天津大學(xué)《工程振動與測試》課程 學(xué)習(xí)指南

學(xué)習(xí)指南第一篇工程振動理論第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動1.1主要內(nèi)容1.無阻尼系統(tǒng)的自由振動2.計算固有頻率的能量法3.瑞利法4.有阻尼系統(tǒng)的衰減振動1.2基本要求正確理解固有頻率、等效剛度等概念。會根據(jù)所給條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń⑾到y(tǒng)的微分方程。掌握求解固有頻率的方法。求解系統(tǒng)運動方程的方法。1.3重點討論等效系統(tǒng)參數(shù)及確定；固有頻率的求解。1.4例題分析例1-1一個質(zhì)量為m的物塊從h的高處自由落下，與一根抗彎剛度為EJ、長為l的簡支梁作塑性碰撞，如圖所示。不計梁的質(zhì)量，求該系統(tǒng)自由振動的頻率、振幅和最大撓度。解：當(dāng)梁的質(zhì)量可以略去不計時，梁可以用一根彈簧來代替，因此這是一個單自由度系統(tǒng)。如果知道系統(tǒng)的靜變形st，則可求出系統(tǒng)的固有頻率由材料力學(xué)可知，簡支梁受集中載荷作用，其中點的靜撓度為可求出系統(tǒng)的固有頻率為以梁承受重物時的靜平衡位置為坐標(biāo)原點O，建立坐標(biāo)系如圖所示，并以撞擊時刻為零瞬時，則時，有，自由振動的振幅為梁的最大撓度為例1-2質(zhì)量為m的物塊懸掛如圖所示。設(shè)桿AB的質(zhì)量不計，兩彈簧的彈簧常量分別為k1和k2,又AC=a，AB=b，求物塊的自由振動頻率。解：應(yīng)用等效彈簧剛度求解。為此，要將各彈簧的彈簧常量按靜力等效的原則，折算到質(zhì)量所在處。先將彈簧常量k2換算至質(zhì)量m所在處C的等效彈簧常量。設(shè)在C處作用一力F，按靜力平衡的關(guān)系，作用在B處的力應(yīng)為，由此力使彈簧k2產(chǎn)生的變形，而此變形使C點發(fā)生的變形為由此得到作用在C處而與k2彈簧等效的彈簧常量然后再將其與彈簧k1串聯(lián)，可得整個系統(tǒng)的等效彈簧常量物塊的自由振動頻率為第2章單自由度系統(tǒng)的受迫振動2.1主要內(nèi)容1.簡諧激勵作用下的受迫振動2.周期激勵作用下的受迫振動3.任意激勵作用下的受迫振動4.響應(yīng)譜2.2基本要求1.正確理解激勵函數(shù)：連續(xù)函數(shù)與離散函數(shù)；周期函數(shù)與非周期函數(shù)；沖激函數(shù)與階躍函數(shù)。2.掌握簡諧激勵作用下的受迫振動的方程的建立和求解。3.掌握周期激勵作諧波分析的方法。4.掌握任意激勵作用下的受迫振動的微分方程和求解。2.3重點討論激勵的響應(yīng)及幅頻特性曲線和相頻特性曲線及其應(yīng)用。2.4例題分析例2-1質(zhì)量為M的電機(jī)安裝在彈性基礎(chǔ)上。由于轉(zhuǎn)子不均衡，產(chǎn)生偏心，偏心距為e，偏心質(zhì)量為m。轉(zhuǎn)子以勻角速轉(zhuǎn)動如圖(a)所示，試求電機(jī)的運動。彈性基礎(chǔ)的作用相當(dāng)于彈簧常量為k的彈簧。設(shè)電機(jī)運動時受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數(shù)為c。解：取電機(jī)的平衡位置為坐標(biāo)原點O，x軸鉛直向下為正。作用在電機(jī)上的力有重力Mg、彈性力F、阻尼力FR、虛加的慣性力FIe、FIr，受力圖如圖(b)所示。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，有 令，則上式可寫成 (a)因此，電機(jī)作受迫振動的運動方程為 其中 (b) (c)其中。令放大系數(shù)，即 (d)繪出幅頻特性曲線和相頻特性曲線，如圖所示。