材料力學第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題課件

第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題§2.1

軸力和軸力圖§2.2

軸向載荷作用下桿件橫截面上的應力§2.3

簡單的強度問題§2.4

軸向載荷作用下的變形計算

§2.5

兩種典型材料拉伸時的力學性能§2.6兩種典型材料壓縮時的力學性能

§2.7

結論與討論第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題§2.1軸力和軸力§2.1

軸力與軸力圖第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題

工程中有很多構件，例如屋架中的桿，是等直桿，作用于桿上的外力的合力的作用線與桿的軸線重合，這種載荷稱為軸向載荷。在這種受力情況下，桿的主要變形形式是軸向伸長或縮短。屋架結構簡圖§2.1軸力與軸力圖第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問桁架的示意圖受軸向外力作用的等截面直桿——拉桿和壓桿（未考慮端部連接情況）第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題桁架的示意圖受軸向外力作用的等截面直桿——拉桿和壓桿（未考慮

截面法、軸力及軸力圖FN=F（1）假想地截開指定截面；（2）用內(nèi)力代替另一部分對所取分離體的作用力；（3）根據(jù)分離體的平衡求出內(nèi)力值。步驟：第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題截面法、軸力及軸力圖FN=F（1）假想地截開指定截面；（2

橫截面m－m上的內(nèi)力FN其作用線與桿的軸線重合(垂直于橫截面并通過其形心)——軸力。無論取橫截面m－m的左邊或右邊為分離體均可。軸力的正負按所對應的縱向變形為伸長或縮短規(guī)定:

當軸力背離截面產(chǎn)生伸長變形為正；反之，當軸力指向截面產(chǎn)生縮短變形為負。軸力背離截面FN=+F第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題橫截面m－m上的內(nèi)力FN其作用線與桿的軸線重合(垂直

用截面法求內(nèi)力的過程中，在截取分離體前，作用于物體上的外力(荷載)不能任意移動或用靜力等效的相當力系替代。軸力指向截面FN=-F第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題用截面法求內(nèi)力的過程中，在截取分離體前，作用于物體上

軸力圖(FN圖)——顯示橫截面上軸力與橫截面位置的關系。F(c)F(f)第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題軸力圖(FN圖)——顯示橫截面上軸力與橫截面位置的關例題2-1

試作此桿的軸力圖。等直桿的受力示意圖(a)第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題例題2-1試作此桿的軸力圖。等直桿的受力示意圖(a)第二章為求軸力方便，先求出約束力FR=10kN為方便，取橫截面1－1左邊為分離體，假設軸力為拉力，得FN1=10kN(拉力)解：第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題為求軸力方便，先求出約束力FR=10kN為方便，取橫為方便取截面3－3右邊為分離體，假設軸力為拉力。FN2=50kN(拉力)FN3=-5kN（壓力），同理，F(xiàn)N4=20kN(拉力)第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題為方便取截面3－3右邊為分離體，假設軸力為拉力。FN2=50軸力圖(FN圖)顯示了各段桿橫截面上的軸力。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題軸力圖(FN圖)顯示了各段桿橫截面上的軸力。第二章軸向載荷§2.2

軸向載荷作用下桿件橫截面上的應力Ⅰ.應力的概念

受力桿件(物體)某一截面的M點附近微面積ΔA上分布內(nèi)力的平均集度即平均應力，，其方向和大小一般而言，隨所取ΔA的大小而不同。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題§2.2軸向載荷作用下桿件橫截面上的應力Ⅰ.應力的概念

該截面上M點處分布內(nèi)力的集度為，其方向一般既不與截面垂直，也不與截面相切，稱為總應力。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題該截面上M點處分布內(nèi)力的集度為總應力法向分量正應力s某一截面上法向分布內(nèi)力在某一點處的集度切向分量切應力t某一截面上切向分布內(nèi)力在某一點處的集度應力單位：Pa(1Pa=1N/m2，1MPa=106Pa)。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題總應力法向分量正應力s某一截面上法向分布內(nèi)力在某一點處的集Ⅱ.拉(壓)桿橫截面上的應力(1)與軸力相應的只可能是正應力s，與切應力無關；

(2)

s在橫截面上的變化規(guī)律橫截面上各點處s相等時可組成通過橫截面形心的法向分布內(nèi)力的合力——軸力FN。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題Ⅱ.拉(壓)桿橫截面上的應力(1)與軸力相應的只可能為此：

1.觀察等直桿表面上相鄰兩條橫向線在桿受拉(壓)后的相對位移：兩橫向線仍為直線，仍相互平行，且仍垂直于桿的軸線。

2.設想橫向線為桿的橫截面與桿的表面的交線。平截面假設——原為平面的橫截面在桿變形后仍為平面，對于拉(壓)桿且仍相互平行，仍垂直于軸線。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題為此：1.觀察等直桿表面上相鄰兩條橫向線在桿受拉(3.推論：拉(壓)桿受力后任意兩個橫截面之間縱向線段的伸長(縮短)變形是均勻的。根據(jù)對材料的均勻、連續(xù)假設進一步推知，拉(壓)桿橫截面上的內(nèi)力均勻分布，亦即橫截面上各點處的正應力s

都相等。4.等截面拉(壓)桿橫截面上正應力的計算公式。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題3.推論：拉(壓)桿受力后任意兩個橫截面注意：

1.

