chap6債券價值分析課件

現(xiàn)代金融市場學第六章債券價值分析

金融投資不同于一般經(jīng)濟學上的投資含義，金融投資買賣的是金融資產(chǎn)，金融資產(chǎn)之所以被投資者持有或購買是因其自身內(nèi)在價值的存在。但作為金融資產(chǎn)投資者最為困惑的就是如何在看似變化無常的市場行情中把握有利的投資時機并作出正確的投資決策。眾多金融決策均歸結為計算資產(chǎn)內(nèi)在價值多少的問題，即資產(chǎn)估價或評估。根據(jù)資產(chǎn)的內(nèi)在價值和市場價格的偏離程度，可以判斷資產(chǎn)是否被高估或低估，進而幫助投資者做出正確的投資決策。因此，金融資產(chǎn)估價是微觀金融分析的基礎和投資決策的關鍵。本章將系統(tǒng)學習固定收益類證券的典型——債券的價值分析原理、債券的收益率、債券價值的影響因素、債券的久期、凸度及其應用。目錄第一節(jié)收入資本化法第二節(jié)債券的收益率第三節(jié)債券價值的影響因素第四節(jié)久期、凸度與免疫收入資本化的含義及其應用方法：未來現(xiàn)金收入流：取決于債券發(fā)行者承諾到期償還的本金和利息，其價值采取未來值的形式，我們需要利用貼現(xiàn)率將未來的現(xiàn)金流調(diào)整到它們的現(xiàn)值，從而使不同的債券具有了可比較的價值標準。貼現(xiàn)率：一般也稱折現(xiàn)率，是指將未來現(xiàn)金流折算為現(xiàn)值所使用的利率。財務上通常稱為必要收益率(requiredrateofreturn)，必要收益率是投資者根據(jù)相關條件對市場利率變化的預期收益率，不同的投資者或投資機構在對債券價值進行分析中所選定的貼現(xiàn)率不一定相同。

第一節(jié)收入資本化法債券的未來現(xiàn)金收入流主要取決于到期承諾支付的利息，因此，理論上通常按付息方式把債券分為三種：零息債券定息債券永續(xù)債券運用收益資本化法分別對上述債券的內(nèi)在價值進行分析。第一節(jié)收入資本化法第一節(jié)收入資本化法一、零息債券零息債券又稱貼現(xiàn)債券，指一種以低于面值的貼現(xiàn)方式發(fā)行的、在到期日之前不支付任何利息，只是在到期日按債券面值償還的債券。通常，短期國債（國庫券）采取折現(xiàn)方式發(fā)行。零息債券一般低于面值發(fā)行，債券發(fā)行價格和面值的差額就是投資者的利息收入。零息債券內(nèi)在價值的計算公式為：其中，V代表內(nèi)在價值，A代表面值，y是該債券的預期年收益率，T是債券到期年限。第一節(jié)收入資本化法二、定息債券又稱固定利息債券或直接債券(1evel-couponbond)，按照票面金額計算利息，票面上可附有作為定期支付利息憑證的息票，也可不附息票。投資者不僅可以在債券期滿時收回本金(面值)，而且還可定期獲得固定的利息收入。所以，投資者未來的現(xiàn)金流包括了兩本金和利息部分。直接債券的內(nèi)在價值公式如下：C是債券每年支付的利息，其他變量的含義與式(1)相同。第一節(jié)收入資本化法二、定息債券直接債券的內(nèi)在價值公式如下：【例2】市場上有一種面值為1000元的附息債券，票面利率9％，每年計算一次利息，期限為10年。如果必要收益率為10％，則該債券的內(nèi)在價值為：第一節(jié)收入資本化法二、定息債券【例3】美國政府于1996年11月發(fā)行了一種面值為1000美元，年利率為13％的15年期國債。根據(jù)美國慣例，債券利息每半年支付一次。假設現(xiàn)在是2007年11月，目前市場上美國政府債券的預期收益率為10％。問題：從2007年11月后至到期，該債券一共需付息幾次？到期前每次付息多少？最后一次支付的現(xiàn)金流是多少？該債券的當前（2007.11）價值是多少？解答：8次；65美元/次；1065美元。該債券的當前價值為：第一節(jié)收入資本化法三、永續(xù)債券永續(xù)債券是一種沒有到期日的特殊的定期債券。典型代表為統(tǒng)一公債(English

