生產(chǎn)系統(tǒng)建模與仿真課件 第4章 隨機變量與隨機分布

第4章隨機變量和隨機分布4.1隨機變量和隨機分布概述4.1.1離散型隨機變量4.1.2連續(xù)型隨機變量4.1.3隨機變量的數(shù)字特征4.1.4常用隨機分布類型及其特性4.1.5隨機變量分布類型及其參數(shù)的確定4.2隨機數(shù)的生成方法4.2.1隨機數(shù)的特性4.2.2隨機數(shù)發(fā)生器的設(shè)計4.3隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗4.4隨機變量的生成原理4.5典型隨機變量的生成4.5.1離散型隨機變量的生成4.5.2連續(xù)型隨機變量的生成11/14/20221第4章隨機變量和隨機分布4.1隨機變量和隨機分布概述14.1隨機變量和隨機分布概述

活動的分類（1）確定性活動（deterministicactivity）

活動的變化規(guī)律已知，活動結(jié)果可以準(zhǔn)確預(yù)計，在一定條件下活動可以準(zhǔn)確地再現(xiàn)和重復(fù)，或由根據(jù)過去狀態(tài)可以準(zhǔn)確預(yù)見活動的未來進展。例如：重物的自由落體運動，炮彈的運行軌跡及落點等都可以根據(jù)相關(guān)公式進行計算。11/14/202224.1隨機變量和隨機分布概述活動的分類（1）確定性活動（4.1隨機變量和隨機分布概述（2）隨機性活動（stochasticactivity或probabilisticactivity）

活動的結(jié)果難以準(zhǔn)確預(yù)見，即使在相同的條件下進行重復(fù)試驗，每次試驗的結(jié)果未必相同，或者由過去狀態(tài)不能確定相同條件下活動的未來發(fā)展趨勢。

例如：拋擲硬幣時，每次硬幣是正面向上還是正面向下；紅旗大道上每一時段汽車的通行量；百貨商店內(nèi)不同時刻到達的顧客人數(shù)；從一批相同型號齒輪中任意抽取一個齒輪，測量它在一定條件下的工作壽命；某型號發(fā)電機組每次的大修時間等。

11/14/202234.1隨機變量和隨機分布概述（2）隨機性活動（stocha4.1隨機變量和隨機分布概述對于隨機性活動，我們可以定義一個變量，以變量的不同取值表示活動的不同結(jié)果，并通過統(tǒng)計確定變量取不同數(shù)值的概率，將這類變量稱為隨機變量。根據(jù)取值是否連續(xù)，隨機變量可分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。11/14/202244.1隨機變量和隨機分布概述對于隨機性活動，我們可以定義4.1隨機變量和隨機分布概述4.1.1離散型隨機變量若隨機變量的取值為有限個數(shù)值或為可以逐一列舉的無窮多個數(shù)值，則稱此類隨機變量為離散型隨機變量（discreterandomvariable）。設(shè)離散隨機變量X所有可能的取值為x1、x2、…、xn、…，并且所有可能取值的概率分別為p1、p2、…、pn、…，則將{xi，pi}（i=1，2，…，n，…）配對的集合稱為隨機變量X的概率分布（probabilitydistribution），并將

P={p1，p2，…，pn，…}稱為隨機變量X的概率質(zhì)量函數(shù)（probabilitymassfunction，PMF）。11/14/202254.1隨機變量和隨機分布概述4.1.1離散型隨機變量4.1隨機變量和隨機分布概述概率質(zhì)量函數(shù)滿足以下條件：①pi>0（i=1，2，…，n，…）②圖4-1拋擲硬幣的概率分布11/14/202264.1隨機變量和隨機分布概述概率質(zhì)量函數(shù)滿足以下條件：①4.1隨機變量和隨機分布概述設(shè)F（x）為離散型隨機變量的累積分布函數(shù)（cumulativedistributionfunction，CDF），它表示X小于或等于某個給定值xi（i=1，2，…，n，…）的概率函數(shù)：累積分布函數(shù)具有以下特性：②F（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，即當(dāng)x<y時，有F（x）≤F（y）。①11/14/202274.1隨機變量和隨機分布概述設(shè)F（x）為離散型隨機變量的4.1隨機變量和隨機分布概述4.1.2連續(xù)型隨機變量

若隨機變量X可以在某個數(shù)值區(qū)間內(nèi)連續(xù)取任一數(shù)值，則稱之為連續(xù)型隨機變量（continuousrandomvariable）。由于X的取值為無窮多個點，我們無法定義X在某一個數(shù)值點的概率，只能考察X落入某個子區(qū)間內(nèi)的概率。X的概率密度函數(shù)（probabilitydensityfunction，PDF）

11/14/202284.1隨機變量和隨機分布概述4.1.2連續(xù)型隨機變量4.1隨機變量和隨機分布概述f（x）需滿足以下條件：②①

F（x）為連續(xù)型隨機變量的累積分布函數(shù)（CDF），它表示隨機變量小于或等于x的概率：

②

當(dāng)x1<x2時，有F（x1）≤F（x2）①11/14/202294.1隨機變量和隨機分布概述f（x）需滿足以下條件：②4.1隨機變量和隨機分布概述4.1.3隨機變量的數(shù)字特征概率函數(shù)、概率密度函數(shù)以及累積分布函數(shù)等反映了隨機變量的某些概率特征。但是，在工程實際中，往往存在以下情況：①

無法了解或無需知道隨機變量準(zhǔn)切的概率特征；②

只能得到或只需利用隨機變量的具有代表性的數(shù)值。此時，僅靠概率函數(shù)、概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)等參數(shù)還不足以反映隨機變量的某些特性。隨機變量的數(shù)字特征是與其分布有關(guān)的某些數(shù)值，例如平均值、最大可能值等，它們反映了隨機變量某些方面的特征。11/14/2022104.1隨機變量和隨機分布概述4.1.3隨機變量的數(shù)字特4.1隨機變量和隨機分布概述也稱數(shù)學(xué)期望值（expectation或expectedvalue），或隨機變量的一階矩（thefirstmoment）它是指隨機變量取值的平均數(shù)，表示隨機變量取值的集中程度。一般以E（X）或μ表示。1．平均值（mean或meanvalue）11/14/2022114.1隨機變量和隨機分布概述也稱數(shù)學(xué)期望值（expect4.1隨機變量和隨機分布概述設(shè)X為離散型隨機變量,其概率分布如表4-2所示:表4-2隨機變量的概率分布