由圖可見，當(dāng)阻尼比較小時，在=1附近，值急劇增大，振幅出現(xiàn)峰值，即發(fā)生共振，這一點與圖所表示的情況是相同的。由于激振力的幅值me2與2成正比，即隨而變，不再是常量。如當(dāng)→0時，≌0，B→0；當(dāng)>>1時，→1，B→b，即電機(jī)的角速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于振動系統(tǒng)的固有頻率時，該系統(tǒng)受迫振動的振幅趨近于。當(dāng)激振力的頻率即電機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度等于系統(tǒng)的固有頻率pn時，該振動系統(tǒng)產(chǎn)生共振，此時電機(jī)的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。因此，對于轉(zhuǎn)速恒定的振動系統(tǒng)來說，為了避免出現(xiàn)共振現(xiàn)象，務(wù)必使其轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)離系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。圖響應(yīng)曲線例2-2在圖所示的系統(tǒng)中，物塊受粘性欠阻尼作用，其阻尼系數(shù)為c，物塊的質(zhì)量為m，彈簧的彈性常量為k。設(shè)物塊和支撐只沿鉛直方向運動，且支撐的運動為,試求物塊的運動規(guī)律。解：選取y=0時物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點O，建立固定坐標(biāo)軸Ox鉛直向上為正。由圖所示的受力圖，建立物塊的運動微分方程即（a）或?qū)懗桑╞）力由兩部分組成，一部分是由彈簧傳遞過來的ky，相位與y相同；另一部分是由阻尼器傳遞過來的,相位比y超前。利用復(fù)指數(shù)法求解，用代換，并設(shè)方程（a）的解為（c）代入方程（a），得（d）式中B為振幅，為響應(yīng)與激勵之間的相位差，顯然有（e）（f）方程（a）的穩(wěn)態(tài)解為（g）令放大系數(shù)，即（h）繪出幅頻特性曲線和相頻特性曲線，如圖所示。由圖可見，當(dāng)頻率比和時，無論阻尼比為多少，振幅B恒等于支承運動振幅b；當(dāng)＞2時，振幅B小于b，增加阻尼反而使振幅B增大；當(dāng)時(若很小，則)，出現(xiàn)峰值，發(fā)生共振現(xiàn)象。在相頻曲線中，對于＜1，相位差＞1對于＞0，有時，時，。圖響應(yīng)曲線第3章振動系統(tǒng)的運動微分方程3.1主要內(nèi)容1.牛頓定律和普遍定理2.拉格朗日（Lagrange）運動方程3.剛度影響系數(shù)作用力方程4.柔度影響系數(shù)位移方程3.2基本要求1.掌握用牛頓定律和動能定理、動量定理、動量矩定理建立系統(tǒng)微分方程的方法。2.學(xué)會用剛度影響系數(shù)法建立系統(tǒng)微分方程的方法。3.學(xué)會用柔度影響系數(shù)法建立系統(tǒng)微分方程的方法。3.3重點討論用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的剛度矩陣、柔度矩陣和質(zhì)量矩陣的方法。3.4例題分析例3-1試寫出圖所示剛體AB的剛度矩陣并建立系統(tǒng)的運動微分方程。解：剛體AB在圖面內(nèi)的位置可以由其質(zhì)心C的坐標(biāo)yC(以水平位置O為坐標(biāo)原點，且水平運動不計)和繞C的轉(zhuǎn)角確定。圖（a）為時的受力圖，k11，k21分別表示保持系統(tǒng)在該位置平衡，應(yīng)加在C點的力和力偶矩，由剛體AB的平衡條件得到圖（b）為時的受力圖，k22，k12分別表示保持系統(tǒng)在該位置平衡，應(yīng)加在鉛直平面內(nèi)的力偶矩和加在C點的力。