高等代數(shù)一線性代數(shù)

行列式 重點掌 計算方 行列式是數(shù) 二階行列 計算方 三階行列 行列式性 行列式轉(zhuǎn)置后，其值不 如果有兩行（列）的對應(yīng)元素相等，其值為 若有一行（列）元素全為0，其值為 將其一行（列）的每個元素，同乘以k，其值=k乘以原行列 有兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，其值為 某一行（列）的元素為兩數(shù)之和時，行列式關(guān)于該行可分解為兩個行列 不 N階行列 Laplace展 行列式的式 ★代數(shù)式(Algebraic 某行乘以另一行的代數(shù)式，結(jié)果為 特殊行列 對角行列式(Diagonal 上三角行列式(Uppertriangular 下三角行列式(Lowertriangular 常用公 法 例題十二范行列 例題部 例題 例題二解行列式中的未知 例題三證明 例題 例題 例題 例題 例題八加邊 例題 例題 例題十 例題十 例題十 例題十 矩陣 重要概 不是數(shù) 幾種特殊，重要以及輔助的矩 單位矩陣(方陣 行矩 列矩 對角矩陣(方陣 準對角矩 上三角矩 下三角矩 零矩 轉(zhuǎn)置矩陣 方陣的行列 塊矩 矩陣的運 加減 數(shù) 乘 除 初等變 概 互換變換(Elementary 倍法變 消去變 定 矩陣的 定 定 例 矩陣和行列式的應(yīng) 加密，計算機圖形 經(jīng)濟學(xué)的應(yīng) 例題部 補充知 例題 例題 例題 例題 例題 例題 例題 例題八矩陣多項 例題 例題 例題十 例題十二二階方陣的 例題十三用塊矩陣法求 例題十 例題十 例題十 例題十 例題十 例題十 例題二 例題二十一利用初等變換求 例題二十 例題二十 矢量 定 特殊的矢 行矢 列矢 運 加 數(shù) 加法和數(shù)乘基本性 例題部 線性相關(guān) 定 性質(zhì)以及推 矢量組內(nèi)的各個矢量間的線性相關(guān) 矢量組的秩 線性組合(Linear 例題部 例題二方程組變?yōu)槭噶?方程 齊次線性方程 定 非零解的性 例題部 非齊次線性方程 重點掌二階 21623 badbc 三階 4

141行列D 3

D1

1D23

如果有兩行（列）1 3311 02283 997若有一行（列）0， 9 將其一行（列）的每個元素，同乘以k，其值=k

1

2

2 2 2

有兩行（列）某一行（列） 6 83 把行列式的某一行（列）的每個元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）

1R2(1)R1

32C13

N階行列Laplace展開 行列式的式★代數(shù)式(Algebraic 例

的式，代數(shù)式分別

為R2C3 (1)23

4為R2C3的代 某行乘以另一行的代數(shù)式，結(jié)果為0

(35)R

1R(23)R

1

特殊對角行列式(Diagonal30000500008003000050000800007上三角行列式(Uppertriangular3241089600700324108960070006下三角行列式(Lowertriangular常用公

解：D

00023310001020000320 200132x1

00

x2

例題十二范行列式 xx xx xx xx

xn xn xn xn

x2 (xx1)(x2.xn

)...(x

)

xj1x2x1.xx1

x2x2.xx2

.

x2xn.xxn

xjExampleDn

x2x1.xx1xnx1

x2x2.xx2xnx2

.

x2xn.xxnxnxn考慮n+1階的范行列 xx xx

xn x2xnf(x)

(xx1)(xx2)...(xxn)(xixjxx1xx1xnx1

x2xxx2xnx2

xnxxxnxnxn

xn

n顯然行列式D，就是輔助行列式f(x)中元素xn1 式，nDnAn,n1而由fxxn1Mn,n1(x1x2...xn)(xixjDn(x1x2...xn)(xixjExample1x2x1x3Dn x3.xnx1

xx2n xx2nxx2n xx2n xx2n xx2n考慮n+1階的范行列

1 1

2 2nn

n x2xxnn xnxxn

顯然行列式Dn就是輔助行列式g(x)中元素x 式，DnA2,n1Mgx的表達式知，x

(

...

