(完整版)小學奧數(shù)平面幾何五大定律

第第頁共27頁【解析】連接AE?由于AD與BC【解析】連接AE?由于AD與BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S=SAOCDAOAE根據(jù)蝴蝶定理，SXS=SXS=2X8=16AOCDAOAEAOCEAOAD，故SAOCD2=16，所以SAOCD=4（平方厘米）．另解：在平行四邊形ABED中，S=-S=-x（16+8）=12（平方厘米）,AADE2口ABED2所以S=S-S=12-8=4（平方厘米），AAOEAADEAAOD根據(jù)蝴蝶定理，陰影部分的面積為8X2十4=4（平方厘米）.【例19】如圖，長方形ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形OFBC的面積為平方厘米.【解析】連接DE、CF.四邊形EDCF為梯形，所以S=，又根據(jù)蝴蝶定理，S-S=S-S,AEODFOCAEODAFOCAEOFACOD所以S-S=S-S=2X8=16，所以S=4（平方厘米），S=4+8=12（平方厘米）挪AEODAFOCAEOFACODAEODAECD么長方形ABCD的面積為12x2=24平方厘米，四邊形OFBC的面積為24-5-2-8=9（平方厘米）.【例20】如圖，AABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，線段AB與CD相交于K點.已知正方形DEFG的面積48，AK:KB=1:3，則ABKD的面積是多少？【解析】由于DEFG是正方形，所以DA與BC平行，那么四邊形ADBC是梯形?在梯形ADBC中，ABDK和AACK的面積是相等的.而AK:KB=1:3,所以AACK的面積是AABC面積的丄=1，那么ABDK的1+34面積也是AABC面積的丄.4由于AABC是等腰直角三角形，如果過A作BC的垂線，M為垂足，那么M是BC的中點，而且AM=DE，可見AABM和AACM的面積都等于正方形DEFG面積的一半，所以AABC的面積與正方形DEFG的面積相等，為48.那么ABDK的面積為48x1=12.4

【例21】下圖中，四邊形ABCD都是邊長為1的正方形，E、F、G、H分別是AB,BC,CD,DA的中點，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡分數(shù)m，那么，(m+n)的值等n于.解析】左、右兩個圖中的陰影部分都是不規(guī)則圖形，不方便直接求面積，觀察發(fā)現(xiàn)兩個圖中的空白部分面積都比較好求，所以可以先求出空白部分的面積，再求陰影部分的面積．如下圖所示，在左圖中連接EG?設AG與DE的交點為M.左圖中AEGD為長方形，可知AAMD的面積為長方形AEGD面積的1，所以三角形AMD的面積為412x1x1=1?又左圖中四個空白三角形的面積是相等的，所以左圖中陰影部分的面積為1-1x4=1.24882如上圖所示，在右圖中連接AC、EF?設AF、EC的交點為N.可知EFIIAC且AC=2EF?那么三角形BEF的面積為三角形ABC面積的1，所以三角形BEF的面4積為12x1x1=1，梯形AEFC的面積為1-1=3.TOC\o"1-5"\h\z248288在梯形AEFC中,由于EF:AC二1:2,根據(jù)梯形蝴蝶定理,其四部分的面積比為：12：1x2:1x2:22=1:2:2:4,所以三角形EFN的面積為3x1=丄，那么四邊形BENF的面積81+2+2+424為1+丄=1?而右圖中四個空白四邊形的面積是相等的，所以右圖中陰影部分的面積為1-1x4=1.824663那么左圖中陰影部分面積與右圖中陰影部分面積之比為丄：1=3:2，即m=3,23n2那么m+n=3+2=5.【例22】如圖，AABC中，DE，F(xiàn)G，BC互相平行，AD=DF=FB，:S:S四邊形DEGF:S四邊形FGCB【解析】設S=1份，根據(jù)面積比等于相似比的平方，△ADE【解析】設S=1份，根據(jù)面積比等于相似比的平方，△ADE所以S:S=AD2:AF2=1：4，S:S=AD2:AB2=1:9ADE△AFG因此S=4份，S=9份，AFG△ABC進而有S=3份，S四邊形DEGF四邊形FGCB△ADE△ABC=5份，所以S:S:S△ADE四邊形DEGF四邊形FGCB=1:3:5【鞏固】如圖，DE平行BC，且AD=2,AB=5,AE=4，求AC的長.【解析】由金字塔模型得AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:5，所以AC=4十2x5=10【鞏固】如圖，AABC中，DE，F(xiàn)G，MN【鞏固】如圖，AABC中，DE，F(xiàn)G，MN，PQ，BC互相平行,AD=DF=FM=MP=PB，貝?S△ADE解析】設S:S:S四邊形DEGF:S:S四邊形FGNM四邊形MNQP四邊形PQCB'=1份△ADES=4△AFGS四邊形FGNM所以有S:S=AD2:AF2=1:4，因此△ADE△AFG進而有S二3份，同理有四邊形DEGF二5份S=7份S=9份四邊形MNQP四邊形PQCB份，=1:3:5:7:9S:S△ADE四邊形DEGF:=1:3:5:7:9S:S△ADE四邊形DEGF四邊形FGNM四邊形MNQP四邊形PQCB【例23】如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，F(xiàn)是BC邊的中點，E是DC邊上的點，且DE:EC=1:3，AF與BE相交于點G與BE相交于點G,求SM【解析】方法一：連接AE，延長AF，DC兩條線交于點M，構造出兩個沙漏，所以有AB:CM=BF:FC=1:1，因此CM=4，根據(jù)題意有CE=3，再根據(jù)另一個沙漏有GB:GE=AB:EM=4:7，所以TOC\o"1-5"\h\z4432S=S=x(4x4十2)=?△ABG△ABE1111

