控制工程基礎(chǔ)-第四章課件

第四章頻率分析法頻率特性分析法是經(jīng)典控制理論中常用的分析與研究系統(tǒng)特性的方法。頻率特性包括幅頻特性和相頻特性，它在頻率域里全面地描述了系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系即系統(tǒng)的特性。頻率特性在有些書(shū)中又稱為頻率響應(yīng)，但嚴(yán)格地說(shuō)：頻率響應(yīng)是指系統(tǒng)對(duì)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)輸出。將會(huì)看到，頻率特性和頻率響應(yīng)是兩個(gè)聯(lián)系密切但又有區(qū)別的概念。第四章頻率分析法頻率特性分析法是經(jīng)典控制理論中常1頻率特性分析方法具有如下特點(diǎn)：可通過(guò)分析系統(tǒng)對(duì)不同頻率的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)獲得系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性。頻率特性有明確物理意義，可用實(shí)驗(yàn)方法獲得。

這對(duì)那些不能或難于用分析方法建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，具有非常重要的意義。即使對(duì)于能用分析法建模系統(tǒng)，也可通過(guò)頻率特性實(shí)驗(yàn)對(duì)其模型加以驗(yàn)證和修改。不需要解閉環(huán)特征方程，由開(kāi)環(huán)頻率特性即可研究閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)定性。頻率特性分析方法具有如下特點(diǎn)：2第一節(jié)頻率特性的基本概念一、頻率特性及物理意義

系統(tǒng)在正弦函數(shù)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)。若對(duì)線性系統(tǒng)G(s)輸入一幅值為X，頻率為的正弦信號(hào)：x(t)=Xsint，則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出頻率與輸入信號(hào)相同，只是幅值和相位與輸入不同。一般地，輸出信號(hào)幅值Y()是的函數(shù)，它正比于輸入信號(hào)幅值，輸出信號(hào)與輸入信號(hào)之間相位差()也是的函數(shù)，它與幅值無(wú)關(guān)。線性系統(tǒng)在正弦函數(shù)輸入下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)記為：

y(t)=Y()sin[t+()]當(dāng)輸入信號(hào)幅值固定，而頻率變化時(shí)，幅值Y()與相位差()也隨之變化。第一節(jié)頻率特性的基本概念一、頻率特性及物理意義一般地，輸3系統(tǒng)幅頻特性定義：輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的幅值之比，記為它描述了穩(wěn)態(tài)情況下，系統(tǒng)輸出與輸入之間的幅值比隨頻率的變化情況，即幅值的衰減或放大特性。系統(tǒng)的相頻特性定義：輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的相位之差隨頻率的變化，記為()。它描述了輸出相位對(duì)輸入相位的滯后或超前特性。系統(tǒng)幅頻特性定義：它描述了穩(wěn)態(tài)情況下，系統(tǒng)輸出與輸入之間的幅4如上圖所示，矢量G(j)的模|G(j)|即為系統(tǒng)的幅頻特性A()；矢量Ｇ(j)與正實(shí)軸的夾角∠G(j)即為系統(tǒng)的相頻特性()。幅頻特性A()和相頻特性()統(tǒng)稱為系統(tǒng)頻率特性，記作G(j)。頻率特性G(j)是頻率的復(fù)變函數(shù)，是一個(gè)矢量。按照正弦信號(hào)的旋轉(zhuǎn)矢量表示方法，規(guī)定()按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)為正值，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)為負(fù)值。因此，有

式中：Re()是G(j)的實(shí)部，稱為實(shí)頻特性；Im()是G(j)的虛部，稱為虛頻特性。如上圖所示，矢量G(j)的模|G(j)|即為系統(tǒng)的幅5頻率特性G(j)的物理意義

(1)、頻率特性表示系統(tǒng)對(duì)不同頻率的正弦信號(hào)的“復(fù)現(xiàn)能力”或“跟蹤能力”。在低頻率(T<<1)處，輸入信號(hào)基本上可在輸出端按原比例復(fù)現(xiàn)出來(lái)；頻率較高時(shí)，輸入信號(hào)就被抑制而不能傳遞出去。實(shí)際系統(tǒng)一般都有這樣的“低通”濾波及相位滯后作用。(2)頻率特性隨頻率而變化，緣于系統(tǒng)含有儲(chǔ)能元件。實(shí)際系統(tǒng)中往往存在彈簧、慣量或電容、電感這些儲(chǔ)能元件，它們?cè)谀芰拷粨Q時(shí)，對(duì)不同頻率信號(hào)使系統(tǒng)顯示出不同的特性。系統(tǒng)具有什么樣的頻率特性，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身，與外界因素?zé)o關(guān)。(3)頻率特性反映系統(tǒng)本身的特點(diǎn)：系統(tǒng)元件的參數(shù)(如機(jī)械系統(tǒng)的k、c、m)給定以后，頻率特性就完全確定，系統(tǒng)隨變化的規(guī)律也就完全確定。頻率特性G(j)的物理意義(1)、頻率特性表示系統(tǒng)對(duì)不同6二．頻率特性的求法頻率特性的求法有三種１．根據(jù)已知系統(tǒng)的微分方程，把輸入以正弦函數(shù)代入，求其穩(wěn)態(tài)解，取其輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦的復(fù)數(shù)比即得系統(tǒng)的頻率特性。２．根據(jù)傳遞函數(shù)求取，將傳遞函數(shù)G(s)中的s用j替代，即為頻率特性G(j)。３．通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得。

這里僅介紹根據(jù)傳遞函數(shù)求取頻率特性。下圖為一線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)輸入與輸出分別為x(t)和y(t)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(s)。當(dāng)把傳遞函數(shù)中的s，以j代替，即為頻率特性G(j)。二．頻率特性的求法頻率特性的求法有三種１．根據(jù)已知系統(tǒng)的微分7輸入x(t)是正弦函數(shù)，并由x(t)=Xsint

其拉氏變換為下面我們來(lái)證明此結(jié)論的正確性（自學(xué)）。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示為

于是輸出量的拉氏變換為如果只具有不同的極點(diǎn)，則其部分分式展開(kāi)為式中a，和bi(i=1，…，n)為待定常數(shù)，而a、是的待定共軛復(fù)數(shù)。

輸入x(t)是正弦函數(shù)，并由x(t)=Xsint其8式中的a和可按求留數(shù)的方法予以確定：因此上式的拉氏反變換為對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng)而言（無(wú)論是相異根或者重根），-p1，.....，-pn具有負(fù)實(shí)部，因而，在上式中，當(dāng)t→∞時(shí)，第三項(xiàng)以后各項(xiàng)全部為零，穩(wěn)態(tài)值只有第一、二項(xiàng)。不論那種情況，其輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為因?yàn)槭且粋€(gè)復(fù)數(shù)，所以可以表示成為式中的a和可按求留數(shù)的方法予以確定：因此上式的拉氏9可得歐拉公式與x(t)=Xsint相比，輸出信號(hào)與輸入信號(hào)幅值比和相角差分別為()=∠G(j)因此,|G(j)|就是系統(tǒng)的幅頻特性，∠G(j)就是系統(tǒng)的相頻特性。即，G(j)為頻率特性?？傻脷W拉公式與x(t)=Xsint相比，輸出信號(hào)與輸10總結(jié)以上分析：(1)線性定常系統(tǒng)頻率特性可通過(guò)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)獲得，即：G(j)=G(s)|s=j

系統(tǒng)的頻率特性就是其傳遞函數(shù)G(s)中復(fù)變量s=+j在=0時(shí)的特殊情況。(2)若系統(tǒng)輸入信號(hào)為正弦函數(shù)，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出也是相同頻率的正弦函數(shù)，但幅值和相位與輸入信號(hào)的幅值和相位不同。顯然，若改變輸入信號(hào)頻率，系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值也會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化，而頻率特性正表明了幅值比和相位差隨頻率變化的情況?？偨Y(jié)以上分析：(1)線性定常系統(tǒng)頻率特性可通過(guò)系統(tǒng)的傳遞函11系統(tǒng)s傳遞函數(shù)j頻率特性ddtsddtjsj微分方程(3)系統(tǒng)頻率特性與傳遞函數(shù)、微分方程間都存在內(nèi)在聯(lián)系。它們之間可以相互轉(zhuǎn)換，均可表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種表達(dá)形式。系統(tǒng)s傳遞函數(shù)j頻率特性ddtsddtjsj微分方程(12例1機(jī)械系統(tǒng)如右圖所示：彈簧剛度系數(shù)k=10N/m，阻尼系數(shù)C=10N·s/m,輸入幅值為1N的正弦力，求兩種頻率下即：f(t)=sint和f(t)=sin100t時(shí)，系統(tǒng)的位移y(t)的穩(wěn)態(tài)輸出。解：系統(tǒng)的微分方程式中T=c/k=1（s）