Dn(x2x3...xn...x1x2...xn1)(xixj例題部D

56 1

111111110x11100x1000x

23x例題三證明題

(x aR a CC2C1;C3a0Dn0b

.a0anbn2(1)n2b二階 ba2 b三階 0

ba3b3

0a4baDan (a (b (cd (d

(a(b(c(d

2c1 2d Dn.b

b

b.b

a.b

.

(n1)bab.a

a

((n1)ba)

b((n1)ba)

a

((n1)ba)(a

aai0(i1,2,...nDn1.

ab1c1b2c2...

aaa0aaa 0Dn1

n

.

00.

nn

bici例題八加邊法

a

a

D

a2

a

a

1an 1

an

.an1

n0(bb...b)(1n

ai

...

i1a1a2...an0a0aa.an0.an.

a

a

1

Dn

a2an21.21

a2

...a2

00

an

an

100 10 01 01 再加

1

a1

(1)*C

1

22 22

3..n2 1

12a112a1...20

11

Ci;C2

1Ci

2j1a12

i3

.

.nn1

(2)naa

2j1a

(2)naa...a[(n2)2

ai1 n2

nn

12

1

ij1a94D 00

......

... ... ... Dn9Dn12121Dn

)4n2

5D)Dn

)5n2

4D)21D5n121

5naaab 01a 001a 0.. .00 ...aab00 aDn(ab)Dn1Da

a

1(ab)2aba2b2ab;1

aDn

)bn222)an222

aD)11bD)11D an1D a aDn1

a157811578111120361234

M

為代數(shù)1

1

1 1

1234522211D3124527M41M42M43以及M44M1224150(M41M42M43)2(M44M45) M) M

//某一行乘以另一行的代數(shù)式等于0000000000000000000002

矩陣重要概幾種特殊，重要以及輔助的單位矩陣(方陣)1 E 1 53 8 0 對角矩陣(方陣) A

0 00404 0

0A0

0

0 0 A 4AA1A2A3 003003

76684000000091 0 0000 000 轉(zhuǎn)置矩陣(Transpose)A0

1 7 0 9AT 9 7(AB)TAT(kA)T(AB)TBT1 3A A2

3AB

ABBAA矩陣ExampleExample2塊矩陣

4 7 8 8A11A11A21A22B22(AB)CA(BC)ABAEEA

(BC)ABA(A)B(AB)Example A

1B 122AB320

1124310211 221B 4 324AEEAExampleA22

1

9B83 83

4

7A2ZB66(B

2Z

7

Example3矩陣方程 1 X 設(shè)X

x22 1 2

x22

1 2x11x21

2x12x22x 10 0012 1 A

B 1

A

a13

設(shè)A

a

a23a

A*1212

A

33

13

33其中A11,A21等為代 逆矩陣(Inverse可逆A1AAA1不可逆(Noninvertible)奇異的(AA1 0

1 AA*00

0AA

A A*A1A*A11(AB)1AT1A1Example 求A

0

1A

020分別計算相應(yīng)的代數(shù)式，可 A*

A1

1 2

2A11*77 A11*77Example2解線性方程組x12x2x3

2x2x3

x2

x1

1 矩陣式

1x2

x

3

xA1C已知A 1 2 x

3 xxExample3塊矩陣 0 A 22

0

x12

0Ax

則

22

22 21 2A11x11

x11

A

x121112

4 AxA 121221 221212AxA 2112

22

A21x11 2

0A1

0

2

412121212初等變初等（矩）互換變換(Elementary

7

3 0

0 0 7

3 1212 8 010 010 3131

00500

3131

052000

0 4

1R 12 12

2

任何非奇異方陣都可以用一系列的初等變換化為單位陣對A（列）A（右）E(i)(jEkEk(i)(j非奇異方陣AA1{P...PP} 2(A E)

矩陣的rExample計算A

1

745 r(A)Example1102426202333334

r1104262023333矩陣和行列式的應(yīng)19

設(shè)有字母表及其對應(yīng)數(shù)字為1

...，則單詞Action

320 設(shè)有可逆矩陣A

22 31 9

則加密為： 2344，

52

220

3167 1

9為：

A A

4 1 1

xnnyn z n1x' 1

0xy1y1

y01 y0

010z'

z1

112 12

x' yy yy

yn00n yn00

z'

n 1112n 12n

x'

xyy yyyy

yn y

...1

n

z'

z

n

n轉(zhuǎn)動變化又可分為繞Z軸轉(zhuǎn)動，繞XY12n繞Z12n12n 12n

x'

