最新高中數(shù)學必修2空間幾何體專題輔導

有志者自有千計萬計，無志者只感千難萬難！PAGEPAGE7高中數(shù)學必修2專題輔導一1．多面體的結構特征(1)棱柱的上下底面平行，側棱都平行且長度相等，上底面和下底面是全等的多邊形．(2)棱錐的底面是任意多邊形，側面是有一個公共頂點的三角形．(3)棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面的兩個多邊形相似．2．旋轉體的結構特征(1)圓柱可以由矩形繞其一邊所在直線旋轉得到．(2)圓錐可以由直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉得到．(3)圓臺可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等腰梯形繞上下底中點的連線旋轉得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到．(4)球可以由半圓或圓繞其直徑旋轉得到．3．空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的，三視圖包括正視圖、側視圖、俯視圖．4．空間幾何體的直觀圖畫空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法.5．柱、錐、臺和球的側面積和體積面積體積圓柱S側＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺S側＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S側＝ChV＝Sh正棱錐S側＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱臺S側＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR36.幾何體的外表積(1)棱柱、棱錐、棱臺的外表積就是各面面積之和．(2)圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的外表積等于側面積與底面面積之和．題型一空間幾何體的結構特征例1設有以下四個命題：①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長方體；③直四棱柱是直平行六面體；④棱臺的相對側棱延長后必交于一點．其中真命題的序號是________．題型二幾何體的三視圖例2如圖，某幾何體的正視圖與側視圖都是邊長為1的正方形，且體積為eq\f(1,2)，那么該幾何體的俯視圖可以是()題型三空間幾何體的外表積和體積例3一個空間幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的外表積為()A．48B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17)D．80如圖，一個多面體的平面展開圖由一邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成，那么該多面體的體積是________．1．(2023·課標全國)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，那么此幾何體的體積為()A．6B．9C．12D．2.高為3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是邊長為1的正三角形(如右圖所示)，那么三棱錐B′—ABC的體積為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6)D.eq\f(\r(3),4)3．正六棱柱的高為6，底面邊長為4，那么它的全面積為()A．48(3＋eq\r(3))B．48(3＋2eq\r(3))C．24(eq\r(6)＋eq\r(2))D．1444．某幾何體的三視圖如下圖，其中俯視圖是個半圓，那么該幾何體的外表積為()A.eq\f(3,2)πB．π＋eq\r(3)C.eq\f(3,2)π＋eq\r(3)D.eq\f(5,2)π＋eq\r(3)二、填空題(每題5分，共15分)5．(2023·山東)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，那么三棱錐D1－EDF的體積為________6．(2023·天津)一個幾何體的三視圖如下圖(單位：m)，那么該幾何體的體積為________m3.7.圖中的三個直角三角形是一個體積為20cm3的幾何體的三視圖，那么h8．(2023·北京)某三棱錐的三視圖如下圖，該三棱錐的體積是________．9.用半徑為r的半圓形鐵皮卷成一個圓錐筒，那么這個圓錐筒的高是________．10．一個球與一個正方體的各個面均相切，正方體的邊長為a，那么球的外表積為________．三、解答題11．正三棱錐V—ABC的正視圖、側視圖和俯視圖如下圖．(1)畫出該三棱錐的直觀圖；(2)求出側視圖的面積．高中數(shù)學必修2專題輔導一1．多面體的結構特征(1)棱柱的上下底面平行，側棱都平行且長度相等，上底面和下底面是全等的多邊形．(2)棱錐的底面是任意多邊形，側面是有一個公共頂點的三角形．(3)棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面的兩個多邊形相似．2．旋轉體的結構特征(1)圓柱可以由矩形繞其一邊所在直線旋轉得到．(2)圓錐可以由直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉得到．(3)圓臺可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等腰梯形繞上下底中點的連線旋轉得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到．(4)球可以由半圓或圓繞其直徑旋轉得到．3．空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的，三視圖包括正視圖、側視圖、俯視圖．4．空間幾何體的直觀圖畫空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法.5．柱、錐、臺和球的側面積和體積面積體積圓柱S側＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺S側＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S側＝ChV＝Sh正棱錐S側＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱臺S側＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR36.