上述正應力計算公式來自于平截面假設；對于某些特定桿件,例如鍥形變截面桿，受拉伸(壓縮)時，平截面假設不成立，故原則上不宜用上式計算其橫截面上的正應力。

2.

即使是等直桿，在外力作用點附近，橫截面上的應力情況復雜，實際上也不能應用上述公式。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題注意：1.上述正應力計算公式來自于平截面假設；對于

例題2-2

試求此正方形磚柱由于荷載引起的橫截面上的最大工作應力。已知F=50kN。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題例題2-2試求此正方形磚柱由于荷載引起的橫截面上的Ⅱ段柱橫截面上的正應力所以，最大工作應力為smax=s2=-1.1MPa

(壓應力）解：Ⅰ段柱橫截面上的正應力(壓應力)(壓應力)第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題Ⅱ段柱橫截面上的正應力所以，最大工作應力為smax=s2§2.3

最簡單的強度問題（強度條件·安全因數(shù)·許用應力）

以上分析了軸向載荷作用下桿件橫截面上的應力，在計算出拉壓桿橫截面上的正應力后，可能有以下幾方面的問題：

（1）在給定載荷和材料的情形下，怎樣判斷結構能否安全可靠的工作？（2）如果材料是未知的，在所得到的應力水平下，構件選用什么材料，才能保證結構可以安全可靠地工作？（3）如果載荷是未知的，在給定桿件截面尺寸和材料的情形下，怎樣確定結構所能承受的最大載荷？這些問題都是強度設計所涉及的內(nèi)容。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題§2.3最簡單的強度問題以上分析了軸向載荷作Ⅰ.拉(壓)桿的強度條件

強度條件——保證拉(壓)桿在使用壽命內(nèi)不發(fā)生強度破壞的條件：

其中：smax——拉(壓)桿的最大工作應力，

[s]——材料拉伸(壓縮)時的許用應力。第二章軸向拉伸和壓縮Ⅰ.拉(壓)桿的強度條件強度條件——保證拉(壓)桿Ⅱ.

材料的拉、壓許用應力塑性材料：脆性材料：許用拉應力其中，ns——對應于屈服極限的安全因數(shù).其中，nb——對應于拉、壓強度的安全因數(shù).第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題Ⅱ.材料的拉、壓許用應力塑性材料：Ⅲ.

關于安全因數(shù)的考慮

(1)

考慮強度條件中一些量的變異。如極限應力(ss，sp0.2，sb，sbc)的變異，構件橫截面尺寸的變異，荷載的變異，以及計算簡圖與實際結構的差異。

(2)

考慮強度儲備。計及使用壽命內(nèi)可能遇到意外事故或其它不利情況，也計及構件的重要性及破壞的后果。安全因數(shù)的大致范圍：靜荷載下，第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題Ⅲ.關于安全因數(shù)的考慮(1)考慮強度條件中一些量的常用材料的許用應力約值

(適用于常溫、靜荷載和一般工作條件下的拉桿和壓桿）

材料名稱

牌號

許用應力/MPa低碳鋼低合金鋼灰口鑄鐵混凝土混凝土紅松（順紋）Q23516MnC20C3017023034－540.440.66.4170230160－200710.310軸向拉伸軸向壓縮第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題常用材料的許用應力約值

(適用于常溫、靜荷載和一般工作條件下Ⅳ.強度計算的三種類型

(2)

截面選擇已知拉(壓)桿材料及所受荷載，按強度條件求桿件橫截面面積或尺寸。

(3)

計算許可荷載已知拉(壓)桿材料和橫截面尺寸，按強度條件確定桿所能容許的最大軸力，進而計算許可荷載。FN,max=A[s]

，由FN,max計算相應的荷載。

(1)

強度校核已知拉(壓)桿材料、橫截面尺寸及所受荷載，檢驗能否滿足強度條件對于等截面直桿即為第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題Ⅳ.強度計算的三種類型(2)截面選擇已知拉(

例題2-3

試選擇計算簡圖如圖中(a)所示桁架的鋼拉桿DI的直徑d。已知：F=16kN，[s]=120MPa。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題例題2-3試選擇計算簡圖如圖中(a)所示桁架的鋼拉2.

求所需橫截面面積并求鋼拉桿所需直徑由于圓鋼的最小直徑為10mm，故鋼拉桿DI采用f10圓鋼。解:1.由圖中(b)所示分離體的平衡方程得第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題2.求所需橫截面面積并求鋼拉桿所需直徑由于圓鋼的最小直徑

例題2-4圖中(a)所示三角架(計算簡圖)，桿AC由兩根80mm80mm7mm等邊角鋼組成，桿AB由兩根10號工字鋼組成。兩種型鋼的材料均為Q235鋼，[s]=170MPa。試求許可荷載[F]。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題例題2-4圖中(a)所示三角架(計算簡圖)，桿A解

:1.根據(jù)結點A的受力圖(圖b)，得平衡方程：(拉)（壓）解得第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題解:1.根據(jù)結點A的受力圖(圖b)，得平衡方程：2.計算各桿的許可軸力

先由型鋼表查出相應等邊角鋼和工字鋼的橫截面面積，再乘以2得由強度條件得各桿的許可軸力：桿AC的橫截面面積桿AB的橫截面面積第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題2.計算各桿的許可軸力先由型鋼表查出相應3.

