數(shù)學(xué)中考難點(diǎn)知識點(diǎn)歸納

數(shù)學(xué)中考知識點(diǎn)歸納一、數(shù)的整除（一般在≥0的范圍內(nèi)）概念辨析1、最小的自然數(shù)是1；1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)2、如果整數(shù)a能被整數(shù)b除盡，則說明a能被b整除（×）如果整數(shù)a能被整數(shù)b除盡，而且商是整數(shù)，那么說明a能被b整除。若b=na，且n為常數(shù)并為正整數(shù)，則說明a為b的因數(shù)，b為a的倍數(shù)。A整除B，即B÷A，B既能整除A又能整除C，說明B為A,C的公因數(shù)3、質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）的因數(shù)個(gè)數(shù)為2；合數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)＞2個(gè)4、一個(gè)質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）相加/相乘的形式5、任何質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）加上1后都為偶數(shù)（合數(shù)）（×）除2外，任何質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）加上1后都為偶數(shù)（合數(shù)）也可以這么說，除2外，任何質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）為奇數(shù)。（奇數(shù)不一定為素?cái)?shù)）6、若一個(gè)數(shù)x=an×bm，則該數(shù)x=有(n+1)(m+1)個(gè)因數(shù)7、如果n個(gè)整數(shù)的公約數(shù)只有1，則說明這n個(gè)整數(shù)互質(zhì)(n≥2且為整數(shù))8、實(shí)數(shù)9、科學(xué)計(jì)數(shù)法（近似法）：可以表示為a×10n的形式（n為整數(shù)，且1≤|a|≤10）10、有效數(shù)字：如0.0105，前面的連續(xù)的2個(gè)0都不算有效數(shù)字，后面開始的非零數(shù)字包括中間的0也為有效數(shù)字，該數(shù)共有3個(gè)有效數(shù)字。保留有效數(shù)字時(shí)，也遵循四舍五入的原則11、實(shí)數(shù)運(yùn)算：1級：+-2級：×÷3級：n次方n次方根冪運(yùn)算：1、規(guī)定，()nn=0時(shí)，且（）≠0時(shí)，則該數(shù)=12、nam=amn其中n為偶數(shù)，且a，都是非負(fù)數(shù)；當(dāng)a≥0時(shí)，；而中a取值范圍是a≥0，中取值范圍是全體實(shí)數(shù)。3、a-n=a1n（a≠0）n14、am×an=am+nam÷an=am-n(am)n=amn(m,n為正整數(shù)，a≠0)5、數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)（包括有理數(shù)、無理數(shù)）如果a+b=0則a和b互為相反數(shù)，如果a×b=1，則a和b互為倒數(shù)（倒數(shù)之中的a，b≠0）如果a＞b，只有a+c＞b+c一定成立，a×cn＞b×cn不一定成立（c的正負(fù)性），a的偶次方＞b的偶次方不一定成立（|a|＞|b|不一定成立）6、一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式7、兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果他們的積不含有二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式叫做互為有理化因式二、整式與分式(有理式和無理式統(tǒng)稱代數(shù)式)1、單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式由數(shù)與字母的積或字母與字母的積所組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式如果一個(gè)數(shù)字作為單項(xiàng)式，那么它的系數(shù)就是它本身；單項(xiàng)式系數(shù)包括前面的符號一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母指數(shù)的和（不包括常數(shù)）叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)由有限個(gè)單項(xiàng)式的代數(shù)和組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式{化為最簡式，即（常數(shù)）（指數(shù)不為負(fù)數(shù)）}一個(gè)多項(xiàng)式有幾項(xiàng)就叫做幾項(xiàng)式。