傳遞函數(shù)系統(tǒng)的頻率特性實(shí)頻特性：虛頻特性：例1機(jī)械系統(tǒng)如右圖所示：彈簧剛度系數(shù)k=10N/m，阻尼系13系統(tǒng)的幅頻特性為系統(tǒng)的相幅頻特性為當(dāng)=1時(shí)，G(j)的模和幅角為：系統(tǒng)的幅頻特性為系統(tǒng)的相幅頻特性為當(dāng)=1時(shí)，G(j)的14當(dāng)=100rad/s時(shí)，

()=-arctan100≈-89.4°

所以f(t)=sin100t時(shí)的穩(wěn)態(tài)位移輸出為系統(tǒng)的位移幅值隨著輸入力的頻率增大而減小，同時(shí)位移的相位滯后量也隨頻率的增高而加大。所以當(dāng)f(t)＝sint時(shí)穩(wěn)態(tài)位移輸出為

當(dāng)=100rad/s時(shí)，()=-arctan15第二節(jié)

頻率特性表示法一．極坐標(biāo)圖(奈奎斯特圖Nyquist)頻率特性的極坐標(biāo)圖也稱為幅相頻特性圖或稱為奈奎斯特圖。由于頻率特性G(j)是的復(fù)變函數(shù)，故可在復(fù)平面[G(j)]上表示。對(duì)于給定的，頻率特性可由復(fù)平面上相應(yīng)的矢量G(j)描述，如圖所示。當(dāng)從0→∞變化時(shí)，G(j)矢量端點(diǎn)軌跡即為頻率特性的極坐標(biāo)曲線，該曲線連同坐標(biāo)一起則稱為極坐標(biāo)圖。主要缺點(diǎn):不能明顯地表示出系統(tǒng)傳遞函數(shù)中各個(gè)環(huán)節(jié)在系統(tǒng)中的作用，繪制較麻煩。極坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn):在一幅圖上同時(shí)給出了系統(tǒng)在整個(gè)頻率域的實(shí)頻特性、虛頻特性、幅頻特性和相頻特性。簡(jiǎn)潔、直觀地表示了系統(tǒng)頻率特性。第二節(jié)頻率特性表示法一．極坐標(biāo)圖(奈奎斯特圖Nyqu161.繪制頻率特性Nyqusit圖的步驟（1）在系統(tǒng)傳遞函數(shù)中令s=j，寫出系統(tǒng)頻率特性G(j)。（2）寫出系統(tǒng)的幅頻特性|G(j)|、相頻特性∠G(j)、實(shí)頻特性Re()和虛頻特性Im()。（3）求若干個(gè)特殊點(diǎn)：令=0，求出0|G(j0)|、∠G(j0)、Re(0)、Im(0)；令Re()=0，求出，然后代入Im()的表達(dá)式即求得矢端軌跡與虛軸的交點(diǎn)；令I(lǐng)m()=0，求出，然后代入Re()的表達(dá)式即求得矢端軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)。（4）在0<<∞的范圍內(nèi)再取若干點(diǎn)分別求|G(j)|、∠G(j)、Re()、Im()。1.繪制頻率特性Nyqusit圖的步驟（3）求若干個(gè)特殊點(diǎn)：17（5）對(duì)于二階振蕩環(huán)節(jié)（或二階系統(tǒng)）還要求=n時(shí)的|G(j)|、∠G(j)、

Re()、Im()。若此環(huán)節(jié)（或系統(tǒng)）的阻尼比0<<0.707，則還要計(jì)算諧振頻率r、諧振峰值Mr及=r時(shí)的Re()、Im()。其中，諧振頻率r、諧振峰值可由下式得到：（7）在復(fù)平面（含實(shí)軸、原點(diǎn)、虛軸和復(fù)平面名稱[G(j)]）中，分別描出以上所求各點(diǎn)，并按增大的方向?qū)⑸鲜龈鼽c(diǎn)聯(lián)成一條曲線，在該曲線旁標(biāo)出增大的方向。（6）令=∞，求出|G(j)|、∠G(j)、Re()、Im()。（5）對(duì)于二階振蕩環(huán)節(jié)（或二階系統(tǒng)）還要求=n時(shí)的|G(18二．波德圖（Bode圖）

波德圖（Bode）也稱為對(duì)數(shù)頻率特性圖幅頻特性：縱坐標(biāo)表示幅頻特性幅值分貝值L()=20lg|G(j)|，單位分貝(dB)；橫坐標(biāo)(對(duì)數(shù)分度)表示值，單位是弧度/秒或秒-1(rad/s或s-1)。幅頻特性相頻特性相頻特性：縱坐標(biāo)(線性分度)表示G(j)的相位，單位是度；橫坐標(biāo)(對(duì)數(shù)分度)表示值，單位是弧度/秒或秒-1(rad/s或s-1)。lg使幅頻特性圖的繪制簡(jiǎn)化，且圖形也緊湊。二．波德圖（Bode圖）波德圖（Bode）也稱為對(duì)數(shù)頻率特19繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖，一般常只畫(huà)其漸近線。當(dāng)要求精確時(shí)，局部加以修正。畫(huà)漸近線先要確定漸近線的斜率。漸近線斜率是用頻率增高一倍或十倍時(shí)，L()變化的分貝數(shù)來(lái)表示。在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上，若2=21。則1和2兩點(diǎn)間的距離就稱為“倍頻程”（octave），或簡(jiǎn)寫成oct；若2=101，則1和2兩點(diǎn)間的距離就稱為“十倍頻程”（decade）或簡(jiǎn)寫成dec。例2設(shè)某環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為

L()=-20lg則頻率=1、21和101時(shí)的對(duì)數(shù)幅值為：L()=L(1)=-20lg1L()=L(21)=-20lg1-20lg2=-20lg1-6

L()=L(101)=-20lg1-20lg10=-20lg1-20即該對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線的斜率為-6dB/oct或-20dB/oct。1、幅頻特性繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖，一般常只畫(huà)其漸近線。當(dāng)要求精確時(shí)，局部加20例3設(shè)某環(huán)節(jié)的幅頻特性為這一環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線當(dāng)<<1/T時(shí)，T22與1相比可略去不計(jì)，數(shù)幅頻特性，可近似為

L()=20lg5=14(23)這是一條距橫坐標(biāo)軸距離為14分貝，斜率為0dB/dec。漸近線如下確定當(dāng)>>1/T時(shí)，1與T22相比可忽略，對(duì)數(shù)幅頻特性可近似為即顯然，這是一條斜率為-20dB/dec的直線。這兩條直線就是所求的漸近線。例3設(shè)某環(huán)節(jié)的幅頻特性為這一環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線當(dāng)<21轉(zhuǎn)角頻率（轉(zhuǎn)折頻率）兩條漸近線相交處的頻率稱為轉(zhuǎn)角頻率T，通過(guò)令相鄰兩條漸近線的對(duì)數(shù)幅值相等，可求出。如上例子中兩漸近線如下其實(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的各轉(zhuǎn)角頻率，即系統(tǒng)各組成環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)或無(wú)阻尼自然頻率。幅值穿越頻率對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與橫坐標(biāo)軸相交處的頻率稱為幅值穿越頻率或增益交界頻率,用c表示，可通過(guò)令合適頻段漸近線方程L()=0而求得到。如上例中：令L()=20lg5-20lgT=0得到c=5/T轉(zhuǎn)角頻率（轉(zhuǎn)折頻率）其實(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的各轉(zhuǎn)角頻率，即系22其橫坐標(biāo)軸的分度按頻率的對(duì)數(shù)分度。因兩矢量相乘時(shí)，其相位是相加的，所以相頻特性采用線性分度（度或者弧度）。2、對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)數(shù)相頻特性是指頻率特性函數(shù)相位隨而變化的關(guān)系。()=∠G(j)

相位穿越頻率或相位交界頻率（g）對(duì)數(shù)相頻特性曲線與-180°線相交處的頻率，或者說(shuō)頻率特性函數(shù)的相位等于-180°時(shí)的頻率。其橫坐標(biāo)軸的分度按頻率的對(duì)數(shù)分度。因兩矢量相乘時(shí)，其相位是23以波德圖表示頻率特性的優(yōu)點(diǎn)：