離散型隨機變量的平均值：離散型隨機變量的平均值為：

連續(xù)型隨機變量的平均值：11/14/2022124.1隨機變量和隨機分布概述設(shè)X為離散型隨機變量,其概率分4.1隨機變量和隨機分布概述若某一隨機變量的方差為0，則表示該隨機變量沒有偏差，此時隨機變量退化為一個確定值。因此，確定性變量可認(rèn)為是方差為零的隨機變量，是隨機變量的一種特殊形式。2．方差和標(biāo)準(zhǔn)差（variance）方差的定義為：

表示隨機變量相對于均值的平均分散和變動程度11/14/2022134.1隨機變量和隨機分布概述若某一隨機變量的方差為0，則4.1隨機變量和隨機分布概述方差的單位是隨機變量單位的平方。為了保持與隨機變量單位的一致性，常以方差的平方根作為衡量分散性的尺度。將方差的平方根稱為隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差（standarddeviation），通常以σ表示，即：11/14/2022144.1隨機變量和隨機分布概述方差的單位是隨機變量單位的平方4.1隨機變量和隨機分布概述為了更好地描述隨機變量的分散程度，引入變異系數(shù)的概念，也稱變化系數(shù)或變差系數(shù)。變異系數(shù)是指隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差與平均值的比值，即：

3．變異系數(shù)（coefficientofvariation）由于標(biāo)準(zhǔn)差與平均值的量綱相同，變異系數(shù)是無量綱量，它不受數(shù)據(jù)量綱的影響。變異系數(shù)的數(shù)值越小，則隨機變量的分散性越小。11/14/2022154.1隨機變量和隨機分布概述為了更好地描述隨機變量的分散4.1隨機變量和隨機分布概述模數(shù)也稱眾數(shù)，它是指隨機變量的頻率（或頻數(shù)）取得某個峰值時的隨機變量的值。當(dāng)隨機變量的概率密度函數(shù)有多個峰值時，通常取最大峰值作為隨機變量的模數(shù)。對于離散型隨機變量，觀測值出現(xiàn)最多的數(shù)即為模數(shù)；對于連續(xù)型隨機變量，模數(shù)是指概率密度函數(shù)為極大值時的x

值，即概率密度函數(shù)峰值所對應(yīng)的x值。4．模數(shù)（modenumber）11/14/2022164.1隨機變量和隨機分布概述模數(shù)也稱眾數(shù)，它是指隨機變量4.1隨機變量和隨機分布概述中間值也稱中位數(shù)。對于隨機變量X，若存在一個點xm使得隨機變量的一半數(shù)值落在該點以下，則稱xm點為隨機變量的中間值，即與F（x）

=0.5相對應(yīng)的點。也可以由累積分布函數(shù)曲線求得隨機變量的中間值。5．中間值（mediumvalue）11/14/2022174.1隨機變量和隨機分布概述中間值也稱中位數(shù)。5．中間值4.1隨機變量和隨機分布概述4.1.4常用隨機分布類型及其特性根據(jù)參數(shù)的物理意義和幾何意義，可以將分布參數(shù)分為：

位置參數(shù)（locationparameter）

比例參數(shù)（scaleparameter）

形狀參數(shù)（shapeparameter）

也稱為位移參數(shù)，它確定分布函數(shù)在橫坐標(biāo)（x軸）的取值范圍。當(dāng)位置參數(shù)發(fā)生變化時，分布函數(shù)在橫坐標(biāo)的位置上會向左或向右發(fā)生偏移，而它的范圍或形狀不發(fā)生變化。（1）位置參數(shù)11/14/2022184.1隨機變量和隨機分布概述4.1.4常用隨機分布類型及4.1隨機變量和隨機分布概述圖4-8均勻分布的位置參數(shù)11/14/2022194.1隨機變量和隨機分布概述圖4-8均勻分布的位置參數(shù)14.1隨機變量和隨機分布概述圖4-9正態(tài)分布的位置參數(shù)11/14/2022204.1隨機變量和隨機分布概述圖4-9正態(tài)分布的位置參數(shù)14.1隨機變量和隨機分布概述比例參數(shù)用于確定在分布范圍內(nèi)取值大小的比例尺度。當(dāng)比例參數(shù)的數(shù)值改變時，分布函數(shù)被壓縮或擴張，分布的范圍發(fā)生改變，但分布的基本形狀不會改變。（2）比例參數(shù)11/14/2022214.1隨機變量和隨機分布概述比例參數(shù)用于確定在分布范圍內(nèi)4.1隨機變量和隨機分布概述圖4-10指數(shù)分布的比例參數(shù)11/14/2022224.1隨機變量和隨機分布概述圖4-10指數(shù)分布的比例參數(shù)4.1隨機變量和隨機分布概述圖4-11正態(tài)分布的比例參數(shù)11/14/2022234.1隨機變量和隨機分布概述圖4-11正態(tài)分布的比例參4.1隨機變量和隨機分布概述形狀參數(shù)用來決定分布函數(shù)的基本形狀，改變分布函數(shù)的性質(zhì)。

形狀參數(shù)與位置參數(shù)、比例參數(shù)之間相互獨立。

與位置參數(shù)、比例參數(shù)相比，形狀參數(shù)可以從根本上改變分布的形狀。一些分布（如正態(tài)分布、指數(shù)分布等）沒有形狀參數(shù)；另一些分布（如γ分布、威布爾分布等）具有形狀參數(shù)。