求三角架的許可荷載先按每根桿的許可軸力求各自相應的許可荷載：

此例題中給出的許用應力[s]=170MPa是關于強度的許用應力；對于受壓桿AB實際上還需考慮其穩(wěn)定性，此時的許用應力將小于強度許用應力。該三角架的許可荷載應是[F1]和[F2]中的小者，所以第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題3.求三角架的許可荷載先按每根桿的許可軸力求各自相應的許可§2.4

軸向載荷作用下的變形計算·胡克定律

拉(壓)桿的縱向變形

基本情況下(等直桿，兩端受軸向力)：

縱向總變形Δl=l1-l

（反映絕對變形量）

縱向線應變（反映變形程度）

第二章軸向拉伸和壓縮§2.4軸向載荷作用下的變形計算·胡克定律拉(壓)桿的引進比例常數(shù)E，且注意到F=FN，有

胡克定律(Hooke’slaw),適用于拉(壓)桿。

式中：E稱為彈性模量(modulusofelasticity)，由實驗測定，其單位為Pa；EA——

桿的拉伸(壓縮)剛度。胡克定律(Hooke’slaw)

工程中常用材料制成的拉(壓)桿，當應力不超過材料的某一特征值(“比例極限”)時，若兩端受力第二章軸向拉伸和壓縮引進比例常數(shù)E，且注意到F=FN，有胡克定律(Ho胡克定律的另一表達形式：

←單軸應力狀態(tài)下的胡克定律

第二章軸向拉伸和壓縮低碳鋼(Q235)：

胡克定律的另一表達形式：←單軸應力狀態(tài)下的胡克定律第二章低碳鋼(Q235)：n=0.24~0.28。

亦即

橫向變形因數(shù)(泊松比)(Poisson’sratio)

單軸應力狀態(tài)下，當應力不超過材料的比例極限時，某一方向的線應變e與和該方向垂直的方向(橫向)的線應變e'的絕對值之比為一常數(shù)，此比值稱為橫向變形因數(shù)或泊松比(Poisson’sratio)：第二章軸向拉伸和壓縮低碳鋼(Q235)：n=0.24~0.28。亦即橫向§2.5

兩種典型材料拉伸時的力學性能Ⅰ.材料的拉伸和壓縮試驗

拉伸試樣

圓截面試樣：l=10d或l=5d(工作段長度稱為標距)。

矩形截面試樣：或。

第二章軸向拉伸和壓縮§2.5兩種典型材料拉伸時的力學性能Ⅰ.材料的拉伸和壓實驗裝置（萬能試驗機）第二章軸向拉伸和壓縮實驗裝置（萬能試驗機）第二章軸向拉伸和壓縮Ⅱ.低碳鋼試樣的拉伸圖及低碳鋼的力學性能

拉伸圖

縱坐標——試樣的抗力F(通常稱為荷載)

橫坐標——試樣工作段的伸長量第二章軸向拉伸和壓縮Ⅱ.低碳鋼試樣的拉伸圖及低碳鋼的力學性能拉伸圖低碳鋼試樣在整個拉伸過程中的四個階段：

(1)階段Ⅰ——彈性階段變形完全是彈性的，且Δl與F成線性關系，即此時材料的

力學行為符合胡克定律。第二章軸向拉伸和壓縮低碳鋼試樣在整個拉伸過程中的四個階段：(1)階段

(2)階段Ⅱ——屈服階段

在此階段伸長變形急劇增大，但抗力只在很小范圍內(nèi)波動。

此階段產(chǎn)生的變形是不可恢復的所謂塑性變形；在拋光的試樣表面上可見大約與軸線成45°的滑移線(，當α=±45°時τa的絕對值最大)。第二章軸向拉伸和壓縮(2)階段Ⅱ——屈服階段在此階段伸長變形急劇(3)階段Ⅲ——強化階段

第二章軸向拉伸和壓縮(3)階段Ⅲ——強化階段第二章軸向拉伸和壓縮卸載及再加載規(guī)律

若在強化階段卸載，則卸載過程中F－Δl關系為直線。可見在強化階段中，Δl=Δle+Δlp。

卸載后立即再加載時，F(xiàn)－Δl關系起初基本上仍為直線(cb)，直至當初卸載的荷載——冷作硬化現(xiàn)象。試樣重新受拉時其斷裂前所能產(chǎn)生的塑性變形則減小。第二章軸向拉伸和壓縮卸載及再加載規(guī)律若在強化階段卸載，則卸載過程中F－

(4)階段Ⅳ——局部變形階段試樣上出現(xiàn)局部收縮——頸縮，并導致斷裂。

第二章軸向拉伸和壓縮(4)階段Ⅳ——局部變形階段試樣上出現(xiàn)局部收縮低碳鋼的應力—應變曲線(s－e曲線)

