直線的一般式方程和點(diǎn)的對(duì)稱問題教師版

直線的一般式方程和點(diǎn)的對(duì)稱問題教師版直線的一般式方程和點(diǎn)的對(duì)稱問題教師版直線的一般式方程和點(diǎn)的對(duì)稱問題教師版直線的一般式方程和點(diǎn)的對(duì)稱問題教師版編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:直線的一般式方程知識(shí)點(diǎn)一直線的一般式方程1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則A、B應(yīng)滿足的條件為()A．A≠0 B．B≠0C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0答案D解析要使Ax＋By＋C＝0表示直線，需A、B不同時(shí)為零(包括一個(gè)為0，另一個(gè)不為0)，顯然A、B項(xiàng)均不滿足，C項(xiàng)中表示A與B同時(shí)不為零，也不滿足，只有D項(xiàng)正確．2．直線(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的傾斜角為45°，則m的值為()A．－2B．2C．－3D．3答案D解析由已知得m2－4≠0，且eq\f(2m2－5m＋2,m2－4)＝1，解得：m＝3或m＝2(舍去).知識(shí)點(diǎn)二平行、垂直問題3.直線mx＋4y－2＝0與直線2x－5y＋n＝0垂直，垂足為(1，p)，則n的值為()A．－12B．－2C．0D．10答案A解析由兩直線垂直得2m－20＝0，m＝10，將(1，p)代入10x＋4y－2＝0得p＝－2，將(1，－2)代入2x－5y＋n＝0得2＋10＋n＝0，n＝－12.4．已知點(diǎn)P(x0，y0)是直線l：Ax＋By＋C＝0外一點(diǎn)，則方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示()A．過點(diǎn)P且與l垂直的直線B．過點(diǎn)P且與l平行的直線C．不過點(diǎn)P且與l垂直的直線D．不過點(diǎn)P且與l平行的直線答案D解析∵點(diǎn)P(x0，y0)不在直線Ax＋By＋C＝0上，∴Ax0＋By0＋C≠0，∴直線Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不經(jīng)過點(diǎn)P.又直線Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0與直線l：Ax＋By＋C＝0平行．故選D.知識(shí)點(diǎn)三直線一般式方程的應(yīng)用5.設(shè)直線l的方程為(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根據(jù)下列條件分別確定m的值：(1)l在x軸上的截距是－3；(2)斜率是1.解(1)由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－3≠0，①,\f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，②))由①式，得m≠3且m≠－1.由②式，得3m2－4m－15＝0，得m＝3或m＝－eq\f(5,3).∴m＝－eq\f(5,3).(2)由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m2＋m－1≠0，③,\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝－1，④))由③式，得m≠－1且m≠eq\f(1,2).由④式，得3m2－m－4＝0，得m＝－1或m＝eq\f(4,3).∴m＝eq\f(4,3).6．求分別滿足下列條件的直線l的一般式方程；(1)斜率是eq\f(3,4)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是6；(2)經(jīng)過兩點(diǎn)A(1,0)，B(m,1)；(3)經(jīng)過點(diǎn)(4，－3)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等．解(1)設(shè)直線l的方程為y＝eq\f(3,4)x＋b.令x＝0，得y＝b.令y＝0，得x＝－eq\f(4,3)b，∴eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)b))))＝6，解得b＝±3.∴直線l的方程為y＝eq\f(3,4)x±3，化為一般式為3x－4y±12＝0.(2)當(dāng)m≠1時(shí)，直線l的方程是eq\f(y－0,1－0)＝eq\f(x－1,m－1)，即y＝eq\f(1,m－1)·(x－1)；當(dāng)m＝1時(shí)，直線l的方程是x＝1.綜上，所求直線l的方程是x－(m－1)y－1＝0或x－1＝0.(3)設(shè)l在x軸，y軸上的截距分別為a，b.當(dāng)a≠0，b≠0時(shí)，l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.∵直線過(4，－3)，∴eq\f(4,a)－eq\f(3,b)＝1.又∵|a|＝|b|，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)－\f(3,b)＝1，,a＝±b.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,b＝－7.))當(dāng)a＝b＝0時(shí)，直線過原點(diǎn)且過(4，－3)，∴l(xiāng)的方程為y＝－eq\f(3,4)x.綜上所述，直線l的方程為x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.課堂練習(xí)：7．直線eq\r(2)x＋eq\r(6)y＋1＝0的傾斜角是()A．150°B．30°C．60°D．120°答案A解析直線的斜率k＝－eq\f(\r(2),\r(6))＝－eq\f(\r(3),3)，故其傾斜角為150°.8．直線5x－2y－10＝0在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則有()A．a(chǎn)＝2，b＝5 B．a(chǎn)＝2，b＝－5C．a(chǎn)＝－2，b＝5 D．a(chǎn)＝－2，b＝－5答案B解析直線5x－2y－10＝0可以化為截距式方程eq\f(x,2)＋eq\f(y,－5)＝1，所以a＝2，b＝－5.9．