1.簡(jiǎn)化了計(jì)算與作圖過(guò)程：2.可用近似方法方便作圖先分段用直線作出對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線，再用修正曲線對(duì)漸近線進(jìn)行修正，就可得到較準(zhǔn)確的對(duì)數(shù)幅頻特性圖。3.可采用疊加法得出系統(tǒng)波德圖，分別作出各個(gè)環(huán)節(jié)的波德圖，并由此可看出各個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)總特性的影響。由于橫坐標(biāo)為對(duì)數(shù)坐標(biāo)，所以=0的頻率不可能在橫坐標(biāo)上表現(xiàn)出來(lái)，因此，橫坐標(biāo)起點(diǎn)可根據(jù)實(shí)際所需的最低頻率來(lái)決定。可將串聯(lián)環(huán)節(jié)幅值的乘、除幅值的加、減。4.對(duì)于橫坐標(biāo)采用對(duì)數(shù)分度，所以能把較寬頻率范圍的圖形緊湊地表示出來(lái)。以波德圖表示頻率特性的優(yōu)點(diǎn)：1.簡(jiǎn)化了計(jì)算與作圖過(guò)程：2.24第三節(jié)典型環(huán)節(jié)的頻率特性一．比例環(huán)節(jié)的頻率特性1.極坐標(biāo)圖G(j)=K顯然，對(duì)于比例環(huán)節(jié)，實(shí)頻特性恒為K，虛頻特性恒為0，|Ｇ(j)|=K∠G(j)=0°當(dāng)從0→∞時(shí)，Ｇ(j)的幅值總是K，相位總是0°，在極坐標(biāo)圖上為實(shí)軸上的一定點(diǎn)，其坐標(biāo)為（K，j0）。2.波德圖對(duì)數(shù)幅頻特性20lg|Ｇ(j)|=20lgK對(duì)數(shù)相頻特性()=∠Ｇ(j)=0°G(s)=K其曲線是一條水平線，分貝數(shù)為20lgK。由若干環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的對(duì)數(shù)幅值等于各個(gè)環(huán)節(jié)增益對(duì)數(shù)幅值和。第三節(jié)典型環(huán)節(jié)的頻率特性一．比例環(huán)節(jié)的頻率特性1.極坐25二．積分環(huán)節(jié)的頻率特性1.極坐標(biāo)圖由于即顯然，實(shí)頻特性恒為0；虛頻特性則為-1/

。故幅頻特性|Ｇ(j)|=1/相頻特性∠Ｇ(j)=-90°當(dāng)=0時(shí)，|G(j)|=∞,∠G(j)=-90°;當(dāng)=∞時(shí)，|G(j)|=0,∠G(j)=-90°。2.波德圖

對(duì)數(shù)幅頻特性為：

20lg|G(j)|=20lg=-20lg

對(duì)數(shù)相頻特性為：()=∠G(j)=-90°

二．積分環(huán)節(jié)的頻率特性1.極坐標(biāo)圖由于即顯然，實(shí)頻特性恒為261、當(dāng)=0.1rad/s時(shí)，20lg|(G(j)|=20dB，對(duì)數(shù)幅頻特性經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0.1，20）；2、當(dāng)=1rad/s時(shí)，20lg|(G(j)|=0dB，對(duì)數(shù)幅頻特性經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）；3、當(dāng)=10rad/s時(shí),20lg|(G(j)|=-20dB，對(duì)數(shù)幅頻特性經(jīng)過(guò)點(diǎn)（10，-20）。可見(jiàn)：當(dāng)頻率增為10倍時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性就下降20dB。它是一條過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線，其斜率為-20dB/dec(dec表示十倍頻程，即橫坐標(biāo)頻率由增加到10)。積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性，是一條過(guò)點(diǎn)（0，-90°)且平行于橫軸的直線，與無(wú)關(guān)。

1、當(dāng)=0.1rad/s時(shí)，20lg|(G(j)|=227解：因，即，

例4作的波德圖。相頻特性∠G(j)=-180°

對(duì)數(shù)幅頻特性：

對(duì)數(shù)相頻特性

()=∠G(j)=-180°當(dāng)=1、K=10時(shí),20lg|G(j)|=20dB，對(duì)數(shù)幅頻特性過(guò)點(diǎn)(1，20)；=10、K=10時(shí)，20lg|G(j)|=-20dB,對(duì)數(shù)幅頻特性過(guò)點(diǎn)(1，-20)；故幅頻特性

對(duì)數(shù)幅頻特性:一斜率為-40dB/dec的直線，是一個(gè)比例環(huán)節(jié)(K=10)與兩個(gè)積分環(huán)節(jié)(1/s)的對(duì)數(shù)幅頻特性的疊加。對(duì)數(shù)相頻特性:是一條過(guò)點(diǎn)(0，-180°)且平行于橫軸的一直線，也是一個(gè)比例環(huán)節(jié)和兩個(gè)積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性的疊加。比較可知：增加一積分環(huán)節(jié)，就使對(duì)數(shù)幅頻特性斜率增加-20dB/dec，而使相位增加-90°；增加一比例環(huán)節(jié)，對(duì)數(shù)幅頻特性垂直平移20lgK，而其相位不變。解：因，即28三.理想微分環(huán)節(jié)的頻率特性1.極坐標(biāo)圖由于G(s)=s

即G(j)=j顯然，實(shí)頻特性恒為0；虛頻特性為。

故G(j)|=∠G(j)=90°當(dāng)=0時(shí)，|G(j)|=0，∠G(j)=90°；當(dāng)=∞時(shí),|G(j)|=∞，∠G(j)=90°

2．波德圖

對(duì)數(shù)幅頻特性20lg|G(j)|=20lg

對(duì)數(shù)相頻特性()=∠G(j)=90°當(dāng)

=0.1時(shí)，20lg|G(j)|=-20dB;當(dāng)

=1時(shí)，20lg|G(j)|=0dB。微分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性是過(guò)點(diǎn)(1，0)，而斜率為20dB/dec的直線。對(duì)數(shù)相頻特性是過(guò)點(diǎn)(0，90°)，且平行于橫軸的直線。三.理想微分環(huán)節(jié)的頻率特性1.極坐標(biāo)圖由于29四.慣性環(huán)節(jié)的頻率特性1.極坐標(biāo)圖

由于

顯然，實(shí)頻特性為；虛頻特性為

故幅頻特性

相頻特性當(dāng)=0時(shí)，|G(j)|=1，∠G(j)=0°

當(dāng)=1/T時(shí),|G(j)|=0.707,∠G(j)=-45°

當(dāng)=∞時(shí)，|G(j)|=0，∠G(j)=-90°

根據(jù)上述實(shí)頻和虛頻特性兩式，可分別求得不同值的Re()和Im()，從而作出極坐標(biāo)圖。

四.慣性環(huán)節(jié)的頻率特性1.極坐標(biāo)圖由于顯然，實(shí)頻特性30此時(shí)，頻率特性曲線為一半圓。證明如下：

實(shí)頻特性為

虛頻特性為

所以將其代入實(shí)頻特性表達(dá)式中則有，將此式整理得

此式是一個(gè)圓方程，但由于∠G(j)=-arctanT，所以當(dāng)0<<∞時(shí)，極坐標(biāo)圖是下半圓，因?yàn)榇藭r(shí)∠G(j)與Im()恒為負(fù)值，如上圖所示。

此時(shí)，頻率特性曲線為一半圓。證明如下：實(shí)頻特性為虛頻特性312．波德圖

如令，此頻率稱為轉(zhuǎn)角頻率

對(duì)數(shù)幅頻特性

對(duì)數(shù)相頻特性

當(dāng)<<1/T時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性為：

當(dāng)>>1/T時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性為：

低頻段：漸近線是一條0dB/dec水平線；高頻段：是一條斜率為-20dB/dec的直線，該兩條漸近線相交處的轉(zhuǎn)角頻率為

慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的穿越頻率和轉(zhuǎn)角頻率相等，即cr=T

2．波德圖如令，此頻率稱為轉(zhuǎn)角頻率對(duì)32漸近線L()=-20lgT繪制方法：設(shè)=i

，則L(i)=-20lgiT，若頻率i變化十倍頻程，即=10i

，則有當(dāng)頻率每變化十倍頻程，幅值L()衰減20dB，即斜率為-20dB/dec。

慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性取值如下：

當(dāng)=0時(shí)，()=-0°;當(dāng)=T時(shí)，()=-45°;當(dāng)=∞時(shí)，()=-90°。從圖可知，對(duì)數(shù)相頻特性斜對(duì)稱于點(diǎn)(T，-45)且在≤0.1T時(shí)，()→-0°，在T≥10時(shí)，()→-90°。漸近線L()=-20lgT繪制方法：設(shè)=i，則L33漸近線與精確的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線之間的誤差e()：最大誤差發(fā)生于轉(zhuǎn)角頻率T處，其誤差為-3dB；在2T或T/2的頻率處，e()為-0.91dB，即約為-1dB；而在10T或T/10的頻率處，e()就接近于0dB。據(jù)此可0.1T

~10T范圍內(nèi)對(duì)漸近線進(jìn)行修正。

漸近線與精確的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線之間的誤差e()：34五、一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性1．極坐標(biāo)圖由于G(s)=1+TS，即G(j)=1+jT顯然實(shí)頻特性恒為1；虛頻特性為T