為消除試件尺寸的影響，將低碳鋼試樣拉伸圖中的縱坐標和橫坐標換算為應力s和應變e，即，其中：A——試樣橫截面的原面積，l——試樣工作段的原長。第二章軸向拉伸和壓縮低碳鋼的應力—應變曲線(s－e曲線)為消除試件低碳鋼

s－e曲線上的特征點：比例極限sp(proportionallimit)

彈性極限se(elasticlimit)屈服極限ss

(屈服的低限)

(yieldlimit)強度極限sb(拉伸強度)(ultimatestrength)Q235鋼的主要強度指標：ss=240MPa，sb=390MPa第二章軸向拉伸和壓縮低碳鋼s－e曲線上的特征點：比例極限sp(proport低碳鋼拉伸破壞第二章軸向拉伸和壓縮低碳鋼拉伸試件低碳鋼拉伸破壞第二章軸向拉伸和壓縮低碳鋼拉伸試件低碳鋼拉伸破壞斷口第二章軸向拉伸和壓縮低碳鋼拉伸破壞斷口第二章軸向拉伸和壓縮低碳鋼的塑性指標：

伸長率斷面收縮率：A1——斷口處最小橫截面面積。Q235鋼：y≈60%第二章軸向拉伸和壓縮Q235鋼：

(通常d>5%的材料稱為塑性材料)低碳鋼的塑性指標：伸長率斷面收縮率：A1——斷口處最小橫Ⅲ.其他金屬材料在拉伸時的力學性能

第二章軸向拉伸和壓縮Ⅲ.其他金屬材料在拉伸時的力學性能第二章軸向拉伸和壓縮由s－e曲線可見：第二章軸向拉伸和壓縮材料錳鋼強鋁退火球墨鑄鐵彈性階段√√√屈服階段×××強化階段√√√局部變形階段×√√伸長率由s－e曲線可見：第二章軸向拉伸和壓縮材料錳鋼強鋁退火球sp0.2(規(guī)定非比例伸長應力，屈服強度)用于無屈服階段的塑性材料第二章軸向拉伸和壓縮sp0.2(規(guī)定非比例伸長應力，屈服強度)用于無屈服階段的塑割線彈性模量

用于基本上無線彈性階段的脆性材料脆性材料拉伸時的唯一強度指標：

sb←基本上就是試樣拉斷時橫截面上的真實應力。第二章軸向拉伸和壓縮鑄鐵拉伸時的應力應變曲線割線彈性模量用于基本上無線彈性階段的脆性材料脆性鑄鐵拉伸破壞斷口第二章軸向拉伸和壓縮鑄鐵拉伸破壞斷口第二章軸向拉伸和壓縮試驗設備：(1)萬能試驗機：強迫試樣變形并測定試樣的抗力。

(2)變形儀：將試樣的微小變形放大后加以顯示的儀器。

壓縮試樣

圓截面短柱(用于測試金屬材料的力學性能)

正方形截面短柱(用于測試非金屬材料的力學性能)

第二章軸向拉伸和壓縮§2.6

兩種典型材料壓縮時的力學性能試驗設備：(1)萬能試驗機：強迫試樣變形并測定試樣的抗Ⅳ.金屬材料在壓縮時的力學性能

低碳鋼拉、壓時的ss基本相同。低碳鋼壓縮時s-e的曲線第二章軸向拉伸和壓縮Ⅳ.金屬材料在壓縮時的力學性能低碳鋼拉、壓時的ss基本相低碳鋼材料軸向壓縮時的試驗現(xiàn)象第二章軸向拉伸和壓縮低碳鋼材料軸向壓縮時的試驗現(xiàn)象第二章軸向拉伸和壓縮低碳鋼壓縮,

愈壓愈扁鑄鐵壓縮,

約45開裂低碳鋼壓縮,鑄鐵壓縮,鑄鐵壓縮時的sb和d均比拉伸時大得多；不論拉伸和壓縮時在較低應力下其力學行為也只近似符合胡克定律?；铱阼T鐵壓縮時的s－e曲線第二章軸向拉伸和壓縮鑄鐵壓縮時的sb和d均比拉伸時大得多；不論拉伸和壓

試樣沿著與橫截面大致成50°－55°的斜截面發(fā)生錯動而破壞。

材料按在常溫(室溫)、靜荷載(徐加荷載)下由拉伸試驗所得伸長率區(qū)分為塑性材料和脆性材料。第二章軸向拉伸和壓縮試樣沿著與橫截面大致成50°－55°的斜截面發(fā)生錯動鑄鐵壓縮破壞斷口：第二章軸向拉伸和壓縮鑄鐵壓縮破壞鑄鐵壓縮破壞斷口：第二章軸向拉伸和壓縮鑄鐵壓縮破壞Ⅴ.幾種非金屬材料的力學性能

(1)混凝土壓縮時的力學性能

使用標準立方體試塊測定端面潤滑時的破壞形式端面未潤滑時的破壞形式第二章軸向拉伸和壓縮Ⅴ.幾種非金屬材料的力學性能(1)混凝土壓縮時的力學

壓縮強度sb及破壞形式與端面潤滑情況有關。以s－e曲線上s=0.4sb的點與原點的連線確定“割線彈性模量”。

混凝土的標號系根據(jù)其壓縮強度標定，如C20混凝土是指經(jīng)28天養(yǎng)護后立方體強度不低于20MPa的混凝土。壓縮強度遠大于拉伸強度。第二章軸向拉伸和壓縮壓縮強度sb及破壞形式與端面潤滑情況有關。以s－e曲