（3）形狀參數(shù)11/14/2022244.1隨機變量和隨機分布概述形狀參數(shù)用來決定分布函數(shù)的基4.1隨機變量和隨機分布概述圖4-12γ分布的形狀參數(shù)11/14/2022254.1隨機變量和隨機分布概述圖4-12γ分布的形狀參數(shù)14.1隨機變量和隨機分布概述圖4-13WEIBULL分布的形狀參數(shù)11/14/2022264.1隨機變量和隨機分布概述圖4-13WEIBU4.1隨機變量和隨機分布概述廣義γ分布和Weibull分布都是三參數(shù)分布，由于具有形狀參數(shù)，它們具有很強的數(shù)據(jù)擬合能力。通過改變參數(shù)數(shù)值，可以模擬其它分布或具有與其它分布相類似的屬性。γ分布可以用來模擬威布爾分布或正態(tài)分布；當(dāng)形狀參數(shù)α=1時，威布爾分布演化為指數(shù)分布；當(dāng)α=3.43954時，威布爾分布接近于正態(tài)分布。

11/14/2022274.1隨機變量和隨機分布概述廣義γ分布和Weibull分4.1隨機變量和隨機分布概述表4-6常用分布的參數(shù)類型11/14/2022284.1隨機變量和隨機分布概述表4-6常用分布的參數(shù)類型14.2隨機數(shù)的生成方法

隨機數(shù)（randomnumbers）是隨機變量的取樣值，它是離散事件系統(tǒng)仿真的基礎(chǔ)和必備的建模元素。任何離散事件系統(tǒng)仿真程序或模型都必須具備能夠產(chǎn)生指定分布的隨機變量生成模塊或子程序。運行仿真程序或模型，當(dāng)用戶賦予某一隨機變量以確定參數(shù)的分布時，仿真系統(tǒng)就調(diào)用和生成相應(yīng)的隨機變量，以便再現(xiàn)系統(tǒng)的隨機特征。產(chǎn)生[0，1]區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)是產(chǎn)生隨機變量的基礎(chǔ)，其它類型分布（如正態(tài)分布、γ分布、β分布、指數(shù)分布等）都是在[0，1]均勻分布的基礎(chǔ)上通過一定變換實現(xiàn)的。11/14/2022294.2隨機數(shù)的生成方法隨機數(shù)（randomnumber4.2隨機數(shù)的生成方法[0，1]區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)[0，1]均勻分布隨機數(shù)的定義[0，1]區(qū)間上均勻分布隨機變量x的概率密度函數(shù)為：其累積分布函數(shù)為：11/14/2022304.2隨機數(shù)的生成方法[0，1]區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)[04.2隨機數(shù)的生成方法仿真程序中的隨機數(shù)序列必須具有以下統(tǒng)計特性：①均勻性：隨機變量在其可能取值范圍中任一區(qū)間出現(xiàn)的概率和此區(qū)間的大小與可能值范圍的比值成正比。②獨立性：在某個區(qū)間內(nèi)一個觀測值發(fā)生的概率與先前已有的觀測值結(jié)果無關(guān)。仿真程序中常根據(jù)確定的遞推公式近似地生成隨機數(shù)。這些隨機數(shù)并不能嚴(yán)格地滿足“均勻性”和“獨立性”準(zhǔn)則，不是真正的隨機數(shù)，又能在某種程度上表現(xiàn)出隨機性，常稱之為

偽隨機數(shù)。4.2.1隨機數(shù)的特性用于產(chǎn)生[0，1]區(qū)間均勻分布隨機數(shù)的專門程序稱為——隨機數(shù)發(fā)生器11/14/2022314.2隨機數(shù)的生成方法仿真程序中的隨機數(shù)序列必須具有以下4.2隨機數(shù)的生成方法

隨機數(shù)發(fā)生器的評價指標(biāo)：（1）隨機性:有較好的獨立性與均勻性,與真實的隨機數(shù)具有相同或相近的數(shù)字特征,如數(shù)學(xué)期望、方差等（2）長周期:無重復(fù)出現(xiàn)的隨機數(shù)序列長度稱周期。（3）可再現(xiàn)性:便于再現(xiàn)仿真狀態(tài)。

（4）高計算效率:仿真過程要求短時間內(nèi)產(chǎn)生大量隨機數(shù)。11/14/2022324.2隨機數(shù)的生成方法隨機數(shù)發(fā)生器的評價指標(biāo)：（1）隨4.2隨機數(shù)的生成方法均勻分布的隨機數(shù)的產(chǎn)生方法（1）平方取中法（3）混合同余法（2）線性同余法（4）乘同余法（5）取小數(shù)法11/14/2022334.2隨機數(shù)的生成方法均勻分布的隨機數(shù)的產(chǎn)生方法（1）平4.2隨機數(shù)的生成方法(1)平方取中法由馮·紐曼(JohnvonNeumann)在40年代中期提出的。方法：首先從某個初始的種子數(shù)開始,求出這個數(shù)的平方,取這個平方數(shù)的中間幾位作為隨機數(shù)序列中的第2個數(shù)；再求出第2個數(shù)的平方，又取這個平方數(shù)的中間幾位作為隨機數(shù)序列中的第3個數(shù)；不斷按這個方式繼續(xù)此算法，即可得到相應(yīng)的偽隨機序列。4.2.2隨機數(shù)發(fā)生器的設(shè)計11/14/2022344.2隨機數(shù)的生成方法(1)平方取中法4.2.2隨4.2隨機數(shù)的生成方法例:利用平方取中法產(chǎn)生4位數(shù)的隨機數(shù)序列，種子數(shù)取為xo=3187。計算過程為：

xo＝3187,(3187)2＝10156969

x1＝1569,(1569)2＝02461761x2＝4617,(4617)2＝21316689

x3＝3166,(3166)2＝10023556x4＝0235將此過程繼續(xù)下去，便可以得到一系列隨機數(shù)。缺點偽隨機數(shù)序列的重復(fù)周期通常較短。對于較長的偽隨機數(shù)序列，可能無法通過隨機性的統(tǒng)計檢驗。當(dāng)0在任何時侯生成之后，其后產(chǎn)生的數(shù)都將為0，稱為“退化”，如果這種現(xiàn)象在一個較復(fù)雜的仿真研究過程中出現(xiàn)，它將會使仿真分析人員誤入歧途。11/14/2022354.2隨機數(shù)的生成方法例:利用平方取中法產(chǎn)生4位數(shù)的隨機數(shù)4.2隨機數(shù)的生成方法（2）線性同余法：式中，m為模數(shù)（modulus）a為乘數(shù)（multiplier）c為增量（increment）其中，Z0為種子數(shù)，由上式產(chǎn)生一系列數(shù)Z1，Z2，…,