。故幅頻特性相頻特性∠G(j)=arctanT由此有：當(dāng)

=1/T時(shí)，|G(j)|=,∠G(j)=45°；

當(dāng)

=∞時(shí)，|G(j)|=∞,∠G(j)=90°。

當(dāng)

=0時(shí)，|G(j)|=1,∠G(j)=0°；

五、一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性1．極坐標(biāo)圖由于G(s)35當(dāng)

<<1/T時(shí)，20lg|G(j)|≈0dB，即低頻漸近線是0dB水平線；

當(dāng)

>>1/T

時(shí)，20lg|G(j)|≈20lgT，即高頻漸近線為一直線，其始于點(diǎn)(1/T

，0)，斜率為20dB/dec。對(duì)數(shù)相頻特性當(dāng)

=0時(shí)，()=0°；

當(dāng)

=T

時(shí)，()=45°；當(dāng)

=∞時(shí)，()=90°。2．波德圖

對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性()=∠G(j)=arctanT

一階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率T=1/T

。

對(duì)數(shù)相頻特性斜對(duì)稱于點(diǎn)(T，45)

當(dāng)<<1/T時(shí)，20lg|G(j)|≈0dB，即低頻36六．二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性1．極坐標(biāo)圖

如令

則

實(shí)頻特性為

虛頻特性為故幅頻特性為相頻特性六．二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性1．極坐標(biāo)圖如令則實(shí)頻特37振蕩環(huán)節(jié)頻率特性極坐標(biāo)圖始于(1,j0)，終于（0,j0）。曲線與虛軸交點(diǎn)的頻率就是無(wú)阻尼固有頻率n，幅值為1/(2)

，曲線在第三、四象限，取值不同，G(j)的極坐標(biāo)圖形狀也不同。

由此有：當(dāng)

=0時(shí),|G(j)|=1,∠G(j)=0°當(dāng)

=1/T時(shí),|G(j)|=1/2,∠G(j)=-90°;當(dāng)

=∞時(shí),|G(j)|=0,∠G(j)=-180°在阻尼比較?。?.707

）時(shí)，幅頻特性|G(j)|在頻率

r

處出現(xiàn)峰值，稱為諧振峰值Mr，對(duì)應(yīng)頻率r稱為諧振頻率?？扇缦虑蟮茫?/p>

由

有阻尼固有頻率諧振頻率r總小于有阻尼固有頻率d。振蕩環(huán)節(jié)頻率特性極坐標(biāo)圖始于(1,j0)，終于（0,j382．波德圖

幅頻特性

相頻特性振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性

(1).對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線當(dāng)T<<1時(shí)，20lg｜G(j)｜≈0dB

即低頻漸近線是0dB水平線。

當(dāng)T>>1時(shí)，20lg｜G(j)｜≈-40lgT當(dāng)=1/T時(shí)，高頻漸近線20lg｜G(j)｜=0dB?？梢?jiàn)，高頻漸近線為一直線，始于點(diǎn)(1,0)，斜率為-40dB/dec。2．波德圖幅頻特性相頻特性振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相39n稱為振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率漸近線是由一段0dB線和一條起始于點(diǎn)(1,0)(即在r=n/T處)，斜率為-40dB/dec的直線所組成。(2).誤差修正曲線(3).對(duì)數(shù)相頻特性

當(dāng)

=0時(shí)，()=0;當(dāng)

=n時(shí)，()=-90°當(dāng)

=∞時(shí)，()=-180°

n稱為振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率漸近線是由一段0dB線和一條起始于40(4).振蕩環(huán)節(jié)的諧振頻率r和諧振峰值Mr

已求得

由圖可知：越小,r

越接近于n

(即r/n越接近于1);

增大,

r離n

的距離就增大。應(yīng)指出，1>≥0.707

時(shí)，可認(rèn)為r=0。

當(dāng)<0.707時(shí)，越小，Mr越大；→0時(shí)，Mr→∞；當(dāng)1>≥0.707時(shí)，可認(rèn)為Mr=1。(4).振蕩環(huán)節(jié)的諧振頻率r和諧振峰值Mr已求得由圖41七、二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性由于即其極坐標(biāo)圖如圖所示。1．極坐標(biāo)圖2．波德圖其幅頻特性與相頻特性如圖所示。七、二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性由于即其極坐標(biāo)圖如圖所示。142第四節(jié)控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)波德圖一．控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)波德圖

控制系統(tǒng)一般總是由若干典型環(huán)節(jié)組成，直接繪制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)玻德圖比較繁瑣，但熟悉了典型環(huán)節(jié)頻率特性后，就不難繪制出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)玻德圖?？刂葡到y(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)一般形式為

故其對(duì)數(shù)幅頻特性為對(duì)數(shù)相頻特性為第四節(jié)控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)波德圖一．控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)波德圖故其對(duì)43繪制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)波德圖的步驟把系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式（即時(shí)間常數(shù)形式），如前式所示形式；選定對(duì)數(shù)幅頻特性圖上各坐標(biāo)軸的比例尺；求出慣性、微分、振蕩環(huán)節(jié)及二階微分的轉(zhuǎn)角頻率，并沿頻率軸上由小到大標(biāo)出；根據(jù)比例環(huán)節(jié)K，計(jì)算20lgK(dB);在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上，找到頻率=1rad/s及幅值為20lgK的一點(diǎn)，通過(guò)此點(diǎn)作斜率為-20N(dB/dec)的直線，N為積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。如不存在積分環(huán)節(jié)，則作一條幅值為20logK的水平線；

繪制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)波德圖的步驟44在每個(gè)轉(zhuǎn)角頻率處改變漸近線的斜率，如果為慣性環(huán)節(jié)，斜率改變?yōu)?20(dB/dec)；二階振蕩環(huán)節(jié)，斜率改變?yōu)?40(dB/dec)；一階微分環(huán)節(jié)，斜率改變?yōu)?20N(dB/dec)；如此，作到最后一段，最后一段漸近線的斜率應(yīng)為-20(N+p+2q-m)dB/dec

N為積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)；p為慣性環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)；

q為二階振蕩環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)；m為微分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)可以應(yīng)用上述結(jié)論驗(yàn)證圖形繪制是否正確。如果要求精確對(duì)數(shù)幅頻特性圖，可對(duì)漸進(jìn)線進(jìn)行修正；畫(huà)出每一環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性圖，然后把所有組成環(huán)節(jié)的相頻特性在相同的頻率下相疊加，即可得到系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性。在每個(gè)轉(zhuǎn)角頻率處改變漸近線的斜率，如果為慣性環(huán)節(jié)，斜率改變?yōu)?5例5繪制如下系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)波德圖1）由G(s)確定系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)形式2）確定積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)和比例系數(shù)K一個(gè)積分環(huán)節(jié)起始直線斜率為-20dB/decK=5在=1處直線的值為20lgK=14dB3）確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率（ω=1/T）ω1=1ω2=204）確定坐標(biāo)的起始頻率(ωo≈0.1ωmin)ωo=0.1例5繪制如下系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)波德圖1）由G(s)確定系統(tǒng)的典型465）將傳函按轉(zhuǎn)折頻率的大小依次由小到大排列斜率-20-20-206）畫(huà)出系統(tǒng)的Bode圖的漸近線（依據(jù)：當(dāng)直線和直線相加，則兩直線的斜率相加）0.111010020-20L(ω)2014-20dB/dec-60dB/dec-40dB/dec5）將傳函按轉(zhuǎn)折頻率的大小依次由小到大排列斜率-20-20-47二.最小相位系統(tǒng)最小相位傳遞函數(shù)：若傳遞函數(shù)G(s)的所有零點(diǎn)和極點(diǎn)均在復(fù)平面［s］的左半平面內(nèi)，則稱G(s)為最小相位傳遞函數(shù)。最小相位系統(tǒng)：具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)。(0<T<T1)(0<T<T1)具有相同幅頻特性的系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍是最小的。例如兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為非最小相位傳遞函數(shù)：若傳遞函數(shù)G(s)在復(fù)平面［s］的右半平面內(nèi)存在零點(diǎn)或極點(diǎn)，則稱G(s)為非最小相位傳遞函數(shù)。非最小相位系統(tǒng)：具有非最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)。二.最小相位系統(tǒng)最小相位傳遞函數(shù)：(0<T<T1)(0<T<48下圖表示兩個(gè)系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布圖，顯然G1(s)屬于最小相位系統(tǒng)。這兩個(gè)系統(tǒng)具有同一個(gè)幅頻特征，但它們卻有著不同的相頻特性，如圖b)所示。一個(gè)最小相位系統(tǒng)需滿足下面的條件:(1)在=∞時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的斜率為L(zhǎng)k(∞)=-20(n-m)dB/dec(2)對(duì)于最小相位系統(tǒng)的相位特性；

