高三復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)專題

高三復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)專題高三復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)專題高三復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)專題標(biāo)準(zhǔn)文檔高三復(fù)數(shù)專題復(fù)習(xí)：一、復(fù)數(shù)的看法及運(yùn)算：1、復(fù)數(shù)的看法：（1）虛數(shù)單位i；（2）實(shí)部：Rez，虛部：Imz；有理數(shù)實(shí)數(shù)(b0)無理數(shù)a,bR；（3）復(fù)數(shù)的分類(zabi)純虛數(shù)(a0)虛數(shù)(b0)0)非純虛數(shù)(a（4）相等的復(fù)數(shù)：2、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除法規(guī)：1）加減法擁有交換律和結(jié)合律；2）乘法擁有交換律、結(jié)合律、分配律；（3）除法：abiacbdbcad(cdi0)。cdic2d2c2d2i3、復(fù)數(shù)的共軛與模：（1）zRzz；z是純虛數(shù)zz，反之不成立；（2）復(fù)數(shù)zabi與點(diǎn)Za,b是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，另：z與z關(guān)于x軸對(duì)稱，z表示z對(duì)應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。4、復(fù)數(shù)共軛運(yùn)算性質(zhì)：z1z2z1z2,z1z2z1z2,z1z1；z2z25、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)：z1z2z1z1(z20),znn。z1zz,z2zz226、復(fù)數(shù)的模與共軛的練習(xí)：zzz。7、重要結(jié)論（1）對(duì)復(fù)數(shù)z、z1、z2和自然數(shù)m、n，有zmznzmn，(zm)nzmn，(z1z2)nnnz1z2(2)i1i，i21，i3i，i41；i4n11，i4n21，i4n3i，i4n1.(3)(1i)22i，1ii，1ii.1i1i(4)設(shè)13i，2，2，120，3n3n2，合用文案標(biāo)準(zhǔn)文檔nn1n20一些幾何結(jié)論的復(fù)數(shù)形式(1)復(fù)平面上Z1，Z,2，Z,3三點(diǎn)共線的充要條件是z2z1(R).z3zz(2)復(fù)平面上Z1Z2Z3為正三角形的充要條件是（有三種形式，它們1.z1z2z2z3z3z1;12z22z32z1z2z2z3z1z3;3.2z1z2z30cosisin.33(3)復(fù)平面上Z1Z2Z3的面積為S表示為S1Imz2z1z2z1.2(4)復(fù)平面上z1,z2,z3,z4四點(diǎn)共圓的充要條件是z3z1z3z2：z1z4z2z4二、復(fù)數(shù)的三角形式：1、復(fù)數(shù)的三角形式看法：任何1個(gè)復(fù)數(shù)zabi,都能夠改寫成復(fù)數(shù)的形式：zr(cosisin),其中：ra2b2,cosa,sinb;rr2、復(fù)數(shù)的三角形式的乘法公式：

是等價(jià)的）R,0.設(shè)復(fù)數(shù)z1r1(cosisin),z2r2(cosisin)則，z1z2r1(cosisin)r2(cosisin)r1r2cosisin即：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于兩個(gè)復(fù)數(shù)的模之積，積的輻角等于兩個(gè)復(fù)數(shù)的輻角之和。上述結(jié)論，能夠?qū)嵭械接邢迋€(gè)復(fù)數(shù)相乘的情況；z1z2z3znr1(cos1isin1)r2(cos2isin2)r3(cos3isin3)rn(cosnisinn)r1r2r3rncos123nisin123n3、復(fù)數(shù)的三角形式的乘方公式（棣莫佛定理）r(cosisin)nrn(cosnisinn)即：復(fù)數(shù)的n（n∈N）次冪的模等于模的n次冪，輻角等于這個(gè)復(fù)數(shù)的輻角的n倍，這個(gè)定理稱為棣莫佛定理。4、復(fù)數(shù)的三角形式的除法公式設(shè)z1r1cosisin,z2r2cosisin;則：z1r1cosisinr1cosisin.z2r2cosisinr2即：兩個(gè)復(fù)數(shù)像除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角。合用文案標(biāo)準(zhǔn)文檔三、復(fù)數(shù)中的方程問題：1、實(shí)系數(shù)一元二次方程的根的情況：對(duì)方程ax2bxc0（其中a,b,cR且a0），令b24ac，當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。當(dāng)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)共軛虛根：x1bi,x2bi。222、復(fù)系數(shù)一元二次方程根的情況：對(duì)方程ax2bxc0,xb的平方根；2a3、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：x1b若方程ax20（其中a,b,cR且ax2bxc0）的兩個(gè)根為x1、x2，則a；cx1x2a四、例題精選例1：已知z23223240，求z；izi10231i34i22例2：已知z4，求z；23i1例3：設(shè)z為虛數(shù)，z為實(shí)數(shù)，且12。z（1）求z的值及z的實(shí)部的取值范圍；（2）證明：u1z為純虛數(shù)；1z合用文案標(biāo)準(zhǔn)文檔例4：已知關(guān)于t的方程t220()有兩個(gè)根、t2，且滿足t1t223。taaRt1（1）求方程的兩個(gè)根以及實(shí)數(shù)a的值；（2）當(dāng)a0時(shí)，若關(guān)于任意xR，不等式logax2ak22mk2k關(guān)于任意的2,1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。2例5：已知復(fù)數(shù)z1滿足(1i)z115i,z2a2i，其中i為虛數(shù)單位，aR，若z1z2z1，求a的取值范圍。例6：設(shè)虛數(shù)z滿足2z5z10。（1）求z的值；（2）若zm為實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；mz（3）若12iz在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一、第三象限角平方線上，求復(fù)數(shù)z。合用文案標(biāo)準(zhǔn)文檔例7：已知方程x2xp0有兩個(gè)根x和x，pR。