Consols)；優(yōu)先股實際上也是一種統(tǒng)一公債。統(tǒng)一公債的內(nèi)在價值的計算公式如下：【例4】某種統(tǒng)一公債每年的固定利息是50美元，假定該債券的預期收益率為10％，那么，該債券的內(nèi)在價值為：50/0.1=500（美元）第二節(jié)債券收益率引言：第一節(jié)運用收入法計算的債券內(nèi)在價值，是在假設已知債券必要收益率的情況下，計算債券的內(nèi)在價值。表示投資者為獲得一定的收益率(必要收益率)而愿意對債券支付的金額。通過計算該債券的NPV,來決定其投資價值。但對于不同票面金額、不同到期期限和不同票面利率進而具有不同市場價格的債券，我們?nèi)绾伪容^其內(nèi)在價值而做出投資決策呢？除了用絕對金額表示債券價值以外，我們還可以用收益率(yield)來表示債券的價值，這個收益率是指在一定的假設條件下投資者單位投資的回報率，是對債券相對價值的衡量。第二節(jié)債券收益率在這里，我們是假設已知債券的市場價格來計算債券的必要收益率(貼現(xiàn)率)。用收益率來描述債券的內(nèi)在價值非常普遍，更便于比較不同債券的內(nèi)在價值。已知債券市場價格計算債券收益率的公式：其中，P代表市場價格，A代表面值，C是債券每期支付的利息，y是該債券的預期收益率，T是債券到期時間。在進行投資決策時，如果計算出來的收益率大于必要收益率，我們稱該債券價格被低估；反之，則被高估。

第二節(jié)債券收益率息票利率息票利率簡稱息票率，是指債券票面所載明的利率。有時也被稱為名義收益率。例如某債券的票面利率為10％，是指持有人每期都能得到10％的利息收入，它是描述債券票面利率特征的最簡單的一種方法。當債券的市場價格與面值相等時，息票利率等于其內(nèi)在的收益率。此時也不存在其它形式的收益率。根據(jù)債券價格與面值的關系，可把債券分為三類：價格等于面值，平價債券：預期收益率=票面利率價格大于面值，溢價債券：預期收益率與票面利率的關系？價格小于面值，折價債券：預期收益率與票面利率的關系？只有當債券的價格與面值不等時，收益率這一術語才變得模糊不清，才需要對收益率做出更明確的界定。第二節(jié)債券收益率當期收益率(currentyield，CY)

當期收益率是債券利息額與債券當前市場價格的比值。公式：CY=C／P。式中：CY為當期收益率；C為年利息額；P為債券購買時的市場價格。當期收益率反映的是債券當期收入占債券價格的百分比，它只考慮了利息所得。短期投資者通常用CY和其他投資工具的報酬率(如銀行定期存款利率)比較高低，作為投資參考。但它沒有考慮債券可能的資本利得或資本損失，這也將直接影響到投資的最終實際收益。第二節(jié)債券收益率當期收益率(currentyield，CY)

當期收益率公式：CY=C／P。式中：CY為當期收益率；C為年利息；P為債券購買時的市場價格?！纠?-1】假設某1年期債券的息票率為10%，面值1000元，某投資者以發(fā)行價格1100元買入。問：該債券屬于何種債券？該投資者的當期收益率為多少？該債券的真實收益率被夸大了還是縮小了？解答：屬于溢價債券；當期收益率=100/1100=9.09%.因當期收益率沒有考慮投資期間的資本損失1100-1000=100，因此溢價債券的收益率被擴大了，真實收益率為0.

