導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用:含參函數(shù)的單調(diào)性思路提示：第一步求函數(shù)的定義域；第二步求導(dǎo)函數(shù)；(常常要通分或分解因式，分離出與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)無關(guān)的項(xiàng)。)第三步觀察導(dǎo)函數(shù)的形式，確立分類討論的依據(jù)；(常以導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否存在進(jìn)行討論，先特殊后一般。)第四步當(dāng)導(dǎo)函數(shù)存在多個零點(diǎn)時，討論導(dǎo)函數(shù)的這些零點(diǎn)的大小關(guān)系以及與題設(shè)已給定的區(qū)間的端點(diǎn)值的大小關(guān)系；(畫出數(shù)軸就一目了然)第五步畫出與導(dǎo)函數(shù)同號的函數(shù)的草圖，從而判斷其導(dǎo)函數(shù)的符號；第六步根據(jù)第五步的草圖列出導(dǎo)函數(shù)、原函數(shù)隨自變量X變化的三行表，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；第七步綜上所述，完整寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。ax2,,、，、一一、一例1：求函數(shù)f(x)=(1-a)lnx-x+——的單調(diào)區(qū)間。2練習(xí)1(2012西城二模文18練習(xí)1(2012西城二模文18)已知函數(shù)/(x)=2ax+a2—1,其中agR.(1當(dāng)a=1時，求曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)y=f(x)單調(diào)區(qū)間。二：含參函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)性，求參數(shù)范圍思路提示：第一步已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零廣(x)>0或小于零f'(x)<0有解；第二步通過恒等變形，分離參數(shù)，或者用二次函數(shù)的性質(zhì)去解題。第三步構(gòu)造新函數(shù)g(x)，若是參數(shù)>g(x)，則求g(x)的最小值，若是參數(shù)<g(x)，則求g(x)的最大值。一》一、…m、…，l」，，，、，、一已知函數(shù)'(x)=一x3+x2-x,m(=R,且函數(shù)f(x)在［2,+s］上存在單調(diào)例2：，3遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。心設(shè)函數(shù)廣(x)=lnx+(x-a)2,aeR,若函數(shù)廣(x)在［1,2］上存在遞增區(qū)間，求練習(xí)2：實(shí)數(shù)a的取值范圍。三：已知含參函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求參數(shù)的范圍思路提示：第一步已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于零或恒小于等于零;第二步通過恒等變形，分離參數(shù)；第三步第二步通過恒等變形，分離參數(shù)，或者用二次函數(shù)的性質(zhì)去解題。第三步構(gòu)造新函數(shù)g(x)，若是參數(shù)＞g(x)，則求g(x)的最大值，若是參數(shù)＜g(x)，則求g(x)的最小值。注意：題型二與題型三的第三步恰好相反！m設(shè)f(x)=°、，其中a為正實(shí)數(shù)。(1)當(dāng)。二4時，^(x)的極值點(diǎn)；例3：“1+ax23(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍。練習(xí)3：函數(shù)f(x)=-^(a＞0)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，求涕勺取值范圍。x2+b四：含參函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求參數(shù)范圍思路提示：第一步已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上存在變號零點(diǎn)；第二步用二次函數(shù)方法或分離參數(shù)法求解。已知函數(shù)f(x)=x3+(1-a)x2—a(a+2)+b(a,bgR),(1)若函數(shù)f(x)的圖像過原點(diǎn)，且在例4：原點(diǎn)處的切線斜率是-3,求a,b的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1，1)上不單調(diào)，求a的取值范圍。4：已知函"(x)=x3+(k-1)x2+(k+5)x-1，其中ker,若函數(shù)*)在區(qū)間(0，3)上不單調(diào)，求k的取值范圍。五：含參數(shù)的函數(shù)極值和最值思路提示：第一步求解定義域；第二步求導(dǎo)，并通分或者分解因式；第三步觀察導(dǎo)函數(shù)的形式，確立對參數(shù)進(jìn)行分類討論的依據(jù)，并令導(dǎo)函數(shù)等于零，求解出相應(yīng)的根；第四步以各個根之間的大小關(guān)系討論，畫出三行表，確定極值；第五步綜上所述，總結(jié)不同情況下不同的極值。