工學第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2-2課件

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型目的

建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型，為課程的后續(xù)內容提供必備的工具內容掌握微分方程和傳遞函數(shù)模型的建立方法掌握數(shù)學模型的相互轉換掌握用結構圖等效變換求傳遞函數(shù)方法會用Mason公式求傳遞函數(shù)回顧拉氏變換的有關性質和定理11/11/20221第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型內容11/9/2022111/11/2022211/9/20222問題以微分方程作為系統(tǒng)的數(shù)學模型，當系統(tǒng)的參數(shù)變化時，系統(tǒng)的特性如何分析？11/11/20223問題以微分方程作為系統(tǒng)的數(shù)學模型，當系統(tǒng)的參數(shù)11/11/2022411/9/20224§2.4傳遞函數(shù)理解傳遞函數(shù)的定義 掌握列寫傳遞函數(shù)的方法掌握典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)掌握系統(tǒng)的傳遞函數(shù)11/11/20225§2.4傳遞函數(shù)理解傳遞函數(shù)的定義 11/9/2系統(tǒng)微分方程初始條件為零時，拉氏變換為11/11/20226系統(tǒng)微分方程初始條件為零時，拉氏變換為11/9/20226

傳遞函數(shù)的概念和定義

在零初始條件下，系統(tǒng)或環(huán)節(jié)輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)則輸出的拉氏變換為11/11/20227傳遞函數(shù)的概念和定義在零初始例1：設有一個RC濾波電路如圖2-8所示，由基爾霍夫定律求得電路的微分方程為若電容兩端的初始電壓uo（0）＝0，對式（2-35）取拉氏變換得或

傳遞函數(shù)模型的列寫11/11/20228例1：設有一個RC濾波電路如圖2-8所示，由基爾霍夫定律求得所以電路輸出量的拉氏變換為現(xiàn)將式（2-36）改寫為輸入到輸出的傳遞關系11/11/20229所以電路輸出量的拉氏變換為輸入到輸出的傳遞關系11/9/20傳遞的數(shù)量關系：零初始條件下，輸出量的拉氏變換等于輸入量的拉氏變換乘上傳遞函數(shù)G（s）。這種關系可用圖2-9表示出來圖2-9傳遞函數(shù)框圖從這個意義上說，傳遞函數(shù)又可稱為復放大系數(shù)11/11/202210傳遞的數(shù)量關系：零初始條件下，輸出量的拉氏變換等于輸入量的拉問題為什么可以在零初始條件下做Laplace變換的方式定義傳遞函數(shù)（模型）？初始條件非0情況下，傳遞函數(shù)能否刻畫系統(tǒng)的全部信息？11/11/202211問題為什么可以在零初始條件下做Laplace變換的方式定義傳例2：圖2-8所示系統(tǒng)，初始條件