Zi；令yi＝Zi/m則得到區(qū)間[0，1]上的隨機數(shù)yi（i＝1，2，…）線性同余法在1951年由榮默爾(Lehmer)首先提出。目前大多數(shù)隨機數(shù)發(fā)生器都采用這種方法。

遞推關(guān)系11/14/2022364.2隨機數(shù)的生成方法（2）線性同余法：式中，m為模數(shù)（4.2隨機數(shù)的生成方法線性同余法舉例（m=24，a=13，c＝17，Z0＝5）yiyi11/14/2022374.2隨機數(shù)的生成方法線性同余法舉例yiyi11/11/24.2隨機數(shù)的生成方法

線性同余法的缺點yi并不是真正意義上的均勻分布隨機數(shù)；當(dāng)模數(shù)m較小時，yi只能取到有限個數(shù)值。為取得近似均勻分布的數(shù)值，m通常取得很大（如m≥109）。由于yi只能取到有限個數(shù)值，隨機數(shù)發(fā)生器會出現(xiàn)周期性。11/14/2022384.2隨機數(shù)的生成方法線性同余法的缺點yi并不是真正4.2隨機數(shù)的生成方法（3）混合同余法（Mixedcongruence）（4）乘同余法（Multiplicativecongruence）（5）取小數(shù)法取小數(shù)法又可分為平方取小數(shù)法和開方取小數(shù)法。平方取小數(shù)法：將前一次隨機數(shù)平方后的數(shù)，取其小數(shù)點后第一個非零數(shù)字后面的尾數(shù)作為下一個所求的隨機數(shù)。11/14/2022394.2隨機數(shù)的生成方法（3）混合同余法（Mixedcon4.2隨機數(shù)的生成方法

開方取小數(shù)法：將前一次隨機數(shù)開方后的數(shù)，取其小數(shù)點后第一個非零數(shù)字后面的尾數(shù)為下一所求隨機數(shù)。11/14/2022404.2隨機數(shù)的生成方法開方取小數(shù)法：將前一次隨機數(shù)開方4.3隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗

隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗方法：①數(shù)字特征檢驗：檢驗該隨機分布的參數(shù)估計值與[0，1]均勻分布的或稱理論值的差異是否顯著。③獨立性檢驗：檢查隨機數(shù)序列u1，u2，…，un前后各項的統(tǒng)計相關(guān)是否顯著。②分布均勻性檢驗：檢查隨機數(shù)序列u1，u2，…，un的實際頻率與理論頻率的差異是否顯著(頻率檢驗)。從理論上來說，隨機數(shù)只是隨機變量的一組取樣值，也就是隨機變量的一個樣本，樣本值是否能夠反映隨機變量？這就需要對產(chǎn)生的隨機數(shù)進行檢驗。作為[0，1]均勻分布隨機數(shù)產(chǎn)生之后，我們需要對在這一區(qū)間上隨機數(shù)樣本值進行檢驗，檢驗其是否有較好的獨立性和均勻性。11/14/2022414.3隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗方法：①數(shù)4.3隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗1數(shù)字特征檢驗數(shù)字特征檢驗是采樣平均值、方差與理論平均值、方差差異的顯著性檢驗。在(0，1)區(qū)間上均勻分布的隨機變量X和X2的平均值及方差分別為：11/14/2022424.3隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗1數(shù)字特征檢驗數(shù)字特征檢4.3隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗

如果N個隨機數(shù)x1，x2，…，xn是X的N個獨立觀測值，令則它們的平均值和方差為:11/14/2022434.3隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗如果N個隨機數(shù)x1，x2，…，x4.3隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗

由數(shù)理統(tǒng)計理論中的中心極限定理，可知統(tǒng)計量漸近地服從正態(tài)分布N(0,1)。

因此，只要有一組隨機數(shù)序列，即可求上述u1、u2。當(dāng)給定顯著性水平（如α=0.05)后，若有|ui|>1.96，表示差異顯著，則應(yīng)拒絕X為(0，1)均勻分布的隨機數(shù)。11/14/2022444.3隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗由數(shù)理統(tǒng)計理論中的中心極限定理，4.3隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗2分布均勻性檢驗分布均勻性檢驗又稱為頻率檢驗，是對經(jīng)驗頻率和理論頻率之間的差異進行檢驗。方法：把[0，1]區(qū)間劃分成k等分。則xi值落在任一小區(qū)間的概率Pi均應(yīng)等于這些小區(qū)間的長度1／k，故N個xi值落在任何一個小區(qū)間的平均數(shù)為mi=N／k，稱理論頻率。設(shè)實際上xi中屬于第i個小區(qū)間的數(shù)目為ni計算統(tǒng)計量顯然，若ni=mi，則χ2=0，實際頻率與理論頻率一致。χ2的大小反映了隨機數(shù)的均勻性程度。11/14/2022454.3隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗2分布均勻性檢驗分布均勻性檢驗4.3隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗3獨立性檢驗用于檢驗隨機數(shù)前后各項之間是否獨立。

以相關(guān)系數(shù)進行判斷。兩個隨機變量的相關(guān)系數(shù)反映了它們之間的線性相關(guān)程度。相關(guān)系數(shù)為0是隨機數(shù)相互獨立的必要條件。

相關(guān)系數(shù)大小可以衡量隨機數(shù)的相關(guān)程度。對于給定的隨機數(shù)xi，前后距離為K的樣本相關(guān)系數(shù)為：式中：11/14/2022464.3隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗3獨立性檢驗用于檢驗隨機數(shù)前4.4隨機變量的生成原理

隨機變量的實現(xiàn)原理如前所述，產(chǎn)生[0，1]區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)是生成其它類型隨機變量的基礎(chǔ)。

隨機變量生成算法應(yīng)具備的特點：②效率（efficient）：占用內(nèi)存小，執(zhí)行時間短①精確性（exactness）：滿足一定的精確度要求③魯棒性（robustness）：健壯，適應(yīng)11/14/2022474.4隨機變量的生成原理隨機變量的實現(xiàn)原理如前所述，4.4隨機變量的生成原理①逆變法