一元N次多項(xiàng)式有最多N+1項(xiàng).多項(xiàng)式中，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)2、單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘3、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘4、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘乘法公式：（積轉(zhuǎn)化為和的形式）1、完全平方公式2、平方差公式3、十字相乘公式4、立方差（和）公式因式分解（同乘法公式的方法，和轉(zhuǎn)化為最簡整式的乘積的形式）2、分式：形如AB一個(gè)分式的分子和分母沒有公因式時(shí)，這個(gè)分式稱為最簡分式3、有理數(shù)的四則運(yùn)算中，絕對不會(huì)得到無理數(shù)（為確定事件，不可能事件）4、無理數(shù)進(jìn)行有理化的過程中需要進(jìn)行分類討論三、代數(shù)式與有理方程與函數(shù)0、常值函數(shù)注意：y=2也可以表示為f(x)=2的形式1、一元一次方程與不等式（不等式中，乘上﹣號的要改變><≥≤的符號方向）：形如ax+b=0其中a≠0若a=0,b=0，x有無數(shù)解；若a≠0，b=0，x無實(shí)數(shù)解（其實(shí)非一元一次方程）y=ax為正比例函數(shù)（a≠0），y=ax+b（a≠0，b≠0）為一次函數(shù)（a,b決定經(jīng)過的象限（正負(fù)性）若題目問y=ax+b不經(jīng)過某些象限，那么a,b有可能=0）y=ax為反比例函數(shù)(x，y≠0，圖像與坐標(biāo)軸無交點(diǎn))，增減性與一次函數(shù)2、二元一次方程：形如ax+y=0一定有無數(shù)解，且x,y成對出現(xiàn)3、三元一次方程：在24題一般式求二次函數(shù)解析式中有所涉及4、一元二次方程1、形如ax2+bx+c=0的形式，a≠0（必須首先考慮的條件）2、解法：1、開平方法2、配方法3、因式分解法4、公式法5、整體代入法3、根的判別式：Δ=b2-4ac，若Δ＞0，則方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若Δ＝0，則方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；若Δ＜0，則方程無實(shí)數(shù)根二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）（一般式）可以轉(zhuǎn)化為y=a(x-x1)(x-x2)（x1,x2分別為令y=0時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程的兩根）同時(shí)方程若Δ＞0，則二次函數(shù)與x軸與兩個(gè)交點(diǎn)；若Δ＝0，則二次函數(shù)與x軸只有1個(gè)交點(diǎn)；若Δ＜0，則二次函數(shù)與x軸沒有交點(diǎn)也可以轉(zhuǎn)化為y=a(x+m)2+k的形式（頂點(diǎn)式）關(guān)于其性質(zhì)：1、a的絕對值越小，二次函數(shù)圖像越寬2、a,b同號，則二次函數(shù)的對稱軸在Y軸左側(cè)；異號則在Y軸右側(cè)3、對稱軸為直線x=-b2a4、（0,c5、特殊的高次方程（一般用分組分解、提取公因式法）1、二項(xiàng)方程axn=b（a≠0，b≠0，n為整數(shù)，n為偶數(shù)時(shí)，則有兩解2、同根情況的判斷（即按照正常情況解即可）*xn=0則n個(gè)解3、解的個(gè)數(shù)4、雙二次方程（換元法，未知數(shù)都為偶次方）5、再次強(qiáng)調(diào)，解一元二次方程式（以ax2+bx+c=0為例）時(shí)，若系數(shù)帶有字母，則討論的順序應(yīng)為：a≠0→Δ的正負(fù)性→其他系數(shù)的情況（帶根號討論為非負(fù)數(shù)……）5、分式方程（判斷的時(shí)候，應(yīng)根據(jù)化簡前判斷）（未知數(shù)一定有在分母位置的，計(jì)算出解后一定要檢驗(yàn)是否會(huì)使分母的值為0）6、無理方程*根的判別1、根據(jù)根號內(nèi)的代數(shù)式≥0算出x的取值范圍，然后進(jìn)行比較（如果有兩個(gè)含未知數(shù)的根號，那么判斷其解集是否有交集）2、直接根據(jù)根式外的結(jié)果一定為非負(fù)數(shù)來判斷3、解完無理方程后，一定要將解代入檢驗(yàn)，根據(jù)以上2點(diǎn)進(jìn)行判斷，根式是否有意義以及等號兩邊是否相等7、對于一些含有根式和形如分式的函數(shù)，所對應(yīng)的x的取值范圍也可由以上求得，同時(shí)還要遵守一個(gè)基本原則（分母≠0）四、長方體1、在同一個(gè)平面和異面的區(qū)別長方體的棱之間存在3種關(guān)系：同一平面內(nèi)平行、垂直（特殊相交）、異面垂直長方體的棱和面之間存在2種關(guān)系：平行、垂直（相交）長方體的面和面之間存在2種關(guān)系：平行、垂直相交2、測量工具1、鉛垂線（直線⊥平面平面⊥平面：只需要1次）2、長方形紙片{直線∥平面（1次）平面∥平面（2次）}3、合頁型折紙{直線⊥平面平面⊥平面平面∥平面（都為2次）}五、平行線與相交線1、平行線判定定理（同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角、平行線的傳遞性、平行線段分線段成比例逆定理）（在同一平面內(nèi)）2、性質(zhì)（同上1，結(jié)論與條件互換，共5種）3、兩條直線相交所成的交角一定大于0°小于180°（規(guī)定）4、點(diǎn)到直線的距離（垂線）點(diǎn)到射線的距離（若點(diǎn)在射線所及范圍之外，則最短距離即與端點(diǎn)的連線）點(diǎn)到線段的距離（若點(diǎn)在線段所及范圍之外，則最短距離為點(diǎn)到線段延長線的距離）基本性質(zhì)：過兩點(diǎn)有且只有一條直線垂直的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過直線上或直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直線段的中垂線（直線）角平分線（射線）中垂線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上*以a為底邊的等腰三角形的頂點(diǎn)的軌跡是線段a的中垂線（a的中點(diǎn)除外）角平分線性質(zhì)：角平分線上的任意一點(diǎn)，到角兩邊的距離相等。（不包括角的頂點(diǎn)）逆定理：到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上（不包括角的頂點(diǎn)）*因?yàn)橹写咕€和題目無圖，經(jīng)常會(huì)造成一些兩解情況，即中垂線兩邊相等的線段六、三角形1、三角形三邊關(guān)系（二邊之和必＞第三邊，差的絕對值必＜第三邊）2、三角形內(nèi)角和=180°外角和=360°3、三角形外角等于不與其相鄰的兩內(nèi)角和4、三角形中特殊的三條線：中線（線段）角平分線（射線）高（線段）這三條線必交于一點(diǎn)（證明）由角平分線還可從形內(nèi)的3條推廣至形外的2條加上形內(nèi)1條的交點(diǎn)（旁心）（證明）（都用角平分線性質(zhì)證明）同時(shí)也要注意由中線將三角形分為1:1面積相等的2部分推導(dǎo)至同高且底在同一直線上或同底的面積比與線段比之間的轉(zhuǎn)化（不局限于中線）三條中線的交點(diǎn)為三角形的重心，所截得中線的長度比為1:2三條角平分線的交點(diǎn)為三角形的內(nèi)心，即三角形內(nèi)接圓的圓心所在5、特殊三角形1、等腰三角形*三線合一（常用輔助線）的判定必須先要以兩邊相等的等腰三角形為條件2、等邊三角形（正三角形）共有3條特殊性質(zhì)：3邊相等；3個(gè)內(nèi)角相等=60°；有三條對稱軸（直線）共有3條判定定理：3邊相等；2邊相等＋任一內(nèi)角為60°；兩角為60°3、直角三角形共有2條判定定理：一個(gè)內(nèi)角為90°；勾股定理逆定理（兩邊的平方之和等于第三邊的平方）*推論：一條邊上的中線等于這條邊長度的一半特別性質(zhì)：便于解三角形和求銳角三角比（23、24、25題中）4、等腰+直角三角形5、全等三角形的判定（只需注意S.S.A不可以即可）解三角形也可以此為依據(jù)，若出現(xiàn)SSA的情況，則說明可能有兩解若不然，則說明已知3個(gè)條件，已經(jīng)使三角形確定，可以解。