四邊形知識點經(jīng)典總結(jié)

四邊形知識點經(jīng)典總結(jié)四邊形知識點經(jīng)典總結(jié)四邊形知識點經(jīng)典總結(jié)xxx公司四邊形知識點經(jīng)典總結(jié)文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計，管理制度四邊形知識點：名稱定義性質(zhì)判定面積平行四邊形兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。①對邊平行；②對邊相等；

③對角相等；④鄰角互補；

⑤對角線互相平分；⑥是中心對稱圖形①定義；

②兩組對邊分別相等的四邊形；③一組對邊平行且相等的四邊形；

④兩組對角分別相等的四邊形；

⑤對角線互相平分的四邊形。S=ah(a為一邊長，h為這條邊上的高)矩形有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形①具有平行四邊形的性②對角線相等；③既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。④四個角都是直角①定義②對角線相等的平行四邊形是矩形；③有三個角是直角的四邊形是矩形；。S=ab(a為一邊長，b為另一邊長)菱形有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。①具有平行四邊形的性質(zhì)②對角線互相垂直，且每一條對角線平分一組對角；③既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。④四邊形相等四條邊相等的四邊形是菱形；②對角線垂直的平行四邊形是菱形；③定義。①S=ah(a為一邊長，h為這條邊上的高)；

②(b、c為兩條對角線的長)正方形有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)：①四個角是直角，四條邊相等；②對角線相等，互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角；③既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。有一組鄰邊相等的矩形是正方形；有一個角是直角的菱形是正方形；③定義。①(a為邊長)；

②(b為對角線長)關(guān)系結(jié)構(gòu)圖：1．四邊形的內(nèi)角和與外角和定理：（1）四邊形的內(nèi)角和等于360°；（2）四邊形的外角和等于360°.2．多邊形的內(nèi)角和與外角和定理：（1）n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180°；（2）任意多邊形的外角和等于360°.直角三角形性質(zhì)1:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如圖，∠BAC=90°，則AB2+AC2=BC2（勾股定理)性質(zhì)2:在直角三角形中，兩個銳角互余。如圖，若∠BAC=90°，則∠B+∠C=90°性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（即直角三角形的外心位于斜邊的中點，外接圓半徑R=C/2）。該性質(zhì)稱為直角三角形斜邊中線定理。性質(zhì)4:直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積。性質(zhì)5.在直角三角形中30°角所對的直角邊等于它斜邊的一半。判定判定1若，則以a、b、c為邊的三角形是以c為斜邊的直角三角形（勾股定理的逆定理）。判定2：若一個三角形30°內(nèi)角所對的邊是某一邊的一半，則這個三角形是以這條長邊為斜邊的直角三角形判定3若在一個三角形中一邊上的中線等于其所在邊的一半，那么這個三角形為直角三角形。參考直角三角形斜邊中線定理1．常見圖形中，僅是軸對稱圖形的有：角、等腰三角形、等邊三角形、正奇邊形、等腰梯形……；僅是中心對稱圖形的有：平行四邊形……；是雙對稱圖形的有：線段、矩形、菱形、正方形、正偶邊形、圓…….注意：線段有兩條對稱軸.※1．若n是多邊形的邊數(shù)，則對角線條數(shù)公式是：.三．精典例題解答：

1．已知：如圖，E、F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AE=CF。

求證：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF。

證明：（1）∵AE=CF∴AE+EF=CF+FE即AF=CE

又ABCD是平行四邊形，∴AD=CB，AD∥BC∴∠DAF=∠BCE

在△ADF與△CBE中

∴△ADF≌△CBE（SAS）

（2）∵△ADF≌△CBE∴∠DFA=∠BEC∴DF∥EB

例1圖例2圖2．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E、F是直線AC上的兩點，并且AE=CF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形。

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴OA=OC，OB=OD

又∵AE=CF

∴OA+AE=OC+CF即OE=OF

∴四邊形BFDE是平行四邊形3．如圖，在梯形紙片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，將紙片沿過點D的直線折疊，使點C落在AD上的點C’處，折痕DE交BC于點E，連結(jié)。

求證：四邊形是菱形。

證明：根據(jù)題意可知

則，，

∵AD∥BC∴∴∠CDE=∠CED

∴CD=CE∴∴四邊形為菱形

例3圖4．把正方形ABCD繞著點A，按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點H（如圖）。試問線段HG與線段HB相等嗎請先觀察猜想，然后再證明你的猜想。

解：HG=HB。

證法1：連結(jié)AH，

∵四邊形ABCD，AEFG都是正方形

∴∠B=∠G=90°

由題意知AG=AB，又AH=AH

∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）

∴HG=HB

證法2：連結(jié)GB

∵四邊形ABCD，AEFG都是正方形

∴∠ABC=∠AGF=90°

由題意知AB=AG

∴∠AGB=∠ABG

∴∠ABC-∠ABG=∠AGF-∠AGB即∠HBG=∠HGB

∴HG=HB

5．如圖，正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)n°后得到正方形AEFG，邊EF與CD交于點O。