第二節(jié)債券收益率到期收益率(yieldtomaturity，YTM)定義：到期收益率是使債券未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值和正好等于債券當前的市場價格的貼現(xiàn)率，即隱含在債券當前市場價格中的到期收益率。它是假設投資者購買債券后一直持有至到期日為止所獲得的年收益率。計算公式：用k表示到期收益率，債券的當前市場價格為P，每期支付的利息為c，到期償還本金(面值)A，債券的期限為T。那么，K與P之間存在下列關系：第二節(jié)債券收益率到期收益率【例2-2】：假設某2年期債券的息票率為10%，面值1000元，某投資者以發(fā)行價格1100元買入。該債券的CY和YTM各為多少？按當期收益率，該債券收益率被高估還是低估了？為什么？該債券的CY和YTM分別為：因此，按CY衡量的該債券收益率被高估了，因為沒有考慮資本損失。對于溢價債券有如下關系式成立：到期收益率＜當期收益率＜票面利率第二節(jié)債券收益率到期收益率【例2-3】：假設某2年期債券的息票率為4%，面值1000元，某投資者以發(fā)行價格950元買入。該債券的當前收益率和到期收益率各是多少？按當期收益率，該債券收益率被高估還是低估了？為什么？ＣＹ和ＹＴＭ分別為：因此，該債券收益率被低估了，因為沒有考慮資本溢價。對于折價債券，有下列關系式成立：票面利率＜當期收益率＜到期收益率第二節(jié)債券收益率到期收益率隱含條件：投資者要實現(xiàn)到期收益率，需要滿足下述三個條件：(1)投資者持有債券直至到期日；(2)投資者能按時收到未來所有的利息；(3)投資者在收到每期的利息后，要立即將利息以等于到期收益率的利率進行再投資?！纠?-4】如果某人買了到期收益率為10％的20年期債券，其只有在今后的20年中將所有的債券利息都以10％的利率再投資，才可能獲得10％的承諾到期收益率。第二節(jié)債券收益率持期收益率定義：持有期收益率是指債券在一定時期內(nèi)的收益率。用來考察投資者在一段時間持有某債券，但在債券到期前出售的持有期間的平均收益率。計算公式：上式中：h為持有期收益率，m為持有期數(shù)，Am為在m期之后的賣出價，其它與前面相同。如果該債券持有期限為一年，則：本年持有期收益率=(本年利息+資本損益)／期初價格第二節(jié)債券收益率贖回收益率(yieldtocall，YTC)贖回收益率是使債券在贖回日以前的現(xiàn)金流的現(xiàn)值與當前的市場價格相等的貼現(xiàn)率，它的計算與到期收益率相似，只需要用贖回日代替到期日、以贖回價格代替面值即可。公式：上式，P為債券的市場價格；C為利息；Pm為贖回價格；YTC為贖回收益率（年率）；m為直到贖回日之前的付息期數(shù)。

第二節(jié)債券收益率贖回收益率(yieldtocall，YTC)贖回收益率（YTC）與到期收益率（YTM）的比較：在債券規(guī)定了可贖回條款的情況下，投資者更關注的是債券的贖回收益率而非到期收益率。下面舉例說明兩者的差異?！纠?-6】30年期的可贖回債券，面值為1000美元，發(fā)行價為1150美元，息票率8％(以半年計息)，贖回保護期為10年，贖回價格l100美元。則該債券的YTC和YTM分別為：第二節(jié)債券收益率總收益率總收益率是考察不同的再投資利率情況下債券的真實收益水平的收益率。債券總收益的構成：債券的利息收入債券利息是每期利息與總期數(shù)的乘積。假設c表示每期的息票額，n表示期數(shù)，則利息收入可以用nC表示。債券利息的再投資收入(利息的利息)用公式表示為：利息再投資收入=FV-nC。式中：FV=C[(1+r)n-1]/r，為利息收入和利息的再投資收入；C為息票額；n為期數(shù)；r為每期的再投資利率。債券的買賣差價(資本損益）為債券面值與債券買入價格的差額，即：A-P。第二節(jié)債券收益率總收益率【例2-7】某投資者以875.38元的價格購買了一張面值1000元、票面利率8％、期限為10年，每半年付一次息的債券。債券的到期收益率為10％。債券的終值=875.38×(1+5％)20=2322.64(元)債券的總收益=2322.64-875.38=1447.26(元)現(xiàn)在，我們假設利息的再投資利率也是10％，按照上面?zhèn)偸找娴臉嫵蓙碛嬎阍搨目偸找?。利息收?nC=20×40=800(元)利息的利息=40×[(1+5％)20-1]／5％-800=522．64(元)資本損益=A-P=1000-875.38=124.62(元)三項相加，800+124.62+522.64=1447.26(元)。如果再投資收益率低于10%，則總收益率高于還是低于到期收益率？第三節(jié)債券價值的影響因素總收益率債券總收益率可按下述步驟計算：(1)計算利息以及利息的利息利息+利息的利息=FV=C[(1+r)n-1]/r(2)計算債券的期末價值債券的期末價值=利息收入+利息的利息+債券面值(3)計算每期總收益率每期總收益率=(期末價值／期初價值)1/n-1年總收益率=每期總收益率×m，m為每年付息次數(shù)。第三節(jié)債券價值的影響因素債券價值影響因素債券內(nèi)在價值構成因素直接影響債券價值的因素必要收益率票面利率信用評級可贖回條款可轉(zhuǎn)換條款到期時間違約風險可延期性稅收因素流通性第三節(jié)債券價值的影響因素一、收益率變化對債券價值的影響