第六步若是求區(qū)間的最值，還得討論導(dǎo)函數(shù)各個根與區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系，深入的討論各種情況下的最值，并總結(jié)不同情況下的不同最值。已知函數(shù)廣(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx,當(dāng)a2=4b時，求函數(shù)例U5::f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間(-8，-1］上的最大值。練習(xí)5：設(shè)函數(shù)/(x)=—x(x-a)2(x,agR),當(dāng)a豐0時，求函數(shù)f(x)的極值。六：含參數(shù)的函數(shù)無極值問題思路提示：第一步求定義域；第二步求導(dǎo)，并通分或者分解因式；第三步導(dǎo)函數(shù)大于等于零(小于等于零)在定義域內(nèi)恒成立；第四步利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及根的判別式求解參數(shù)范圍。一a一-一一?一例6：設(shè)定函數(shù)f(x)=-x3+bx2+以+d(a0)，且萬程f(x)-9x=0的兩個根分別為1，4。右f(x)在(-8,+8)無極值點(diǎn)，求a的取值范圍。七：函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題思路提示：研究函數(shù)f(x)的零點(diǎn)問題常常與研究對應(yīng)方程f(x)=0實(shí)根問題相互轉(zhuǎn)化。第一步求定義域；第二步分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)；第三步對新函數(shù)求導(dǎo)，畫出三行表，求出極大值和極小值；第四步來回平移與X軸平行的直線，找到符合題設(shè)的零點(diǎn)個數(shù)(即交點(diǎn)個數(shù))，通常就是極小值與極大值之間的區(qū)間。,設(shè)。為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=-X3+3X+。.若方程f(x)=0有三個實(shí)數(shù)根，求。的取值范圍；例7：..,.十，,,,4—若函數(shù)y=f冬)恰好有兩個零點(diǎn)，求a取值范圍。4十若函綁(x)=ax3-bx+4,當(dāng)x=2時，函數(shù)f(x)有極值-4，(1)求函數(shù)的解析式;練習(xí)6：3(2)若關(guān)于x的方程f(x)=k有三個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。八：不等式恒成立問題思路提示：對于不等式恒成立問題，常利用等價轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題或值域問題加以求解，方法可采用分離參數(shù)法。若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在最小值f(x)min和最大值f(x)max，則不等式f(x)>a在區(qū)間D上恒成立。f(x).>a；不等式f(x)>a在區(qū)間D上恒成立。f(x).>a；不等式f(x)<b在區(qū)間D上恒成立。f(x)<b；不等式f(x)<b在區(qū)間D上恒成立。f(x)<b若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上不存在最值，且值域?yàn)?m,n)則不等式f(x)>a(或f(x)>a)在區(qū)間D上恒成立om>a不等式f(x)<b(或f(x)<b)在區(qū)間D上恒成立on<b例8：已知函數(shù)/*(x)=xlnx.若對于所有x>1都有f(x)>ax-1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。練習(xí)7：已知函數(shù)/(x)=alnx--x2+-(aeR且a^0).是否存在實(shí)數(shù)a,使得對任意xe[1,+^),都有f(x)<0?22若存在，求1的取值范圍；若不存在，請說明理由。九：存在性問題思路提示1：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在最小值f(x)min，最大值f(x)max，貝0不等式a<f(x)在區(qū)間D上有解oa<f(x)max不等式a<f(x)在區(qū)間D上有解oa<f(x)max不等式a>f(x)在區(qū)間D上有解oa>f(x)min不等式a>f(x)在區(qū)間D上有解oa>f(x)min已知函數(shù)/(x)=-+aIn尤(a莉且aeR),若在區(qū)間［1,e］上至少存在一點(diǎn)x，使得例9：xof(x「V0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。思路提示2：對于任意的工G[a,b],總存在xG[m,n],使得f(x)>g(x)。f(x)>g(x);TOC\o"1-5"\h\z12121min2min對于存在]g[a,b],任意的xg[m,n],使得f(x)>g(x)。f(x)>g(x);12121max2max對于任意的xg[a,b],xg[m,n],使得f(x)>g(x)。f(x)