（1）以圖中已標(biāo)有字母的點為端點連結(jié)兩條線段（正方形的對角線除外），要求所連結(jié)的兩條線段相

交且互相垂直，交說明這兩條線段互相垂直的理由；

（2）若正方形的邊長為2cm，重疊部分（四邊形AEOD）的面積為，求旋轉(zhuǎn)的角度n。

解：（1）我連結(jié)的兩條相交且互相垂直的線段是____AO____和____DE____。

理由如下：

∵在Rt△ADO與Rt△AEO中，AD=AE，AO=AO，

∴Rt△ADO≌Rt△AEO

∴∠DAO=∠OAE（即AO平分∠DAE）

∴AO⊥DE（等腰三角形的三線合一）

注：其它的結(jié)論也成立如GD⊥BE。

（2）∵四邊形AEOD的面積為

∴三角形ADO的面積=

∵AD=2

∴

∴∠DAO=30°

∴∠EAB=30°即旋轉(zhuǎn)的角度是30°

例5圖例6圖6．四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG。（1）求證：AE=CG；（2）觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想。證明：（1）如圖，

∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°

又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE

∴△ADE≌△CDG

∴AE=CG

（2）猜想：AE⊥CG。

證明：如圖，設(shè)AE與CG交點為M，AD與CG交點為N

∵△ADE≌△CDG

∴∠DAE=∠DCG

又∵∠ANM=∠CND

∴△AMN∽△CDN

∴∠AMN=∠ADC=90°

∴AE⊥CG7．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E，

（1）求證：四邊形ADCE為矩形；

（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形并給出證明。

證明：（1）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC

∴∠BAD=∠DAC

∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線

∴∠MAE=∠CAE

∴

又∵AD⊥BC，CE⊥AN

∴∠ADC=∠CEA=90°

∴四邊形ADCE為矩形

（2）當(dāng)時（答案不唯一），四邊形ADCE是正方形。

證明：∵AB=AC，AD⊥BC于D

∴

又

∴DC=AD

由（1）四邊形ADCE為矩形

∴矩形ADCE是正方形

例8圖8．將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點C與A重合，點D落到處，折痕為EF。

（1）求證：△ABE≌△AD′F；

（2）連接CF，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形證明你的結(jié)論。

證明：（1）由折疊可知：，，

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD

∴∠B=∠D′，AB=AD′

∠D′AE=∠BAD，即∠1+∠2=∠2+∠3

∴∠1=∠3

∴△ABE≌△AD′F

（2）四邊形AECF是菱形。

由折疊可知：AE=EC，∠4=∠5

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD∥BC

∴∠5=∠6

∴∠4=∠6

∴AF=AE

∵AE=EC

∴AF=EC

又∵AF∥EC

∴四邊形AECF是平行四邊形

∵AF=AE∴四邊形AECF是菱形。

9．如下圖，已知P正方形ABCD的對角線AC上一點(不與A、C重合)，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F．

（1）求證：BP=DP；

（2）若四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有BP=DP若是，請給予證明；若不

是，請用反例加以說明；

（3）試選取正方形ABCD的兩個頂點，分別與四邊形PECF的兩個頂點連結(jié)，使得到的兩條線段在四邊

形PECF繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中長度始終相等，并證明你的結(jié)論．

思路分析：（1）解法一：在△ABP與△ADP中，利用全等可得BP=DP．

解法二：利用正方形的軸對稱性，可得BP=DP．

（2）不是總成立．當(dāng)四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點P旋轉(zhuǎn)到BC邊上時，

DP>DC>BP，此時BP=DP不成立．

說明：未用舉反例的方法說理的不得分．

（3）連接BE、DF，則BE與DF始終相等．

在圖中，可證四邊形PECF為正方形，

在△BEC與△DFC中，可證△BEC≌△DFC．

從而有BE=DF

10．為創(chuàng)建綠色校園，學(xué)校決定對一塊正方形的空地進行種植花草，現(xiàn)向?qū)W生征集設(shè)計圖案．圖案要求只能用圓弧在正方形內(nèi)加以設(shè)計，使正方形和所畫的圖弧構(gòu)成的圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．種植花草部分用陰影表示．請你在圖③、圖④、圖⑤中畫出三種不同的的設(shè)計圖案．

提示：在兩個圖案中，只有半徑變化而圓心不變的圖案屬于同一種，例如：圖①、圖②只能算一種．

解：以下為不同情形下的部分正確畫法，答案不唯一．

11．如圖，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°。點M、N同時以相同速度分別從點A、點D開始在AB、AD（包括端點）上運動。

（1）設(shè)ND的長為x，用x表示出點N到AB的距離，并寫出x的取值范圍。

（2）設(shè)，用t表示△AMN的面積。

（3）求△AMN的面積的最大值，并判斷取最大值時△AMN的形狀。

解：（1）過點N作BA的垂線NP，交BA的延長線于點P。

由已知：，。

∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°，

∴∠PAN=∠D=30°。

在Rt△APN中，，

即點N到AB的距離為。

∵點N在AD上，，點M在AB上，，

∴x的取值范圍是。

（2）根據(jù)（