(∞)=-90o(n-m)這里n和m分別為傳遞函數(shù)中分母和分子多項(xiàng)式的階次。最小相位系統(tǒng)中,對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性關(guān)系唯一。下圖表示兩個(gè)系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布圖，顯然G1(s)屬于最小相49第五節(jié)閉環(huán)頻率特性一.由開(kāi)環(huán)頻率特性估計(jì)閉環(huán)頻率特性

對(duì)于如下圖所示的系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)頻率特性為G(j)H(j)。而該系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性為令GK(j)=G(j)H(j)則第五節(jié)閉環(huán)頻率特性一.由開(kāi)環(huán)頻率特性估計(jì)閉環(huán)頻率特性令50二.頻率特性的性能指標(biāo)

在頻域分析中，評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)性能優(yōu)劣的特征量稱為頻域性能指標(biāo)，它體現(xiàn)了系統(tǒng)的快速性、穩(wěn)定性等動(dòng)態(tài)品質(zhì)。系統(tǒng)的帶寬指閉環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅值不低于-3dB時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率范圍(0≦BW≦b)。

帶寬表征了系統(tǒng)響應(yīng)的快速性。對(duì)系統(tǒng)帶寬的要求，取決于兩方面因素的綜合考慮:1．截止頻率b和帶寬BW截止頻率指閉環(huán)對(duì)數(shù)幅值20lgM()下降到-3dB[即振幅M()衰減到0.707M(0)]時(shí)的角頻率。閉環(huán)系統(tǒng)將高于截止頻率的信號(hào)分量濾掉，而允許低于截止頻率的信號(hào)分量通過(guò)。1).響應(yīng)速度的要求:響應(yīng)越快，要求帶寬越寬。2).高頻濾波的要求:為濾掉高頻噪聲，帶寬又不能太寬。AmaxA(0)A()r二.頻率特性的性能指標(biāo)在頻域分析中，評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)性51閉環(huán)頻率特性幅度值的極大值Mr，稱為諧振峰值。系統(tǒng)諧振峰值處的頻率，稱為諧振頻率r2．諧振峰值Mr和諧振頻率r二階系統(tǒng):阻尼越小，Mr值越大，越易振蕩。阻尼比越大，Mr越小，越易穩(wěn)定下來(lái)。故Mr標(biāo)志著系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。當(dāng)1≦Mr≦1.4（對(duì)數(shù)幅值0≦Mr≦3dB，阻尼比為0.4≦≦0.707。）b>r：r越大，響應(yīng)速度越快3．剪切率指對(duì)數(shù)幅值曲線在截止頻率附近的斜率。該處曲線斜率越大，高頻噪音衰減的越快。因此，剪切率表征了系統(tǒng)從噪音中辨別信號(hào)的能力。閉環(huán)頻率特性幅度值的極大值Mr，稱為諧振峰值。系統(tǒng)諧振峰值處52三．頻率響應(yīng)指標(biāo)和瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)之間的關(guān)系主要介紹二階系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性的評(píng)價(jià)性能指標(biāo)。三．頻率響應(yīng)指標(biāo)和瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)之間的關(guān)系主要介紹二階系統(tǒng)的閉53第六節(jié)由實(shí)測(cè)頻率特性曲線確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)中是很關(guān)鍵的，前面已介紹了解析法建模。由于實(shí)際系統(tǒng)是復(fù)雜的，對(duì)其結(jié)構(gòu)、參數(shù)及其支配運(yùn)動(dòng)的機(jī)理不很了解，常難于從理論上導(dǎo)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。因此，需要一種用頻率特性實(shí)驗(yàn)分析法來(lái)確定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法。一.頻率特性實(shí)驗(yàn)分析的步驟1．在可能的頻率范圍內(nèi)，測(cè)量出系統(tǒng)在足夠多頻率點(diǎn)上的幅值比和相位差。2．由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)，畫(huà)出系統(tǒng)波德圖。3．在波德圖上，畫(huà)出其漸近線，構(gòu)成整個(gè)漸近對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。通過(guò)試算對(duì)轉(zhuǎn)角頻率，可獲得較滿意的漸近線。4．最后由漸近線來(lái)確定系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)。第六節(jié)由實(shí)測(cè)頻率特性曲線確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立541、由實(shí)驗(yàn)得到的對(duì)數(shù)幅頻特性；2、對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線的斜率必須是20dB/dec的倍數(shù)。如果對(duì)數(shù)幅頻特性在=1處，由斜率減少20dB/dec，則很明顯，在傳遞函數(shù)中包含如下環(huán)節(jié)二.由波德圖確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的二階振蕩環(huán)節(jié)，振蕩環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼自然頻率就等于3

=1/T.若在=2處，斜率變化-40dB/dec，則在傳遞函數(shù)中必含有如果對(duì)數(shù)幅頻特性在=2處，增加20dB/dec，則很明顯，在傳遞函數(shù)中包含如下環(huán)節(jié)1、由實(shí)驗(yàn)得到的對(duì)數(shù)幅頻特性；二.由波德圖確定系統(tǒng)的傳遞函55在實(shí)際系統(tǒng)中，積分因子的數(shù)目N等于0、1或2。下面介紹系統(tǒng)類型和開(kāi)環(huán)增益確定，系統(tǒng)類型和開(kāi)環(huán)增益K主要由系統(tǒng)低頻特性形狀和數(shù)值來(lái)確定。頻率特性一般形式為式中N--串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目，當(dāng)→0時(shí)，各一階環(huán)節(jié)因子趨近于1，故有在實(shí)際系統(tǒng)中，積分因子的數(shù)目N等于0、1或2。下面介紹系統(tǒng)類56（1）對(duì)于N=0時(shí)，即零型系統(tǒng)，有其對(duì)數(shù)頻率特性的低頻漸近線是一條20lgKdB的水平線，K值由該水平線求得，如圖所示。（2）對(duì)于N=1時(shí)，即為Ⅰ型系統(tǒng)即上式表明，低頻漸近線斜率為-20dB/dec，漸近線（或延長(zhǎng)線）與0dB軸交點(diǎn)處的頻率在數(shù)值上等于K，見(jiàn)下圖b。（1）對(duì)于N=0時(shí)，即零型系統(tǒng)，有其對(duì)數(shù)頻率特性的低頻漸近57上式表明，低頻漸近線斜率為-40dB/dec，漸近線（或延長(zhǎng)線）與0dB軸交點(diǎn)處的頻率在數(shù)值上等于見(jiàn)圖c。對(duì)于N=2時(shí)，即為Ⅱ型系統(tǒng)即

由于當(dāng)=1時(shí)，系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線一定過(guò)20lgK，所以K值可將=1由代入以上各式求得。上式表明，低頻漸近線斜率為-40dB/dec，漸近線（或延長(zhǎng)58各種類型系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅值曲線各種類型系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅值曲線5920lgK=20dBK=10起始斜率為-20dB/dec一個(gè)積分環(huán)節(jié)L()-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec151230201.5例最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性圖如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。振蕩環(huán)節(jié)：ωr=12得：ωn=14得：ξ=0.358一階微分環(huán)節(jié)：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：G(s)=G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)20lgK=20dBK=10起始斜率為-20dB/dec一個(gè)60一基本要求

（1）掌握:小結(jié)頻率特性Nyquist圖和Bode圖組成原理;（2）了解:頻率特性的性能指標(biāo);最小相位系統(tǒng)的概念。閉環(huán)頻率特性與開(kāi)環(huán)頻率特性之間的關(guān)系;頻率特性定義和代數(shù)表示法；頻率特性和頻率響應(yīng)求法;開(kāi)環(huán)系統(tǒng)Bode圖特點(diǎn)和繪制。頻率特性Nyquist圖和Bode圖組成原理;典型環(huán)節(jié)Nyquist圖和Bode圖特點(diǎn)及其繪制;一基本要求

小結(jié)頻率特性Nyquist圖和61二本章重點(diǎn)(1)頻率特性定義和代數(shù)表示法；(2)典型環(huán)節(jié)的Bode圖、Nyquist圖;三本章難點(diǎn)（1）開(kāi)環(huán)系統(tǒng)Bode圖、Nyquist圖的畫(huà)法及圖形的分析;（2）頻域性能指標(biāo)計(jì)算;頻率特性和頻率響應(yīng)求法。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)Bode圖的繪制。作業(yè)4.64.104.12(2)(4)(6)(8)4.144.15(6)(9)(10)二本章重點(diǎn)(1)頻率特性定義和代數(shù)表示法；(2)典型環(huán)節(jié)的62第四章頻率分析法頻率特性分析法是經(jīng)典控制理論中常用的分析與研究系統(tǒng)特性的方法。頻率特性包括幅頻特性和相頻特性，它在頻率域里全面地描述了系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系即系統(tǒng)的特性。頻率特性在有些書(shū)中又稱為頻率響應(yīng)，但嚴(yán)格地說(shuō)：頻率響應(yīng)是指系統(tǒng)對(duì)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)輸出。將會(huì)看到，頻率特性和頻率響應(yīng)是兩個(gè)聯(lián)系密切但又有區(qū)別的概念。第四章頻率分析法頻率特性分析法是經(jīng)典控制理論中常63頻率特性分析方法具有如下特點(diǎn)：可通過(guò)分析系統(tǒng)對(duì)不同頻率的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)獲得系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性。頻率特性有明確物理意義，可用實(shí)驗(yàn)方法獲得。

