數(shù)學建模微分方程模型市公開課一等獎省名師優(yōu)質課賽課一等獎課件

微分方程模型2怎樣預報人口增加3

怎樣施救藥品中毒4

人口預測和控制模型1目標跟蹤問題動態(tài)模型

描述對象特征隨時間(空間)演變過程.

分析對象特征改變規(guī)律.

預報對象特征未來性態(tài).

研究控制對象特征伎倆.

依據(jù)函數(shù)及其改變率之間關系確定函數(shù).微分方程建模根據(jù)建模目和問題分析作出簡化假設.

按照內在規(guī)律或用類比法建立微分方程.1目標跟蹤問題

設位于坐標原點甲艦向位于x軸上點A(1,0)處乙艦發(fā)射導彈，導彈頭一直對準乙艦．假如乙艦以最大速度v0(常數(shù))沿平行于y軸直線行駛，導彈速度是5v0，求導彈運行曲線方程．乙艦行駛多遠時，導彈將它擊中？由(1),(2)消去t,整理得模型:解法二(數(shù)值解法)1．建立M文件eq1．m

functiondy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);2．取x0=0，xf=0．9999，建立主程序以下：

x0=0，xf=0．9999[x,y]=ode15s('eq1',[x0xf],[00]);plot(x,y(:,1),’b．')holdony=0:0．01:2;plot(1,y,’b*')

結論:導彈大致在（1，0．2）處擊中乙艦.令y1=y,y2=y1’，將方程（3）化為一階微分方程組．結果見圖導彈大致在（1，0．2）處擊中乙艦，與前面結論一致．返回

結論：時刻t=0．21時，導彈在（1，0．21）處擊中乙艦．背景

年份1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增加概況中國人口增加概況

年份1908193319531964198219901995人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口改變規(guī)律控制人口過快增加2怎樣預報人口增加做出較準確預報建立人口數(shù)學模型指數(shù)增加模型——馬爾塞斯1798年提出慣用計算公式x(t)~時刻t人口基本假設

:人口(相對)增加率r

是常數(shù)今年人口x0,年增加率rk年后人口伴隨時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增加.與慣用公式一致?指數(shù)增加模型應用及不足

與19世紀以前歐洲一些地域人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合.

適合用于19世紀后遷往加拿大歐洲移民后代.

可用于短期人口增加預測.

不符合19世紀后多數(shù)地域人口增加規(guī)律.

不能預測較長久人口增加過程.19世紀后人口數(shù)據(jù)人口增加率r不是常數(shù)(逐步下降)阻滯增加模型——Logistic模型人口增加到一定數(shù)量后，增加率下降原因：資源、環(huán)境等原因對人口增加阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設r~固有增加率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納最大數(shù)量）r是x減函數(shù)dx/dtxOxmxm/2txOx增加先快后慢xmx0xm/2阻滯增加模型(Logistic模型)指數(shù)增加模型Logistic模型應用

經(jīng)濟領域中增加規(guī)律(耐用消費品售量).

種群數(shù)量模型(魚塘中魚群,森林中樹木).S形曲線參數(shù)預計用指數(shù)增加模型或阻滯增加模型作人口預報，必須先預計模型參數(shù)r或r,xm.模型參數(shù)預計、檢驗和預報

指數(shù)增加模型阻滯增加模型由統(tǒng)計數(shù)據(jù)用線性最小二乘法作參數(shù)預計例：美國人口數(shù)據(jù)(百萬)t186018701880…1960197019801990x31.438.650.2…179.3204.0226.5251.4281.4r=0.2022/，x0=6.0450模型參數(shù)預計、檢驗和預報

指數(shù)增加模型阻滯增加模型r=0.2557/，xm=392.0886年實際人口計算人口(指數(shù)增加模型)計算人口(阻滯增加模型)17903.96.03.918005.37.45.0…………1960179.3188.0171.31970204.0230.1196.21980226.5281.7221.21990251.4344.8245.3422.1指數(shù)增加模型阻滯增加模型用模型計算美國人口誤差約2.5%與實際數(shù)據(jù)比較(281.4)=274.5模型參數(shù)預計、檢驗和預報

為作模型檢驗在參數(shù)預計時未用實際數(shù)據(jù)加入數(shù)據(jù)重估模型參數(shù)r=0.2490，xm=434.0x()=306.0預報美國人口美國人口普查局12月21日公布：截止到4月1日美國總人口為3.087億.預報誤差不到1%！場景3怎樣施救藥品中毒兩位家長帶著孩子急急忙來到醫(yī)院急診室.訴說兩小時前孩子一次誤吞下11片治療哮喘病、劑量100mg/片氨茶堿片，已出現(xiàn)嘔吐、頭暈等不良癥狀.按照藥品使用說明書，氨茶堿每次用量成人是100~200mg，兒童是3~5mg/kg.過量服用可使血藥濃度(單位血液容積中藥量)過高，100μg/ml濃度會出現(xiàn)嚴重中毒,200μg/ml濃度可致命.醫(yī)生需要判斷：孩子血藥濃度會不會到達100~200μg/ml；假如會到達，應采取怎樣緊急施救方案.調查與分析轉移率正比于x排除率正比于y胃腸道血液系統(tǒng)口服藥品體外認為血液系統(tǒng)內藥品分布，即血藥濃度是均勻，能夠將血液系統(tǒng)看作一個房室，建立“一室模型”

.藥量x(t)藥量y(t)血液系統(tǒng)對藥品吸收率(胃腸道到血液系統(tǒng)轉移率)和排除率能夠由半衰期確定.半衰期能夠從藥品說明書上查到.通常，血液總量約為人體體重7%

~8%，體重50~60kg成年人有4000ml左右血液.目測這個孩子體重約為成年人二分之一，可認為其血液總量約為ml.調查與分析血藥濃度=藥量/血液總量

口服活性炭來吸附藥品，可使藥品排除率增加到原來（人體本身）2倍.臨床施救方法：

體外血液透析，藥品排除率可增加到原來6倍，不過安全性不能得到充分確保.模型假設

1.胃腸道中藥品向血液轉移率與x(t)成正比，百分比系數(shù)λ(>0)，總劑量1100mg藥品在t=0瞬間進入胃腸道.2.血液系統(tǒng)中藥品排除率與y(t)成正比，百分比系數(shù)μ(>0)，t=0時血液中無藥品.3.氨茶堿被吸收半衰期為5h，排除半衰期為6h.4.孩子血液總量為ml.胃腸道中藥量x(t),血液系統(tǒng)中藥量y(t)，時間t以孩子誤服藥時刻為起點（t=0）.模型建立x(t)下降速度與x(t)成正比(百分比系數(shù)λ),總劑量1100mg藥品在t=0瞬間進入胃腸道.轉移率正比于x排除率正比于y胃腸道血液系統(tǒng)口服藥品體外藥量x(t)藥量y(t)y(t)由吸收而增加速度是λx，由排除而降低速度與y(t)成正比(百分比系數(shù)μ),t=0時血液中無藥品.模型求解

藥品吸收半衰期為5h藥品排除半衰期為6h只考慮血液對藥品排除血液總量ml血藥濃度200μg/ml結果及分析胃腸道藥量血液系統(tǒng)藥量血藥濃度100μg/mly(t)=200mg嚴重中毒y(t)=400mg致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子抵達醫(yī)院前已嚴重中毒，如不及時施救，約3h后將致命！y(2)=236.5施救方案

口服活性炭使藥品排除率μ增至原來2倍.

孩子抵達醫(yī)院(t=2)就開始施救，血液中藥量記作z(t)λ=0.1386(不變)，μ=0.1155×2=0.2310施救方案

t=5.26z=318

施救后血液中藥量z(t)顯著低于y(t).z(t)最大值低于致命水平.

要使z(t)在施救后馬上下降，可算出μ最少應為0.4885.若采取體外血液透析，μ可增至0.1155×6=0.693，血液中藥量下降更加快；臨床上是否需要采取這種方法，當由醫(yī)生綜合考慮并征求病人家眷意見后確定.偏微分方程與數(shù)學模型/10/10濟南大學數(shù)學科學學院24偏微分方程偏微分方程（PartialDifferentialEquations）指在物理學、力學、工程技術以及其它自然科學、技術科學、管理科學、甚至社會科學等研究中歸納出來一些含有未知函數(shù)及其偏導數(shù)方程/10/10濟南大學數(shù)學科學學院25什么是偏微分方程？

/10/10濟南大學數(shù)學科學學院26物理量(如位移、溫度等)----時間、空間位置

---------------物理量改變規(guī)律(偏微分方程)例子

/10/10濟南大學數(shù)學科學學院27研究內容

/10/10濟南大學數(shù)學科學學院28普通規(guī)律+定解條件(初始條件、邊界條件)定解問題定解問題適定性：存在性（Existence）唯一性（Uniqueness）穩(wěn)定性（Stability）+附加條件方程4人口預測和控制年紀分布對于人口預測主要性.只考慮自然出生與死亡，不計遷移.人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程一階偏微分方程人口發(fā)展方程p0(r)~已知函數(shù)(人口調查)f(t)~生育率(控制人口伎倆)0tr生育率分解~總和生育率h~生育模式0人口發(fā)展方程和生育率~總和生育率——控制生育多少~生育模式——控制生育早晚和疏密正反饋系統(tǒng)滯后作用很大人口指數(shù)1）人口總數(shù)2）平均年紀3）平均壽命t時刻出生人，死亡率按(r,t)計算平均存活時間4）老齡化指數(shù)控制生育率控制N(t)不過大控制(t)不過高5

煙霧擴散與消失現(xiàn)象和問題炮彈在空中爆炸，煙霧向四面擴散，形成圓形不透光區(qū)域.不透光區(qū)域不停擴大，然后區(qū)域邊界逐步明亮，區(qū)域縮小，最終煙霧消失.建立模型描述煙霧擴散和消失過程，分析消失時間與各原因關系.問題分析無窮空間由瞬時點源造成擴散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度改變.觀察到煙霧消失與煙霧對光線吸收、以及儀器對明暗靈敏程度相關.模型假設1）煙霧在無窮空間擴散，不受大地和風影響；擴散服從熱傳導定律.2）光線穿過煙霧時光強相對降低與煙霧濃度成正比；無煙霧大氣不影響光強.3）穿過煙霧進入儀器光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定.模型建立1）煙霧濃度改變規(guī)律熱傳導定律：單位時間經(jīng)過單位法向面積流量與濃度梯度成正比.