輸入 解：由基爾霍夫電壓定律

拉氏變換11/11/202212例2：圖2-8所示系統(tǒng)，初始條件

輸入 解：由基爾霍夫拉氏反變換影響輸出的三因素：1）輸入信號2）初始值3）結構參數(shù)（曲線形狀－影響系統(tǒng)的性能）11/11/202213拉氏反變換影響輸出的三因素：（曲線形狀－影響系統(tǒng)的性能）11結構參數(shù)不隨初始值變化結構參數(shù)是系統(tǒng)固有的屬性故零初始條件下的拉氏變換之比（傳遞函數(shù)），不隨初始條件變化（曲線形狀不變－系統(tǒng)性能不變）11/11/202214結構參數(shù)不隨初始值變化（曲線形狀不變－系統(tǒng)性能不變）11/9例3：RLC電路傳遞函數(shù)模型LR＋－ui(t)u0(t)＋－C解：取為輸入量，輸出量，得11/11/202215例3：RLC電路傳遞函數(shù)模型LR＋－ui(t)u0(t)＋在零初始條件下做拉氏變換，得11/11/202216在零初始條件下做拉氏變換，得11/9/202216由牛二：機械系統(tǒng)微分方程為例4：彈簧阻尼器系統(tǒng)零初始條件下，將方程兩邊做拉氏變換11/11/202217由牛二：機械系統(tǒng)微分方程為例4：彈簧阻尼器系統(tǒng)零初始條件下，RLC電學系統(tǒng)傳遞函數(shù)彈簧阻尼器系統(tǒng)傳遞函數(shù)力學系統(tǒng)、電學系統(tǒng)具有相同結構形式的傳遞函數(shù)11/11/202218RLC電學系統(tǒng)傳遞函數(shù)彈簧阻尼器系統(tǒng)傳遞函數(shù)力學系統(tǒng)、電學系不同元部件也可以有相同傳遞函數(shù)電容：阻尼器：傳遞函數(shù)形如（*）式的一類元件的傳遞函數(shù)模型統(tǒng)稱為積分環(huán)節(jié)。（*）11/11/202219不同元部件也可以有相同傳遞函數(shù)電容：傳遞函數(shù)形如（*）式的一傳遞函數(shù)的信息關系確定了輸入信號U(s)與輸出信號Y(s)之間的信息傳遞關系確定了系統(tǒng)的固有特性信息由分母多項式描述(部分分式法Laplace反變換)確定了系統(tǒng)與外界聯(lián)系方式信息由分子多項式表示11/11/202220傳遞函數(shù)的信息關系確定了輸入信號U(s)與輸出信號Y(s)之傳遞函數(shù)的表示形式只適用于線性定常系統(tǒng)是在零初始條件下定義的只表示系統(tǒng)的端口關系輸入輸出之間關系11/11/202221傳遞函數(shù)的表示形式只適用于線性定常系統(tǒng)是在零初始條件下定義的

求取傳遞函數(shù)一般要經過列寫微分方程、取拉氏變換、考慮初始條件等幾個步驟但對于電網絡，在求取傳遞函數(shù)時，若引入復數(shù)阻抗的概念，則可不必列寫微分方程也可以方便地求出相應的傳遞函數(shù)二、用復數(shù)阻抗法求電網絡的傳遞函數(shù)

11/11/202222二、用復數(shù)阻抗法求電網絡的傳遞函數(shù)

11/

由電路原理知：一個正弦量既可用三角函數(shù)表示，也可用相量表示

電氣元件兩端的電壓相量與流過元件的電流相量之比，稱為該元件的復數(shù)阻抗

對于電學系統(tǒng)，其基本線性元件有三種：電阻R、電容C和電感L

復數(shù)阻抗11/11/202223由電路原理知：一個正弦量既可用三角函數(shù)表示，也可用uLiLL電感uciCC電容uRRiR電阻11/11/202224uLiLL電感uciCC電容uRRiR電阻11/9/2022uLiLL電感uciCC電容uRRiR電阻微分方程法建立三個基本元件的傳遞函數(shù)模型11/11/202225uLiLL電感uciCC電容uRRiR電阻微分方程法建立三個復數(shù)阻抗法求傳遞函數(shù)的基本思想傳遞函數(shù)在形式上與復數(shù)阻抗十分相似用拉氏變換的復變量置換復數(shù)阻抗中的即可得到傳遞函數(shù)可采用普通電路中阻抗串、并聯(lián)規(guī)律，經過簡單的代數(shù)運算求出電壓、電流的相量，然后再求出I(s)、U(s)相應的傳遞函數(shù)11/11/202226復數(shù)阻抗法求傳遞函數(shù)的基本思想傳遞函數(shù)在形式上與復數(shù)阻抗十分例2-7試采用復數(shù)阻抗法求取RLC網絡的傳遞函數(shù)解：由復數(shù)阻抗法寫出分壓公式為代入各復數(shù)阻抗，得從而，求得傳遞函數(shù)為LR＋－ui(t)u0(t)＋－C11/11/202227例2-7試采用復數(shù)阻抗法求取RLC網絡的傳遞函數(shù)解：由復數(shù)阻例2-8求圖2-11所示比例積分（PI）控制器的傳遞函數(shù)。圖2-11比例積分(PI)控制器11/11/202228例2-8求圖2-11所示比例積分（PI）控制器的傳遞函數(shù)。解：該電路由運算放大器組成，屬有源網絡。運算放大器工作時，B點的電壓uB約等于0，稱為虛地。故i1=i2，輸入電路和反饋電路的復數(shù)阻抗Z1和Z2分別為設和分別為輸入信號和輸出信號的拉氏變換，則有故有其中11/11/20222911/9/202229例2-9求圖2-12所示的比例微分控制器的傳遞函數(shù)。解：輸入阻抗由C1、R1并聯(lián)組成。