方法二：連接AE,EF，分別求S=4x2-2=4△ABF，S—4x4-4x1方法二：連接AE,EF，分別求S=4x2-2=4△ABF4432據(jù)蝴蝶定理S:S—BG:GE—4:7，所以S—S—x(4x4一2)—.△ABF△AEF△ABG4+7△ABE1111【例24】如圖所示，已知平行四邊形ABCD的面積是1,E、F是AB、AD的中點,的面積．【例24】如圖所示，已知平行四邊形ABCD的面積是1,E、F是AB、AD的中點,的面積．EB:CD—BG:GD—1:2所以CH:CF—GH:EF—2:3，并得G、H是BD的三等分點，所以BG—GH，所以S—1S

ABFD2AABD1211——x—x———?35430BG:EF=BM:MF=2:3，所以BM=5BF，‘又因為BG=1BD，所以SxS3ABMG35ABFD解法二：延長CE交DA于I，如右圖，可得，AI:BC=AE:EB=1:1，從而可以確定M的點的位置，21，BM二—BF，BG二-BD(鳥頭定理)，53_211_1——x—x—S—-534°abcd30BM:MF=BC:IF=2:3可得SABMG=2X1SBDF【例25】如圖，ABCD為正方形，AM—NB—DE—FC—1cm且MN—2cm，請問四邊形PQRS的面積為多少?MQ—QC—*MC，所以PQ—gMC-1MC—1MC，所以SSpQ^SAMC^6所以S—一x1x(1+1+2)—一(cm2)．SPQR63(法2)如圖，連結AE，則S—一x4x4—8(cm2),AABE2

而RBERABEF，所以竺=蘭而RBERABEF，所以竺=蘭=2,S=-S=-x8=16(cm2)EFEFaabr3山be33而S=SAMBQAANS=-x3x4x1=3

22（cm-），因為MN_MPDC~PC所以MP_1MC，則Samnp_2x2x4x1_3（cm2），陰影部分面積等于S-S-S+S_16-3-3+-_-(cm2).AABRAANSAMBQAMNP333【例26】如右圖，三角形【例26】如右圖，三角形ABC中,BD:DC_4:9，CE:EA_4:3，求AF:FB．【解析】根據(jù)燕尾定理得S:S_BD:CD_4:9_12:27AOB△AOCS:S_AE:CE_3:4_12:16AOB△BOC（都有△AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以S:S_27:16_AF:FB△AOC△BOC【點評】本題關鍵是把△AOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！【鞏固】如右圖，三角形ABC中，BD:DC_3:4,AE:CE_5:6，求AF:FB.【解析】根據(jù)燕尾定理得S:S_BD:CD_3:4_15:20AOB△AOCS:S_AE:CE_5:6_15:18AOB△BOC(都有△AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù))所以S:S_20:18_10:9_AF:FB△AOC△BOC【鞏固】如右圖，三角形ABC中，BD:DC_2:3,EA:CE_5:4，求AF:FB.【解析】根據(jù)燕尾定理得S:S_BD:CD_2:3_10:15△AOB△AOCS:S_AE:CE_5:4_10:8△AOB△BOC(都有△AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù))所以S:S_15:8_AF:FB△AOC△BOC