只有當債券的收益率與票面利率不相等時，對債券收益率的討論才變得是必要的。那么，債券的收益率對債券的價格變動有何影響呢？

收益率對債券價值（理論價格）的影響實際上是市場利率變動對債券價值的影響。我們通過債券定價公式已經(jīng)觀察到，債券價格與其必要收益率成反方向變動關系。如何從理論上解釋債券價格與收益率（利率）成反向變動關系呢？

第三節(jié)債券價值的影響因素一、收益率變化對債券價值的影響

市場利率與債券價格變動的均衡分析圖a1:資金借貸市場圖b1:證券市場利率可貸資金量證券數(shù)量證券價格R1R2E1E2D1D1D2S1S2S1E2E1D1P1P2第三節(jié)債券價值的影響因素一、收益率變化對債券價值的影響

市場利率與債券價格變動的均衡分析均衡分析表明：債券價格與債券收益率（市場利率）成反向變動關系。圖a2:資金借貸市場圖b2:證券市場證券數(shù)量證券價格S2S1E2E1D1R1R2利率可貸資金量R1R2E1E2D1D1D2S1第三節(jié)債券價值的影響因素一、收益率變化對債券價值的影響

例如某5年期的債券，面值為1000元，每年支付利息80元，即息票率為8%。如果當前的市場價格等于面值，意味著它的收益率等于息票率8％。如果它的收益率下降為5.76%，低于息票率市場價格上升到1100元；反之，當市場價格下降到900元時，它的收益率上升到10.98%，高于息票率。具體計算如下：債券定價的原理一：債券價格與收益率反方向變動，當貼現(xiàn)率降低時，債券價格上升；當貼現(xiàn)率上升時，債券價格下跌。第三節(jié)債券價值的影響因素一、收益率變化對債券價值的影響

債券定價原理一的推論：當必要收益率=票面利率時，債券價格=面值；當必要收益率>票面利率時，債券價格<面值；當必要收益率<票面利率時，債券價格>面值。第三節(jié)債券價值的影響因素一、收益率變化對債券價值的影響

收益率變化對債券價值上升或下降的影響程度是相同的么？例如：某5年期的債券，面值為1000美元，息票率為7%。假定發(fā)行價格等于面值，那么它的收益率等于息票率7%。當收益率上升到8%時，該債券的價格將下降到960.07美元，價格波動幅度為39.93美元；反之，當收益率下降到6%，該債券的價格將上升到1042.12美元,價格波動幅度為42.12美元。具體計算如下：第三節(jié)債券價值的影響因素一、收益率變化對債券價值的影響

收益率變化對債券價值上升或下降的影響程度是相同的么？債券定價原理二：對于期限既定的債券，由收益率下降導致的債券價格上升的幅度大于同等幅度的收益率上升導致的債券價格下降的幅度。第三節(jié)債券價值的影響因素二、到期時間對債券價格波動的影響例如，對于4種期限分別為1年、10年、20年和30年的債券，它們的面值均為100元，票面利率均為6%，如果到期收益率也都為6%，則這四種債券的價格各為多少元？答案：均為100元。如果債券的面值和票面利率都相同且票面利率都等于到期收益率時，則到期時間對債券市場價格沒有影響。如果預期收益率（市場利率）發(fā)生變化且不等于票面利率時，則到期時間對債券的市場價格變動將產(chǎn)生怎樣的影響呢？第三節(jié)債券價值的影響因素二、到期時間對債券價格波動的影響上例中，4種期限分別為1年、10年、20年和30年的債券，它們的面值均為100元，票面利率均為6%，如果相應的市場利率上升或下降，這4種債券的內(nèi)在價值的變化如表所示：第三節(jié)債券價值的影響因素二、到期時間對債券價格波動的影響為進一步分析債券期限對債券價格的影響，我們引入經(jīng)濟學中彈性的概念來分析到期期限影響債券價格的敏感度。以上例10年期和30年期兩種債券為例，如果預期收益率都從6%上升到8%，兩種債券的價格分別下降到86元和77元，10年期債券的彈性系數(shù)為-0.42，30年期債券的彈性系數(shù)為-0.69。債券定價原理三：債券價格波動幅度與債券到期時間之間成正向變動關系。當預期收益率不等于票面利率時，到期時間越長，債券價格變動幅度越大，反之則相反。二、到期時間對債券價格波動的影響債券定價原理四：對面值相同的債券，債券價格波動幅度相對于債券到期時間的臨近以遞增的速度減少，而相對于到期時間的延長以遞減的速度增加。（P120）第三節(jié)債券價值的影響因素二、到期時間對債券價格波動的影響無論是溢價發(fā)行的債券（零息債券除外）還是折價發(fā)行的債券，若債券的內(nèi)在到期收益率不變，則隨著債券到期日的臨近，債券的市場價格將逐漸趨向于債券的面值。下圖直觀地反映了債券的價格變動軌跡。第三節(jié)債券價值的影響因素二、到期時間對債券價格波動的影響零息票債券的價格變動有其特殊性。在到期日，債券價格等于面值，到期日之前，由于資金的時間價值，債券價格低于面值，并且隨著到期日的臨近而趨近于面值。如果利率恒定，則價格以等于利率值的速度上升。例如，30年期的零息票債券，面值1000美元，市場利率等于10%，當前價格為1000/（1+10%）30=57.31（美元）。一年后，價格為1000/（1+10%）29=63.04（美元），比上一年增長了10%。下圖反映了零息債券價格的變動軌跡。