隨機變量的生成算法：11/14/2022484.4隨機變量的生成原理①逆變法隨機變量的生成算法：4.4隨機變量的生成原理逆變法生成連續(xù)隨機變量原理圖11/14/2022494.4隨機變量的生成原理逆變法生成連續(xù)隨機變量原理圖11/4.4隨機變量的生成原理離散隨機變量的生成原理當(dāng)X為離散隨機變量時，由于離散隨機變量的分布函數(shù)也是離散的，不能直接利用反函數(shù)獲得抽樣值。其解法如下：設(shè)X為離散隨機變量，取值及概率為p(x1),p(x2),…,p(xn),且有0<p(xi)<1,∑p(xi)=1，則可求其累積分布F(X)：p(x1)p(x1)+p(x2)p(x1)+p(x2)+p(x3)x1x2x3xn1u11/14/2022504.4隨機變量的生成原理離散隨機變量的生成原理4.4隨機變量的生成原理

表述為：首先將隨機變量按從小到大排列：即x1<x2<…<xn確定分布函數(shù)子區(qū)間的分界點：（0，p(x1))，(p(x1)，p(x1)+p(x2))，…生成0~1上均勻分布的隨機數(shù)u判斷u所在區(qū)間，取x值11/14/2022514.4隨機變量的生成原理表述為：11/114.4隨機變量的生成原理例1：求服從指數(shù)分布的隨機數(shù)所求的變量為：上式可以簡化為：11/14/2022524.4隨機變量的生成原理例1：求服從指數(shù)分布的隨機數(shù)所求的4.4隨機變量的生成原理①取舍法基本思想：從許多均勻分布的隨機數(shù)中選擇，使選出的那部分?jǐn)?shù)據(jù)具有所需要的分布。適應(yīng)問題：應(yīng)用于產(chǎn)生任意有界的隨機變量，包括概率分布函數(shù)無法用數(shù)學(xué)公式表達的情況。方法步驟：設(shè)隨機變量X的概率密度f(x)中的X值的上、下限為a、b，f(x)的上界為c，則取舍法的步驟為：產(chǎn)生兩個獨立的（0，1）均勻分布的隨機數(shù)u1,u2；計算x0=a+u1(b-a),y0=cu2;如果y0<=f(x0)，則x0為所求隨機數(shù)重復(fù)此過程。11/14/2022534.4隨機變量的生成原理①取舍法基本思想：從許多均勻分4.4隨機變量的生成原理abcxyo方法說明：在矩形中產(chǎn)生均勻分布點，點落在陰影部分時為所求隨機數(shù)，符合所需要的分布。方法特點：不使用累積分布函數(shù)；效率問題。11/14/2022544.4隨機變量的生成原理abcxyo方法說明：在矩形中產(chǎn)第4章隨機變量和隨機分布4.1隨機變量和隨機分布概述4.1.1離散型隨機變量4.1.2連續(xù)型隨機變量4.1.3隨機變量的數(shù)字特征4.1.4常用隨機分布類型及其特性4.1.5隨機變量分布類型及其參數(shù)的確定4.2隨機數(shù)的生成方法4.2.1隨機數(shù)的特性4.2.2隨機數(shù)發(fā)生器的設(shè)計4.3隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗4.4隨機變量的生成原理4.5典型隨機變量的生成4.5.1離散型隨機變量的生成4.5.2連續(xù)型隨機變量的生成11/14/202255第4章隨機變量和隨機分布4.1隨機變量和隨機分布概述14.1隨機變量和隨機分布概述

活動的分類（1）確定性活動（deterministicactivity）

活動的變化規(guī)律已知，活動結(jié)果可以準(zhǔn)確預(yù)計，在一定條件下活動可以準(zhǔn)確地再現(xiàn)和重復(fù)，或由根據(jù)過去狀態(tài)可以準(zhǔn)確預(yù)見活動的未來進展。例如：重物的自由落體運動，炮彈的運行軌跡及落點等都可以根據(jù)相關(guān)公式進行計算。11/14/2022564.1隨機變量和隨機分布概述活動的分類（1）確定性活動（4.1隨機變量和隨機分布概述（2）隨機性活動（stochasticactivity或probabilisticactivity）

活動的結(jié)果難以準(zhǔn)確預(yù)見，即使在相同的條件下進行重復(fù)試驗，每次試驗的結(jié)果未必相同，或者由過去狀態(tài)不能確定相同條件下活動的未來發(fā)展趨勢。

例如：拋擲硬幣時，每次硬幣是正面向上還是正面向下；紅旗大道上每一時段汽車的通行量；百貨商店內(nèi)不同時刻到達的顧客人數(shù)；從一批相同型號齒輪中任意抽取一個齒輪，測量它在一定條件下的工作壽命；某型號發(fā)電機組每次的大修時間等。

11/14/2022574.1隨機變量和隨機分布概述（2）隨機性活動（stocha4.1隨機變量和隨機分布概述對于隨機性活動，我們可以定義一個變量，以變量的不同取值表示活動的不同結(jié)果，并通過統(tǒng)計確定變量取不同數(shù)值的概率，將這類變量稱為隨機變量。根據(jù)取值是否連續(xù)，隨機變量可分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。11/14/2022584.1隨機變量和隨機分布概述對于隨機性活動，我們可以定義4.1隨機變量和隨機分布概述4.1.1離散型隨機變量若隨機變量的取值為有限個數(shù)值或為可以逐一列舉的無窮多個數(shù)值，則稱此類隨機變量為離散型隨機變量（discreterandomvariable）。設(shè)離散隨機變量X所有可能的取值為x1、x2、…、xn、…，并且所有可能取值的概率分別為p1、p2、…、pn、…，則將{xi，pi}（i=1，2，…，n，…）配對的集合稱為隨機變量X的概率分布（probabilitydistribution），并將