0 xyynyyny0y0

yn y

z'

1

z

n

nn1繞Xn111

x'

xyy2 yy2yy

y0n y0

sin

n

z'

z

n

n繞Y12 12

x'

sin

xyy yyyy

yn0n yn0

0

n

z'

cos

z

n

n一張圖依次繞X軸轉(zhuǎn)30，繞Y軸轉(zhuǎn)70，繞Z軸轉(zhuǎn)則P'RRRZyP'

0.296Leontief哈佛1973216451442P1P2P3 3 1 P310P2 3P

P 3 煤電運煤0電運0又對社會貢獻，一個星期內(nèi)，煤廠對外提供50000元的煤，電廠對外提供25000元的電，公司則對外提供0元的。求一個星期內(nèi)，各廠總產(chǎn)值應(yīng)該多少恰好滿足上述需求。矩陣的特征值與特征 設(shè)矩陣A1 4 x11

2 21x1

23，x1

1 k k 1 x1

1

是特征2一般AX

其中A annx2 x2(AE)XA

4 3x1 1

1 12 3x1可得

(2)x13x2即x4)x 2 D

41 1 3x2x13x3

即

0，解出1 x1 1153 1

23x13x3 1即x

0，解出21

2 1 A

3,求A3 1x1 0x2x2 3x x 32

3即：

2 11

0

0x

3 1 k10 1 22 2

0x 3即4x1x2x3即4x1x2

1x1 1x

2

k14,x2k1x 0x 3 3 2

1 1

k1 0

k204 A

00210 210 11

30

02

(2)(1)212 k1 1 112

12 2 11AA00

0

0422原式可化為 ， 1

AE30

E2E3A10,E2B1其中

121,3 其中E2B1 2( 44,5例題五幾個重要結(jié)論已知A12...nX1Ammm...mXX A1的特征值為1,1...

，特征矢為XX1

AAA*A

AA AA

，特征矢為X1

設(shè)多項式f(x)CxmCxm1... xC 則矩陣多項式f(A)CAmCAm1... A 的特征值為f(1),f(2)...f(n，特征矢為X1設(shè)AA25A6E0，求A設(shè)AXX(A25A6E)X(A2X5AX6EX)2X5X6X(256)X(256)12,2設(shè)AA2A，證明A1A2A2X2X211,21 1 已知向量Xk，是A 1的A1的特征矢，求 1

解：A

(1)2(4)121,3 11 1 1kkk

21

1

1 2 設(shè)X1是A 3的一個特征矢，求a,1

1

21

3

11 1

212051a30a1b 1b例題部(ab)nan (ab)2a22ab(ab)3a33a2b3ab2(ab)4a44a3b6a2b24ab31 設(shè)A 0 0

01，求0

n整A 0 0

1EBB00

0 0

B200

0 0

B300

0 0An(E00 0 0

000n 1 1 1 A

1

1，求1

1 1 1

11A2

04E220 0 A3A2A22AA4A2A224EA5A2A3242nAn2n1

nn2k 3A22B2

,,2,3均為三維行矩 3

3又已知A

B

求AAB

四階矩陣

A

4

B

,,2,3,

均為四已知A

B

求AAB A為n

A*是A

A*

AAA*AAA*AEAn

A為3A*時A的伴隨矩陣，且A

3A12，

0求0 (3A)1 B0

26A(3A)1A

26[(3A)1261A1A2A*A261E21E26(2)3 A,B,A+B都是n階可逆方陣，求A1B1XA1B11，則應(yīng)該有A1B1X兩邊左乘以A(A1B1)XAE(AA1AB1)X(EAB1)X(EAB1)X(BB1AB1)X(AB)B1XBAB)1XB(AB)1例題八矩陣多項式已知f(x

13x1，A00

11 11

03

1

02

1

0

0

00 則fA0

130

130

10

0000101010000 0101010000

010 010

x 0已知f(x) x1 1

A 22 3030320 130100101

1

000000設(shè)n

A25A4E0。求A3E(A25A4E)(A3E)(A(A3E)(A8E)(A3E)1(A8E設(shè)An階矩陣，且對某正整數(shù)m，有Am0]。證明(EA可逆，并求(EA(EA)(EAA2 (EA)1(EAA2...例題十二二階方陣的逆設(shè)A

b， d A a b aA1 adbc

設(shè)A,A分別m，n階可逆針，求 2

X2

A4 0設(shè) X

，X4

E

En

11X

X X4

A2EA42A

A2X3A

A2X4A A4X3 (

AA1

2 1A(A 0

0，A1 A4 A4

A1如果

0，A1 3A 0AA00

1 1 11 11/1/1/1/000001100001100001A1

3/ 000210021005230580460A33 1 A1

4 00 0 02 n0000.0 0 00 0 21 0 5A 00A10

A1 2

n1

A1 A1 2 M2

0

M1.