輸出阻抗所以

式中，，為靜態(tài)放大系數(shù)；,為時間常數(shù)。圖2-12比例微分控制器11/11/202230例2-9求圖2-12所示的比例微分控制器的傳遞函數(shù)。圖2傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)表達式中各項系數(shù)取決于系統(tǒng)的結構和系數(shù)。并且與微分方程中各導數(shù)項的系數(shù)相對應。所以傳遞函數(shù)也是系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型實際系統(tǒng)中通常是nm,分母多項式階數(shù)為n的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)一個傳遞函數(shù)只能表示單個輸入量對輸出量的關系，若對多輸入、多輸出系統(tǒng)，不能用傳遞函數(shù)表示，要用現(xiàn)代控制理論中的傳遞矩陣表示三、關于傳遞函數(shù)的幾點說明11/11/202231傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)三、關于傳遞函數(shù)的幾點說明11/傳遞函數(shù)又可寫成零、極點表示形式。用零、極點形式表示時的傳遞系數(shù)。傳遞函數(shù)還可以用時間常數(shù)的形式來表示。——首1標準型——尾1標準型11/11/202232傳遞函數(shù)又可寫成零、極點表示形式。用零、極點形式表示時的傳注意以下幾個問題系統(tǒng)的特征方程系統(tǒng)的階數(shù)系統(tǒng)的極點系統(tǒng)的零點11/11/202233注意以下幾個問題系統(tǒng)的特征方程11/9/202233例7已知將其化為首1、尾1標準型，并確定其放大系數(shù)。解.首1標準型尾1標準型放大系數(shù)11/11/202234例7已知將其化為首1、尾1標準型，并確定其放大系數(shù)。解.首

例8

已知某系統(tǒng)在0初始條件下的階躍響應為：試求：（1）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；（2）系統(tǒng)的放大系數(shù)；（3）系統(tǒng)的特征根；（4）畫出對應的零極點圖；（5）求系統(tǒng)的單位脈沖響應；（6）求系統(tǒng)微分方程；（7）當c(0)=1,c’(0)=0;r(t)=1(t)時，求系統(tǒng)的響應。

解.（1）

11/11/202235例8已知某系統(tǒng)在0初始條件下的階躍響應為：11/9/20(2)

(4)

如圖所示(3)

(5)

(6)

11/11/202236(2)(4)如圖所示(3)(5)(6)11/9（7）其中初條件引起的自由響應部分11/11/202237（7）其中初條件引起的自由響應部分11/9/202237

（1）原則上不反映非零初始條件時系統(tǒng)響應的全部信息；（2）適合于描述單輸入/單輸出系統(tǒng)；（3）只能用于表示線性定常系統(tǒng)。傳遞函數(shù)的局限性11/11/202238（1）原則上不反映非零初始條件時系統(tǒng)響應的全部信息；傳遞四、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

按數(shù)學模型的不同，將系統(tǒng)的基本組成元件進行歸類。每種類別有其相應的傳遞函數(shù)，叫做一種典型環(huán)節(jié)。線性定常系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)延遲（滯后）環(huán)節(jié)11/11/202239四、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)按數(shù)學模型的不同，將系統(tǒng)的基比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)0tX(t)Y(t)X(t)y(t)(a)σ(b)jωS平面X(t)，y(t)0tY(t)

圖2-13比例環(huán)節(jié)的輸入、輸出響應x(t)Y(t)11/11/202240比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)0tX(t)X(t)y(t)(a)σ(b)j一階慣性環(huán)節(jié)