【點評】本題關鍵是把AAOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！的面積為【例27】如右圖，三角形ABC中,AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形ABC的面積是1,則三角形ABE，三角形AGE的面積為，三角形GHI的面積為.的面積為C【分析】連接AH、C【分析】連接AH、BI、C'=-SAABE5AABC5由于CE:AE二'=-SAABE5AABC55根據(jù)燕尾定理，S:S根據(jù)燕尾定理，S:S=CD:BD=2:3，S:S=CE:EA=3:2，所以AABGABCGAACG4S:S:S=4:6:9，則S=,S=AACGAABGABCGAACG19ABCG19AABG9那么S=-S=—x=；AAGE5AAGC51995同樣分析可得S同樣分析可得S'=,貝0EG:EH=S:S=4:9,EG:EB=S:S=4:19,所以AACH19AACGAACHAACGAACBEG:GH:HB=4:5:10，同樣分析可得AG:GI:ID=10:5:4,所以S=S=x—=-，S=S=x—=—ABIE10ABAE1055AGHI19ABIE19519【鞏固】如右圖，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形GHI的面積是1，求三角形ABC的面積．CC:S=BD:DC=3:2=9:6△ABG△AGCS6【解析】連接CC:S=BD:DC=3:2=9:6△ABG△AGCS6【解析】連接BG,S=6份△AGC

根據(jù)燕尾定理，S:S△AGC△BGC=AF:FB=3:2=6:4,S得S=4（份），S=9（份）,△BGC△ABG同理連接AI、CH得^△abhS△ABC19則S=19（份），因此fee△ABCS△ABC6所以S19-6-6-61△BIC=/所以AGHIS19S△ABC△ABC1919一19三角形GHI的面積是1，所以三角形ABC的面積是19倍.倍.【鞏固】如圖，AABC中BD=2DA，CE=2EB，AF=2FC，那么AABC的面積是陰影三角形面積的.【分析】如圖，連接AI?根據(jù)燕尾定理，S:S=BD:AD=2：1,S:S=CF:AF=1:2,ABCIAACIABCIAABI所以，S:S:S=1:2:4，那么，S=2S=-S-AACIABCIAABIABCI1+2+4AABC7AABC同理可知AACG和AABH的面積也都等于AABC面積的2，所以陰影三角形的面積等于AABC面積的7211-2x3=丄，所以AABC的面積是陰影三角形面積的7倍.77鞏固】如圖在△ABC中，DC=EA=FB=1求△鞏固】如圖在△ABC中，DB~FA~2'水△ABC的面積CC【解析】連接BG,設S=1份，根據(jù)燕尾定理S:S=AF:FB=2:1，S:S=BD:DC=2:1，得△BGC△AGC△BGC△ABG△AGCS=2（份）,S=4（份力則S=7（份），因此=2伺理連接AI、CH得TOC\o"1-5"\h\z△AGC△ABG△ABCS7△ABCS2S2丘所以S7—2—2—21S7S7S77△ABC△ABC△ABC點評】如果任意一個三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置上的圖形，雖然形狀千變?nèi)f化，但面積是相等的，這在這講里面很多題目都是用“同理得到”的，即再重復一次解題思路，因此我們有對稱法作輔助線.【例28】如圖，三角形ABC的面積是1,BD=DE=EC,CF=FG=GA，三角形ABC被分成9部分，請寫出這9部分的面積各是多少?【解析】設BG與AD交于點P,BG與AE交于點Q,BF與AD交于點M,BF與AE交于點N.連接CP,CQ,CM，CN．同理可得，S=-/S=—而S=1—/所以S21_3，S121△ABQ7△ABN2△ABG3△APQ一7一5△AQG一3~7~21同理，S_3S=丄，所以S1239:/△BPM一35△BDM21四邊形PQMN2一7一35—701395。1151。1115S=——=,S=—=—'S=二—四邊形MNED3357042四邊形NFCE321426四邊形GFNQ321642根據(jù)燕尾定理，S:S=AG:GC=1:2,S:S=BD:CD=1：2，設S=1（份）,則△ABP△CBP△ABP△ACP△ABPS=1+2+2=5（份），所以S=-△ABC△ABP5E是BC邊的三等分點，點F、G是AC邊的三等分點，那么四邊形【鞏固】如圖，AABC的面積為1,點D、JKIH的面積是多少？【解析】連接CK、CI、根據(jù)燕尾定理，所以S:SAACKAABK類似分析可得SCDFEGCJ．S:S=CD:BD=1:2AACKAABK:SACBK=上2；4，那么SAACKAAGI15AABK1:SACBK1=AG:CG=1:2,，S=-SAAGK3AACK21又S:S=AF:CF=2:1AABJACBJ1117那么，SCGKJ42184根據(jù)對稱性,可知四邊形CEHJ的面積也為□,那么四邊形JKIH周圍的圖形的面積之和為84SCGKJ'2+hl+J二護+3二70，所以四邊形的面積為,S:S,S:S=BD:CD=2:1，可得SAABJAACJAACJ4【例29】右圖，5ABC中，G是AC的中點，D、E、F是BC邊上的四等分點，AD與BG交于M，AF與BG交于N，已知AABM的面積比四邊形FCGN的面積大7.2平方厘米，則AABC的面積是多少平方厘米？△ABM:S△ABM:S=AG:GC=1:1△CBMS:S=BD:CD=1:3，所以S=1S△ABM△ACM△ABM5△ABC【解析】連接CM、CN?根據(jù)燕尾定理，S再根據(jù)燕尾定理，S:S再根據(jù)燕尾定理，S:S=AG:GC=1:1，所以S△ABN△CBNAN:NF=4:3，那么△ANG—X—/所以SS-4+37FCGN△AFC根據(jù)題意，有1S-—S—7.2，可得S—336（平方厘米）5△ABC28△ABC△ABC=4:3，所以':S=S:S△ABN△FBN△CBN△FBN<2、5151--S=-x-S=—S74△ABC28△ABC△AFC【例30】如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA的三等分點,求陰影部分面積.解析】三角形在開會，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI與CD的交點為M，AF與CD的交點為N，BI與AF的交點為P,BI與CE的交點為Q,連接AMBN、CP⑴求S:在△ABC中根據(jù)燕尾定理，s:S—AI:CI—1:2S:S—AD:BD—1:2四邊形ADMI△ABM△CBM△ACM△CBM設s-1（份），則s—2（份）,s—1（份）/s—4（份）,△ABM△CBM△ACM△ABC所以s—s--s，所以s--s-丄s,s-丄s/△ABM△ACM4△ABC△ADM3△ABM12△ABC△AIM12△ABC所以s—（-L+丄）s-1s/四邊形ADMI1212△ABC6△ABC同理可得另外兩個頂點的四邊形面積也分別是AABC面積的16⑵求S:在△ABC中根據(jù)燕尾定理s:S—BF:CF—1:2S:S—AD:BD—1:2/五邊形DNPQE△ABN△ACN△ACN△BCN所以s—1S—1X1S——S，同理S——S△ADN3△ABN37△ABC21△ABC△BEQ21△ABCCF—1:2,s:s—AI:CI—1:2△ABP△CBPs-s—[111]11s———s△ADN△BEP:-2121丿△ABC105△ABC，所以s—1-1—X3-11x3-13陰影610570G、H、I分別是AB、BC、CAG、H、I分別是AB、BC、CA的三等分點,求中心六邊形△ABP△ACP所以S-1S，所以S-S—△ABP-△ABC五邊形DNPQE△ABP同理另外兩個五邊形面積是△ABC面積的丄105【例31】如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、面積.DHDH【解析】設深黑色六個三角形的頂點分別為N、RP、S、M、Q,連接CR

