八上期末復習《一次函數(shù)》壓軸題含答案解析

.6/6一次函數(shù)綜合題選講及練習例1．如圖①所示,直線L：y=mx+5m與x軸負半軸,y軸正半軸分別交于A、B兩點．〔1當OA=OB時,求點A坐標及直線L的解析式；〔2在〔1的條件下,如圖②所示,設Q為AB延長線上一點,作直線OQ,過A、B兩點分別作AM⊥OQ于M,BN⊥OQ于N,若AM=,求BN的長；〔3當m取不同的值時,點B在y軸正半軸上運動,分別以OB、AB為邊,點B為直角頂點在第一、二象限內作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE,連EF交y軸于P點,如圖③．問：當點B在y軸正半軸上運動時,試猜想PB的長是否為定值？若是,請求出其值；若不是,說明理由．變式練習：1．已知：如圖1,一次函數(shù)y=mx+5m的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B,與函數(shù)y=﹣x的圖象交于點C,點C的橫坐標為﹣3．〔1求點B的坐標；〔2若點Q為直線OC上一點,且S△QAC=3S△AOC,求點Q的坐標；〔3如圖2,點D為線段OA上一點,∠ACD=∠AOC．點P為x軸負半軸上一點,且點P到直線CD和直線CO的距離相等．①在圖2中,只利用圓規(guī)作圖找到點P的位置；〔保留作圖痕跡,不得在圖2中作無關元素．②求點P的坐標．例2．如圖1,已知一次函數(shù)y=﹣x+6分別與x、y軸交于A、B兩點,過點B的直線BC交x軸負半軸與點C,且OC=OB．〔1求直線BC的函數(shù)表達式；〔2如圖2,若△ABC中,∠ACB的平分線CF與∠BAE的平分線AF相交于點F,求證：∠AFC=∠ABC；〔3在x軸上是否存在點P,使△ABP為等腰三角形？若存在,請直接寫出P點的坐標；若不存在,請說明理由．變式練習：2．如圖,直線l：y=x+6交x、y軸分別為A、B兩點,C點與A點關于y軸對稱．動點P、Q分別在線段AC、AB上〔點P不與點A、C重合,滿足∠BPQ=∠BAO．〔1點A坐標是,BC=．〔2當點P在什么位置時,△APQ≌△CBP,說明理由．〔3當△PQB為等腰三角形時,求點P的坐標．課后作業(yè)：1．已知,如圖直線y=2x+3與直線y=﹣2x﹣1相交于C點,并且與兩坐標軸分別交于A、B兩點．〔1求兩直線與y軸交點A,B的坐標及交點C的坐標；〔2求△ABC的面積．2．如圖①,直線y=﹣x+1分別與坐標軸交于A,B兩點,在y軸的負半軸上截取OC=OB〔1求直線AC的解析式；〔2如圖②,在x軸上取一點D〔1,0,過D作DE⊥AB交y軸于E,求E點坐標．3．如圖,直線L：y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點,在y軸上有一點C〔0,4,動點M從A點以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動．〔1求A、B兩點的坐標；〔2當M在x軸正半軸移動并靠近0點時,求△COM的面積S與M的移動時間t之間的函數(shù)關系式；當M在O點時,△COM的面積如何？當M在x軸負半軸上移動時,求△COM的面積S與M的移動時間t之間的函數(shù)關系式；請寫出每個關系式中t的取值范圍；〔3當t為何值時△COM≌△AOB,并求此時M點的坐標．參考答案：例1．[考點]一次函數(shù)綜合題．[分析]〔1當y=0時,x=﹣5；當x=0時,y=5m,得出A〔﹣5,0,B〔0,5m,由OA=OB,解得：m=1,即可得出直線L的解析式；〔2由勾股定理得出OM的長,由AAS證明△AMO≌△ONB,得出BN=OM,即可求出BN的長；〔3作EK⊥y軸于K點,由AAS證得△ABO≌△BEK,得出對應邊相等OA=BK,EK=OB,得出EK=BF,再由AAS證明△PBF≌△PKE,得出PK=PB,即可得出結果．