微分環(huán)節(jié)(a)(b)tS平面－1/T11/11/202241一階慣性環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)(a)(b)tS平面－1/T11/9/二階振蕩環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)0tAX(t)t0X(t)A11/11/202242二階振蕩環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)0tAX(t)t0X(t)A11/比例環(huán)節(jié)實例－直流測速發(fā)電機Es直流測速發(fā)電機是一種轉角檢測裝置，其輸出端電壓正比于轉軸的旋轉角速度，靈敏度為，所以，輸出電壓為這是一個比例環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為11/11/202243比例環(huán)節(jié)實例－直流測速發(fā)電機Es直流測速發(fā)電機積分環(huán)節(jié)實例－液位系統(tǒng)入口流量為出口流量為流量差為容器底面積為

液面高度為容積為流入的容積為流量差對時間的積分11/11/202244積分環(huán)節(jié)實例－液位系統(tǒng)入口流量為流入的容兩式相等所以，液面高度為這是一個積分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為11/11/202245兩式相等所以，液面高度為這是一個積分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為11/微分環(huán)節(jié)應用實例－測速發(fā)電機因為故，有所以，若考慮電壓與轉角的關系，測速發(fā)電機就成為微分環(huán)節(jié)，有11/11/202246微分環(huán)節(jié)應用實例－測速發(fā)電機因為故，慣性環(huán)節(jié)舉例－RC無源網絡當時11/11/202247慣性環(huán)節(jié)舉例－RC無源網絡當時11/則慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應求拉氏反變換得

11/11/202248則慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應求拉氏反變換得11/9/20224振蕩環(huán)節(jié)實例－RLC電路

傳遞函數(shù)式中，T為時間常數(shù)，ξ為阻尼系數(shù)。11/11/202249振蕩環(huán)節(jié)實例－RLC電路11/9/202249

延遲環(huán)節(jié)實例－軋鋼厚度檢測寫成一般形式:零初始條件下，拉氏變換為

傳遞函數(shù)為

11/11/202250延遲環(huán)節(jié)實例－軋鋼厚度檢測寫成一般形式:零初始條件下，拉延遲環(huán)節(jié)的輸出量11/11/202251延遲環(huán)節(jié)的輸出量11/9/202251則時滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：對于時滯時間很小的時滯環(huán)節(jié)，常把它展開成泰勒級數(shù)，并略去高次項，得：延遲環(huán)節(jié)在一定條件下可近似為慣性環(huán)節(jié)

11/11/202252則時滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：對于時滯時間很小的時滯環(huán)節(jié)，常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求取過程(1)將控制系統(tǒng)分成前述的基本環(huán)節(jié)，分別寫出各基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。(2)按照信號流通的約束關系，將各基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)按照相應的關系組合，得到系統(tǒng)結構圖。(3)消去中間變量，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。11/11/202253系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求取過程(1)將控制系統(tǒng)分成作業(yè)P572-2,2-3,2-4

11/11/202254作業(yè)P5711/9/202254例（補充）直流電動機調速系統(tǒng)原理如圖所示，試根據信號傳輸關系寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。11/11/202255例（補充）直流電動機調速系統(tǒng)原理如圖所示，試根據信號傳輸關解：端口關系控制量----給定轉速r所對應的電壓Ur（輸入量）；被控量----電動機旋轉的角速度（輸出量）。11/11/202256解：端口關系控制量----給定轉速r所對應第一步寫出各基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)（1）給定單元（電位器）（2）測速單元（測速發(fā)電機TC）（3）比較單元（4）放大單元11/11/202257第一步寫出各基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)（5）執(zhí)行單元（直流伺服電動機SD）（6）減速器（7）變阻器（8）可控硅調功器（9）受控對象-----直流電動機11/11/202258（5）執(zhí)行單元（直流伺服電動機SD）第二步將基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)組合成系統(tǒng)結構圖ML(s)KrK1KsKaKL/KMKTC+--rUr(s)e(s)U1(s)SD(s)(s)US(s)Ua(s)(s)UTC(s)+11/11/202259第二步將基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)組合成系統(tǒng)結構圖ML(s)Kr算子方程組：11/11/202260算子方程組：11/9/202260第三步消去中間變量，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)消去各中間變量:Ur(s),UTC(s),e(s),U1(s),θSD(s),φ(s),US(s),Ua(s)，根據疊加原理，令負載ML為零就可以得到以給定角速度

