【教學(xué)課件】環(huán)節(jié)二 圓的一般方程

圓的方程環(huán)節(jié)二圓的一般方程引入新課問(wèn)題1

答案：答案:在前一階段的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了直線的方程，直線方程有哪些形式呢？特殊化直線的斜截式方程直線的截距式方程直線的一般式方程特殊化直線的兩點(diǎn)式方程轉(zhuǎn)化確定直線的幾何要素：兩點(diǎn)確定直線的幾何要素：點(diǎn)、方向直線的傾斜角和斜率直線的點(diǎn)斜式方程轉(zhuǎn)化兩直線的位置關(guān)系追問(wèn)答案:圓的方程是否也有一般式呢？引入新課（AB不同時(shí)為0）√？探究新知問(wèn)題2答案:方程是否表示圓呢？將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi)后得到的二元二次方程可以表示圓，換言之，即可以通過(guò)配方變回標(biāo)準(zhǔn)方程的可以表示圓．可見(jiàn)任何一個(gè)圓的方程都可以用表示．探究新知追問(wèn)1答案:不一定，例如方程不表示圓．反過(guò)來(lái)，方程一定表示圓嗎？探究新知追問(wèn)2答案:如果這類(lèi)方程表示圓，其系數(shù)滿(mǎn)足什么條件？（1）當(dāng)時(shí)，方程表示以為圓心，為半徑的圓；（2）當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解它表示一個(gè)點(diǎn)；探究新知追問(wèn)2答案:如果這類(lèi)方程表示圓，其系數(shù)滿(mǎn)足什么條件？（3）當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，它不表示任何圖形．因此當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)圓，把方程叫做圓的一般方程．探究新知追問(wèn)3答案:對(duì)于一般的二元二次方程能夠表示圓嗎?根據(jù)圓的一般方程的特點(diǎn)，必須有，，．探究新知問(wèn)題3答案:圓的一般方程有何特點(diǎn)?圓的一般方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有何聯(lián)系?圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程方程圓心半徑特征突出其“形”的幾何特征突出其“數(shù)”的方程特征知識(shí)應(yīng)用例1解：設(shè)圓的方程是．①求過(guò)三點(diǎn)的圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑．因?yàn)槿c(diǎn)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都是方程①的解．把它們的坐標(biāo)依次代入方程①，得到關(guān)于的一個(gè)三元一次方程組知識(shí)應(yīng)用例1解：解這個(gè)方程組，得

求過(guò)三點(diǎn)的圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑．所以所求圓的方程是所求圓的圓心坐標(biāo)是，半徑．追問(wèn)1答案:知識(shí)應(yīng)用與上節(jié)課中的例2的方法比較，有什么體會(huì)呢？本題解答過(guò)程中，先求圓的一般方程，再求出圓心坐標(biāo)和半徑，用的仍然是待定系數(shù)法來(lái)解．這里選用圓的一般方程，與例2中選用標(biāo)準(zhǔn)方程的方法相比，運(yùn)算就顯得容易一些．

容易的原因是得到的方程沒(méi)有二次項(xiàng)，是一個(gè)三元一次方程組．

而用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解，得到的是三元二次方程組，需要消去二次項(xiàng)，一般來(lái)說(shuō)，解一次方程比解二次方程要容易．追問(wèn)2答案:知識(shí)應(yīng)用求圓的方程常用待定系數(shù)法，你能歸納其大致的步驟嗎？第一步：根據(jù)題意，選擇圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或圓的一般方程；第二步：根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，c或D，E，F(xiàn)的方程組；第三步：解出a，b，c或D，E，F(xiàn)，得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或

圓的一般方程．知識(shí)應(yīng)用例2解：已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，y），點(diǎn)A的坐標(biāo)是．由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），且M是線段AB的中點(diǎn)，所以．

于是有

①知識(shí)應(yīng)用例2解：已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿(mǎn)足圓的方程，即把①代入②，得

，②整理，得這就是點(diǎn)M的軌跡方程，它表示以為圓心，半徑為1的圓．追問(wèn)答案:求解軌跡方程的一般方法是什么？知識(shí)應(yīng)用直接法：利用幾何關(guān)系，直接列式求出.相關(guān)點(diǎn)法：利用所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，找到關(guān)系式，列式求出．課堂小結(jié)問(wèn)題4圓的一般方程是什么？圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程相比，突出了什么樣的特征？答案:當(dāng)時(shí)，叫