[解答]解：〔1∵對于直線L：y=mx+5m,當y=0時,x=﹣5,當x=0時,y=5m,∴A〔﹣5,0,B〔0,5m,∵OA=OB,∴5m=5,解得：m=1,∴直線L的解析式為：y=x+5；〔2∵OA=5,AM=,∴由勾股定理得：OM==,∵∠AOM+∠AOB+∠BON=180°,∠AOB=90°,∴∠AOM+∠BON=90°,∵∠AOM+∠OAM=90°,∴∠BON=∠OAM,在△AMO和△OBN中,,∴△AMO≌△ONB〔AAS∴BN=OM=；〔3PB的長是定值,定值為；理由如下：作EK⊥y軸于K點,如圖所示：∵點B為直角頂點在第一、二象限內作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE,∴AB=BE,∠ABE=90°,BO=BF,∠OBF=90°,∴∠ABO+∠EBK=90°,∵∠ABO+∠OAB=90°,∴∠EBK=∠OAB,在△ABO和△BEK中,,∴△ABO≌△BEK〔AAS,∴OA=BK,EK=OB,∴EK=BF,在△PBF和△PKE中,,∴△PBF≌△PKE〔AAS,∴PK=PB,∴PB=BK=OA=×5=．[點評]本題是一次函數(shù)綜合題目,考查了一次函數(shù)解析式的求法、等腰直角三角形的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質等知識；本題綜合性強,難度較大,特別是〔3中,需要通過作輔助線兩次證明三角形全等才能得出結果．變式練習：1．[考點]一次函數(shù)綜合題．[分析]〔1把點C的橫坐標代入正比例函數(shù)解析式,求得點C的縱坐標,然后把點C的坐標代入一次函數(shù)解析式即可求得m的值,則易求點B的坐標；〔2由S△QAC=3S△AOC得到點Q到x軸的距離是點C到x軸距離的3倍或點Q到x軸的距離是點C到x軸距離的2倍；〔3①如圖2,以點A為圓心,AC長為半徑畫弧,該弧與x軸的交點即為P；②如圖3,作P1F⊥CD于F,P1E⊥OC于E,作P2H⊥CD于H,P2G⊥OC于G．利用△CAO∽△DAC,求出AD的長,進而求出D點坐標,再用待定系數(shù)法求出CD解析式,利用點到直線的距離公式求出公式,=,解出a的值即可．[解答]解：〔1把x=﹣3代入y=﹣x得到：y=2．則C〔﹣3,2．將其代入y=mx+5m,得：2=﹣3m+5m,解得m=1．則該直線方程為：y=x+5．令x=0,則y=5,即B〔0,5；〔2由〔1知,C〔﹣3,2．如圖1,設Q〔a,﹣a．∵S△QAC=3S△AOC,∴S△QAO=4S△AOC,或S△QAO=2S△AOC,①當S△QAO=4S△AOC時,OA?yQ=4×OA?yC,∴yQ=4yC,即|﹣a|=4×2=8,解得a=﹣12〔正值舍去,∴Q〔﹣12,8；②當S△QAO=2S△AOC時,OA?yQ=2×OA?yC,∴yQ=2yC,即|﹣a|=2×2=4,解得a=6〔舍去負值,∴Q′〔6,﹣4；綜上所述,Q〔﹣12,8或〔6,﹣4．〔3①如圖2,以點A為圓心,AC長為半徑畫弧,該弧與x軸的交點即為P；②如圖3,作P1F⊥CD于F,P1E⊥OC于E,作P2H⊥CD于H,P2G⊥OC于G．∵C〔﹣3,2,A〔﹣5,0,∴AC==2,∵∠ACD=∠AOC,∠CAO=∠DAC,∴△CAO∽△DAC,∴=,∴AD=,∴OD=5﹣=,則D〔﹣,0．設CD解析式為y=kx+b,把C〔﹣3,2,D〔﹣,0分別代入解析式得,解得,函數(shù)解析式為y=5x+17,設P點坐標為〔a,0,根據(jù)點到直線的距離公式,=,兩邊平方得,〔5a+172=2×4a2,解得a=﹣5±2,∴P1〔﹣5﹣2,0,P2〔﹣5+2,0．[點評]本題考查了一次函數(shù)綜合題,涉及坐標與圖象的關系、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、角平分線的性質、點到直線的距離、三角形的面積公式等知識,綜合性較強,值得關注．法二：例2．[考點]一次函數(shù)綜合題．[分析]〔1根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系,可得A、B、C點的坐標,根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式；〔2根據(jù)角平分線的性質,可得∠FCA=∠BCA,∠FAE=∠BAE,根據(jù)三角形外角的關系,可得∠BAE=∠ABC+∠BCA,∠FAE=∠F+∠FCA,根據(jù)等式的性質,可得答案；〔3根據(jù)等腰三角形的定義,分類討論：AB=AP=10,AB=BP=10,BP=AP,根據(jù)線段的和差,可得AB=AP=10時P點坐標,根據(jù)線段垂直平分線的性質,可得AB=BP=10時P點坐標；根據(jù)兩點間的距離公式,可得BP=AP時P點坐標．