兩直線l1：mx－y＋n＝0和l2：nx－y＋m＝0在同一坐標(biāo)系中，則正確的圖形可能是()答案B解析化一般式為斜截式，得l1：y＝mx＋n，l2：y＝nx＋m，可見兩條直線的斜率、截距恰好互換，所以選B.10．已知直線mx＋ny＝－1平行于直線4x＋3y＋5＝0且在y軸上的截距為eq\f(1,3)，則m、n的值分別為()A．4和3 B．－4和3C．－4和－3 D．4和－3答案C解析由題意得n≠0，于是直線可化為y＝－eq\f(m,n)x－eq\f(1,n).由－eq\f(m,n)＝－eq\f(4,3)，－eq\f(1,n)＝eq\f(1,3)，得m＝－4，n＝－3.11．已知直線(a＋2)x＋2ay－1＝0與直線3ax－y＋2＝0垂直，則實(shí)數(shù)a的值是()A．0 B．－eq\f(4,3)C．0或－eq\f(4,3) D．－eq\f(1,2)或eq\f(2,3)答案C解析當(dāng)a＝0時(shí)，兩直線分別為2x－1＝0，－y＋2＝0，此時(shí)兩直線顯然垂直；當(dāng)a≠0時(shí)，兩直線的斜率分別為－eq\f(a＋2,2a)，3a，所以－eq\f(a＋2,2a)·3a＝－1，解得a＝－eq\f(4,3).故選C.二、填空題12．直線l與直線m：3x－y－2＝0關(guān)于x軸對(duì)稱，則這兩條直線與y軸圍成的三角形的面積為________．答案eq\f(4,3)解析由題意可得直線l：3x＋y－2＝0，則直線l，m與y軸圍成的三角形的面積為eq\f(1,2)×4×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3).13．如果對(duì)任何實(shí)數(shù)k，直線(3＋k)x＋(1－2k)y＋1＋5k＝0都過一個(gè)定點(diǎn)A，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是________．答案(－1,2)解析解法一：取k＝－3，方程為7y－14＝0，y＝2；取k＝0.5，方程為3.5x＋3.5＝0，x＝－1.所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(－1,2)；將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入方程得－(3＋k)＋2(1－2k)＋1＋5k＝0，所以直線恒經(jīng)過點(diǎn)A.解法二：將k當(dāng)作未知數(shù)，則方程可寫成(x－2y＋5)k＋3x＋y＋1＝0.因?yàn)閷?duì)于任意k值，等式成立，所以x－2y＋5＝0,3x＋y＋1＝0，解得x＝－1，y＝2，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(－1,2)．14．已知直線l與直線3x＋4y－7＝0平行，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為24，則直線l的方程為________．答案3x＋4y±24＝0解析設(shè)l：3x＋4y＋m＝0(m≠－7)，令y＝0得x＝－eq\f(m,3)；令x＝0得y＝－eq\f(m,4).∵直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為24，∴eq\f(1,2)×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(m,3)))×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(m,4)))＝24，∴m＝±24.∴直線l的方程為3x＋4y±24＝0.三、解答題15．求滿足下列條件的直線方程．(1)經(jīng)過點(diǎn)A(－1，－3)，且斜率等于直線3x＋8y－1＝0斜率的2倍；(2)過點(diǎn)M(0,4)，且與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的周長(zhǎng)為12.解(1)因?yàn)?x＋8y－1＝0可化為y＝－eq\f(3,8)x＋eq\f(1,8)，所以直線3x＋8y－1＝0的斜率為－eq\f(3,8)，則所求直線的斜率k＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)))＝－eq\f(3,4).又直線經(jīng)過點(diǎn)(－1，－3)，因此所求直線的方程為y＋3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(2)設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為(a,0)，因?yàn)辄c(diǎn)M(0,4)在y軸上，所以由題意有4＋eq\r(a2＋42)＋|a|＝12，解得a＝±3，所以所求直線的方程為eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1或eq\f(x,－3)＋eq\f(y,4)＝1，即4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0.16．(1)已知直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？

解(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知：①當(dāng)m＝0時(shí)，顯然l1與l2不平行．②當(dāng)m≠0時(shí)，l1∥l2，需eq\f(2,m)＝eq\f(m＋1,3)≠eq\f(4,－2).解得m＝2或m＝－3，∴m的值為2或－3.(2)由題意知，直線l1⊥l2.①若1－a＝0，即a＝1時(shí)，直線l1：3x－1＝0與直線l2：5y＋2＝0顯然垂直．②若2a＋3＝0，即a＝－eq\f(3,2)時(shí)，直線l1：x＋5y－2＝0與直線l2：5x－4＝0不垂直．③若1－a≠0，且2a＋3≠0，則直線l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－eq\f(a＋2,1－a)，k2＝－eq\f(a－1,2a＋3).當(dāng)l1⊥l2時(shí)，k1·k2＝－1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a＋2,1－a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a－1,2a＋3)))＝－1，∴a＝－1.綜上可知，當(dāng)a＝1或a＝－1時(shí)，直線l1⊥l2.