在AABC中根據(jù)燕尾定理，s:S—BG:CG.—2:1,△ABR△ACR

S:S=AI:CI=1:2△ABR△CBR所以S=-S伺理S=-S/S=-S△ABR7△ABC△ACS7△ABC△CQB7△ABC所以s=1-2-2-2=1，同理S=1△RQS7777△MNP7根據(jù)容斥原理，和上題結果S=1+1-匕=丄六邊形777010課后練習：練習1?已知ADEF的面積為7平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF，求AABC的面積.【解析】S:S=(BDxBE):(BAxBC)=(1x1):(2x3)=1:6,△BDE△ABCS:S二(CExCF):(CBxCA)二(1x3):(2x4)二3:8△CEF△ABCS:S二(ADxAF):(ABxAC)二(2x1):(3x4)二1:6△ADF△ABC設S=24份，則S=4份，S=4份，S=9份，S=24-4-4-9=7份，恰好是7平△ABC△BDE△ADF△CEF△DEF方厘米，所以S=24平方厘米△ABC【解析】連接BD.由共角定理得s:S=(CDxF練習2?如圖，四邊形EFGH的面積是66平方米，EA=AB,CB=BF,DC=CG【解析】連接BD.由共角定理得s:S=(CDxF△CDB△BCD△CGF△△CDB同理S:S=1:2，即S=2sABD△AHE△AHE△ABD所以S+S=2(S+S)=2SAHE△CGF△CBD△ADB四邊形ABCD連接AC，同理可以得到S+S=2s△DHG△BEF四邊形ABCDS=S+S+S+S+S=5S四邊形EFGH△AHEACGF△HDG△BEF四邊形ABCD四邊形ABCD所以S=66十5=13.2平方米四邊形ABCD練習3?正方形ABCD的面積是120平方厘米，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，四邊形BGHF的面積是平方厘米.