木材的力學性能具有方向性，為各向異性材料。如認為木材任何方面的力學性能均可由順紋和橫紋兩個相互垂直方向的力學性能確定，則又可以認為木材是正交各向異性材料。

松木在順紋拉伸、壓縮和橫紋壓縮時的s－e曲線如圖。(2)

木材拉伸和壓縮時的力學性能

木材的橫紋拉伸強度很低(圖中未示)，工程中也避免木材橫紋受拉。木材的順紋拉伸強度受木節(jié)等缺陷的影響大。第二章軸向拉伸和壓縮木材的力學性能具有方向性，為各向異性材料。如認為木材(3)玻璃鋼（玻璃纖維與熱固性樹脂粘合而成的復合材料）

纖維單向排列的玻璃鋼沿纖維方向拉伸時的s－e曲線如圖中(c)，纖維增強復合材料所用的纖維尚有碳纖維、硼纖維等。第二章軸向拉伸和壓縮(3)玻璃鋼（玻璃纖維與熱固性樹脂粘合而成的復合材料）§2.8

應力集中的概念應力集中（stressconcentration）：由于桿件橫截面驟然變化而引起的應力局部驟然增大。第二章軸向拉伸和壓縮§2.8應力集中的概念應力集中（stressconcen

按線彈性理論或相應的數(shù)值方法得出的最大局部應力smax與該截面上名義應力snom之比，即理論應力集中因數(shù)：

其中Kts的下標ts表示是對應于正應力的理論應力集中因數(shù)。名義應力snom為截面突變的橫截面上smax作用點處按不考慮應力集中時得出的應力(對于軸向拉壓的情況即為橫截面上的平均應力)。具有小孔的均勻受拉平板，Kts≈3。第二章軸向拉伸和壓縮按線彈性理論或相應的數(shù)值方法得出的最大局部應力sma應力集中對強度的影響塑性材料制成的桿件受靜荷載情況下：荷載增大進入彈塑性極限荷載第二章軸向拉伸和壓縮應力集中對強度的影響塑性材料制成的桿件受靜荷載情況下：荷載增

均勻的脆性材料或塑性差的材料(如高強度鋼)制成的桿件即使受靜荷載時也要考慮應力集中的影響。

非均勻的脆性材料，如鑄鐵，其本身就因存在氣孔等引起應力集中的內(nèi)部因素，故可不考慮外部因素引起的應力集中。

塑性材料制成的桿件受靜荷載時，通常可不考慮應力集中的影響。第二章

完第二章軸向拉伸和壓縮均勻的脆性材料或塑性差的材料(如高強度鋼)制成的桿件第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題§2.1

軸力和軸力圖§2.2

軸向載荷作用下桿件橫截面上的應力§2.3

簡單的強度問題§2.4

軸向載荷作用下的變形計算

§2.5

兩種典型材料拉伸時的力學性能§2.6兩種典型材料壓縮時的力學性能

§2.7

結論與討論第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題§2.1軸力和軸力§2.1

軸力與軸力圖第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題

工程中有很多構件，例如屋架中的桿，是等直桿，作用于桿上的外力的合力的作用線與桿的軸線重合，這種載荷稱為軸向載荷。在這種受力情況下，桿的主要變形形式是軸向伸長或縮短。屋架結構簡圖§2.1軸力與軸力圖第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問桁架的示意圖受軸向外力作用的等截面直桿——拉桿和壓桿（未考慮端部連接情況）第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題桁架的示意圖受軸向外力作用的等截面直桿——拉桿和壓桿（未考慮

截面法、軸力及軸力圖FN=F（1）假想地截開指定截面；（2）用內(nèi)力代替另一部分對所取分離體的作用力；（3）根據(jù)分離體的平衡求出內(nèi)力值。步驟：第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題截面法、軸力及軸力圖FN=F（1）假想地截開指定截面；（2

橫截面m－m上的內(nèi)力FN其作用線與桿的軸線重合(垂直于橫截面并通過其形心)——軸力。無論取橫截面m－m的左邊或右邊為分離體均可。軸力的正負按所對應的縱向變形為伸長或縮短規(guī)定:

當軸力背離截面產(chǎn)生伸長變形為正；反之，當軸力指向截面產(chǎn)生縮短變形為負。軸力背離截面FN=+F第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題橫截面m－m上的內(nèi)力FN其作用線與桿的軸線重合(垂直

用截面法求內(nèi)力的過程中，在截取分離體前，作用于物體上的外力(荷載)不能任意移動或用靜力等效的相當力系替代。軸力指向截面FN=-F第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題用截面法求內(nèi)力的過程中，在截取分離體前，作用于物體上

軸力圖(FN圖)——顯示橫截面上軸力與橫截面位置的關系。F(c)F(f)第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題軸力圖(FN圖)——顯示橫截面上軸力與橫截面位置的關例題2-1