ωr為輸入量，以電動機的旋轉角速度ω為輸出量的傳遞函數(shù)為11/11/202261第三步消去中間變量，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)消同理，令給定角速度ωr為零，可以得到負載擾動ML作用下的傳遞函數(shù)為11/11/202262同理，令給定角速度ωr為零，可以得到負載擾動ML作用下的傳遞關于傳遞函數(shù)的幾點說明：1、傳遞函數(shù)可以有量綱物理單位由輸入、輸出的物理量的量綱確定。例如：力學系統(tǒng)---[米]/[牛](作用力產生位移的剛度系數(shù));電學系統(tǒng)---[安]/[伏](復數(shù)導納，電壓引起電流響應)。2、傳遞函數(shù)表示的關系傳遞函數(shù)只反映系統(tǒng)端口之間的關系，不明顯表示系統(tǒng)內部部件的信息。（1）同一個物理系統(tǒng)，由于描述不同端口之間的關系，其傳遞函數(shù)可能不同。（2）不同的物理系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)可能相同。

11/11/202263關于傳遞函數(shù)的幾點說明：11/9/202263第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型目的

建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型，為課程的后續(xù)內容提供必備的工具內容掌握微分方程和傳遞函數(shù)模型的建立方法掌握數(shù)學模型的相互轉換掌握用結構圖等效變換求傳遞函數(shù)方法會用Mason公式求傳遞函數(shù)回顧拉氏變換的有關性質和定理11/11/202264第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型內容11/9/2022111/11/20226511/9/20222問題以微分方程作為系統(tǒng)的數(shù)學模型，當系統(tǒng)的參數(shù)變化時，系統(tǒng)的特性如何分析？11/11/202266問題以微分方程作為系統(tǒng)的數(shù)學模型，當系統(tǒng)的參數(shù)11/11/20226711/9/20224§2.4傳遞函數(shù)理解傳遞函數(shù)的定義 掌握列寫傳遞函數(shù)的方法掌握典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)掌握系統(tǒng)的傳遞函數(shù)11/11/202268§2.4傳遞函數(shù)理解傳遞函數(shù)的定義 11/9/2系統(tǒng)微分方程初始條件為零時，拉氏變換為11/11/202269系統(tǒng)微分方程初始條件為零時，拉氏變換為11/9/20226

傳遞函數(shù)的概念和定義

在零初始條件下，系統(tǒng)或環(huán)節(jié)輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)則輸出的拉氏變換為11/11/202270傳遞函數(shù)的概念和定義在零初始例1：設有一個RC濾波電路如圖2-8所示，由基爾霍夫定律求得電路的微分方程為若電容兩端的初始電壓uo（0）＝0，對式（2-35）取拉氏變換得或

傳遞函數(shù)模型的列寫11/11/202271例1：設有一個RC濾波電路如圖2-8所示，由基爾霍夫定律求得所以電路輸出量的拉氏變換為現(xiàn)將式（2-36）改寫為輸入到輸出的傳遞關系11/11/202272所以電路輸出量的拉氏變換為輸入到輸出的傳遞關系11/9/20傳遞的數(shù)量關系：零初始條件下，輸出量的拉氏變換等于輸入量的拉氏變換乘上傳遞函數(shù)G（s）。這種關系可用圖2-9表示出來圖2-9傳遞函數(shù)框圖從這個意義上說，傳遞函數(shù)又可稱為復放大系數(shù)11/11/202273傳遞的數(shù)量關系：零初始條件下，輸出量的拉氏變換等于輸入量的拉問題為什么可以在零初始條件下做Laplace變換的方式定義傳遞函數(shù)（模型）？初始條件非0情況下，傳遞函數(shù)能否刻畫系統(tǒng)的全部信息？11/11/202274問題為什么可以在零初始條件下做Laplace變換的方式定義傳例2：圖2-8所示系統(tǒng)，初始條件

