非數(shù)學(xué)類中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題與答案

首屆中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽區(qū)賽試卷（非數(shù)學(xué)類，2009）一、填空題（每小題5分，共20分）,其中區(qū)域D由直線x+y=1與兩（X+V）111（1+丄）,其中區(qū)域D由直線x+y=1與兩JJdy/l-x-y坐標(biāo)軸所闈成三角形區(qū)域.解令x+y=u.x=v?解令x+y=u.x=v?則x=v,y=u-v,dvdy=det1]-Ldz/dv=dz/dv,(x+y)lii(l(x+y)lii(l+—)広^7=2j：(l-2r*12*+r4)dr=2t--t5+-t處的切平面方程是2(x-2)+2()，-1)一(z-5)=0,即曲面z=—+y2-?.平行平面2x+2y-z=0的切平面方程是2x+2y—z—l=0。4.設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程xefM=lii29確定，其中/■具有二階導(dǎo)數(shù)，且廣H1,則器=?cL「解方程xR?=eex+e*Y+???+￡=eluiiex+e*Y+???+￡=eluii.v->0eHy)+=w'y'ln29因Rln29=x“(X故丄+廣(刃丫=兒即才=L一,因此x'x(l-/(刃)主=V"=!+廠(加Wx2(l-f\y))x[l-f\y)]2=廠(刃1=廠(刃一[1一廣(刃]‘刊―廣(刃『x\l-f\y))刊―廣(刃『rr>;rCp+p+???+y-二(5分)求極限lim(尸，其中”是給定的正整數(shù).gon解法1因晌宀宀…十.ITOnxy晌宀宀…十.ITOnxy=lun(l+“+"+…+"-")；ITOnx因此Inn(-.v->0?ln/+2宀…+卅.itO1+2+??+〃n+17VflV+e+?-+enenx因此Inn(-.v->0?ln/+2宀…+卅.itO1+2+??+〃n+17VflV+e+?-+eneA解法2因Vrnr€f,e+e+■??+€-11111111()x工TOv\n(ex+€”+???+e/,v)-liin=elnn?vTO=涸宀2宀…+〃嚴(yán).(TO￡X++1+2+???+〃7?+le=2Inn(-.v->0亍VflV+e+?-+eneArr/>Vxve+e+???+€-neA=hilixtO77X

三、(15分)設(shè)函數(shù)/(x)連續(xù)，g(x)=Cf(xt)dt,且Inn^2=A,A為常數(shù)，求Jo'v->oxg'(x)并討論g'(x)在X=0處的連續(xù)性.解由lull蟲衛(wèi)=4和函數(shù)/(x)連續(xù)知，/(0)=lull/(x)=lullxlnn蟲衛(wèi)=0

V-?0XA->0A->0A->0X因g(x)=fj(AV)dr,故g(0)=jj(0)d/=/(O)=o,因此，當(dāng)xhO時，g(x)=-￡'/(M)dz/,故TOC\o"1-5"\h\z匚f(ii)6uf(}lullg(x)=Hin=lun——=/(O)=0?ITOxtOXXTO]當(dāng)xhO時，gG)=一打'/(")d"+-,X"JoXy(0)=Um能)弋(°)=血認(rèn)幾燦=血」")擊=血型丄XTOXATOX"TOX""TO2X2liing\x)=lindf/(w)d//+/⑴]=Inn'⑴-lull丄f'/(w)dz/=A-—=—XTO.v-?OLX2^Q兀'TO?！癟Of」°22這表明g'(x)在x=0處連續(xù).四、（15分）已知平面區(qū)域D=｛（x.y）\o<x<^o<y<7r｝9厶為D的正向邊界,試證：（1）Jxe^dy-ye'^dx=fxe~:inydy-ye^dx；TOC\o"1-5"\h\zLL（2）p-e=mvdy-x-=mvdA>-^2.L2證因被積函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)在D上連續(xù)，故由格林公式知:in(1)jxe^dy-ye^dxL■■?■