幾何體的外表積(1)棱柱、棱錐、棱臺的外表積就是各面面積之和．(2)圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的外表積等于側面積與底面面積之和．題型一空間幾何體的結構特征例1設有以下四個命題：①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長方體；③直四棱柱是直平行六面體；④棱臺的相對側棱延長后必交于一點．其中真命題的序號是________．思維啟迪：利用有關幾何體的概念判斷所給命題的真假．答案①④解析命題①符合平行六面體的定義，故命題①是正確的．底面是矩形的平行六面體的側棱可能與底面不垂直，故命題②是錯誤的．因為直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，故命題③是錯誤的．命題④由棱臺的定義知是正確的．題型二幾何體的三視圖例2如圖，某幾何體的正視圖與側視圖都是邊長為1的正方形，且體積為eq\f(1,2)，那么該幾何體的俯視圖可以是()思維啟迪：對于三視圖的有關問題，一定要抓住“投影〞這個關鍵詞，把握幾何體的形狀．答案C解析假設該幾何體的俯視圖是選項A，那么該幾何體的體積為1，不滿足題意；假設該幾何體的俯視圖是選項B，那么該幾何體的體積為eq\f(π,4)，不滿足題意；假設該幾何體的俯視圖是選項C，那么該幾何體的體積為eq\f(1,2)，滿足題意；假設該幾何體的俯視圖是選項D，那么該幾何體的體積為eq\f(π,4)，不滿足題意．應選C.題型三空間幾何體的外表積和體積例3一個空間幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的外表積為()A．48B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17)D．80思維啟迪：先通過三視圖確定空間幾何體的結構特征，然后再求外表積．答案C解析由三視圖知該幾何體的直觀圖如下圖，該幾何體的下底面是邊長為4的正方形；上底面是長為4、寬為2的矩形；兩個梯形側面垂直于底面，上底長為2，下底長為4，高為4；另兩個側面是矩形，寬為4，長為eq\r(42＋12)＝eq\r(17).所以S表＝42＋2×4＋eq\f(1,2)×(2＋4)×4×2＋4×eq\r(17)×2＝48＋8eq\r(17).如圖，一個多面體的平面展開圖由一邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成，那么該多面體的體積是________．答案eq\f(\r(2),6)解析如圖，四棱錐的高h＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，∴V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),6).1．(2023·課標全國)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，那么此幾何體的體積為()A．6B．9C．12D．答案B解析結合三視圖知識求解三棱錐的體積．由題意知，此幾何體是三棱錐，其高h＝3，相應底面面積為S＝eq\f(1,2)×6×3＝9，∴V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×9×3＝9.2.高為3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是邊長為1的正三角形(如右圖所示)，那么三棱錐B′—ABC的體積為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6)D.eq\f(\r(3),4)答案D解析VB′—ABC＝eq\f(1,3)×BB′×S△ABC＝eq\f(1,3)×3×eq\f(\r(3),4)×12＝eq\f(\r(3),4).3．正六棱柱的高為6，底面邊長為4，那么它的全面積為()A．48(3＋eq\r(3))B．48(3＋2eq\r(3))C．24(eq\r(6)＋eq\r(2))D．144答案A解析S底＝6×eq\f(\r(3),4)×42＝24eq\r(3)，S側＝6×4×6＝144，∴S全＝S側＋2S底＝144＋48eq\r(3)＝48(3＋eq\r(3))．4．某幾何體的三視圖如下圖，其中俯視圖是個半圓，那么該幾何體的外表積為()A.eq\f(3,2)πB．π＋eq\r(3)C.eq\f(3,2)π＋eq\r(3)D.eq\f(5,2)π＋eq\r(3)答案C解析由三視圖可知該幾何體為一個半圓錐，底面半徑為1，高為eq\r(3)，∴外表積S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＋eq\f(1,2)×π×12＋eq\f(1,2)×π×1×2＝eq\r(3)＋eq\f(3π,2).二、填空題(每題5分，共15分)5．(2023·山東)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，那么三棱錐D1－EDF的體積為________答案eq\f(1,6)解析利用三棱錐的體積公式直接求解．VD1－EDF＝VF－DD1E＝eq\f(1,3)S△D1DE·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).6．(2023·天津)一個幾何體的三視圖如下圖(單位：m)，那么該幾何體的體積為________m3.答案4解析此幾何體是兩個長方體的組合，故V＝2×1×1＋1×1×2＝4.7.圖中的三個直角三角形是一個體積為20cm3的幾何體的三視圖，那么h答案4解析如圖是三視圖對應的直觀圖，這是一個三棱錐，其中SA⊥平面ABC，BA⊥AC.由于V＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×5×6×h＝5h，∴5h＝20，∴h＝4.8．(2023·北京)某三棱錐的三視圖如下圖，該三棱錐的體積是________．9.用半徑為r的半圓形鐵皮卷成一個圓錐筒，那么這個圓錐筒的高是________．答案eq\f(\r(3),2)r解析由題意可知卷成的圓錐的母線長為r，設卷成的圓錐的底面半徑為r′，那么2πr′＝πr，所以r′＝eq\f(1,2)r，所以圓錐的高h＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)r))2)＝eq\f(\r(3),2)r.10．一個球與一個正方體的各個面均相切，正方體的邊長為a，那么球的外表積為_