試作此桿的軸力圖。等直桿的受力示意圖(a)第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題例題2-1試作此桿的軸力圖。等直桿的受力示意圖(a)第二章為求軸力方便，先求出約束力FR=10kN為方便，取橫截面1－1左邊為分離體，假設軸力為拉力，得FN1=10kN(拉力)解：第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題為求軸力方便，先求出約束力FR=10kN為方便，取橫為方便取截面3－3右邊為分離體，假設軸力為拉力。FN2=50kN(拉力)FN3=-5kN（壓力），同理，F(xiàn)N4=20kN(拉力)第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題為方便取截面3－3右邊為分離體，假設軸力為拉力。FN2=50軸力圖(FN圖)顯示了各段桿橫截面上的軸力。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題軸力圖(FN圖)顯示了各段桿橫截面上的軸力。第二章軸向載荷§2.2

軸向載荷作用下桿件橫截面上的應力Ⅰ.應力的概念

受力桿件(物體)某一截面的M點附近微面積ΔA上分布內(nèi)力的平均集度即平均應力，，其方向和大小一般而言，隨所取ΔA的大小而不同。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題§2.2軸向載荷作用下桿件橫截面上的應力Ⅰ.應力的概念

該截面上M點處分布內(nèi)力的集度為，其方向一般既不與截面垂直，也不與截面相切，稱為總應力。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題該截面上M點處分布內(nèi)力的集度為總應力法向分量正應力s某一截面上法向分布內(nèi)力在某一點處的集度切向分量切應力t某一截面上切向分布內(nèi)力在某一點處的集度應力單位：Pa(1Pa=1N/m2，1MPa=106Pa)。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題總應力法向分量正應力s某一截面上法向分布內(nèi)力在某一點處的集Ⅱ.拉(壓)桿橫截面上的應力(1)與軸力相應的只可能是正應力s，與切應力無關；

(2)

s在橫截面上的變化規(guī)律橫截面上各點處s相等時可組成通過橫截面形心的法向分布內(nèi)力的合力——軸力FN。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題Ⅱ.拉(壓)桿橫截面上的應力(1)與軸力相應的只可能為此：

1.觀察等直桿表面上相鄰兩條橫向線在桿受拉(壓)后的相對位移：兩橫向線仍為直線，仍相互平行，且仍垂直于桿的軸線。

2.設想橫向線為桿的橫截面與桿的表面的交線。平截面假設——原為平面的橫截面在桿變形后仍為平面，對于拉(壓)桿且仍相互平行，仍垂直于軸線。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題為此：1.觀察等直桿表面上相鄰兩條橫向線在桿受拉(3.推論：拉(壓)桿受力后任意兩個橫截面之間縱向線段的伸長(縮短)變形是均勻的。根據(jù)對材料的均勻、連續(xù)假設進一步推知，拉(壓)桿橫截面上的內(nèi)力均勻分布，亦即橫截面上各點處的正應力s

都相等。4.等截面拉(壓)桿橫截面上正應力的計算公式。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題3.推論：拉(壓)桿受力后任意兩個橫截面注意：

1.

上述正應力計算公式來自于平截面假設；對于某些特定桿件,例如鍥形變截面桿，受拉伸(壓縮)時，平截面假設不成立，故原則上不宜用上式計算其橫截面上的正應力。

2.

即使是等直桿，在外力作用點附近，橫截面上的應力情況復雜，實際上也不能應用上述公式。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題注意：1.上述正應力計算公式來自于平截面假設；對于

例題2-2

試求此正方形磚柱由于荷載引起的橫截面上的最大工作應力。已知F=50kN。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題例題2-2試求此正方形磚柱由于荷載引起的橫截面上的Ⅱ段柱橫截面上的正應力所以，最大工作應力為smax=s2=-1.1MPa

(壓應力）解：Ⅰ段柱橫截面上的正應力(壓應力)(壓應力)第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題Ⅱ段柱橫截面上的正應力所以，最大工作應力為smax=s2§2.3

最簡單的強度問題（強度條件·安全因數(shù)·許用應力）

以上分析了軸向載荷作用下桿件橫截面上的應力，在計算出拉壓桿橫截面上的正應力后，可能有以下幾方面的問題：

（1）在給定載荷和材料的情形下，怎樣判斷結構能否安全可靠的工作？（2）如果材料是未知的，在所得到的應力水平下，構件選用什么材料，才能保證結構可以安全可靠地工作？（3）如果載荷是未知的，在給定桿件截面尺寸和材料的情形下，怎樣確定結構所能承受的最大載荷？這些問題都是強度設計所涉及的內(nèi)容。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題§2.3最簡單的強度問題以上分析了軸向載荷作Ⅰ.拉(壓)桿的強度條件

強度條件——保證拉(壓)桿在使用壽命內(nèi)不發(fā)生強度破壞的條件：

其中：smax——拉(壓)桿的最大工作應力，

[s]——材料拉伸(壓縮)時的許用應力。第二章軸向拉伸和壓縮Ⅰ.拉(壓)桿的強度條件強度條件——保證拉(壓)桿Ⅱ.

材料的拉、壓許用應力塑性材料：脆性材料：許用拉應力其中，ns——對應于屈服極限的安全因數(shù).其中，nb——對應于拉、壓強度的安全因數(shù).第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題Ⅱ.材料的拉、壓許用應力塑性材料：Ⅲ.