由平衡條件得因此，可得到剛度矩陣圖（c）為取任意值時，剛體AB作平面運動的受力圖，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，可寫出系統(tǒng)的運動微分方程整理后得到或第4章多自由度系統(tǒng)的振動4.1主要內(nèi)容1.固有頻率主振型2.主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)3.固有頻率相等的情形4.無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)5.質(zhì)量、剛度的變化對固有頻率的影響6.無阻尼振動系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)7.有阻尼系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)8.復(fù)模態(tài)理論4.2基本要求1.正確理解主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)等概念。2.掌握求解固有頻率和主振型的方法。3.掌握求解無阻尼振動系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)的方法。4.掌握求解有阻尼振動系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)的方法。4.3重點討論由頻率方程求解固有頻率及求解陣型的方法。4.4例題分析例4-1圖(a)所示為一三層剛架式框架，設(shè)自上到下，各層樓面的質(zhì)量（包括柱子折算的質(zhì)量）分別為m1=m2=m3=270t，各層的側(cè)移剛度分別為k1=98MN/m，k2=2k1=196MN/m，k3=3k1=294MN/m，求剛架的自振頻率和振型。設(shè)橫梁變形略去不計。解：（1）求頻率此結(jié)構(gòu)為三自由度系統(tǒng)。首先建立剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。在各樓層處加水平鏈桿，并分別使各樓層產(chǎn)生一個單位的相對位移。由各層的剪力平衡條件，可求得各剛度系數(shù)，其數(shù)值分別如圖(b)、(c)、(d)所示，于是得剛度矩陣 (a)根據(jù)題意，質(zhì)量矩陣為 (b)根據(jù)頻率方程 (c)得 (d)式中 (e)展開式(d)，得 (f)解式(f)，得它的三個根為 (g)式(g)代入式(e)得三個自振頻率為 圖三層剛架式框架（2）求振型為求系統(tǒng)的主振型，則依據(jù)式(K–p2M)A=0，振型如圖(a)、(b)、(c)所示圖三階主振型第5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計算方法5.1主要內(nèi)容1.瑞利(Rayleigh)能量法2.李茲(Ritz)法3.鄧克萊(Dunkerley)法4.矩陣迭代法5.子空間迭代法6.傳遞矩陣法5.2基本要求1.掌握瑞利(Rayleigh)能量法。2.掌握矩陣迭代法。3.掌握傳遞矩陣法。4.掌握子空間迭代法。5.3重點討論用能量法求解固有頻率及陣型的近似解法。5.4例題分析例5-1圖所示系統(tǒng)是一個由四圓盤組成的扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)，各圓盤的轉(zhuǎn)動慣量分別為I1=I3=0.4kgm2，I2=I4=0.1kgm2；軸間的剛度為k1=k5=0，k2=k4=10kNm/rad，k3=20kNm/rad試求系統(tǒng)的固有頻率及主振型。圖四圓盤扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)解：從圓盤1開始，由邊界條件，于是（a）圓盤2的狀態(tài)矢量為（b）圓盤3的狀態(tài)矢量為（c）圓盤4的狀態(tài)矢量為（d）將以上四式連接起來，有（e）對于式（e）代入數(shù)據(jù)，并由邊界條件，可得頻率方程，即解出.