選項;當時,求導確定函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C選項;由C選項即可判斷B選項;由的零點個數(shù)即可判斷D選項.【詳解】,,令,則,對于A,當時,,函數(shù)無零點,則A錯誤;對于C,當時,,,,,當時,,即單增,當時,,即單減,則,即函數(shù)單增,不存在極值點,C正確;對于B,由C選項知錯誤;對于D,假設(shè),使函數(shù)都存在3個極值點,即存在3個變號零點,又由上知,當時,,即單增,最多只有1個零點;當時,當時,,即單增,當時,,即單減,最多只有2個零點,和存在3個變號零點矛盾,則不存在,使函數(shù)都存在3個極值點,D錯誤.故選:ABD.【點睛】解決極值點問題,關(guān)鍵在于求導后由導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性,對于導數(shù)的正負不好直接確定的,可以通過構(gòu)造函數(shù),再次求導,進而確定導數(shù)的正負,使問題得到解決.三、填空題13.若,則___________.【答案】【分析】利用誘導公式化簡,再次化簡得,則得.【詳解】因為,所以,所以,又,所以.故答案為:.14.方程的解為___________.【答案】【分析】結(jié)合對數(shù)運算以及指數(shù)運算,解方程求得的值.【詳解】依題意,,,,,即或,解得或,當時,,不符合題意,舍去.所以.故答案為:15.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù),當時,,且,則不等式的解集為___________.【答案】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到,再根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù),分析函數(shù)在時的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性、奇偶性和解不等式即可.【詳解】因為為奇函數(shù),定義域為,所以,,又因為時,,所以,構(gòu)造函數(shù),所以,所以當時,,在上單調(diào)遞增,又因為,所以,在上大于零,在上小于零,又因為,所以當時,在上大于零,在上小于零,因為為奇函數(shù),所以當時,在上小于零,在上大于零,綜上所述:的解集為.故答案為:.【點睛】常見的函數(shù)構(gòu)造形式:①,;②,.16.已知函數(shù),若關(guān)于的方程,有且僅有三個不同的實數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】首先利用導函數(shù)求的單調(diào)性,作出函數(shù)的大致圖象,將方程解得問題轉(zhuǎn)換成交點問題即可求解出答案.【詳解】解:因為,則,當或時,,當時,,所以在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且當時,,,故的大致圖像如圖所示:關(guān)于的方程等價于,即或,由圖可得,方程有且僅有一解,則有兩解,所以,解得,故答案為:四、解答題17.已知,若,解關(guān)于x的不等式;【答案】答案見解析【分析】根據(jù)題意求出,用把表示出來,然后對分類討論,結(jié)合一元二次不等式的解法即可得出答案.【詳解】解:因為,所以,又因,所以,所以,則不等式即為,即,若,則不等式的解集為;若,則不等式的解集為;若,當時,則不等式的解集為;當時,則不等式的解集為;當時,則不等式的解集為;18.已知函數(shù).(1)求的最小正周期;(2)若,求出的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用二倍角和輔助角公式化簡函數(shù)為的形式,再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期,(2)根據(jù),令,則可求出的范圍,從而得出的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】(1).的最小正周期為.(2)令,則,又函數(shù)在上單調(diào)遞減,即時,的單調(diào)遞減,當時,的單調(diào)減區(qū)間為.19.已知函數(shù),為函數(shù)的導函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若恒成立,求m的取值范圍.【答案】(1)詳見解析;(2).【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)化簡得,分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)由恒等式化簡可得,分離參數(shù)可得當時,,當時,,利用導數(shù)研究的單調(diào)性及最值即可求解.【詳解】(1)由題可得,①當時,時,,單調(diào)遞減;時,,單調(diào)遞增;②當時,時,,單調(diào)遞增;時,,單調(diào)遞減;時,,單調(diào)遞增;③當時,時,,單調(diào)遞增;④當時,時,,單調(diào)遞增;時,,單調(diào)遞減;時,,單調(diào)遞增.(2)由恒成立,即,,當時,恒成立,當時,,當時,,令,則,當時,,單調(diào)遞減且,所以當時,得,時,,單調(diào)遞減,時,,單調(diào)遞增;,故綜上,m的取值范圍為.20.定義域為的函數(shù),部分x與y的對應(yīng)關(guān)系如下表:x012345y0232002(1)求;(2)若,其中,,求此函數(shù)的解析式,并求.【答案】(1)2;(2),當時,原式;當時,原式.【分析】(1)根據(jù)復合函數(shù)的性質(zhì),由內(nèi)往外計算可得答案.(2)根據(jù)最大值域最小值可求,利用周期求出,根據(jù)特殊點求出,即求出解析式,由解析式即可求出.【詳解】(1)由表中數(shù)據(jù)可得.(2)由表中數(shù)據(jù)可得,,從最大值到最小值為半個周期,所以周期,,所以,又,即,解得,且,所以,所以,由,,,①當,,②當時,.21.已知函數(shù)(1)求在處的切線方程;(2)求在上的最小值(參考數(shù)據(jù):)【答案】(1);(2)1.【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),再利用導數(shù)的幾何意義求解作答.(2)利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性,再求出其最小值作答.【詳解】(1)函數(shù)求導得:,而,,由,得,所以在處的切線方程為.(2),由(1)知,令,,當時,,當時,,則函數(shù),即在上遞增,在上遞減,則有,即當時,,而,使,當時,,當時,,因此當時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,令,當時,求導得,即函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,即,,于是得,而,則,所以在上的最小值是1.【點睛】結(jié)論點睛:函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導函數(shù),則曲線y=f(x)在點處的切線方程為:.22.已知函數(shù).(1)若是的極值點,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若關(guān)于的方程恰有一個解,求a的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2)【分析】(1)求出函數(shù)的導函數(shù),依題意,即可求出的值,再利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求出函數(shù)的導函數(shù),令,,利用導數(shù)說明的單調(diào)性,由零點存在性定理可得存在使得,即可得到的單調(diào)性,從而求出的最小值,依題意可得,即可求出的值,從而得解.【詳解】(1)解:因為,所以,因為是的極值點,所以,解得,經(jīng)檢驗符合題意,所以,,又與在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞

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