利用matlab設(shè)計巴特沃斯低通濾波器

三峽大學(xué)課程設(shè)計報告專業(yè)班級 20091421 課程 數(shù)字信號處理課程設(shè)計學(xué)號 學(xué)生姓名 姜祥奔 指導(dǎo)教師 2012年5月平時成績（20%）報告成績（40%）答辯成績（40%）總成績

數(shù)字信號處理課程設(shè)計實驗一:用雙線性變換法和脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器采用雙線性變換法設(shè)計一個巴特沃斯數(shù)字低通濾波器，要求：通帶截止頻率100Hz，阻帶截止頻率200Hz，通帶衰減指標(biāo)Rp小于2dB，阻帶衰減Rs大于15dB，濾波器采樣頻率Fs=500Hz。繪制頻率響應(yīng)曲線。理論部分：(原理及設(shè)計過程)第一步：論/和①的關(guān)系及數(shù)字域性能的公式表示。模擬頻率與數(shù)字頻率之間為1線性關(guān)系，①=QT=2時,T=—=10-4,T為抽樣周期，故sf=1kHz對應(yīng)于①=2兀x100x-1-=0.4兀修正后2w、。=tan(^)1T2f=1kHz對應(yīng)于w=2兀x200x-00=0.8兀修正后O=Ztan(二)1T2按衰減的定義20log10H（e20log10H（ej0）H（ej0.4兀）20log10H（ej0）H（ej0.8兀）>15設(shè)w=0處頻率響應(yīng)幅度歸一化為1,即H(ej0)=1，則上兩式變成20log10H（ej0.4兀）>—2 （1）20log10H（ej0.8兀）<—15 （2）

這就是數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)的表達(dá)式。2下面把數(shù)字低通濾波器的性能要求轉(zhuǎn)變?yōu)椤皹颖尽蹦M低通濾波器的性能要求。由s=OT，按修正式H（ee）wH（jp，設(shè)沒有混疊效應(yīng)（即混疊效應(yīng)設(shè)計完成后再進(jìn)行校驗）則有（3）H(ee)=Ha(j?)=七(j。)， ^<（3）利用（3）式，由（1）、（2）式可寫出模擬低通濾波器的指標(biāo)為指標(biāo)，故應(yīng)選取比求出的N大一點(diǎn)的整數(shù)，故取N=2，代入通帶條件(6-118a)式，得Q，c=1.038x103,即20logi0H0.4兀()=20logi0H(j2兀x102)>-2（420logi0H0.4兀()=20logi0H(j2兀x102)>-2（4）20logi0H,.0.8兀、()=20logi0七(j4kx102)<-15...(5)3計算“樣本”模擬低通濾波器所需的階數(shù)N及3dB截止頻率。C。巴特沃思低通濾波器的幅度平方函數(shù)是Ha(j。)|1。1+( )2N。C以分貝形式表示上式，即20log10Hagm-10%。1+( )2N。C把求出的性能指標(biāo)關(guān)系（4）式、（5）式代入（6）式得-10log10，，O、1+（卜）2N。C>-2（6）-10log10。1+(—)2N<-15。C」先用等號來滿足指標(biāo)，可得1+(￥)2N=100.2C=101.5解此兩方程，得N=1.3709,N是濾波器階次，必須取整數(shù)，為了滿足或超過給定N=2,Q^=1.038x103 (7)顯然，利用(7)式的N和巳,阻帶指標(biāo)正好滿足，而通帶指標(biāo)則低于2dB,這正好對減少沖激響應(yīng)不變法造成的頻譜混疊效應(yīng)是有利的。程序部分：wp=100*2*pi;程序部分：wp=100*2*pi;止頻率ws=200*2*pi;Rp=2;As=15;標(biāo)%轉(zhuǎn)換為模擬濾波器指標(biāo)Fs=500;T=1/Fs;wp1=wp*T;ws1=ws*T;Omgp=(2/T)*tan(wp1/2);Omgs=(2/T)*tan(ws1/2);%模擬原型濾波器計算%數(shù)字濾波器的通帶截%數(shù)字濾波器的阻帶截止頻率%輸入濾波器的通阻帶衰減指%原型通帶頻率預(yù)修正%原型通阻頻率預(yù)修正[n,Omgc]=buttord(Omgp,Omgs,Rp,As,'s'); %計算階數(shù)n和截止頻率[z0,p0,k0]=buttap(n); %歸一化原型設(shè)計[ba,aa]=zp2tf(z0,p0,k0); %把濾波器零極點(diǎn)轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)模型[ba1,aa1]=lp2lp(ba,aa,Omgc); %變換為模擬低通濾波器系數(shù)b,a%或者[ba1,aa1]=butter(n,Omgc,’s’);%用雙線性變換法計算數(shù)字濾波器系數(shù)[bd,ad]=bilinear(ba1,aa1,Fs); %用雙線性變換法求數(shù)字濾波器系數(shù)b,a%求數(shù)字系統(tǒng)的頻率特性[H,w]=freqz(bd,ad);plot(w*Fs/(2*pi),20*log10(abs(H)));ylabel('增益/dB');xlabel('頻率(Hz)');title('數(shù)字濾波器幅度響應(yīng)');gridon;數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)圖:數(shù)字濾波器幅度響應(yīng)-100 1 1 1 L_□ 數(shù)字濾波器幅度響應(yīng)-100 1 1 1 L_□ 50 100 150 200OOOOOOOOO123456789---------250實驗二：用窗函數(shù)法設(shè)計FIR^字^波器選擇合適的窗函數(shù)設(shè)計一個FIR數(shù)字低通濾波器，要求：帶通截止頻率為Wp=0.2n,阻帶截止頻率Ws=0.3n,阻帶衰減不小于40dB,通帶衰減不大于3dB。描繪濾波器的幅頻響應(yīng)曲線。理論部分：(原理及設(shè)計過程)1.數(shù)字頻率。通帶截止頻率:w通帶截止頻率:w=0.2兀