將p1=0代入式(a),(b),(c),(d)，可得，即對應(yīng)于剛體振型。同理，將其它三階固有頻率分別代入式(a),(b),(c),(d)，則得到對應(yīng)的主振型為第6章彈性體的一維振動6.1主要內(nèi)容1.桿的縱向振動2.桿的縱向受迫振動3.梁的橫向自由振動4.梁的橫向受迫振動5.轉(zhuǎn)動慣量、剪切變形對梁振動的影響6.軸向力作用對梁的橫向振動的影響7.梁橫向振動的近似解法6.2基本要求1.掌握桿的縱向自由振動的偏微分方程的建立及固有頻率的求解。2.掌握桿的縱向受迫振動的偏微分方程的建立及響應(yīng)的求解。3.了解梁的橫向自由振動的偏微分方程的建立及固有頻率的求解。4.了解梁的橫向受迫振動的偏微分方程的建立及響應(yīng)的求解。6.3重點討論重點討論桿的縱向自由振動的偏微分方程的建立及固有頻率的求解。6.4例題分析例6-1一均質(zhì)等截面細(xì)直桿，長為l，單位長度的質(zhì)量為，橫截面積為A，材料的彈性模量為E。其一端固定，另一端連接彈簧常數(shù)為k的彈簧，試求桿的縱向振動的固有頻率及主振型。解：桿的端部連接彈簧或帶有集中質(zhì)量時，桿的邊界條件稱為復(fù)雜邊界條件。當(dāng)桿作縱向振動時，如桿的右端是彈簧支承如圖所示，則相當(dāng)于作用在其端之力為-kU（l）。因此，邊界條件為（a）由式（a）中的第一式，得到（b）由式（b）中的U（x）及代入式（a），得（c）或?qū)懗桑╠）式（d）即為頻率方程。其中，；是x=l處桿的抗壓剛度，是桿的抗壓剛度與彈簧的彈性常數(shù)之比；相應(yīng)于固有頻率pi的主振型為（e）討論兩個極端的情況。當(dāng)時，相當(dāng)于固定端，有,即則頻率方程為相應(yīng)的主振型為若k=0，相當(dāng)于自由端，即第7章振動問題的有限元法7.1主要內(nèi)容1.單元特性分析2.坐標(biāo)轉(zhuǎn)換3.系統(tǒng)的動力響應(yīng)計算7.2基本要求1.掌握有限元的基本概念及質(zhì)量矩陣的兩種形式對計算結(jié)果的影響。2.掌握坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的基本概念及固有頻率和振型的計算方法。7.3重點討論有限元法是力學(xué)模型系統(tǒng)上近似的數(shù)值計算方法。它先將擬分析的工程結(jié)構(gòu)模型，假想地分割成有限個單元，組成離散化模型。各個單元之間在單元的外節(jié)點處互相連接起來，單元節(jié)點可為鉸接或其它形式。然后導(dǎo)出各單元體的運動方程式，最后將這些單元體的運動方程式疊加而得到離散了的工程結(jié)構(gòu)的有限元運動方程式。所得結(jié)果的精確程度取決于單元體的劃分。重點討論有限元法的基本過程：（1）將結(jié)構(gòu)離散化，即把結(jié)構(gòu)劃分成離散的單元。（2）考慮單元的性質(zhì)，建立單元的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、載荷矩陣，推導(dǎo)出單元體的運動方程式。（3）組合與疊加各單元的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣，得到整個離散系統(tǒng)的運動方程式。（4）解特征方程，求出頻率與振型，或求解動力響應(yīng)問題和動應(yīng)力問題。有限元法中的分析順序是比較固定的，安排標(biāo)準(zhǔn)程序和通用程序的應(yīng)用。7.4例題分析例7.1試用有限元法列出圖所示的簡支梁的彎曲自由振動方程式。已知梁長為L，抗彎截面模量為EI，單位長度的質(zhì)量為。解:將梁離散分為二個單元，單元長，現(xiàn)取其中一個單元研究，并確定N及B。單元節(jié)點位移矢量現(xiàn)假設(shè)單元中的點的位移函數(shù)為多項式由于單元有四個端點位移，所以有四個待定常數(shù)。