第三節(jié)債券價值的影響因素第三節(jié)債券價值的影響因素三、息票利率對債券價格的影響原理三說明，在其他屬性不變的條件下，較低的票面利率會引起未來債券價格的提高，反之，較高的票面利率會導致未來債券價格的下降。但息票率的高低對債券價格波動幅度有何影響呢？例如有A、B、c、D四種債券，每半年付一次利息，相關資料如下表：第三節(jié)債券價值的影響因素三、息票利率對債券價格的影響債券定價原理五：對于給定的收益率變動幅度，債券的息票率與債券價格的波動幅度之間成反比關系。換言之，息票率越高，債券價格的波動幅度越小，反之，息票率越低，債券價格波動幅度越大。第三節(jié)債券價值的影響因素專欄：馬凱爾債券定價原理

馬凱爾(BurtonGMalkiel)根據(jù)債券價格與債券的票面利率、收益率和到期時間的關系總結出了債券定價原理，被稱為債券定價五大定理。1.債券價格與債券收益率成反比關系，即債券價格上升，債券預期收益率下降。2.債券到期時間與債券價格的波動幅度成正比關系，即債券到期時間越長，債券的價格波動幅度越大。3.債券價格對收益率敏感性的增加程度隨到期時間延長而遞減，即雖然到期時間延長，債券價格對利率變動的敏感性越高，波動幅度也越大，但隨著到期時間的延長，這種波動幅度增加的程度會遞減。4.收益率下降使債券價格上升的幅度，高于收益率上升導致債券價格下跌的幅度，即收益率同樣變動1％，收益率下降1％帶來債券價格上漲的幅度會高于收益率上升1％所造成的債券下跌的幅度。5.給定收益率變化幅度，債券的息票利率與債券價格波動幅度成反比關系，即債券票面利率越低，債券價格的波動幅度越大。第三節(jié)債券價值的影響因素四、違約風險對債券價值的影響債券的違約風險是指債券發(fā)行人未履行契約的規(guī)定支付債券的本金和利息，給債券投資者帶來損失的可能性。債券違約風險與債券的收益率之間存在著什么關系呢？債券評級是反映債券違約風險的綜合指標債券信用評級是由獨立的私人機構對債券的信用風險進行的評級，這種評級僅僅是對各種債券當前的信用狀況做出評價，向投資者提供債券發(fā)行人的一些信息，并不提供任何債券買賣信息。信用評級對債券價值的影響是很大的，信用級別較高即違約風險越小的債券可以用自己的信譽降低債券的收益率水平，從而節(jié)約融資成本；而那些信用級別較低也即違約風險較高的債券只能以較高的收益率水平發(fā)行債券。第三節(jié)債券價值的影響因素五、可贖回條款對債券價值的影響債券在發(fā)行時賦予發(fā)行人在一定時間內(nèi)有權單方面贖回的債券被稱為可贖回債券。發(fā)行人行使贖回權時，以事先約定的贖回價格將債券從投資者手中收回。影響發(fā)行人行使贖回權的主要因素：在市場利率下降并低于債券息票率時債券被贖回的概率增大；溢價債券由于發(fā)行價較高，極易被收回。