P={p1，p2，…，pn，…}稱為隨機變量X的概率質(zhì)量函數(shù)（probabilitymassfunction，PMF）。11/14/2022594.1隨機變量和隨機分布概述4.1.1離散型隨機變量4.1隨機變量和隨機分布概述概率質(zhì)量函數(shù)滿足以下條件：①pi>0（i=1，2，…，n，…）②圖4-1拋擲硬幣的概率分布11/14/2022604.1隨機變量和隨機分布概述概率質(zhì)量函數(shù)滿足以下條件：①4.1隨機變量和隨機分布概述設(shè)F（x）為離散型隨機變量的累積分布函數(shù)（cumulativedistributionfunction，CDF），它表示X小于或等于某個給定值xi（i=1，2，…，n，…）的概率函數(shù)：累積分布函數(shù)具有以下特性：②F（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，即當(dāng)x<y時，有F（x）≤F（y）。①11/14/2022614.1隨機變量和隨機分布概述設(shè)F（x）為離散型隨機變量的4.1隨機變量和隨機分布概述4.1.2連續(xù)型隨機變量

若隨機變量X可以在某個數(shù)值區(qū)間內(nèi)連續(xù)取任一數(shù)值，則稱之為連續(xù)型隨機變量（continuousrandomvariable）。由于X的取值為無窮多個點，我們無法定義X在某一個數(shù)值點的概率，只能考察X落入某個子區(qū)間內(nèi)的概率。X的概率密度函數(shù)（probabilitydensityfunction，PDF）

11/14/2022624.1隨機變量和隨機分布概述4.1.2連續(xù)型隨機變量4.1隨機變量和隨機分布概述f（x）需滿足以下條件：②①

F（x）為連續(xù)型隨機變量的累積分布函數(shù)（CDF），它表示隨機變量小于或等于x的概率：

②

當(dāng)x1<x2時，有F（x1）≤F（x2）①11/14/2022634.1隨機變量和隨機分布概述f（x）需滿足以下條件：②4.1隨機變量和隨機分布概述4.1.3隨機變量的數(shù)字特征概率函數(shù)、概率密度函數(shù)以及累積分布函數(shù)等反映了隨機變量的某些概率特征。但是，在工程實際中，往往存在以下情況：①

無法了解或無需知道隨機變量準(zhǔn)切的概率特征；②

只能得到或只需利用隨機變量的具有代表性的數(shù)值。此時，僅靠概率函數(shù)、概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)等參數(shù)還不足以反映隨機變量的某些特性。隨機變量的數(shù)字特征是與其分布有關(guān)的某些數(shù)值，例如平均值、最大可能值等，它們反映了隨機變量某些方面的特征。11/14/2022644.1隨機變量和隨機分布概述4.1.3隨機變量的數(shù)字特4.1隨機變量和隨機分布概述也稱數(shù)學(xué)期望值（expectation或expectedvalue），或隨機變量的一階矩（thefirstmoment）它是指隨機變量取值的平均數(shù)，表示隨機變量取值的集中程度。一般以E（X）或μ表示。1．平均值（mean或meanvalue）11/14/2022654.1隨機變量和隨機分布概述也稱數(shù)學(xué)期望值（expect4.1隨機變量和隨機分布概述設(shè)X為離散型隨機變量,其概率分布如表4-2所示:表4-2隨機變量的概率分布

離散型隨機變量的平均值：離散型隨機變量的平均值為：

連續(xù)型隨機變量的平均值：11/14/2022664.1隨機變量和隨機分布概述設(shè)X為離散型隨機變量,其概率分4.1隨機變量和隨機分布概述若某一隨機變量的方差為0，則表示該隨機變量沒有偏差，此時隨機變量退化為一個確定值。因此，確定性變量可認(rèn)為是方差為零的隨機變量，是隨機變量的一種特殊形式。2．方差和標(biāo)準(zhǔn)差（variance）方差的定義為：

表示隨機變量相對于均值的平均分散和變動程度11/14/2022674.1隨機變量和隨機分布概述若某一隨機變量的方差為0，則4.1隨機變量和隨機分布概述方差的單位是隨機變量單位的平方。為了保持與隨機變量單位的一致性，常以方差的平方根作為衡量分散性的尺度。將方差的平方根稱為隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差（standarddeviation），通常以σ表示，即：11/14/2022684.1隨機變量和隨機分布概述方差的單位是隨機變量單位的平方4.1隨機變量和隨機分布概述為了更好地描述隨機變量的分散程度，引入變異系數(shù)的概念，也稱變化系數(shù)或變差系數(shù)。變異系數(shù)是指隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差與平均值的比值，即：

3．變異系數(shù)（coefficientofvariation）由于標(biāo)準(zhǔn)差與平均值的量綱相同，變異系數(shù)是無量綱量，它不受數(shù)據(jù)量綱的影響。變異系數(shù)的數(shù)值越小，則隨機變量的分散性越小。11/14/2022694.1隨機變量和隨機分布概述為了更好地描述隨機變量的分散4.1隨機變量和隨機分布概述模數(shù)也稱眾數(shù)，它是指隨機變量的頻率（或頻數(shù)）取得某個峰值時的隨機變量的值。當(dāng)隨機變量的概率密度函數(shù)有多個峰值時，通常取最大峰值作為隨機變量的模數(shù)。對于離散型隨機變量，觀測值出現(xiàn)最多的數(shù)即為模數(shù)；對于連續(xù)型隨機變量，模數(shù)是指概率密度函數(shù)為極大值時的x

值，即概率密度函數(shù)峰值所對應(yīng)的x值。4．模數(shù)（modenumber）11/14/2022704.1隨機變量和隨機分布概述模數(shù)也稱眾數(shù)，它是指隨機變量4.1隨機變量和隨機分布概述中間值也稱中位數(shù)。對于隨機變量X，若存在一個點xm使得隨機變量的一半數(shù)值落在該點以下，則稱xm點為隨機變量的中間值，即與F（x）

=0.5相對應(yīng)的點。也可以由累積分布函數(shù)曲線求得隨機變量的中間值。5．中間值（mediumvalue）11/14/2022714.1隨機變量和隨機分布概述中間值也稱中位數(shù)。5．中間值4.1隨機變量和隨機分布概述4.1.4常用隨機分布類型及其特性根據(jù)參數(shù)的物理意義和幾何意義，可以將分布參數(shù)分為：