寫成矩陣形式為由邊界條件時，，。得到，時，，將以上各式改寫為由此解出四個待定常數(shù)為于是得到其中,,現(xiàn)求應(yīng)變與位移的關(guān)系矩陣B。梁的應(yīng)變?yōu)橛谑怯袘?yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系為，即D=E，可求得單元剛度矩陣。注意到，得單元剛度矩陣為單元質(zhì)量矩陣為現(xiàn)在，進(jìn)一步求結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣和總質(zhì)量矩陣。首先將單元編碼如圖所示，取統(tǒng)一的總體坐標(biāo)系，寫出結(jié)構(gòu)的位移列矩陣和單元的位移列矩陣，尋找位移列矩陣與結(jié)構(gòu)位移列矩陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系。結(jié)構(gòu)位移列矩陣稱為單元節(jié)點位移轉(zhuǎn)換矩陣，表示為同樣可得單元②的節(jié)點位移轉(zhuǎn)換矩陣其中0和I都是2×2階子矩陣。兩單元的剛度矩陣為現(xiàn)求總剛度矩陣K采用分塊矩陣乘法得疊加以上結(jié)果，得到同樣質(zhì)量矩陣也按類似方法疊加，于是得到簡支梁整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。因為簡支梁在x=0和x=l處，點的位移為零，即，因此可以刪去第一行、第五行及第一列、第五列，于是得簡支梁的振動方程式為將代入，得到第8章振動控制8.1主要內(nèi)容1.振動的被動控制技術(shù)2.減振器3.振動的主動控制技術(shù)8.2基本要求1.正確理解振源、傳遞途徑、系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性、減振措施等。2.掌握無阻尼動力減振器系統(tǒng)的特性、描述方法。3.掌握設(shè)計無阻尼動力減振器系統(tǒng)的方法。8.3重點討論振動控制就是設(shè)計或改善一種系統(tǒng)，使它能夠抑制不希望產(chǎn)生的振動或減小傳輸?shù)牧蜻\動，包括慣性、強(qiáng)度、阻尼的設(shè)計，甚至包括含有自由度數(shù)目在內(nèi)的構(gòu)造體系的設(shè)計。8.4例題分析例8-1如圖所示，已知機(jī)器質(zhì)量m1=90kg，減振器質(zhì)量m2=2.25kg，若機(jī)器上有一偏心質(zhì)量kg，偏心矩e=1cm，機(jī)器轉(zhuǎn)速n=1800r/min。試問∶(1)彈簧剛度k2多大，才能使機(jī)器振幅為零?(2)此時振幅B2為多大?(3)若使振幅B2不超過2mm，參數(shù)m2，k解：建立廣義坐標(biāo)由圖示。得作用力方程為設(shè)，代入上式得由已知條件知：作用在機(jī)器上的激振力 （1）若滿足，則機(jī)器振幅為零則 N/m（2）此時： mm（3）令B2＝2(mm)則： 同時滿足 第9章彈性體的復(fù)雜振動(擴(kuò)展性內(nèi)容，自學(xué)參考)(略)第10章非線性振動10.1主要內(nèi)容1.非線性振動方程的數(shù)值求解方法。2.非線性振動方程的近似求解方法――平均法。3.非線性振動方程的求解方法的工程應(yīng)用。10.2基本要求1.正確理解非線性振動系統(tǒng)的方程建立過程，并掌握其基本概念等。2.掌握非線性振動方程的數(shù)值解法及近似解法基本思路。10.3重點討論在工程技術(shù)領(lǐng)域中，非線性系統(tǒng)振動與線性系統(tǒng)振動一樣，是一種常見的運動現(xiàn)象。在線性系統(tǒng)的研究中可以應(yīng)用疊加原理，系統(tǒng)對不同激勵的響應(yīng)可以線性相加，而對非線性系統(tǒng)疊加原理不成立，因此對非線性系統(tǒng)的研究比線性系統(tǒng)要復(fù)雜得多。