輸入 解：由基爾霍夫電壓定律

拉氏變換11/11/202275例2：圖2-8所示系統(tǒng)，初始條件

輸入 解：由基爾霍夫拉氏反變換影響輸出的三因素：1）輸入信號2）初始值3）結構參數(shù)（曲線形狀－影響系統(tǒng)的性能）11/11/202276拉氏反變換影響輸出的三因素：（曲線形狀－影響系統(tǒng)的性能）11結構參數(shù)不隨初始值變化結構參數(shù)是系統(tǒng)固有的屬性故零初始條件下的拉氏變換之比（傳遞函數(shù)），不隨初始條件變化（曲線形狀不變－系統(tǒng)性能不變）11/11/202277結構參數(shù)不隨初始值變化（曲線形狀不變－系統(tǒng)性能不變）11/9例3：RLC電路傳遞函數(shù)模型LR＋－ui(t)u0(t)＋－C解：取為輸入量，輸出量，得11/11/202278例3：RLC電路傳遞函數(shù)模型LR＋－ui(t)u0(t)＋在零初始條件下做拉氏變換，得11/11/202279在零初始條件下做拉氏變換，得11/9/202216由牛二：機械系統(tǒng)微分方程為例4：彈簧阻尼器系統(tǒng)零初始條件下，將方程兩邊做拉氏變換11/11/202280由牛二：機械系統(tǒng)微分方程為例4：彈簧阻尼器系統(tǒng)零初始條件下，RLC電學系統(tǒng)傳遞函數(shù)彈簧阻尼器系統(tǒng)傳遞函數(shù)力學系統(tǒng)、電學系統(tǒng)具有相同結構形式的傳遞函數(shù)11/11/202281RLC電學系統(tǒng)傳遞函數(shù)彈簧阻尼器系統(tǒng)傳遞函數(shù)力學系統(tǒng)、電學系不同元部件也可以有相同傳遞函數(shù)電容：阻尼器：傳遞函數(shù)形如（*）式的一類元件的傳遞函數(shù)模型統(tǒng)稱為積分環(huán)節(jié)。（*）11/11/202282不同元部件也可以有相同傳遞函數(shù)電容：傳遞函數(shù)形如（*）式的一傳遞函數(shù)的信息關系確定了輸入信號U(s)與輸出信號Y(s)之間的信息傳遞關系確定了系統(tǒng)的固有特性信息由分母多項式描述(部分分式法Laplace反變換)確定了系統(tǒng)與外界聯(lián)系方式信息由分子多項式表示11/11/202283傳遞函數(shù)的信息關系確定了輸入信號U(s)與輸出信號Y(s)之傳遞函數(shù)的表示形式只適用于線性定常系統(tǒng)是在零初始條件下定義的只表示系統(tǒng)的端口關系輸入輸出之間關系11/11/202284傳遞函數(shù)的表示形式只適用于線性定常系統(tǒng)是在零初始條件下定義的

求取傳遞函數(shù)一般要經過列寫微分方程、取拉氏變換、考慮初始條件等幾個步驟但對于電網絡，在求取傳遞函數(shù)時，若引入復數(shù)阻抗的概念，則可不必列寫微分方程也可以方便地求出相應的傳遞函數(shù)二、用復數(shù)阻抗法求電網絡的傳遞函數(shù)

11/11/202285二、用復數(shù)阻抗法求電網絡的傳遞函數(shù)