DCDC由題意可得到：EG:GC=EB:CD=1:2，所以可得：s=1SAEBG3ABCE將AB、DF延長交于M點，可得：BM:DC=MF:FD=BF:FC=1:1,12而EH:HC=EM:CD=(qAB+AB):CD=3:2，得CH=5CE而CF=1BC，所以S=1x-S=1S2ACHF25ABCE5ABCETOC\o"1-5"\h\zS=1x1ABxBC=1x120=30ABCE2241177S=S——S——S=S=x30=14.四邊形BGHFAEBC3AEBC5AEBC15AEBC15本題也可以用蝴蝶定理來做，連接EF，確定H的位置(也就是FH:HD)，同樣也能解出.練習4?如圖，已知AB=AE=4cm,BC=DC,ZBAE=ZBCD=90。,AC=10cm，則S+S+SAABCAACEACDEcm2.A'A'【解析】將三角形ABC繞A點和C點分別順時針和逆時針旋轉(zhuǎn)90，構成三角形AEC'和A'DC，再連接A'C',顯然AC丄AC',AC丄A'C,AC=A'C=AC'，所以ACA'C'是正方形.三角形AEC'和三角形A'DC【解析】將三角形ABC繞A點和C點分別順時針和逆時針旋轉(zhuǎn)90S=S；S=S；S=S.AAECAA'DC'AAEC'AA'DCACEDAC'DE所以S+S+S=S+S+S=1S口=1x10x10=50cm-.AABCAACEACDEAAEC'AACEACDE—ACA'C'2練習5?如圖，正方形ABCD的面積是120平方厘米，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，四邊形BGHF的面

積是平方厘米.

【解析】連接BH，根據(jù)沙漏模型得BG:GD=1:2，設S【解析】連接BH，根據(jù)沙漏模型得BG:GD=1:2，設S

此S=(1+2+2)x2=10份，S正方形BFHG=1份，根據(jù)燕尾定理S=2份，S=2份，因練習6.△BHC△CHD△BHD1277=-+—=-，所以S=120一10x7=14（平方厘米）.236BFHG6如圖，AABC中，點D是邊AC的中點，點E、邊形CDMF的面積是.F是邊BC的三等分點，若AABC的面積為1,那么四【解析】由于點D是邊AC的中點，點E、F是邊BC的三等分點，如果能求出BN、NM、MD三段的比，那么所分成的六小塊的面積都可以求出來，其中當然也包括四邊形CDMF的面積.連接CM、CN.根據(jù)燕尾定理，S:S=BF:CF=2:1,而S=2S，所以S=2S=4S，那么AABMAACMAACMAADMAABMAACMAADM4BM=4DM，即BM=5BD.那么SABMF那么SABMFBMBF4214xxS二一xx-=,SBDBCABCD5321521530另解：得出S=2S=4S后，可得S=1S=-x-=—AABMAACMAADMAADM5AABD52103飛一30'=S3飛一30四邊形CDMFAACFAADM練習7.如右圖，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=4:3，且三角形ABC的面積是-4，求角形GHI練習7.CCCC【解析】連接BG,S=12份△AGC根據(jù)燕尾定理，S:S=AF:FB=根據(jù)燕尾定理，S:S=AF:FB=4:3二12:9,S:S=BD:DC=4:3=16:12△AGC△BGC△ABG△AGC得S=9（份），S=16（份），則S=9+12+16=37（份）,因此‘△agc=△BGC△ABG△ABCS△ABC37-12-12-1211237同理連接A/、CH得=S△ABC12S△BIC=^-，所以，AGHI=37S37S△ABC△ABC3737三角形ABC的面積是74，所以三角形GHI的面積是74x丄=237月測備選備選1】按照圖中的樣子，在一平行四邊形紙片上割去了甲、乙兩個直角三角形．已知甲三角形兩條直角邊分別為2cm和4cm，乙三角形兩條直角邊分別為3cm和6cm，求圖中陰影部分的面積.463乙