p阻帶截止頻率:阻帶衰減：32=4迦2.求氣(n)。設(shè)Hd(ejw)為理想線性相位濾波器H(ejw)首先由所需低通濾波器的過渡帶求理想低通濾波器的截止頻率Q(由于Q為兩C C

個肩峰值處的頻率中點(diǎn)，而由Q〃到Q,之間的過渡帶寬并非兩個肩峰間的頻率差，因而以下求出的Qc有一定的近似)，并將其轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的數(shù)字頻率為w=2(w+w,)=0.25兀由此可得h(n)=—!—jwh(n)=—!—jwcejw(n-t)dw=<d2兀-wc sinlwc兀(n-t)w—c，冗(n-t)]n方n=兀其中T為線性相位所必需的移位，且T求窗函數(shù)。由阻帶衰減52=40dB，查課本中的表7-3可選漢寧窗，其阻帶最小衰減44dB滿足要求。所要求的過度帶寬(數(shù)字頻域)Aw=w-w=0.1兀p由于漢寧窗過渡帶寬滿足偵=6N所以TOC\o"1-5"\h\z6.2兀 ?N= =62AwN-1平t= =312求h(n)。由漢寧窗表達(dá)式w(n)確定FIR濾波器的h(n)。漢寧窗w(n)=2[1-cos(Nn^R^n.N-1sin[w(n-—2—)]漢寧窗hd(n)= N-1兀(n )2所以h(n)所以h(n)=h^(n)*w(n)由h(n)求得H(e]W)，并檢驗各項指標(biāo)是否滿足要求。如不滿足要求，則要改變N,或改變窗形狀(或兩者都改變)，然后重新計算。\

程序部分:子函數(shù)1:functionhd=ideal_lp(wc,M);alpha=(M-1)/2;n=[0:1:(M-1)];m=n-alpha+eps; %addsmallestnumbertoavoidividedbyzerohd=sin(wc*m)./(pi*m);子函數(shù)2：function[db,mag,pha,w]=freqz_m4(b,a)[H,w]=freqz(b,a,1000,'whole');function[db,mag,pha,w]=freqz_m4(b,a)[H,w]=freqz(b,a,1000,'whole');H=(H(1:1:501));w=(w(1:1:501));mag=abs(H);db=20*log10((mag+eps)/max(mag));pha=angle(H);主程序：clearallWp=0.2*pi;Ws=0.3*pi;tr_width=Ws-Wp;N=ceil(6.2*pi/tr_width)+1;n=0:1:N-1;Wc=(Ws+Wp)/2;hd=ideal_lp(Wc,N);w_ham=(hann(N))';h=hd.*w_ham;[db,mag,pha,w]=freqz_m4(h,[1]);delta_w=2*pi/1000;Ap=-(min(db(1:1:Wp/delta_w+1)));As=-round(max(db(Ws/delta_w+1:1:501)));subplot(221)stem(n,hd)title('理想單位脈沖響應(yīng)hd(n)')subplot(222)stem(n,w_ham)title('漢寧窗w(n)')subplot(223)stem(n,h)title('實際單位脈沖響應(yīng)h(n)')%過渡帶寬度%濾波器長度%理想低通濾波器的截止頻率%理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)%漢寧窗%截取得到實際的單位脈沖響應(yīng)%計算實際濾波器的幅度響應(yīng)%實際通帶紋波%實際阻帶紋波%火柴棍圖subplot(224)plot(w/pi,db)title('幅度響應(yīng)(dB)')axis([0,1,-100,10])FIR低通濾波器特性圖:不得不承認(rèn)，這一次數(shù)字信號處理的課程設(shè)計過程是艱苦的，但同時又是收獲豐富的。因為我們是上學(xué)期修的數(shù)字信號處理，而課程設(shè)計卻安排在下學(xué)期，經(jīng)過半年的時間，很多學(xué)過的東西都變得模糊的。剛選定課題時，自己甚至連題目的意思都看不懂，“什么是雙線性變換法？”“什么是巴特沃思數(shù)字低通濾波器？”，一系列的問號在頭腦中打轉(zhuǎn)。Matlab程序設(shè)計經(jīng)驗的缺乏也曾一度令自己失去持續(xù)做程題的勇氣?，F(xiàn)在，雖然不能拍著胸脯說