11/

由電路原理知：一個正弦量既可用三角函數(shù)表示，也可用相量表示

電氣元件兩端的電壓相量與流過元件的電流相量之比，稱為該元件的復數(shù)阻抗

對于電學系統(tǒng)，其基本線性元件有三種：電阻R、電容C和電感L

復數(shù)阻抗11/11/202286由電路原理知：一個正弦量既可用三角函數(shù)表示，也可用uLiLL電感uciCC電容uRRiR電阻11/11/202287uLiLL電感uciCC電容uRRiR電阻11/9/2022uLiLL電感uciCC電容uRRiR電阻微分方程法建立三個基本元件的傳遞函數(shù)模型11/11/202288uLiLL電感uciCC電容uRRiR電阻微分方程法建立三個復數(shù)阻抗法求傳遞函數(shù)的基本思想傳遞函數(shù)在形式上與復數(shù)阻抗十分相似用拉氏變換的復變量置換復數(shù)阻抗中的即可得到傳遞函數(shù)可采用普通電路中阻抗串、并聯(lián)規(guī)律，經過簡單的代數(shù)運算求出電壓、電流的相量，然后再求出I(s)、U(s)相應的傳遞函數(shù)11/11/202289復數(shù)阻抗法求傳遞函數(shù)的基本思想傳遞函數(shù)在形式上與復數(shù)阻抗十分例2-7試采用復數(shù)阻抗法求取RLC網絡的傳遞函數(shù)解：由復數(shù)阻抗法寫出分壓公式為代入各復數(shù)阻抗，得從而，求得傳遞函數(shù)為LR＋－ui(t)u0(t)＋－C11/11/202290例2-7試采用復數(shù)阻抗法求取RLC網絡的傳遞函數(shù)解：由復數(shù)阻例2-8求圖2-11所示比例積分（PI）控制器的傳遞函數(shù)。圖2-11比例積分(PI)控制器11/11/202291例2-8求圖2-11所示比例積分（PI）控制器的傳遞函數(shù)。解：該電路由運算放大器組成，屬有源網絡。運算放大器工作時，B點的電壓uB約等于0，稱為虛地。故i1=i2，輸入電路和反饋電路的復數(shù)阻抗Z1和Z2分別為設和分別為輸入信號和輸出信號的拉氏變換，則有故有其中11/11/20229211/9/202229例2-9求圖2-12所示的比例微分控制器的傳遞函數(shù)。解：輸入阻抗由C1、R1并聯(lián)組成。

輸出阻抗所以

式中，，為靜態(tài)放大系數(shù)；,為時間常數(shù)。圖2-12比例微分控制器11/11/202293例2-9求圖2-12所示的比例微分控制器的傳遞函數(shù)。圖2傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)表達式中各項系數(shù)取決于系統(tǒng)的結構和系數(shù)。并且與微分方程中各導數(shù)項的系數(shù)相對應。所以傳遞函數(shù)也是系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型實際系統(tǒng)中通常是nm,分母多項式階數(shù)為n的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)一個傳遞函數(shù)只能表示單個輸入量對輸出量的關系，若對多輸入、多輸出系統(tǒng)，不能用傳遞函數(shù)表示，要用現(xiàn)代控制理論中的傳遞矩陣表示三、關于傳遞函數(shù)的幾點說明11/11/202294傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)三、關于傳遞函數(shù)的幾點說明11/傳遞函數(shù)又可寫成零、極點表示形式。用零、極點形式表示時的傳遞系數(shù)。傳遞函數(shù)還可以用時間常數(shù)的形式來表示?！?標準型——尾1標準型11/11/202295傳遞函數(shù)又可寫成零、極點表示形式。用零、極點形式表示時的傳注意以下幾個問題系統(tǒng)的特征方程系統(tǒng)的階數(shù)系統(tǒng)的極點系統(tǒng)的零點11/11/202296注意以下幾個問題系統(tǒng)的特征方程11/9/202233例7已知將其化為首1、尾1標準型，并確定其放大系數(shù)。解.首1標準型尾1標準型放大系數(shù)11/11/202297例7已知將其化為首1、尾1標準型，并確定其放大系數(shù)。解.首

例8

已知某系統(tǒng)在0初始條件下的階躍響應為：試求：（1）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；（2）系統(tǒng)的放大系數(shù)；（3）系統(tǒng)的特征根；（4）畫出對應的零極點圖；（5）求系統(tǒng)的單位脈沖響應；（6）求系統(tǒng)微分方程；（7）當c(0)=1,c’(0)=0;r(t)=1(t)時，求系統(tǒng)的響應。

