高中數(shù)學(xué)必修二試卷

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2021-2022學(xué)年度高中數(shù)學(xué)選擇性必修二期末模擬試卷（一）一、單選題1．已知數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，第k項(xiàng)滿足５＜＜８，則k=A．9 B．8 C．7 D．62．已知等差數(shù)列{an}中，a2＝1，a3+a5＝4，則該數(shù)列公差為（）A． B．1 C． D．23．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A．-10 B．-16 C．-22 D．-84．關(guān)于函數(shù)的說法正確的是A．有最小值，有最大值 B．有最小值，沒有最大值C．沒有最小值，有最大值 D．沒有最小值，也沒有最大值5．已知是公差不為0的等差數(shù)列，是與的等比中項(xiàng)，則（）A．－9 B．0 C．9 D．無法確定6．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞7．若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且，則的最小值是（）A．2 B． C． D．9．已知是自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)，則（）A． B． C． D．二、多選題10．已知，且，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C． D．11．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．是的極小值點(diǎn)；B．函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)；C．存在正整數(shù)，使得恒成立；D．對任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若，則.三、填空題12．已知，且，，…，，…，則__.13．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2+a7+a12＝12，則S13＝_____.14．若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則___________.15．已知函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的前項(xiàng)和_________．16．已知數(shù)列，滿足，，．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在使得對任意的都成立，則正整數(shù)的最小值為_________．17．已知，函數(shù)，，若存在一條直線與曲線和均相切，則使不等式恒成立的最小整數(shù)的值是__________．四、解答題18．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的零點(diǎn)及單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求證：曲線存在斜率為的切線，且切點(diǎn)的縱坐標(biāo)．20．已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)（1）若曲線與直線有交點(diǎn)，求a的最小值；（2）①設(shè)，問是否存在最大整數(shù)k，使得對任意正數(shù)x都成立？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由；②若曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求證：.21．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）令（），其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)，時(shí)，方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．已知數(shù)列是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列.若存在常數(shù)，使得任意的成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（1）分別判斷下列數(shù)列是否具有性質(zhì)；(直接寫出結(jié)論)①②（2）若數(shù)列滿足，求證:“數(shù)列具有性質(zhì)”是“數(shù)列為常數(shù)列”的充分必要條件；（3）已知數(shù)列中且.若數(shù)列具有性質(zhì)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.23．已知函數(shù)．（1）若的極小值為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求證：．答案第=page1919頁，共=sectionpages1515頁參考答案1．B解：an∵n＝1時(shí)適合an＝2n﹣10，∴an＝2n﹣10．∵5＜ak＜8，∴5＜2k﹣10＜8，∴k＜9，又∵k∈N+，∴k＝8，故選B．2．A【詳解】∵等差數(shù)列{an}中，a2＝1，a3+a5＝4，∴，解得，∴該數(shù)列公差為.故選：A.3．A根據(jù)題意，等比數(shù)列中，若，則，由，則，得，解得，又由，則有，解得，所以，有.故選：A4．C當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，沒有最小值.故選：C5．B設(shè)的公差為d，因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，即，可得，所以.故選：B.6．B【詳解】設(shè)塔頂?shù)腶1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381，解得a1=3．故選B．7．D函數(shù)的定義域?yàn)?，則，令，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，且.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，對任意的恒成立，所以函數(shù)為上的增函數(shù)，則函數(shù)在上至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則存在使得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.可得，可得，解得.故選：D.8．D由函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù)．考慮函數(shù)在上的單調(diào)性，由于，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，，所以，即當(dāng)時(shí)，總有，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)為奇函數(shù)，即函數(shù)在R上遞增，令，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖以及題意可知，僅在上有一解，即，由，解得，即有，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減增，所以.故選：D.9．A設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，時(shí)，，即，設(shè)，，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，，即恒成立，即，令，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)取得最小值，即，得：，那么，即，即，綜上可知.故選：A10．BC對于A選項(xiàng)，取，，則，但不成立，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，由可得，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，①若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得，且，故；②若，則.綜上，，B選項(xiàng)正確；先證明對任意的、且，，不妨設(shè)，即證，令，即證，令，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，對任意的、且，，因?yàn)?，則，所以，，可得，C選項(xiàng)正確.對于D選項(xiàng)，取，，則，但，D選項(xiàng)不正確.11．ABD對于A選項(xiàng)，函數(shù)的的定義域?yàn)?，函?shù)的導(dǎo)數(shù)，∴時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴是的極小值點(diǎn)，故A正確；對于B選項(xiàng)，，∴，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，又∵，，∴函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對于C選項(xiàng)，若，可得，令，則，令，則，∴在上，，函數(shù)單調(diào)遞增，上，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴，∴，∴在上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，∴不存在正實(shí)數(shù)，使得成立，故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，由，結(jié)合A選項(xiàng)可知，要證，即證，且，由函數(shù)在是單調(diào)遞增函數(shù)，所以有，由于，所以，即證明，令，則，所以在是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，即成立，故成立，所以D正確.故選：ABD.12．0，，以此類推，可得出，，，所以所以故答案為：0.13．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為，則，即，所以.故答案為：.14．2021在等差數(shù)列中，，所以，解得，所以，所以，故答案為：202115．因?yàn)?，所以，，則，，，故答案為：.16．∵，∴，又∵，，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴，即，又，則，又，又，∴時(shí)，，即數(shù)列是遞增數(shù)列，∴當(dāng)時(shí)，取最小值且最小值為，要使對任意的都成立，只需，由此得，∴正整數(shù)的最小值為．故答案為：.17．3【詳解】分析：求導(dǎo)，表述出公切線，從而會得到的一個(gè)表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析整理即可.詳解：，設(shè)公切線在上的切點(diǎn)為，在上的切點(diǎn)為，，，在上的切點(diǎn)為，切線方程為，把點(diǎn)代入切線方程：，化簡可得，構(gòu)造函數(shù)，則，令即，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，故，即，又則使不等式恒成立的最小整數(shù)的值是3.故答案為3.18．（1）的極小值為，無極大值；（2）.（1）則，所以當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；所以的極小值為，無極大值；（2），函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，相當(dāng)于曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn).，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，時(shí)，取得極小值，又時(shí)，；時(shí)，，.19．（Ⅰ）零點(diǎn)為,減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；（Ⅱ）證明見解析.【詳解】試題分析：（Ⅰ）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系求解；（Ⅱ）借助題設(shè)條件構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行推證.試題解析:（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，得，故的零點(diǎn)為．（）．令，解得．當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（Ⅱ）令，則．因?yàn)?，，且由（Ⅰ）得，在?nèi)是減函數(shù)，所以存在唯一的，使得．當(dāng)時(shí)，．所以曲線存在以為切點(diǎn)，斜率為的切線．由得：．所以．因?yàn)?，所以，．所以?0．（1）；（2）①存在，；②證明見解析.（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得出其單調(diào)區(qū)間，求出的最小值，得到答案.

