實(shí)數(shù)-知識(shí)點(diǎn)+題型歸納

實(shí)數(shù)_知識(shí)點(diǎn)+題型歸納實(shí)數(shù)_知識(shí)點(diǎn)+題型歸納實(shí)數(shù)_知識(shí)點(diǎn)+題型歸納實(shí)數(shù)_知識(shí)點(diǎn)+題型歸納編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:實(shí)數(shù)知識(shí)講解+題型歸納知識(shí)講解一、實(shí)數(shù)的組成1、實(shí)數(shù)又可分為正實(shí)數(shù)，零，負(fù)實(shí)數(shù)2.數(shù)軸：數(shù)軸的三要素——原點(diǎn)、正方向和單位長度。數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)二、相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)1.相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。數(shù)a的相反數(shù)是-a。正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，零的相反數(shù)是零.性質(zhì)：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)之和為0。2.絕對(duì)值：表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，數(shù)a的絕對(duì)值為 3.倒數(shù)：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。非0實(shí)數(shù)a的倒數(shù)為.0沒有倒數(shù)。4.相反數(shù)是它本身的數(shù)只有0；絕對(duì)值是它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)（0和正數(shù)）；倒數(shù)是它本身的數(shù)是±1.三、平方根與立方根1.平方根：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)叫做a的平方根。數(shù)a的平方根記作 （a>=0）特性：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，零的平方根還是零。負(fù)數(shù)沒有平方根。正數(shù)a的正的平方根也叫做a的算術(shù)平方根，零的算術(shù)平方根還是零。開平方:求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。2.立方根：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，則稱這個(gè)數(shù)為a立方根。數(shù)a的立方根用表示。任何數(shù)都有立方根，一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根，零的立方根是零。開立方：求一個(gè)數(shù)的立方根（三次方根）的運(yùn)算，叫做開立方。四、實(shí)數(shù)的運(yùn)算有理數(shù)的加法法則：a）同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；b)異號(hào)兩數(shù)相加。絕對(duì)值相等時(shí)和為0；絕對(duì)值不相等時(shí)，取絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值.任何數(shù)與零相加等于原數(shù)。2.有理數(shù)的減法法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。3.乘法法則：a）兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；零乘以任何數(shù)都得零．b）幾個(gè)不為0的有理數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，積為負(fù)，為偶數(shù)，積為正c）幾個(gè)數(shù)相乘，只要有一個(gè)因數(shù)為0，積就為04.有理數(shù)除法法則：a）兩個(gè)有理數(shù)相除（除數(shù)不為0）同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以任何非0實(shí)數(shù)都得0。b）除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。5.有理數(shù)的乘方:在an中，a叫底數(shù)，n叫指數(shù)a）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，奇次冪是負(fù)數(shù)；0的任何次冪都是0b）a0=1（a不等于0）6.有理數(shù)的運(yùn)算順序：a）同級(jí)運(yùn)算，先左后右b）混合運(yùn)算，先算括號(hào)內(nèi)的，再乘方、開方，接著算乘除，最后是加減。五·實(shí)數(shù)大小比較的方法1）數(shù)軸法：數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊的點(diǎn)表示的數(shù)2）比差法：若a-b>0則a>b；若a-b<0則a<b；若a-b=0則a=b3）比商法：A.兩個(gè)數(shù)均為正數(shù)時(shí)，a/b>1則a>b；a/b<1則a<bB.兩個(gè)數(shù)均為負(fù)數(shù)時(shí)，a/b>1則a<b；a/b<1則a>bC.一正一負(fù)時(shí)，正數(shù)>負(fù)數(shù)4）平方法：a、b均為正數(shù)時(shí)，若a2>b2，則有a>b；均為負(fù)數(shù)時(shí)相反5)倒數(shù)法：兩個(gè)實(shí)數(shù)，倒數(shù)大的反而?。ú徽撜?fù)）題型歸納經(jīng)典例題

類型一．有關(guān)概念的識(shí)別

1．下面幾個(gè)數(shù)：，…，，3π，，，其中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)有（）

A、1B、2C、3D、4

解析：本題主要考察對(duì)無理數(shù)概念的理解和應(yīng)用，其中，…，3π，是無理數(shù)

故選C

舉一反三：

【變式1】下列說法中正確的是（）

A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、是5的平方根的相反數(shù)

【答案】本題主要考察平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，

∵=9，9的平方根是±3，∴A正確．

∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正確．

【變式2】如圖，以數(shù)軸的單位長線段為邊做一個(gè)正方形，以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，正方形對(duì)角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（）

A、1B、C、D、

【答案】本題考察了數(shù)軸上的點(diǎn)與全體實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．∵正方形的邊長為1，對(duì)角線為，由圓的定義知|AO|=，∴A表示數(shù)為，故選C．

【變式3】

【答案】∵π=…，∴9＜3π＜10

因此3π-9＞0，3π-10＜0

∴

類型二．計(jì)算類型題

2．設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.B.

C.D.

解析：（估算）因?yàn)?，所以選B

舉一反三：

【變式1】1）的算術(shù)平方根是__________；平方根是）-27立方根是__________.3）___________，___________，___________.