=ffg（x嚴(yán)〉）一￡（一洋:in(1)jxe^dy-ye^dxLD0內(nèi)」=]｝（嚴(yán)'+曠沁亦"DLUADLUA=JJ(宀~')一|;(一)嚴(yán))*dy+嚴(yán)％idy而D關(guān)于x和y是對稱的，即知口0叫+￡一沁亦取=JJ(嚴(yán)叮+￡沁)ckdy因此（2）因TOC\o"1-5"\h\zD因此（2）因J影叫dy_ye-^dx=fxe~:inydy-yeziax(LxLLel+=2(1+—+—+??j>2(1+12)、2!4!故3mr一弘2Cl-cos2x5-cos2xe+e>2+snix=2+=22由TOC\o"1-5"\h\zfx嚴(yán)vdy-ye~^ydx=jj(嚴(yán)、'+不心亦dy=jj0叫+嚴(yán)')dxdyLDD知f%嚴(yán)vdy—ye~Zinydjc=丄口(嚴(yán)'+廠曲)chdy+丄jj0沁v+e=1Qr)ckdvl2q2D=+廠叫)dAd)，+丄jj(廠"+e:mr)d.vdy=j](廠"+ezinx)djcdy2q2qD=町(嚴(yán)+嚴(yán)i)">活5—c;s2訟=討LL五、(10分)已y\=xex+e2x,>\=xev+e'v,y3=x+-e'v是某二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個解，試求此微分方程.解設(shè)兒=也”+，“，兒=壯”+不“，兒=朧'+戶一廠是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程f+byr+cy=f(x)的三個解，則兒—兒=廠”-e2v和兒-兀=曠“都是二階常系數(shù)線性齊次微分方程y"+by9+cy=o的解，因此y"+by'+o=0的特征多項式是（兄一2）（兄+1）=0,而y"+by'+cy=0的特征多項式是Ar+bA+c=0因此二階常系數(shù)線性齊次微分方程為y”-—2y=0,由y；-y[-2兒=/⑴和y[=ex+xex+2e2x,y；=2ex+xex+4e2x知,/(x)=y[-y[-2兀=xex+2ex+4e2x-(xex+er+2e2x)-2(xex+e2x)=(1-2x)ex

二階常系數(shù)線性非齊次微分方程為)產(chǎn)-yf-2y=ex-2xex六、(10分)設(shè)拋物線y=ax2+bx+2\nc^L原點.當(dāng)OWxW1時,y>0,又已知該拋物線與x軸及直線x=l所闈圖形的面積為1?試確定abs使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成3的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.解因拋物線y=ax2+bx+2hic^原點，故c=l,于是2b=—(1一a)2b=—(1一a)3而此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積V\a)=-7iLi+2a)-7t——(1_a)=0,54rz+45-90a—40+4(k/=04a+5=0七、(15分)己知un(x)滿足城(x)="〃(x)+fLO(“=12…)，且血(1)=￡，求函數(shù)項級數(shù)工化⑴之和.

u：(x)=%Q)+fL0,即#一y=廠盯由一階線性非齊次微分方程公式知即y=k(c+—)n因此Yfl“d(c+—)ne1由_=un(1)=e(C+—)知，C=0,nn于是x""11nW=——n卜面求級數(shù)的和：令xxXnpxS(x)=》"〃(x)=》——n=ln=lf1則xX,lpxxpxS\x)=工(HT/+)=S(x)+工fT/=s(x)+n=l”n=l1—X即S\x)-S{x)=1-xS\x)-S{x)=1-x由一階線性非齊次微分方程公式知S(x)=S(x)=『(c+J*令X=O,得0=S(0)=C,因此級數(shù)$>”(x)的和n=lS(x)=-ex111(1-x)八、(10分)求XT1-時，與X^，，：等價的無窮大量./!=0解令于(/)=#，則因當(dāng)0vxvl,/g(0,+s)時，ff(t)=2txrhix<0?故f(t)=/=￡”在(0,+8)上嚴(yán)格單調(diào)減。因此

f(Odt=Xf7(0dr<Xf(n)<g)+iX』(f)df=1+17f(Odt/l=0H=0/t=l匚/V)d/<￡g)<l+匚y(/)d/,H=0n=01fy(“)=￡"n=01n=0XT1—[XT1—[21一xtc-/:lnl]e”d/=<0Fi

匚匕=丄逅hd2所以,當(dāng)XT1-時，與f/等價的無窮大量是|-n=o厶VI—Xdvdy=[["皿二^冷心

JJnVI二7JoJI二萬Jo萬Jo(?1ir\num(mIiiw-m)fl，=/d”(*)Jo4i-u令t=y/l-u,則u=l-t2,du=-2fdt,u2=\-2t2+t4,n(l-u)=r(1-t)(l+1),(*)=-2f(l-2r+r4)dr116o=152.設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù),且滿足/(x)=3x2-f2f(x)dx一2,貝ij/(x)=Jo解令4=，則/w=3妒—A-2,4=匸（3〒一4一2）&=8-2（4+2）=4-24,4in解得A=-o因此f（x）=3x2-—Qy*3.曲面z=-+y2-2平行平面2x+2y-z=0的切平面方程是.Jr*解因平