（2）①當(dāng)時(shí),，原不等式恒成立．當(dāng)時(shí),設(shè)，即，再設(shè)，求出導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，得到其最值，然后再分析的符號，討論得出的單調(diào)性和最值，從而得到答案.

②設(shè)，，．由（1）可知,所以，,由①可得，從而可證.【詳解】解：（1）由己知得，．由于，所以可得可得得當(dāng)x變化時(shí)，與的變化情況如下表所示：x1－0＋↘極小值↗當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，有最小值因此，當(dāng)曲線與直線有交點(diǎn)時(shí)，．（2）①由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，又，則，原不等式恒成立．．當(dāng)時(shí)，令，則．設(shè)，得，故當(dāng)x變化時(shí)，與的變化情況如下表所示：x－0＋↘極小值↗這樣，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)x變化時(shí)，與的變化情況如下表所示：x1－0＋↘極小值↗得，即原不等式恒成立．當(dāng)時(shí)，得，，則在內(nèi)有唯一零點(diǎn)．此時(shí)x變化時(shí)，與的變化情況如下表所示：x1＋0－0＋↗極大值↘極小值↗得，即原不等式不恒成立．綜上所述，存在最大整數(shù)，使得原不等式恒成立．②證明：設(shè)，，．由（1）可知所以，由①可得即所以都滿足不等式，即，故區(qū)間為不等式解集的子集，得21．（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．（Ⅱ）；（Ⅲ），或【詳解】（Ⅰ）依題意，知的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，令，解得．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減．所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．（Ⅱ），，所以，在上恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值．所以（Ⅲ）當(dāng)，時(shí)，，因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解．，設(shè)，則令，得；，得，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，，，，所以，或．22．（1）①時(shí)，數(shù)列具有性質(zhì)；②時(shí)，數(shù)列不具有性質(zhì).（2）證明見解析（3）.（1）①時(shí)，數(shù)列具有性質(zhì).②時(shí)，數(shù)列不具有性質(zhì).（2），，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)，因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，即，所以數(shù)列為常數(shù)列.必要性：因?yàn)閿?shù)列為常數(shù)列，所以，成立，即數(shù)列具有性質(zhì).（3）數(shù)列具有性質(zhì)，，，.若，矛盾；若則矛盾.所以，所以猜想.證明如下：假設(shè)命題不成立，設(shè)（），考慮數(shù)列，當(dāng)時(shí)具有性質(zhì)，此時(shí)，即或，矛盾，.23．（1）；（2）證明見解析.（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號，求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，列出方程，即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，