*旋轉(zhuǎn)全等、翻折全等、平移全等6、圖形的運(yùn)動(dòng)平移（觀察平移的距離、方向和平移后重疊形成的圖形）翻折（觀察對稱軸以及翻折后產(chǎn)生的新圖形（三角形））旋轉(zhuǎn)（觀察旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角度、尤其是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)還是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)）注意：三種運(yùn)動(dòng)所得到的新圖形都全等于原圖形，即線段相等、角度相等7、相似三角形1、比的性質(zhì)*之需要注意合比和分比時(shí)，是上比上+下或上-下*另外，在等比性質(zhì)中，想要進(jìn)行等比的比例式的分母之和≠02、黃金分割與黃金三角形*一條線段有2個(gè)黃金分割點(diǎn)短線段比長線段等于5黃金三角型分為36°72°72°和108°36°36°兩種，其中，三角形的短邊比長邊等于53、平行線段分線段成比例及逆定理（不可以用橫線段的比，井字形與A字形和八字形之間的轉(zhuǎn)化）4、判定定理及性質(zhì)七、四邊形1、平行四邊形（無對稱軸）性質(zhì)（共5種）：（1）：平行四邊形兩組對邊分別相等；（2）：平行四邊形兩組對邊分別平行；（3）：平行四邊形兩組對角分別相等；（4）：平行四邊形一組對角線互相平分；（5）：平行四邊形兩組鄰角互補(bǔ)判定將（5）改為一組對邊平行且相等，其他的條件和結(jié)論互換?；齑睿?、一組對角加一組對邊相等（NO）2、一組對邊相等且一條對角線平分另一條對角線（NO）3、一組對角相等且該組對角的對角線被另一條對角線平分（NO）4、一組對邊平行,另一組對邊相等（NO）5、……（連接分割成的兩個(gè)三角形通過全等判定定理為SSA都為假命題）2、菱形（2條對稱軸，對角線所在直線）判定定理（3）：①四條邊相等的四邊形是菱形②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形(對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形）③一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（混搭時(shí)，看能不能先推出平行四邊形）3、矩形（2條對稱軸：每組對邊中點(diǎn)的聯(lián)線所在的直線）判定定理（3）：1.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形2.有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形3.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形（混搭時(shí)，同上原則）4、正方形（4條對稱軸：即菱形和矩形的對稱軸和）判定定理（3）：1、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；2、一組鄰邊相等的矩形是正方形3、命題，非定理：對角線互相垂直相等且平分的四邊形是正方形（混搭時(shí)，也是以平行四邊形為基礎(chǔ)）!:矩形、菱形、正方形都為軸對稱+中心對稱圖形?。浩叫兴倪呅螢橹行膶ΨQ5、*梯形1、性質(zhì)：較長的平行的一邊為下底，較短的平行的一邊為上底2、判定定理：（2）1、只有一組對邊平行，另一組對邊不平行（一定要寫）2、只有一組對邊平行，但該組對邊不相等（一定要寫）*不平行沒有幾何符號可以表示，一定要用文字表述。3、特殊的梯形1、直角梯形（不常用于判定）常用輔助線：1、作高（分割成矩形+直角三角形）2、延長不平行的兩邊相交于一點(diǎn)（利用直角三角形以及A字形相似）2、等腰梯形1、性質(zhì)：*同一底邊上的兩底角相等（其他即判定定理中結(jié)論與條件互換）2、判定定理：1、梯形+對角線相等2、梯形+兩腰相等3、梯形+同一底邊上的兩底角相等常用輔助線：一般情況下：構(gòu)造直角三角形（包括1、作雙高2、平移對角線3、*平移兩腰交于形內(nèi)某特殊的點(diǎn)等）和平行四邊形（矩形、菱形）當(dāng)梯形中線段存在比例關(guān)系，可考慮將梯形兩邊延長也可考慮將梯形直接轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形同樣，梯形中線段存在比例關(guān)系，也可以通過分割成三角形，利用兩邊平行的基本性質(zhì)進(jìn)行線段比和面積比之間的轉(zhuǎn)化（25題中求y關(guān)于x的函數(shù)解析式）還有，梯形的中位線有時(shí)在證明題中，也可以起到很大的作用特殊情況，當(dāng)梯形平行的兩邊中點(diǎn)聯(lián)結(jié)成線段時(shí)，輔助線有時(shí)候?yàn)槁?lián)結(jié)一條對角線，取對角線中點(diǎn)，分別與兩邊中點(diǎn)聯(lián)結(jié