這對(duì)那些不能或難于用分析方法建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，具有非常重要的意義。即使對(duì)于能用分析法建模系統(tǒng)，也可通過(guò)頻率特性實(shí)驗(yàn)對(duì)其模型加以驗(yàn)證和修改。不需要解閉環(huán)特征方程，由開(kāi)環(huán)頻率特性即可研究閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)定性。頻率特性分析方法具有如下特點(diǎn)：64第一節(jié)頻率特性的基本概念一、頻率特性及物理意義

系統(tǒng)在正弦函數(shù)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)。若對(duì)線性系統(tǒng)G(s)輸入一幅值為X，頻率為的正弦信號(hào)：x(t)=Xsint，則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出頻率與輸入信號(hào)相同，只是幅值和相位與輸入不同。一般地，輸出信號(hào)幅值Y()是的函數(shù)，它正比于輸入信號(hào)幅值，輸出信號(hào)與輸入信號(hào)之間相位差()也是的函數(shù)，它與幅值無(wú)關(guān)。線性系統(tǒng)在正弦函數(shù)輸入下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)記為：

y(t)=Y()sin[t+()]當(dāng)輸入信號(hào)幅值固定，而頻率變化時(shí)，幅值Y()與相位差()也隨之變化。第一節(jié)頻率特性的基本概念一、頻率特性及物理意義一般地，輸65系統(tǒng)幅頻特性定義：輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的幅值之比，記為它描述了穩(wěn)態(tài)情況下，系統(tǒng)輸出與輸入之間的幅值比隨頻率的變化情況，即幅值的衰減或放大特性。系統(tǒng)的相頻特性定義：輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的相位之差隨頻率的變化，記為()。它描述了輸出相位對(duì)輸入相位的滯后或超前特性。系統(tǒng)幅頻特性定義：它描述了穩(wěn)態(tài)情況下，系統(tǒng)輸出與輸入之間的幅66如上圖所示，矢量G(j)的模|G(j)|即為系統(tǒng)的幅頻特性A()；矢量Ｇ(j)與正實(shí)軸的夾角∠G(j)即為系統(tǒng)的相頻特性()。幅頻特性A()和相頻特性()統(tǒng)稱為系統(tǒng)頻率特性，記作G(j)。頻率特性G(j)是頻率的復(fù)變函數(shù)，是一個(gè)矢量。按照正弦信號(hào)的旋轉(zhuǎn)矢量表示方法，規(guī)定()按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)為正值，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)為負(fù)值。因此，有

式中：Re()是G(j)的實(shí)部，稱為實(shí)頻特性；Im()是G(j)的虛部，稱為虛頻特性。如上圖所示，矢量G(j)的模|G(j)|即為系統(tǒng)的幅67頻率特性G(j)的物理意義

(1)、頻率特性表示系統(tǒng)對(duì)不同頻率的正弦信號(hào)的“復(fù)現(xiàn)能力”或“跟蹤能力”。在低頻率(T<<1)處，輸入信號(hào)基本上可在輸出端按原比例復(fù)現(xiàn)出來(lái)；頻率較高時(shí)，輸入信號(hào)就被抑制而不能傳遞出去。實(shí)際系統(tǒng)一般都有這樣的“低通”濾波及相位滯后作用。(2)頻率特性隨頻率而變化，緣于系統(tǒng)含有儲(chǔ)能元件。實(shí)際系統(tǒng)中往往存在彈簧、慣量或電容、電感這些儲(chǔ)能元件，它們?cè)谀芰拷粨Q時(shí)，對(duì)不同頻率信號(hào)使系統(tǒng)顯示出不同的特性。系統(tǒng)具有什么樣的頻率特性，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身，與外界因素?zé)o關(guān)。(3)頻率特性反映系統(tǒng)本身的特點(diǎn)：系統(tǒng)元件的參數(shù)(如機(jī)械系統(tǒng)的k、c、m)給定以后，頻率特性就完全確定，系統(tǒng)隨變化的規(guī)律也就完全確定。頻率特性G(j)的物理意義(1)、頻率特性表示系統(tǒng)對(duì)不同68二．頻率特性的求法頻率特性的求法有三種１．根據(jù)已知系統(tǒng)的微分方程，把輸入以正弦函數(shù)代入，求其穩(wěn)態(tài)解，取其輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦的復(fù)數(shù)比即得系統(tǒng)的頻率特性。２．根據(jù)傳遞函數(shù)求取，將傳遞函數(shù)G(s)中的s用j替代，即為頻率特性G(j)。３．通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得。

這里僅介紹根據(jù)傳遞函數(shù)求取頻率特性。下圖為一線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)輸入與輸出分別為x(t)和y(t)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(s)。當(dāng)把傳遞函數(shù)中的s，以j代替，即為頻率特性G(j)。二．頻率特性的求法頻率特性的求法有三種１．根據(jù)已知系統(tǒng)的微分69輸入x(t)是正弦函數(shù)，并由x(t)=Xsint

其拉氏變換為下面我們來(lái)證明此結(jié)論的正確性（自學(xué)）。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示為

于是輸出量的拉氏變換為如果只具有不同的極點(diǎn)，則其部分分式展開(kāi)為式中a，和bi(i=1，…，n)為待定常數(shù)，而a、是的待定共軛復(fù)數(shù)。

輸入x(t)是正弦函數(shù)，并由x(t)=Xsint其70式中的a和可按求留數(shù)的方法予以確定：因此上式的拉氏反變換為對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng)而言（無(wú)論是相異根或者重根），-p1，.....，-pn具有負(fù)實(shí)部，因而，在上式中，當(dāng)t→∞時(shí)，第三項(xiàng)以后各項(xiàng)全部為零，穩(wěn)態(tài)值只有第一、二項(xiàng)。不論那種情況，其輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為因?yàn)槭且粋€(gè)復(fù)數(shù)，所以可以表示成為式中的a和可按求留數(shù)的方法予以確定：因此上式的拉氏71可得歐拉公式與x(t)=Xsint相比，輸出信號(hào)與輸入信號(hào)幅值比和相角差分別為()=∠G(j)因此,|G(j)|就是系統(tǒng)的幅頻特性，∠G(j)就是系統(tǒng)的相頻特性。即，G(j)為頻率特性?？傻脷W拉公式與x(t)=Xsint相比，輸出信號(hào)與輸72總結(jié)以上分析：(1)線性定常系統(tǒng)頻率特性可通過(guò)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)獲得，即：G(j)=G(s)|s=j

系統(tǒng)的頻率特性就是其傳遞函數(shù)G(s)中復(fù)變量s=+j在=0時(shí)的特殊情況。(2)若系統(tǒng)輸入信號(hào)為正弦函數(shù)，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出也是相同頻率的正弦函數(shù)，但幅值和相位與輸入信號(hào)的幅值和相位不同。顯然，若改變輸入信號(hào)頻率，系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值也會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化，而頻率特性正表明了幅值比和相位差隨頻率變化的情況?？偨Y(jié)以上分析：(1)線性定常系統(tǒng)頻率特性可通過(guò)系統(tǒng)的傳遞函73系統(tǒng)s傳遞函數(shù)j頻率特性ddtsddtjsj微分方程(3)系統(tǒng)頻率特性與傳遞函數(shù)、微分方程間都存在內(nèi)在聯(lián)系。它們之間可以相互轉(zhuǎn)換，均可表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種表達(dá)形式。系統(tǒng)s傳遞函數(shù)j頻率特性ddtsddtjsj微分方程(74例1機(jī)械系統(tǒng)如右圖所示：彈簧剛度系數(shù)k=10N/m，阻尼系數(shù)C=10N·s/m,輸入幅值為1N的正弦力，求兩種頻率下即：f(t)=sint和f(t)=sin100t時(shí)，系統(tǒng)的位移y(t)的穩(wěn)態(tài)輸出。解：系統(tǒng)的微分方程式中T=c/k=1（s）