因而從研究方法上或是振動過程的變化規(guī)律上，非線性振動與線性振動之間有本質(zhì)區(qū)別。在非線性振動的研究中，求非線性微分方程的解析解非常困難。非線性振動的基本研究方法有定性方法和定量方法。定性方法關(guān)心的是在已知解的鄰域內(nèi)系統(tǒng)的一般穩(wěn)定性特征，并非尋求與時間相關(guān)的解。而定量方法關(guān)心的是運動的時間歷程，一般應(yīng)用攝動法來求得這類方程的近似解析解。10.4例題分析例10-1應(yīng)用平均法求解范德波方程 解：與方程(10-1)比較，，注意到變換關(guān)系=t+，將其代入方程(10-24)中，有 (a) (b)將式(a)變換為 分離變量后得到 積分后，有 應(yīng)用初始條件：，于是 或者寫成 于是最后解得 由式(b)解得 故而得到范德波方程的解為 這個近似解給出了整個運動過程。在任意給定的初始條件a0，0的條件下，經(jīng)過一個周期2后，振幅將增大或減小，當(dāng)a0>2時，振幅減??；當(dāng)a0<2時，振幅將增大，當(dāng)t→∞，趨于定常的周期運動，方程為 第二篇測試技術(shù)測試技術(shù)部分是論述性課程，只要大家認(rèn)真聽講及閱讀其中的內(nèi)容，并記住有關(guān)注意事項即可。所以，在第11、12、13章節(jié)中，不在進(jìn)行例題分析，所有內(nèi)容都包含在教材及教學(xué)錄像中。第11章振動傳感器的工作原理11.1主要內(nèi)容1.傳感器的機(jī)械接收原理2.傳感器的機(jī)電變換原理11.2基本要求了解振動傳感器的機(jī)電變換原理的基本概念。掌握傳感器的機(jī)械接收原理所要滿足的力學(xué)條件及推導(dǎo)方法。11.3重點討論位移傳感器的接收條件和加速度傳感器的接收條件11.4例題分析(略)第12章振動測量系統(tǒng)12.1主要內(nèi)容1.微積分放大器和濾波器2.壓電加速度傳感器和電渦流傳感器的測試系統(tǒng)的工作原理3.激振設(shè)備的工作原理和應(yīng)用4.振動傳感器的校準(zhǔn)12.2基本要求1．了解微積分放大器和濾波器的工作原理和使用方法。2.掌握壓電加速度傳感器和電渦流傳感器的測試系統(tǒng)的使用方法及激振設(shè)備的應(yīng)用范圍及操作。3.掌握振動傳感器的校準(zhǔn)方法。12.3重點討論壓電加速度傳感器測試系統(tǒng)的工作原理，激振設(shè)備的應(yīng)用范圍，振動傳感器的校準(zhǔn)方法。12.4例題分析(略)第13章基本振動參數(shù)的測量及模擬平穩(wěn)信號分析13.1主要內(nèi)容1.振動頻率和幅值的測量2.兩個相同頻率簡諧振動的相位差測量3.衰減系數(shù)的測試方法13.2基本要求1．了解測量振動頻率、幅值和兩個相同頻率簡諧振動的相位差儀器的工作原理。2.掌握振動頻率和幅值、兩個相同頻率簡諧振動的相位差和衰減系數(shù)的測試方法。3.掌握測量衰減系數(shù)的三種測試方法和理論推導(dǎo)。13.3重點討論測量衰減系數(shù)的三種測試?yán)碚摷皯?yīng)用范圍。例題分析(略)第14章數(shù)字信號分析14.1主要內(nèi)容1.傅里葉變換及采樣定理2.快速傅里葉變換及窗函數(shù)3.虛擬儀器及數(shù)字信號分析儀的工作原理14.2基本要求1.正確理解采樣定理的條件及對傅里葉變換結(jié)果的影響。2.正確理解泄漏及加窗函數(shù)的意義。3.掌握虛擬儀器的編制和數(shù)字信號分析儀的工作原理。14.3重點討論采樣定理的應(yīng)用和窗函數(shù)的物理意義。14.4例題分析例14-1、計算填空題已知：mm，若應(yīng)用離散傅里葉變換式進(jìn)行傅里葉變換，則若50.06251Hz，采樣頻率為128.0Hz，N＝1024點，測試顯示的結(jié)果的頻率應(yīng)為Hz？若采樣頻率為256Hz，N＝2048點。采樣的時間間隔t=，傅里葉變換后在幅頻曲線中的頻率間隔f＝Hz，若加矩形窗振幅為