關于安全因數(shù)的考慮

(1)

考慮強度條件中一些量的變異。如極限應力(ss，sp0.2，sb，sbc)的變異，構件橫截面尺寸的變異，荷載的變異，以及計算簡圖與實際結構的差異。

(2)

考慮強度儲備。計及使用壽命內(nèi)可能遇到意外事故或其它不利情況，也計及構件的重要性及破壞的后果。安全因數(shù)的大致范圍：靜荷載下，第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題Ⅲ.關于安全因數(shù)的考慮(1)考慮強度條件中一些量的常用材料的許用應力約值

(適用于常溫、靜荷載和一般工作條件下的拉桿和壓桿）

材料名稱

牌號

許用應力/MPa低碳鋼低合金鋼灰口鑄鐵混凝土混凝土紅松（順紋）Q23516MnC20C3017023034－540.440.66.4170230160－200710.310軸向拉伸軸向壓縮第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題常用材料的許用應力約值

(適用于常溫、靜荷載和一般工作條件下Ⅳ.強度計算的三種類型

(2)

截面選擇已知拉(壓)桿材料及所受荷載，按強度條件求桿件橫截面面積或尺寸。

(3)

計算許可荷載已知拉(壓)桿材料和橫截面尺寸，按強度條件確定桿所能容許的最大軸力，進而計算許可荷載。FN,max=A[s]

，由FN,max計算相應的荷載。

(1)

強度校核已知拉(壓)桿材料、橫截面尺寸及所受荷載，檢驗能否滿足強度條件對于等截面直桿即為第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題Ⅳ.強度計算的三種類型(2)截面選擇已知拉(

例題2-3

試選擇計算簡圖如圖中(a)所示桁架的鋼拉桿DI的直徑d。已知：F=16kN，[s]=120MPa。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題例題2-3試選擇計算簡圖如圖中(a)所示桁架的鋼拉2.

求所需橫截面面積并求鋼拉桿所需直徑由于圓鋼的最小直徑為10mm，故鋼拉桿DI采用f10圓鋼。解:1.由圖中(b)所示分離體的平衡方程得第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題2.求所需橫截面面積并求鋼拉桿所需直徑由于圓鋼的最小直徑

例題2-4圖中(a)所示三角架(計算簡圖)，桿AC由兩根80mm80mm7mm等邊角鋼組成，桿AB由兩根10號工字鋼組成。兩種型鋼的材料均為Q235鋼，[s]=170MPa。試求許可荷載[F]。第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題例題2-4圖中(a)所示三角架(計算簡圖)，桿A解

:1.根據(jù)結點A的受力圖(圖b)，得平衡方程：(拉)（壓）解得第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題解:1.根據(jù)結點A的受力圖(圖b)，得平衡方程：2.計算各桿的許可軸力

先由型鋼表查出相應等邊角鋼和工字鋼的橫截面面積，再乘以2得由強度條件得各桿的許可軸力：桿AC的橫截面面積桿AB的橫截面面積第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題2.計算各桿的許可軸力先由型鋼表查出相應3.

求三角架的許可荷載先按每根桿的許可軸力求各自相應的許可荷載：

此例題中給出的許用應力[s]=170MPa是關于強度的許用應力；對于受壓桿AB實際上還需考慮其穩(wěn)定性，此時的許用應力將小于強度許用應力。該三角架的許可荷載應是[F1]和[F2]中的小者，所以第二章軸向載荷作用下桿件的材料力學問題3.求三角架的許可荷載先按每根桿的許可軸力求各自相應的許可§2.4

軸向載荷作用下的變形計算·胡克定律

拉(壓)桿的縱向變形

基本情況下(等直桿，兩端受軸向力)：

縱向總變形Δl=l1-l

（反映絕對變形量）

縱向線應變（反映變形程度）

第二章軸向拉伸和壓縮§2.4軸向載荷作用下的變形計算·胡克定律拉(壓)桿的引進比例常數(shù)E，且注意到F=FN，有

胡克定律(Hooke’slaw),適用于拉(壓)桿。

式中：E稱為彈性模量(modulusofelasticity)，由實驗測定，其單位為Pa；EA——

桿的拉伸(壓縮)剛度。胡克定律(Hooke’slaw)

工程中常用材料制成的拉(壓)桿，當應力不超過材料的某一特征值(“比例極限”)時，若兩端受力第二章軸向拉伸和壓縮引進比例常數(shù)E，且注意到F=FN，有胡克定律(Ho胡克定律的另一表達形式：

←單軸應力狀態(tài)下的胡克定律

第二章軸向拉伸和壓縮低碳鋼(Q235)：

胡克定律的另一表達形式：←單軸應力狀態(tài)下的胡克定律第二章低碳鋼(Q235)：n=0.24~0.28。

亦即

橫向變形因數(shù)(泊松比)(Poisson’sratio)

單軸應力狀態(tài)下，當應力不超過材料的比例極限時，某一方向的線應變e與和該方向垂直的方向(橫向)的線應變e'的絕對值之比為一常數(shù)，此比值稱為橫向變形因數(shù)或泊松比(Poisson’sratio)：第二章軸向拉伸和壓縮低碳鋼(Q235)：n=0.24~0.28。亦即橫向§2.5