傳遞函數(shù)系統(tǒng)的頻率特性實(shí)頻特性：虛頻特性：例1機(jī)械系統(tǒng)如右圖所示：彈簧剛度系數(shù)k=10N/m，阻尼系75系統(tǒng)的幅頻特性為系統(tǒng)的相幅頻特性為當(dāng)=1時(shí)，G(j)的模和幅角為：系統(tǒng)的幅頻特性為系統(tǒng)的相幅頻特性為當(dāng)=1時(shí)，G(j)的76當(dāng)=100rad/s時(shí)，

()=-arctan100≈-89.4°

所以f(t)=sin100t時(shí)的穩(wěn)態(tài)位移輸出為系統(tǒng)的位移幅值隨著輸入力的頻率增大而減小，同時(shí)位移的相位滯后量也隨頻率的增高而加大。所以當(dāng)f(t)＝sint時(shí)穩(wěn)態(tài)位移輸出為

當(dāng)=100rad/s時(shí)，()=-arctan77第二節(jié)

頻率特性表示法一．極坐標(biāo)圖(奈奎斯特圖Nyquist)頻率特性的極坐標(biāo)圖也稱為幅相頻特性圖或稱為奈奎斯特圖。由于頻率特性G(j)是的復(fù)變函數(shù)，故可在復(fù)平面[G(j)]上表示。對(duì)于給定的，頻率特性可由復(fù)平面上相應(yīng)的矢量G(j)描述，如圖所示。當(dāng)從0→∞變化時(shí)，G(j)矢量端點(diǎn)軌跡即為頻率特性的極坐標(biāo)曲線，該曲線連同坐標(biāo)一起則稱為極坐標(biāo)圖。主要缺點(diǎn):不能明顯地表示出系統(tǒng)傳遞函數(shù)中各個(gè)環(huán)節(jié)在系統(tǒng)中的作用，繪制較麻煩。極坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn):在一幅圖上同時(shí)給出了系統(tǒng)在整個(gè)頻率域的實(shí)頻特性、虛頻特性、幅頻特性和相頻特性。簡(jiǎn)潔、直觀地表示了系統(tǒng)頻率特性。第二節(jié)頻率特性表示法一．極坐標(biāo)圖(奈奎斯特圖Nyqu781.繪制頻率特性Nyqusit圖的步驟（1）在系統(tǒng)傳遞函數(shù)中令s=j，寫出系統(tǒng)頻率特性G(j)。（2）寫出系統(tǒng)的幅頻特性|G(j)|、相頻特性∠G(j)、實(shí)頻特性Re()和虛頻特性Im()。（3）求若干個(gè)特殊點(diǎn)：令=0，求出0|G(j0)|、∠G(j0)、Re(0)、Im(0)；令Re()=0，求出，然后代入Im()的表達(dá)式即求得矢端軌跡與虛軸的交點(diǎn)；令I(lǐng)m()=0，求出，然后代入Re()的表達(dá)式即求得矢端軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)。（4）在0<<∞的范圍內(nèi)再取若干點(diǎn)分別求|G(j)|、∠G(j)、Re()、Im()。1.繪制頻率特性Nyqusit圖的步驟（3）求若干個(gè)特殊點(diǎn)：79（5）對(duì)于二階振蕩環(huán)節(jié)（或二階系統(tǒng)）還要求=n時(shí)的|G(j)|、∠G(j)、

Re()、Im()。若此環(huán)節(jié)（或系統(tǒng)）的阻尼比0<<0.707，則還要計(jì)算諧振頻率r、諧振峰值Mr及=r時(shí)的Re()、Im()。其中，諧振頻率r、諧振峰值可由下式得到：（7）在復(fù)平面（含實(shí)軸、原點(diǎn)、虛軸和復(fù)平面名稱[G(j)]）中，分別描出以上所求各點(diǎn)，并按增大的方向?qū)⑸鲜龈鼽c(diǎn)聯(lián)成一條曲線，在該曲線旁標(biāo)出增大的方向。（6）令=∞，求出|G(j)|、∠G(j)、Re()、Im()。（5）對(duì)于二階振蕩環(huán)節(jié)（或二階系統(tǒng)）還要求=n時(shí)的|G(80二．波德圖（Bode圖）

波德圖（Bode）也稱為對(duì)數(shù)頻率特性圖幅頻特性：縱坐標(biāo)表示幅頻特性幅值分貝值L()=20lg|G(j)|，單位分貝(dB)；橫坐標(biāo)(對(duì)數(shù)分度)表示值，單位是弧度/秒或秒-1(rad/s或s-1)。幅頻特性相頻特性相頻特性：縱坐標(biāo)(線性分度)表示G(j)的相位，單位是度；橫坐標(biāo)(對(duì)數(shù)分度)表示值，單位是弧度/秒或秒-1(rad/s或s-1)。lg使幅頻特性圖的繪制簡(jiǎn)化，且圖形也緊湊。二．波德圖（Bode圖）波德圖（Bode）也稱為對(duì)數(shù)頻率特81繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖，一般常只畫(huà)其漸近線。當(dāng)要求精確時(shí)，局部加以修正。畫(huà)漸近線先要確定漸近線的斜率。漸近線斜率是用頻率增高一倍或十倍時(shí)，L()變化的分貝數(shù)來(lái)表示。在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上，若2=21。則1和2兩點(diǎn)間的距離就稱為“倍頻程”（octave），或簡(jiǎn)寫成oct；若2=101，則1和2兩點(diǎn)間的距離就稱為“十倍頻程”（decade）或簡(jiǎn)寫成dec。例2設(shè)某環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為

L()=-20lg則頻率=1、21和101時(shí)的對(duì)數(shù)幅值為：L()=L(1)=-20lg1L()=L(21)=-20lg1-20lg2=-20lg1-6

L()=L(101)=-20lg1-20lg10=-20lg1-20即該對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線的斜率為-6dB/oct或-20dB/oct。1、幅頻特性繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖，一般常只畫(huà)其漸近線。當(dāng)要求精確時(shí)，局部加82例3設(shè)某環(huán)節(jié)的幅頻特性為這一環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線當(dāng)<<1/T時(shí)，T22與1相比可略去不計(jì)，數(shù)幅頻特性，可近似為

L()=20lg5=14(23)這是一條距橫坐標(biāo)軸距離為14分貝，斜率為0dB/dec。漸近線如下確定當(dāng)>>1/T時(shí)，1與T22相比可忽略，對(duì)數(shù)幅頻特性可近似為即顯然，這是一條斜率為-20dB/dec的直線。這兩條直線就是所求的漸近線。例3設(shè)某環(huán)節(jié)的幅頻特性為這一環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線當(dāng)<83轉(zhuǎn)角頻率（轉(zhuǎn)折頻率）兩條漸近線相交處的頻率稱為轉(zhuǎn)角頻率T，通過(guò)令相鄰兩條漸近線的對(duì)數(shù)幅值相等，可求出。如上例子中兩漸近線如下其實(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的各轉(zhuǎn)角頻率，即系統(tǒng)各組成環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)或無(wú)阻尼自然頻率。幅值穿越頻率對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與橫坐標(biāo)軸相交處的頻率稱為幅值穿越頻率或增益交界頻率,用c表示，可通過(guò)令合適頻段漸近線方程L()=0而求得到。如上例中：令L()=20lg5-20lgT=0得到c=5/T轉(zhuǎn)角頻率（轉(zhuǎn)折頻率）其實(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的各轉(zhuǎn)角頻率，即系84其橫坐標(biāo)軸的分度按頻率的對(duì)數(shù)分度。因兩矢量相乘時(shí)，其相位是相加的，所以相頻特性采用線性分度（度或者弧度）。2、對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)數(shù)相頻特性是指頻率特性函數(shù)相位隨而變化的關(guān)系。()=∠G(j)

相位穿越頻率或相位交界頻率（g）對(duì)數(shù)相頻特性曲線與-180°線相交處的頻率，或者說(shuō)頻率特性函數(shù)的相位等于-180°時(shí)的頻率。其橫坐標(biāo)軸的分度按頻率的對(duì)數(shù)分度。因兩矢量相乘時(shí)，其相位是85以波德圖表示頻率特性的優(yōu)點(diǎn)：