[解答]解：〔1當x=0時,y=6,即B〔0,6,當y=0時,﹣x+6=0,解得x﹣8,即A〔8,0；由OC=OB,得OC=3,即C〔﹣3,0；設BC的函數(shù)解析式為,y=kx+b,圖象過點B、C,得,解得,直線BC的函數(shù)表達式y(tǒng)=2x+6；〔2證明：∵∠ACB的平分線CF與∠BAE的平分線AF相交于點F,∴∠FCA=∠BCA,∠FAE=∠BAE．∵∠BAE是△ABC的外角,∠FAE是△FAC的外角,∴∠BAE=∠ABC+∠BCA,∠FAE=∠F+∠FCA．∴∠ABC+∠BCA=∠F+∠BCA,∠ABC=∠F；〔3當AB=AP=10時,8﹣10=﹣2,P1〔﹣2,0,8+10=18,P2〔18,0；當AB=BP=10時,AO=PO=8,即P3〔﹣8,0；設P〔a,0,當BP=AP時,平方,得BP2=AP2,即〔8﹣a2=a2+62化簡,得16a=28,解得a=,P4〔,0,綜上所述：P1〔﹣2,0,P2〔18,0,P3〔﹣8,0；P4〔,0．[點評]本題考查了一次函數(shù)綜合題,〔1利用了函數(shù)值與自變量的關系求出A、B、C的值又利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；〔2利用了角平分線的性質,三角形外角的性質,〔3利用了等腰三角形的定義,分類討論是解題關鍵．變式練習：2．[考點]一次函數(shù)綜合題。[分析]〔1把x=0和y=0分別代入一次函數(shù)的解析式,求出A、B的坐標,根據(jù)勾股定理求出BC即可．〔2求出∠PAQ=∠BCP,∠AQP=∠BPC,根據(jù)點的坐標求出AP=BC,根據(jù)全等三角形的判定推出即可．〔3分為三種情況：①PQ=BP,②BQ=QP,③BQ=BP,根據(jù)〔2即可推出①,根據(jù)三角形外角性質即可判斷②,根據(jù)勾股定理得出方程,即可求出③．[解答]解：〔1∵y=x+6,∴當x=0時,y=6,當y=0時,x=﹣8,即A的坐標是〔﹣8,0,B的坐標是〔0,6,∵C點與A點關于y軸對稱,∴C的坐標是〔8,0,∴OA=8,OC=8,OB=6,由勾股定理得：BC==10,故答案為：〔﹣8,0,10．〔2當P的坐標是〔2,0時,△APQ≌△CBP,理由是：∵OA=8,P〔2,0,∴AP=8+2=10=BC,∵∠BPQ=∠BAO,∠BAO+∠AQP+∠APQ=180°,∠APQ+∠BPQ+∠BPC=180°,∴∠AQP=∠BPC,∵A和C關于y軸對稱,∴∠BAO=∠BCP,在△APQ和△CBP中,,∴△APQ≌△CBP〔AAS,∴當P的坐標是〔2,0時,△APQ≌△CBP．〔3分為三種情況：①當PB=PQ時,∵由〔2知,△APQ≌△CBP,∴PB=PQ,即此時P的坐標是〔2,0；②當BQ=BP時,則∠BPQ=∠BQP,∵∠BAO=∠BPQ,∴∠BAO=∠BQP,而根據(jù)三角形的外角性質得：∠BQP＞∠BAO,∴此種情況不存在；③當QB=QP時,則∠BPQ=∠QBP=∠BAO,即BP=AP,設此時P的坐標是〔x,0,∵在Rt△OBP中,由勾股定理得：BP2=OP2+OB2,∴〔x+82=x2+62,解得：x=﹣,即此時P的坐標是〔﹣,0．∴當△PQB為等腰三角形時,點P的坐標是〔2,0或〔﹣,0．[點評]本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征,勾股定理,等腰三角形的性質,全等三角形的性質和判定的應用,題目綜合性比較強,難度偏大．課后作業(yè)：1．解：〔1當x=0時,y=2x+3=3,則A〔0,3；當x=0時,y=﹣2x﹣1=﹣1,則B〔0,﹣1；解方程組得,則C點坐標為〔﹣1,1；〔2△ABC的面積=×〔3+1×1=2．2．解：〔1y=﹣x+1,當x=0時,y=1,當y=0時,x=2,則點A的坐標為〔2,0,點B的坐標為〔0,1,∵在y軸的負半軸上截取OC=OB,∴點C的坐標為〔0,﹣1,設直線AC的解析式為y=kx+b,把點A〔2,0,C〔0,﹣1代入得：解得：∴y=x﹣1．〔2由直線AB的解析式為y=﹣x+1,DE⊥AB,設直線DE的解析式為y=x+b,把D〔1,0代入得：b=0,解得：b=﹣,∴直線DE的解析式為y=x﹣,當x=0時,y=﹣,∴點E的坐標為〔0,﹣．3