兩種典型材料拉伸時的力學性能Ⅰ.材料的拉伸和壓縮試驗

拉伸試樣

圓截面試樣：l=10d或l=5d(工作段長度稱為標距)。

矩形截面試樣：或。

第二章軸向拉伸和壓縮§2.5兩種典型材料拉伸時的力學性能Ⅰ.材料的拉伸和壓實驗裝置（萬能試驗機）第二章軸向拉伸和壓縮實驗裝置（萬能試驗機）第二章軸向拉伸和壓縮Ⅱ.低碳鋼試樣的拉伸圖及低碳鋼的力學性能

拉伸圖

縱坐標——試樣的抗力F(通常稱為荷載)

橫坐標——試樣工作段的伸長量第二章軸向拉伸和壓縮Ⅱ.低碳鋼試樣的拉伸圖及低碳鋼的力學性能拉伸圖低碳鋼試樣在整個拉伸過程中的四個階段：

(1)階段Ⅰ——彈性階段變形完全是彈性的，且Δl與F成線性關系，即此時材料的

力學行為符合胡克定律。第二章軸向拉伸和壓縮低碳鋼試樣在整個拉伸過程中的四個階段：(1)階段

(2)階段Ⅱ——屈服階段

在此階段伸長變形急劇增大，但抗力只在很小范圍內(nèi)波動。

此階段產(chǎn)生的變形是不可恢復的所謂塑性變形；在拋光的試樣表面上可見大約與軸線成45°的滑移線(，當α=±45°時τa的絕對值最大)。第二章軸向拉伸和壓縮(2)階段Ⅱ——屈服階段在此階段伸長變形急劇(3)階段Ⅲ——強化階段

第二章軸向拉伸和壓縮(3)階段Ⅲ——強化階段第二章軸向拉伸和壓縮卸載及再加載規(guī)律

若在強化階段卸載，則卸載過程中F－Δl關系為直線?？梢娫趶娀A段中，Δl=Δle+Δlp。

卸載后立即再加載時，F(xiàn)－Δl關系起初基本上仍為直線(cb)，直至當初卸載的荷載——冷作硬化現(xiàn)象。試樣重新受拉時其斷裂前所能產(chǎn)生的塑性變形則減小。第二章軸向拉伸和壓縮卸載及再加載規(guī)律若在強化階段卸載，則卸載過程中F－

(4)階段Ⅳ——局部變形階段試樣上出現(xiàn)局部收縮——頸縮，并導致斷裂。

第二章軸向拉伸和壓縮(4)階段Ⅳ——局部變形階段試樣上出現(xiàn)局部收縮低碳鋼的應力—應變曲線(s－e曲線)

為消除試件尺寸的影響，將低碳鋼試樣拉伸圖中的縱坐標和橫坐標換算為應力s和應變e，即，其中：A——試樣橫截面的原面積，l——試樣工作段的原長。第二章軸向拉伸和壓縮低碳鋼的應力—應變曲線(s－e曲線)為消除試件低碳鋼

s－e曲線上的特征點：比例極限sp(proportionallimit)

彈性極限se(elasticlimit)屈服極限ss

(屈服的低限)

(yieldlimit)強度極限sb(拉伸強度)(ultimatestrength)Q235鋼的主要強度指標：ss=240MPa，sb=390MPa第二章軸向拉伸和壓縮低碳鋼s－e曲線上的特征點：比例極限sp(proport低碳鋼拉伸破壞第二章軸向拉伸和壓縮低碳鋼拉伸試件低碳鋼拉伸破壞第二章軸向拉伸和壓縮低碳鋼拉伸試件低碳鋼拉伸破壞斷口第二章軸向拉伸和壓縮低碳鋼拉伸破壞斷口第二章軸向拉伸和壓縮低碳鋼的塑性指標：

伸長率斷面收縮率：A1——斷口處最小橫截面面積。Q235鋼：y≈60%第二章軸向拉伸和壓縮Q235鋼：

(通常d>5%的材料稱為塑性材料)低碳鋼的塑性指標：伸長率斷面收縮率：A1——斷口處最小橫Ⅲ.其他金屬材料在拉伸時的力學性能

第二章軸向拉伸和壓縮Ⅲ.其他金屬材料在拉伸時的力學性能第二章軸向拉伸和壓縮由s－e曲線可見：第二章軸向拉伸和壓縮材料錳鋼強鋁退火球墨鑄鐵彈性階段√√√屈服階段×××強化階段√√√局部變形階段×√√伸長率由s－e曲線可見：第二章軸向拉伸和壓縮材料錳鋼強鋁退火球sp0.2(規(guī)定非比例伸長應力，屈服強度)用于無屈服階段的塑性材料第二章軸向拉伸和壓縮sp0.2(規(guī)定非比例伸長應力，屈服強度)用于無屈服階段的塑割線彈性模量

用于基本上無線彈性階段的脆性材料脆性材料拉伸時的唯一強度指標：

sb←基本上就是試樣拉斷時橫截面上的真實應力。第二章軸向拉伸和壓縮鑄鐵拉伸時的應力應變曲線割線彈性模量用于基本上無線彈性階段的脆性材料脆性鑄鐵拉伸破壞斷口第二章軸向拉伸和壓縮鑄鐵拉伸破壞斷口第二