【答案】1）；.2）-3.3），，

【變式2】求下列各式中的

（1）（2）（3）

【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4

類型三．?dāng)?shù)形結(jié)合

3.點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為，則A，B兩點(diǎn)的距離為______

解析：在數(shù)軸上找到A、B兩點(diǎn)，

舉一反三：

【變式1】如圖，數(shù)軸上表示1，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)C表示的數(shù)是（）．

A．－1B．1－C．2－D．－2

【答案】選C

[變式2]已知實(shí)數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖所示：

化簡

【答案】：

類型四．實(shí)數(shù)絕對(duì)值的應(yīng)用

4．化簡下列各式：

(1)||(2)|π|

(3)|-|(4)|x-|x-3||(x≤3)

(5)|x2+6x+10|

分析：要正確去掉絕對(duì)值符號(hào)，就要弄清絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零，然后根據(jù)絕對(duì)值的定義正確去掉絕對(duì)值。

解：(1)∵=…＜

∴||=

(2)∵π=…＜

∴|π|=π

(3)∵＜,∴|-|=-

(4)∵x≤3,∴x-3≤0,

∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|

=|2x-3|=

說明：這里對(duì)|2x-3|的結(jié)果采取了分類討論的方法，我們對(duì)這個(gè)絕對(duì)值的基本概念要有清楚的認(rèn)識(shí)，并能靈活運(yùn)用。

(5)|x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|

∵(x+3)2≥0,∴(x+3)2+1＞0

∴|x2+6x+10|=x2+6x+10

舉一反三：

【變式1】化簡：

【答案】=+-=

類型五．實(shí)數(shù)非負(fù)性的應(yīng)用

5．已知：=0，求實(shí)數(shù)a,b的值。

分析：已知等式左邊分母不能為0，只能有＞0，則要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非負(fù)數(shù)的和的性質(zhì)知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式組從而求出a,b的值。

解：由題意得

由(2)得a2=49∴a=±7

由(3)得a>-7，∴a=-7不合題意舍去。

∴只取a=7

把a(bǔ)=7代入(1)得b=3a=21

∴a=7,b=21為所求。

舉一反三：

【變式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。

解：∵(x-6)2++|y+2z|=0

且(x-6)2≥0,≥0,|y+2z|≥0,

幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則必有每個(gè)加數(shù)都為0。

∴解這個(gè)方程組得

∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65

【變式2】已知那么a+b-c的值為___________

【答案】初中階段的三個(gè)非負(fù)數(shù)：，

a=2,b=-5,c=-1;a+b-c=-2

類型六．實(shí)數(shù)應(yīng)用題

6．有一個(gè)邊長為11cm的正方形和一個(gè)長為13cm，寬為8cm的矩形，要作一個(gè)面積為這兩個(gè)圖形的面積之和的正方形，問邊長應(yīng)為多少cm。

解：設(shè)新正方形邊長為xcm，

根據(jù)題意得x2=112+13×8

∴x2=225

∴x=±15

∵邊長為正，∴x=-15不合題意舍去，

∴只取x=15(cm)

答：新的正方形邊長應(yīng)取15cm。

舉一反三：

【變式1】拼一拼，畫一畫：請(qǐng)你用4個(gè)長為a，寬為b的矩形拼成一個(gè)大正方形，并且正中間留下的空白區(qū)域恰好是一個(gè)小正方形。（4個(gè)長方形拼圖時(shí)不重疊）

（1）計(jì)算中間的小正方形的面積，聰明的你能發(fā)現(xiàn)什么

（2）當(dāng)拼成的這個(gè)大正方形邊長比中間小正方形邊長多3cm時(shí)，大正方形的面積就比小正方形的面積多24cm2，求中間小正方形的邊長.

解析：（1）如圖，中間小正方形的邊長是：

，所以面積為=

大正方形的面積=，

一個(gè)長方形的面積=。

所以，

答：中間的小正方形的面積，

發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：（或）

(2)大正方形的邊長：，小正方形的邊長：

，即，

又大正方形的面積比小正方形的面積多24cm2

所以有，

化簡得：

將代入，得：

cm

答：中間小正方形的邊長cm。

類型七．易錯(cuò)題

7．判斷下列說法是否正確

（1）的算術(shù)平方根是-3；（2）的平方根是±15.

（3）當(dāng)x=0或2時(shí)，（4）是分?jǐn)?shù)

解析：（1）錯(cuò)在對(duì)算術(shù)平方根的理解有誤，算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù).故

（2）表示225的算術(shù)平方根，即=15.實(shí)際上，本題是求15的平方根，

故的平方根是.

（3）注意到，當(dāng)x=0時(shí)，=，顯然此式無意義，

發(fā)生錯(cuò)誤的原因是忽視了“負(fù)數(shù)沒有平方根”，故x≠0，所以當(dāng)x=2時(shí)，x=0.

（4）錯(cuò)在對(duì)實(shí)數(shù)的概念理解不清.形如分?jǐn)?shù)，但不是分?jǐn)?shù)，它是無理數(shù).

類型八．引申提高

8．（1）已知的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求a2-b2的值.

（2）把下列無限循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：①②③

（1）分析：確定算術(shù)平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分，首先判斷這個(gè)算術(shù)平方根在哪兩個(gè)整數(shù)之間，那么較小的整數(shù)即為算術(shù)平方根的整數(shù)部分，算術(shù)平方根減去整數(shù)部分的差即為小數(shù)部分．

解：由得

的整數(shù)部分a=5,的小數(shù)