12（1）若x1x23，求實(shí)數(shù)p；（2）若x1x23，求實(shí)數(shù)p；例8：已知復(fù)數(shù)zabi(a,bR)是方程x24x50的根，復(fù)數(shù)u3i(uR)滿足z25，求u的取值范圍。例9：關(guān)于x的方程x2(2abi)xabi0有實(shí)根，求一個(gè)根的模是2，求實(shí)數(shù)a,b的值。例10：設(shè)兩復(fù)數(shù)z1,z2滿足z12axz1z2a40z220（其中a0且a1，xR），求z14z2是虛數(shù)。（1）求證：z1是定值，求出此定值；z2（2）當(dāng)xN時(shí)，求滿足條件的虛數(shù)z1的實(shí)部的所有項(xiàng)的和。z2合用文案標(biāo)準(zhǔn)文檔例11：設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)z1、z2滿足100z12z22kz1z2kR，并且z2是虛數(shù)，當(dāng)kN時(shí)，z1求所以滿足條件的虛數(shù)z2的實(shí)部之和。z1例12：計(jì)算：（1）2cosisin3cosisin1212665（2）3cosisin55（3）12cosisin6cosisin3366例13：給定復(fù)數(shù)222z，在z，z,zz,z,z,z,z,z這八個(gè)值中，不同樣值的個(gè)數(shù)至多是___________。例14：已知以下命題（1）zzzR；（2）zzz為純虛數(shù)；（3）z1z20z1z2；（4）z1z20z10或z20；（5）z12z220z1z22220；（6）zz2zz.其中正確的命題是____________；例15：可否存在復(fù)數(shù)z同時(shí)滿足條件：①1106；②z的實(shí)部、虛部為整數(shù)。若存zz，若不存在，說明原由。z在，求出復(fù)數(shù)合用文案標(biāo)準(zhǔn)文檔例16：設(shè)z1是已知復(fù)數(shù)，z為任意復(fù)數(shù)且z1,zzz1，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是()A、以z1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓；B、以z1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓；C、以1z1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓；22D、以1z1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓；22例17：滿足方程zRez1的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是()。A、圓B、橢圓C、雙曲線D、拋物線例18：復(fù)平面內(nèi)，滿足z(1i)z(1i)2的復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是()A、橢圓B、雙曲線C、一條線段D、不存在例19：滿足方程z215z160的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是()A、四個(gè)點(diǎn)B、四條直線C、一個(gè)圓D、兩個(gè)圓例20：設(shè)復(fù)數(shù)z(2xa)(2xa)i,x、aR，當(dāng)x在,內(nèi)變化時(shí)，求z的最小值ga。例21：若復(fù)數(shù)z1和z2滿足：z2az1i(a0)，且z2z1z1z2842。z1和z2在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z1和Z2，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，且OZ1OZ2，求OZ1Z2面積的最大值，并指出此時(shí)a的值。合用文案標(biāo)準(zhǔn)文檔例22：已知復(fù)數(shù)z01mim0,zxyi,abix,y,a,bR，i為虛數(shù)單位，且關(guān)于任意復(fù)數(shù)z，有z0z,2z。（1）試求m的值，并分別寫出a和b用x、y表示的關(guān)系式；（2）將x,y作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，a,b作為點(diǎn)Q的坐標(biāo)，上述關(guān)系能夠看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)變換：它將平面上的點(diǎn)P變到這一平面上的點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在直線yx1上搬動(dòng)時(shí)，試求點(diǎn)P經(jīng)該變換后獲取的點(diǎn)Q的軌跡方程；3）可否存在這樣的直線：它上面的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后獲取的點(diǎn)仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明原由。例23：已知復(fù)數(shù)z1mni,z222i和zxyi，其中m,n,x,y均為實(shí)數(shù)，且zz1iz2。（1）若復(fù)數(shù)z1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M(m,n)在曲線y1(x3)21上運(yùn)動(dòng)，求復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)2P(x,y)的軌跡方程；（2）將（1）中點(diǎn)P的軌跡上每一點(diǎn)沿向量a(3,1)方向平移，獲取新的軌跡C，求C的2方程。（3）軌跡C上任意一點(diǎn)A（異于極點(diǎn)）作其切線l,l交y軸于點(diǎn)B。問：以AB為直徑的圓可否恒過x軸上必然點(diǎn)？若存在，求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，則說明原由。合用文案標(biāo)準(zhǔn)文檔例題答案：1、1Rez1；（2）略；5、a1,7；6、（1）z5；（2）m5；7；2、1；3、（1）2（3）z10310i或z10310i；、（）p5或p2；（）①當(dāng)0p1222271224時(shí)，方程無解；②當(dāng)p0時(shí)，p2；③當(dāng)p19；8、u2,6；9、當(dāng)b0時(shí)，p44時(shí)，a4或a4；當(dāng)b0時(shí)，a1,a13。53b3baxa40a2xia20a1時(shí)，a1a190a1a21、（1），定值；（2）；時(shí)，；102221a1a11、95；12、略；13、4；14、（1）（4）；15、存在、z13i或z3i；16、D；17、D；18、C；19、C；20、a22,a2；21、8，此時(shí)a1，提示：由條件得2a24a2,a28421a8422a22z11a1a2,Sa2z1z22z121a1a222，(842)