)，即轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形中位線的問題（好處在于是兩腰數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，可以起到事半功倍的效果）即如圖所示：4、梯形的兩解題也同于三角形SSA的兩解題，如圖所示：（翻折類型的）八、銳角三角比1、定義三角比角的取值范圍＞0°，＜90°2、特殊角（30°、45°、60°）的三角比3、直角三角形中銳角三角比遵循的規(guī)律sinα=cos（90°-α）tanα=cot（90°-α）tanα×cotα=14、角度的加減運(yùn)算中，（*分、秒為60°進(jìn)制）5、要注意的是sin值、cos值必須＜16、銳角三角比的應(yīng)用1、一定要將有利于求的已知角放在已知或作出的直角三角形中。一般情況下已知角即特殊角30°、45°、60°，和已知該角的一個(gè)三角比。簡潔地說，1、已知的角和邊最好不要破2、注意由三角形內(nèi)角和找出隱藏角的度數(shù)（可能有利于簡便地解題）2、仰角（從下往上看↑）俯角（從上往下看↓）俯角和仰角互為內(nèi)錯(cuò)角相等若沒有說明俯角、仰角則可能有兩解坡度及坡比=坡角的正切值（tan）坡度規(guī)定表示為1:x3、含有字母代數(shù)式銳角三角比應(yīng)用（如測高題）4、對于下列已確定的三角形中，需要把握的輔助線做法為：A.S.A，往已知邊上作高，并由兩邊RT△求出高（設(shè)未知數(shù)）A.A.S，往未知邊上作高，直接通過三角比、勾股定理求得其他量S.A.S，往已知邊上作高，直接通過三角比、勾股定理求得其他量S.S.S，往已知邊上作高，并設(shè)截得的其中一條線段為未知，另一條線段也可由未知數(shù)表示，通過高兩邊的RT△由勾股定理列方程解得（設(shè)未知數(shù)）5、在平面直角坐標(biāo)系中解三角形時(shí)，A,一定要注意觀察正比例、一次函數(shù)以及兩點(diǎn)坐標(biāo)的聯(lián)線所在直線與坐標(biāo)軸的夾角是否存在特殊角30°、45°、60°或三角比已知，將這些特殊角是否能夠由對頂角、同角的余角相等、同角的補(bǔ)角相等等性質(zhì)轉(zhuǎn)化到需要求的三角形中B,同樣也要注意自己所解的三角形是否已經(jīng)是RT△，不需要再作高設(shè)未知數(shù)求解C,24題求某些特殊情況下的點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，不僅僅需要觀察點(diǎn)到x軸，y軸的距離所構(gòu)成的矩形，還要觀察這些垂線段是否在特別的三角形中（三個(gè)條件已定下來）6、概而論之，要求得一未知邊的長，必須要將其放在三角形（一般為RT△）中。九、平面向量1、概念：具有方向的線段（有向線段）2、有向線段的長度：向量的模3、相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量；（可能在同一直線上）零向量也有相等向量，即零向量平行向量（共線向量）：兩個(gè)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共線向量，零向量與任意向量平行，即0//a；（即可能在同一直線上）單位向量：模等于1個(gè)單位長度的向量叫做單位向量相反向量：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量（可能在同一直線上）零向量也有相反向量，即零向量。4、若a=kb,則a∥b（其中，b≠0）當(dāng)k＞0，兩向量方向相同當(dāng)k=0,即零向量當(dāng)k＜0，兩向量方向相反5、向量的運(yùn)算1、向量加法的三角形法則2、平行四邊形法則3、向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律，如：交換律、結(jié)合律。4、向量與實(shí)數(shù)相乘的運(yùn)算設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù)，那么滿足如下運(yùn)算性質(zhì)：(λμ)a=λ(μa)(λ+μ)a=λa+μaλ(a±b)=λa±λb(－λ)a=－(λa)=λ(－a)|λa|=|λ||a|5、向量的線性運(yùn)算及向量的分解十、函數(shù)解函數(shù)式需要注意以下幾個(gè)基本要點(diǎn)：1、兩點(diǎn)間距離公式：若有A（x,y）B（p,q），則AB的長為(x-p)2、中點(diǎn)公式：已知A（a,b）B(c,d)，則AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（a+c3、若兩條直線y1=k1