對(duì)稱問題點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱17.若直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，則直線l2恒過定點(diǎn)()A．(0,4) B．(0,2)C．(－2,4) D．(4，－2)答案B解析直線l1：y＝k(x－4)經(jīng)過定點(diǎn)(4,0)，其關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱的點(diǎn)為(0,2)．又直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，故直線l2恒過定點(diǎn)(0,2)．18．已知點(diǎn)A(x,5)關(guān)于點(diǎn)C(1，y)的對(duì)稱點(diǎn)是B(－2，－3)，則點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離是()A．4 B.eq\r(13)C.eq\r(15) D.eq\r(17)答案D解析由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝\f(x－2,2)，,y＝\f(5－3,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1.))∴d＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17).點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱19．點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線x＋y＝0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(5,2) B．(2，－5)C．(－5，－2) D．(－2，－5)答案C解析解法一：設(shè)P(2,5)和Q(m，n)關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱，則PQ的中點(diǎn)Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋2,2)，\f(n＋5,2)))在直線y＝－x上，且kPQ×(－1)＝－1.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋2,2)＋\f(n＋5,2)＝0，,\f(n－5,m－2)×－1＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－5，,n＝－2.))∴對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(－5，－2)．20.求點(diǎn)P(－4,2)關(guān)于直線l：2x－y＋1＝0的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)．解解法一：設(shè)點(diǎn)P′(x，y)，由PP′⊥l及PP′的中點(diǎn)在l上得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－2,x＋4)·2＝－1，,2·\f(x－4,2)－\f(y＋2,2)＋1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0，,2x－y－8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(16,5)，,y＝－\f(8,5).))∴P′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)，－\f(8,5))).解法二：設(shè)點(diǎn)P′(x，y)，PP′⊥l于M，∵PP′的方程為(x＋4)＋2(y－2)＝0，即x＋2y＝0，∴解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0，,2x－y＋1＝0，))得PP′與l的交點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)，\f(1,5)))，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－4＋x,2)＝－\f(2,5)，,\f(2＋y,2)＝\f(1,5)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(16,5)，,y＝－\f(8,5).))故P′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)，－\f(8,5))).距離最短問題21．已知A(1,6)，B(5,2)，點(diǎn)P在x軸上，則使|AP|＋|BP|取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．答案(4.0)解析∵A(1,6)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(1，－6)，則|PA|＝|PA′|，當(dāng)P點(diǎn)為A′B與x軸的交點(diǎn)時(shí)，|PA|＋|PB|取得最小值，又A′B的方程為eq\f(y＋6,2＋6)＝eq\f(x－1,5－1)，即2x－y－8＝0，令y＝0，得x＝4，∴P(4,0)．22.某地A，B兩村在一直角坐標(biāo)系下的位置分別為A(1,2)，B(4,0)，一條河所在直線的方程為l：x＋2y－10＝0.若在河邊l上建一座供水站P，使分別到A，B兩鎮(zhèn)的管道之和最省，問供水站P應(yīng)建在什么地方？

解如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于P，因?yàn)槿鬚′(異于P)在直線l上，則：|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|，因此供水站只能建在P處，才能使得所用管道最?。O(shè)A′(a，b)，則AA′的中點(diǎn)在l上，且AA′⊥l，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)＋2×\f(b＋2,2)－10＝0，,\f(b－2,a－1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1.))解之得eq\b\lc\{\rc\(\