解.（1）

11/11/202298例8已知某系統(tǒng)在0初始條件下的階躍響應為：11/9/20(2)

(4)

如圖所示(3)

(5)

(6)

11/11/202299(2)(4)如圖所示(3)(5)(6)11/9（7）其中初條件引起的自由響應部分11/11/2022100（7）其中初條件引起的自由響應部分11/9/202237

（1）原則上不反映非零初始條件時系統(tǒng)響應的全部信息；（2）適合于描述單輸入/單輸出系統(tǒng)；（3）只能用于表示線性定常系統(tǒng)。傳遞函數(shù)的局限性11/11/2022101（1）原則上不反映非零初始條件時系統(tǒng)響應的全部信息；傳遞四、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

按數(shù)學模型的不同，將系統(tǒng)的基本組成元件進行歸類。每種類別有其相應的傳遞函數(shù)，叫做一種典型環(huán)節(jié)。線性定常系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)延遲（滯后）環(huán)節(jié)11/11/2022102四、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)按數(shù)學模型的不同，將系統(tǒng)的基比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)0tX(t)Y(t)X(t)y(t)(a)σ(b)jωS平面X(t)，y(t)0tY(t)

圖2-13比例環(huán)節(jié)的輸入、輸出響應x(t)Y(t)11/11/2022103比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)0tX(t)X(t)y(t)(a)σ(b)j一階慣性環(huán)節(jié)

微分環(huán)節(jié)(a)(b)tS平面－1/T11/11/2022104一階慣性環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)(a)(b)tS平面－1/T11/9/二階振蕩環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)0tAX(t)t0X(t)A11/11/2022105二階振蕩環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)0tAX(t)t0X(t)A11/比例環(huán)節(jié)實例－直流測速發(fā)電機Es直流測速發(fā)電機是一種轉角檢測裝置，其輸出端電壓正比于轉軸的旋轉角速度，靈敏度為，所以，輸出電壓為這是一個比例環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為11/11/2022106比例環(huán)節(jié)實例－直流測速發(fā)電機Es直流測速發(fā)電機積分環(huán)節(jié)實例－液位系統(tǒng)入口流量為出口流量為流量差為容器底面積為

液面高度為容積為流入的容積為流量差對時間的積分11/11/2022107積分環(huán)節(jié)實例－液位系統(tǒng)入口流量為流入的容兩式相等所以，液面高度為這是一個積分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為11/11/2022108兩式相等所以，液面高度為這是一個積分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為11/微分環(huán)節(jié)應用實例－測速發(fā)電機因為故，有所以，若考慮電壓與轉角的關系，測速發(fā)電機就成為微分環(huán)節(jié)，有11/11/2022109微分環(huán)節(jié)應用實例－測速發(fā)電機因為故，慣性環(huán)節(jié)舉例－RC無源網絡當時11/11/2022110慣性環(huán)節(jié)舉例－RC無源網絡當時11/則慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應求拉氏反變換得

11/11/2022111則慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應求拉氏反變換得11/9/20224振蕩環(huán)節(jié)實例－RLC電路

傳遞函數(shù)式中，T為時間常數(shù)，ξ為阻尼系數(shù)。11/11/2022112振蕩環(huán)節(jié)實例－RLC電路11/9/202249

延遲環(huán)節(jié)實例－軋鋼厚度檢測寫成一般形式:零初始條件下，拉氏變換為

傳遞函數(shù)為

11/11/2022113延遲環(huán)節(jié)實例－軋鋼厚度檢測寫成一般形式:零初始條件下，拉延遲環(huán)節(jié)的輸出量11/11/2022114延遲環(huán)節(jié)的輸出量11/9/202251則時滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：對于時滯時間很小的時滯環(huán)節(jié)，常把它展開成泰勒級數(shù)，并略去高次項，得：延遲環(huán)節(jié)在一定條件下可近似為慣性環(huán)節(jié)

11/11/2022115則時滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：對于時滯時間很小的時滯環(huán)節(jié)，常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求取過程