位置參數(shù)（locationparameter）

比例參數(shù)（scaleparameter）

形狀參數(shù)（shapeparameter）

也稱為位移參數(shù)，它確定分布函數(shù)在橫坐標(biāo)（x軸）的取值范圍。當(dāng)位置參數(shù)發(fā)生變化時，分布函數(shù)在橫坐標(biāo)的位置上會向左或向右發(fā)生偏移，而它的范圍或形狀不發(fā)生變化。（1）位置參數(shù)11/14/2022724.1隨機變量和隨機分布概述4.1.4常用隨機分布類型及4.1隨機變量和隨機分布概述圖4-8均勻分布的位置參數(shù)11/14/2022734.1隨機變量和隨機分布概述圖4-8均勻分布的位置參數(shù)14.1隨機變量和隨機分布概述圖4-9正態(tài)分布的位置參數(shù)11/14/2022744.1隨機變量和隨機分布概述圖4-9正態(tài)分布的位置參數(shù)14.1隨機變量和隨機分布概述比例參數(shù)用于確定在分布范圍內(nèi)取值大小的比例尺度。當(dāng)比例參數(shù)的數(shù)值改變時，分布函數(shù)被壓縮或擴張，分布的范圍發(fā)生改變，但分布的基本形狀不會改變。（2）比例參數(shù)11/14/2022754.1隨機變量和隨機分布概述比例參數(shù)用于確定在分布范圍內(nèi)4.1隨機變量和隨機分布概述圖4-10指數(shù)分布的比例參數(shù)11/14/2022764.1隨機變量和隨機分布概述圖4-10指數(shù)分布的比例參數(shù)4.1隨機變量和隨機分布概述圖4-11正態(tài)分布的比例參數(shù)11/14/2022774.1隨機變量和隨機分布概述圖4-11正態(tài)分布的比例參4.1隨機變量和隨機分布概述形狀參數(shù)用來決定分布函數(shù)的基本形狀，改變分布函數(shù)的性質(zhì)。

形狀參數(shù)與位置參數(shù)、比例參數(shù)之間相互獨立。

與位置參數(shù)、比例參數(shù)相比，形狀參數(shù)可以從根本上改變分布的形狀。一些分布（如正態(tài)分布、指數(shù)分布等）沒有形狀參數(shù)；另一些分布（如γ分布、威布爾分布等）具有形狀參數(shù)。

（3）形狀參數(shù)11/14/2022784.1隨機變量和隨機分布概述形狀參數(shù)用來決定分布函數(shù)的基4.1隨機變量和隨機分布概述圖4-12γ分布的形狀參數(shù)11/14/2022794.1隨機變量和隨機分布概述圖4-12γ分布的形狀參數(shù)14.1隨機變量和隨機分布概述圖4-13WEIBULL分布的形狀參數(shù)11/14/2022804.1隨機變量和隨機分布概述圖4-13WEIBU4.1隨機變量和隨機分布概述廣義γ分布和Weibull分布都是三參數(shù)分布，由于具有形狀參數(shù)，它們具有很強的數(shù)據(jù)擬合能力。通過改變參數(shù)數(shù)值，可以模擬其它分布或具有與其它分布相類似的屬性。γ分布可以用來模擬威布爾分布或正態(tài)分布；當(dāng)形狀參數(shù)α=1時，威布爾分布演化為指數(shù)分布；當(dāng)α=3.43954時，威布爾分布接近于正態(tài)分布。

11/14/2022814.1隨機變量和隨機分布概述廣義γ分布和Weibull分4.1隨機變量和隨機分布概述表4-6常用分布的參數(shù)類型11/14/2022824.1隨機變量和隨機分布概述表4-6常用分布的參數(shù)類型14.2隨機數(shù)的生成方法

隨機數(shù)（randomnumbers）是隨機變量的取樣值，它是離散事件系統(tǒng)仿真的基礎(chǔ)和必備的建模元素。任何離散事件系統(tǒng)仿真程序或模型都必須具備能夠產(chǎn)生指定分布的隨機變量生成模塊或子程序。運行仿真程序或模型，當(dāng)用戶賦予某一隨機變量以確定參數(shù)的分布時，仿真系統(tǒng)就調(diào)用和生成相應(yīng)的隨機變量，以便再現(xiàn)系統(tǒng)的隨機特征。產(chǎn)生[0，1]區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)是產(chǎn)生隨機變量的基礎(chǔ)，其它類型分布（如正態(tài)分布、γ分布、β分布、指數(shù)分布等）都是在[0，1]均勻分布的基礎(chǔ)上通過一定變換實現(xiàn)的。11/14/2022834.2隨機數(shù)的生成方法隨機數(shù)（randomnumber4.2隨機數(shù)的生成方法[0，1]區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)[0，1]均勻分布隨機數(shù)的定義[0，1]區(qū)間上均勻分布隨機變量x的概率密度函數(shù)為：其累積分布函數(shù)為：11/14/2022844.2隨機數(shù)的生成方法[0，1]區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)[04.2隨機數(shù)的生成方法仿真程序中的隨機數(shù)序列必須具有以下統(tǒng)計特性：①均勻性：隨機變量在其可能取值范圍中任一區(qū)間出現(xiàn)的概率和此區(qū)間的大小與可能值范圍的比值成正比。②獨立性：在某個區(qū)間內(nèi)一個觀測值發(fā)生的概率與先前已有的觀測值結(jié)果無關(guān)。仿真程序中常根據(jù)確定的遞推公式近似地生成隨機數(shù)。這些隨機數(shù)并不能嚴(yán)格地滿足“均勻性”和“獨立性”準(zhǔn)則，不是真正的隨機數(shù)，又能在某種程度上表現(xiàn)出隨機性，常稱之為

偽隨機數(shù)。4.2.1隨機數(shù)的特性用于產(chǎn)生[0，1]區(qū)間均勻分布隨機數(shù)的專門程序稱為——隨機數(shù)發(fā)生器11/14/2022854.2隨機數(shù)的生成方法仿真程序中的隨機數(shù)序列必須具有以下4.2隨機數(shù)的生成方法

隨機數(shù)發(fā)生器的評價指標(biāo)：（1）隨機性:有較好的獨立性與均勻性,與真實的隨機數(shù)具有相同或相近的數(shù)字特征,如數(shù)學(xué)期望、方差等（2）長周期:無重復(fù)出現(xiàn)的隨機數(shù)序列長度稱周期。（3）可再現(xiàn)性:便于再現(xiàn)仿真狀態(tài)。