1.簡(jiǎn)化了計(jì)算與作圖過(guò)程：2.可用近似方法方便作圖先分段用直線作出對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線，再用修正曲線對(duì)漸近線進(jìn)行修正，就可得到較準(zhǔn)確的對(duì)數(shù)幅頻特性圖。3.可采用疊加法得出系統(tǒng)波德圖，分別作出各個(gè)環(huán)節(jié)的波德圖，并由此可看出各個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)總特性的影響。由于橫坐標(biāo)為對(duì)數(shù)坐標(biāo)，所以=0的頻率不可能在橫坐標(biāo)上表現(xiàn)出來(lái)，因此，橫坐標(biāo)起點(diǎn)可根據(jù)實(shí)際所需的最低頻率來(lái)決定?？蓪⒋?lián)環(huán)節(jié)幅值的乘、除幅值的加、減。4.對(duì)于橫坐標(biāo)采用對(duì)數(shù)分度，所以能把較寬頻率范圍的圖形緊湊地表示出來(lái)。以波德圖表示頻率特性的優(yōu)點(diǎn)：1.簡(jiǎn)化了計(jì)算與作圖過(guò)程：2.86第三節(jié)典型環(huán)節(jié)的頻率特性一．比例環(huán)節(jié)的頻率特性1.極坐標(biāo)圖G(j)=K顯然，對(duì)于比例環(huán)節(jié)，實(shí)頻特性恒為K，虛頻特性恒為0，|Ｇ(j)|=K∠G(j)=0°當(dāng)從0→∞時(shí)，Ｇ(j)的幅值總是K，相位總是0°，在極坐標(biāo)圖上為實(shí)軸上的一定點(diǎn)，其坐標(biāo)為（K，j0）。2.波德圖對(duì)數(shù)幅頻特性20lg|Ｇ(j)|=20lgK對(duì)數(shù)相頻特性()=∠Ｇ(j)=0°G(s)=K其曲線是一條水平線，分貝數(shù)為20lgK。由若干環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的對(duì)數(shù)幅值等于各個(gè)環(huán)節(jié)增益對(duì)數(shù)幅值和。第三節(jié)典型環(huán)節(jié)的頻率特性一．比例環(huán)節(jié)的頻率特性1.極坐87二．積分環(huán)節(jié)的頻率特性1.極坐標(biāo)圖由于即顯然，實(shí)頻特性恒為0；虛頻特性則為-1/

。故幅頻特性|Ｇ(j)|=1/相頻特性∠Ｇ(j)=-90°當(dāng)=0時(shí)，|G(j)|=∞,∠G(j)=-90°;當(dāng)=∞時(shí)，|G(j)|=0,∠G(j)=-90°。2.波德圖

對(duì)數(shù)幅頻特性為：

20lg|G(j)|=20lg=-20lg

對(duì)數(shù)相頻特性為：()=∠G(j)=-90°

二．積分環(huán)節(jié)的頻率特性1.極坐標(biāo)圖由于即顯然，實(shí)頻特性恒為881、當(dāng)=0.1rad/s時(shí)，20lg|(G(j)|=20dB，對(duì)數(shù)幅頻特性經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0.1，20）；2、當(dāng)=1rad/s時(shí)，20lg|(G(j)|=0dB，對(duì)數(shù)幅頻特性經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）；3、當(dāng)=10rad/s時(shí),20lg|(G(j)|=-20dB，對(duì)數(shù)幅頻特性經(jīng)過(guò)點(diǎn)（10，-20）?？梢?jiàn)：當(dāng)頻率增為10倍時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性就下降20dB。它是一條過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線，其斜率為-20dB/dec(dec表示十倍頻程，即橫坐標(biāo)頻率由增加到10)。積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性，是一條過(guò)點(diǎn)（0，-90°)且平行于橫軸的直線，與無(wú)關(guān)。

1、當(dāng)=0.1rad/s時(shí)，20lg|(G(j)|=289解：因，即，

例4作的波德圖。相頻特性∠G(j)=-180°

對(duì)數(shù)幅頻特性：

對(duì)數(shù)相頻特性

()=∠G(j)=-180°當(dāng)=1、K=10時(shí),20lg|G(j)|=20dB，對(duì)數(shù)幅頻特性過(guò)點(diǎn)(1，20)；=10、K=10時(shí)，20lg|G(j)|=-20dB,對(duì)數(shù)幅頻特性過(guò)點(diǎn)(1，-20)；故幅頻特性

對(duì)數(shù)幅頻特性:一斜率為-40dB/dec的直線，是一個(gè)比例環(huán)節(jié)(K=10)與兩個(gè)積分環(huán)節(jié)(1/s)的對(duì)數(shù)幅頻特性的疊加。對(duì)數(shù)相頻特性:是一條過(guò)點(diǎn)(0，-180°)且平行于橫軸的一直線，也是一個(gè)比例環(huán)節(jié)和兩個(gè)積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性的疊加。比較可知：增加一積分環(huán)節(jié)，就使對(duì)數(shù)幅頻特性斜率增加-20dB/dec，而使相位增加-90°；增加一比例環(huán)節(jié)，對(duì)數(shù)幅頻特性垂直平移20lgK，而其相位不變。解：因，即90三.理想微分環(huán)節(jié)的頻率特性1.極坐標(biāo)圖由于G(s)=s

即G(j)=j顯然，實(shí)頻特性恒為0；虛頻特性為。

故G(j)|=∠G(j)=90°當(dāng)=0時(shí)，|G(j)|=0，∠G(j)=90°；當(dāng)=∞時(shí),|G(j)|=∞，∠G(j)=90°

2．波德圖

對(duì)數(shù)幅頻特性20lg|G(j)|=20lg

對(duì)數(shù)相頻特性()=∠G(j)=90°當(dāng)

=0.1時(shí)，20lg|G(j)|=-20dB;當(dāng)

=1時(shí)，20lg|G(j)|=0dB。微分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性是過(guò)點(diǎn)(1，0)，而斜率為20dB/dec的直線。對(duì)數(shù)相頻特性是過(guò)點(diǎn)(0，90°)，且平行于橫軸的直線。三.理想微分環(huán)節(jié)的頻率特性1.極坐標(biāo)圖由于91四.慣性環(huán)節(jié)的頻率特性1.極坐標(biāo)圖

由于

顯然，實(shí)頻特性為；虛頻特性為

故幅頻特性

相頻特性當(dāng)=0時(shí)，|G(j)|=1，∠G(j)=0°

當(dāng)=1/T時(shí),|G(j)|=0.707,∠G(j)=-45°

當(dāng)=∞時(shí)，|G(j)|=0，∠G(j)=-90°

根據(jù)上述實(shí)頻和虛頻特性兩式，可分別求得不同值的Re()和Im()，從而作出極坐標(biāo)圖。

四.慣性環(huán)節(jié)的頻率特性1.極坐標(biāo)圖由于顯然，實(shí)頻特性92此時(shí)，頻率特性曲線為一半圓。證明如下：

實(shí)頻特性為

虛頻特性為

所以將其代入實(shí)頻特性表達(dá)式中則有，將此式整理得

此式是一個(gè)圓方程，但由于∠G(j)=-arctanT，所以當(dāng)0<<∞時(shí)，極坐標(biāo)圖是下半圓，因?yàn)榇藭r(shí)∠G(j)與Im()恒為負(fù)值，如上圖所示。

此時(shí)，頻率特性曲線為一半圓。證明如下：實(shí)頻特性為虛頻特性932．波德圖

如令，此頻率稱為轉(zhuǎn)角頻率

對(duì)數(shù)幅頻特性

對(duì)數(shù)相頻特性

當(dāng)<<1/T時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性為：

當(dāng)>>1/T時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性為：

低頻段：漸近線是一條0dB/dec水平線；高頻段：是一條斜率為-20dB/dec的直線，該兩條漸近線相交處的轉(zhuǎn)角頻率為

慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的穿越頻率和轉(zhuǎn)角頻率相等，即cr=T

2．波德圖如令，此頻率稱為轉(zhuǎn)角頻率對(duì)94漸近線L()=-20lgT繪制方法：設(shè)=i

，則L(i)=-20lgiT，若頻率i變化十倍頻程，即=10i

，則有當(dāng)頻率每變化十倍頻程，幅值L()衰減20dB，即斜率為-20dB/dec。

慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性取值如下：

當(dāng)=0時(shí)，()=-0°;當(dāng)=T時(shí)，()=-45°;當(dāng)=∞時(shí)，()=-90°。從圖可知，對(duì)數(shù)相頻特性斜對(duì)稱于點(diǎn)(T，-45)且在≤0.1T時(shí)，()→-0°，在T≥10時(shí)，()→-90°。漸近線L()=-20lgT繪制方法：設(shè)=i，則L95漸近線與精確的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線之間的誤差e()：最大誤差發(fā)生于轉(zhuǎn)角頻率T處，其誤差為-3dB；在2T或T/2的頻率處，e()為-0.91dB，即約為-1dB；而在10T或T/10的頻率處，e()就接近于0dB。據(jù)此可0.1T

~10T范圍內(nèi)對(duì)漸近線進(jìn)行修正。

漸近線與精確的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線之間的誤差e()：96五、一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性1．極坐標(biāo)圖由于G(s)=1+TS，即G(j)=1+jT顯然實(shí)頻特性恒為1；虛頻特性為T

。故幅頻特性相頻特性∠G(j)=arctanT由此有：當(dāng)

=1/T時(shí)，|G(j)|=,∠G(j)=45°；

當(dāng)

=∞時(shí)，|G(j)|=∞,∠G(j)=90°。

當(dāng)