1/.

1/(n1)0 1/000 0001/. 0.0.0.A100001/(00001/(n0000000300002 0 0 1

101200120

100設(shè)2EC1BATC1。求A。其中B 00

3，C

0原式可化為2C1CC1BATC1(2CB)AT

1

21 21 1兩邊同時左乘C(2CB)AT 1 0 21 1 2132 1201 1

1

1

12CB1 1

1 A

1 1

1 11/ 03階A，B滿足A1BA6ABA，且A 1/ 0，求0000

1

1/7A1B6E(A1B6B00

1 11

1 已知A 1，B 0。且AXBAXA2BA2B，求002001 002001 1

由題目可知

10 10原式可化為AX(BEA2BEX(BE)A(BE)

0

XAA1B(BE)1AA1A1B

2

0 00 00

02 02

0 0

1 A,B滿足A*BA2BA8E，且A00

0，求1 1 0 A* 000 00 設(shè)A

10，求

1

1 11

52012 1 1252012R(2)

R2R3;R1(1) 2

0 0

1 1

0 0

1 1

1 52520 7200 7200

12 121212 設(shè)A

11，求11 E1111100010100100110

11212121412100 100 2 2 1 已知A

2

B 2求ABBA，A2AB 5BAA2

結(jié)論：1、ABBA2、A

B

但有可能AB3、ABA2AA，但BA，即消去律不滿足。其中A定特殊34運

k(3k,4k,5k,8k,7k

例題一加法與數(shù)乘

線性設(shè)1,2...ssn0k1k2...ks，使得k11k22...kss0，則稱1,2...s為線性相關(guān)，如果只有k1k2...ks0，則為線性無關(guān)。nnnn維1,2...n

(n)(n+1n向量組1,2...s(S2相關(guān)的充要條件是，其中一個向量可由其他向量組合如果

無關(guān)，而

相關(guān)，則可由

組合，且k11k22...kssk1k2...ks 則2i3 i和j i和j矢量組的秩線性組合(Linear02121

0是12的線性組 0,4,2),11,2,3),2 問能否由123線性組 k11k22 即 0k12k2 k1 即42k13k2k3k223kk k 3 問能否由

k1k20 2 0 7k13k21 0 2 073k

kk 242所以不能由

問能否由123線性組 k11k222 1 3 即1k13k22k321 1 1 1 22k1k2

2kk3k即3k2k2k k 變 1kk

k1k2k3 所以，有無窮多個k2可組k k3解 k11k22k3302k1k20k3k12k2k3

k1k20kk2k k 1,2,3線性無已知向量組線性無關(guān)，問,解 k1()k2()k3()(k1k3)(k1k2)(k2k3)k1k3 kk

k1k2kk 3kk例八求秩

(1,1例九求秩將1,2...4(1) 1 A(2) )13 )13

(4

例十求極大無關(guān)組1

1

2

2

2 已知

2，0112 1 3 0 2 4

組，1)個數(shù)2)秩3 2 2

1 0000

1,2,3是極大無關(guān)1,3,51,4,5例十一求極大無關(guān)組已知11

13,21

51,3

p求

pp解：A

pp2例題部3x14x2x3xx2x 2x2x4x 4 1 令11,21,32 4 齊次線性方程a11x11a12x12...a1nx1na21x21a22x22...a2nx2naxax...a 31

3232

3n

ax

2n

2

x3

ax

3n4 y1Xy2A1A2 1 2 已知x221x24x x 13 3 12611k11k22...knn12...nx12x2x3x4x2xxxx

x5x 1 2

x2

53 x 04 2 1

1 A 2 1 150000 2 150000 x12x2x3x4即x12x2

x4xx1

0,

1

1

010 2

0

2

101 2

k01110

10200 1 2

011,0

100 x1x2