（4）高計算效率:仿真過程要求短時間內(nèi)產(chǎn)生大量隨機數(shù)。11/14/2022864.2隨機數(shù)的生成方法隨機數(shù)發(fā)生器的評價指標(biāo)：（1）隨4.2隨機數(shù)的生成方法均勻分布的隨機數(shù)的產(chǎn)生方法（1）平方取中法（3）混合同余法（2）線性同余法（4）乘同余法（5）取小數(shù)法11/14/2022874.2隨機數(shù)的生成方法均勻分布的隨機數(shù)的產(chǎn)生方法（1）平4.2隨機數(shù)的生成方法(1)平方取中法由馮·紐曼(JohnvonNeumann)在40年代中期提出的。方法：首先從某個初始的種子數(shù)開始,求出這個數(shù)的平方,取這個平方數(shù)的中間幾位作為隨機數(shù)序列中的第2個數(shù)；再求出第2個數(shù)的平方，又取這個平方數(shù)的中間幾位作為隨機數(shù)序列中的第3個數(shù)；不斷按這個方式繼續(xù)此算法，即可得到相應(yīng)的偽隨機序列。4.2.2隨機數(shù)發(fā)生器的設(shè)計11/14/2022884.2隨機數(shù)的生成方法(1)平方取中法4.2.2隨4.2隨機數(shù)的生成方法例:利用平方取中法產(chǎn)生4位數(shù)的隨機數(shù)序列，種子數(shù)取為xo=3187。計算過程為：

xo＝3187,(3187)2＝10156969

x1＝1569,(1569)2＝02461761x2＝4617,(4617)2＝21316689

x3＝3166,(3166)2＝10023556x4＝0235將此過程繼續(xù)下去，便可以得到一系列隨機數(shù)。缺點偽隨機數(shù)序列的重復(fù)周期通常較短。對于較長的偽隨機數(shù)序列，可能無法通過隨機性的統(tǒng)計檢驗。當(dāng)0在任何時侯生成之后，其后產(chǎn)生的數(shù)都將為0，稱為“退化”，如果這種現(xiàn)象在一個較復(fù)雜的仿真研究過程中出現(xiàn)，它將會使仿真分析人員誤入歧途。11/14/2022894.2隨機數(shù)的生成方法例:利用平方取中法產(chǎn)生4位數(shù)的隨機數(shù)4.2隨機數(shù)的生成方法（2）線性同余法：式中，m為模數(shù)（modulus）a為乘數(shù)（multiplier）c為增量（increment）其中，Z0為種子數(shù)，由上式產(chǎn)生一系列數(shù)Z1，Z2，…,

Zi；令yi＝Zi/m則得到區(qū)間[0，1]上的隨機數(shù)yi（i＝1，2，…）線性同余法在1951年由榮默爾(Lehmer)首先提出。目前大多數(shù)隨機數(shù)發(fā)生器都采用這種方法。

遞推關(guān)系11/14/2022904.2隨機數(shù)的生成方法（2）線性同余法：式中，m為模數(shù)（4.2隨機數(shù)的生成方法線性同余法舉例（m=24，a=13，c＝17，Z0＝5）yiyi11/14/2022914.2隨機數(shù)的生成方法線性同余法舉例yiyi11/11/24.2隨機數(shù)的生成方法

線性同余法的缺點yi并不是真正意義上的均勻分布隨機數(shù)；當(dāng)模數(shù)m較小時，yi只能取到有限個數(shù)值。為取得近似均勻分布的數(shù)值，m通常取得很大（如m≥109）。由于yi只能取到有限個數(shù)值，隨機數(shù)發(fā)生器會出現(xiàn)周期性。11/14/2022924.2隨機數(shù)的生成方法線性同余法的缺點yi并不是真正4.2隨機數(shù)的生成方法（3）混合同余法（Mixedcongruence）（4）乘同余法（Multiplicativecongruence）（5）取小數(shù)法取小數(shù)法又可分為平方取小數(shù)法和開方取小數(shù)法。平方取小數(shù)法：將前一次隨機數(shù)平方后的數(shù)，取其小數(shù)點后第一個非零數(shù)字后面的尾數(shù)作為下一個所求的隨機數(shù)。11/14/2022934.2隨機數(shù)的生成方法（3）混合同余法（Mixedcon4.2隨機數(shù)的生成方法

開方取小數(shù)法：將前一次隨機數(shù)開方后的數(shù)，取其小數(shù)點后第一個非零數(shù)字后面的尾數(shù)為下一所求隨機數(shù)。11/14/2022944.2隨機數(shù)的生成方法開方取小數(shù)法：將前一次隨機數(shù)開方4.3隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗

隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗方法：①數(shù)字特征檢驗：檢驗該隨機分布的參數(shù)估計值與[0，1]均勻分布的或稱理論值的差異是否顯著。③獨立性檢驗：檢查隨機數(shù)序列u1，u2，…，un前后各項的統(tǒng)計相關(guān)是否顯著。②分布均勻性檢驗：檢查隨機數(shù)序列u1，u2，…，un的實際頻率與理論頻率的差異是否顯著(頻率檢驗)。從理論上來說，隨機數(shù)只是隨機變量的一組取樣值，也就是隨機變量的一個樣本，樣本值是否能夠反映隨機變量？這就需要對產(chǎn)生的隨機數(shù)進行檢驗。作為[0，1]均勻分布隨機數(shù)產(chǎn)生之后，我們需要對在這一區(qū)間上隨機數(shù)樣本值進行檢驗，檢驗其是否有較好的獨立性和均勻性。11/14/2022954.3隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗方法：①數(shù)4.3隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗1數(shù)字特征檢驗數(shù)字特征檢驗是采樣平均值、方差與理論平均值、方差差異的顯著性檢驗。在(0，1)區(qū)間上均勻分布的隨機變量X和X2的平均值及方差分別為：11/14/2022964.3隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗1數(shù)字特征檢驗數(shù)字特征檢4.3隨機數(shù)發(fā)生器的檢驗

如果N個隨機數(shù)x1，x