可贖回條款對債券定價的影響表現(xiàn)為：贖回價格高于面值贖回價格的存在制約了債券市場價格的上升空間為彌補投資者的被贖回風險，可贖回債券發(fā)行時通常有較高的息票率和較高的承諾到期收益率。第三節(jié)債券價值的影響因素六、稅收待遇對債券價值的影響由于利息收入納稅與否直接影響著投資的實際收益率，所以，稅收待遇成為影響債券的市場價格和收益率的一個重要因素。例如，美國法律規(guī)定，地方政府債券的利息收入可以免繳聯(lián)邦收入所得稅，使得地方政府債券的名義到期收益率往往比類似的但沒有免稅待遇的債券要低20至40%。所以，享受免稅待遇的債券的內(nèi)在價值一般略高于沒有免稅待遇的債券。

第三節(jié)債券價值的影響因素七、債券流動性對債券價值的影響債券流動性，是指債券投資者將手中的債券變現(xiàn)的能力。通常用債券的買賣差價的大小反映債券的流動性大小。買賣差價較小的債券流動性比較高；反之，流動性較低。在其他條件不變的情況下，債券的流動性與債券的名義的到期收益率之間呈反比例關系，即：流動性高的債券的到期收益率比較低，反之亦然。即債券的流動性與債券的內(nèi)在價值呈正比例關系。

第三節(jié)債券價值的影響因素八、可轉(zhuǎn)換性和可延期性對債券價值的影響可轉(zhuǎn)換債券的持有者可用債券來交換一定數(shù)量的普通股股票。每單位債券可換得的股票股數(shù)稱為轉(zhuǎn)換率，可換得的股票當前價值稱為市場轉(zhuǎn)換價值，債券價格與市場轉(zhuǎn)換價值的差額稱為轉(zhuǎn)換損益。一般情況下，可轉(zhuǎn)換債券息票率和承諾的到期收益率通常較低。

可延期債券是一種較新的債券形式。與可贖回債券相比，它給予持有者而不是發(fā)行者一種終止或繼續(xù)擁有債券的權利。如果市場利率低于息票率，投資者將繼續(xù)擁有債券；反之，如果市場利率上升，超過了息票率，投資者將放棄這種債券，收回資金，投資于其他收益率更高的資產(chǎn)。這一規(guī)定有利于投資者，所以可延期債券的息票率和承諾的到期收益率較低。第三節(jié)債券價值的影響因素小結：債券影響因素與債券價格/價值變動的關系第四節(jié)久期、凸度與免疫一、久期（Duration）概念：又稱馬考勒久期，簡記為D。所謂馬考勒久期，是指未來一系列現(xiàn)金流的時間以現(xiàn)金流的現(xiàn)值為權數(shù)所計算的加權平均到期時間。

久期與到期期限比較：久期描述了獲得每筆現(xiàn)金流(息票和本金支付)的時間的加權平均值，是考慮了每期現(xiàn)金流的貨幣時間價值的有效到期期限，因此，久期是根據(jù)貨幣的時間價值計算的收回最初的投資成本所需的加權平均時間；債券到期期限是根據(jù)日歷時間計算的名義期限，沒有考慮現(xiàn)金流的貨幣時間價值。第四節(jié)久期、凸度與免疫一、久期（Duration）計算公式：D是馬考勒久期；P0是債券當前的市場價格；ct為第t期支付的現(xiàn)金流(利息或本金)，PV(ct)是債券未來第t期現(xiàn)金流(利息或本金)的現(xiàn)值；y是債券的到期收益率（年）；T是債券的到期時間（年）。久期的計算是以年為單位的；在債券發(fā)行時以及發(fā)行后，都可以計算馬考勒久期。

第四節(jié)久期、凸度與免疫一、久期（Duration）久期的影響因素（1）到期期限；（2）到期收益率；（3）息票支付（息票率或息票額）第四節(jié)久期、凸度與免疫久期計算舉例【例6-4-1】某債券當前的市場價格為950．25美元，到期收益率為10％，息票率為8％，面值1000美元，3年后到期，每年付一次利息，到期一次性償還本金。利用公式計算D：第四節(jié)久期、凸度與免疫久期計算舉例【例6-4-2】計算期限5年，息票利率為10％，以1000美元面值出售的債券的久期。假設YTM為10％(半年ytm為5％)。

第四節(jié)久期、凸度與免疫久期計算舉例【例6-4-2】計算期限5年，息票利率為10％，以1000美元面值出售的債券的久期。假設YTM為10％(半年ytm為5％)。

第四節(jié)久期、凸度與免疫債券組合的馬考勒久期計算其中，Dp表示債券組合的馬考勒久期，wi表示債券i的市場價值占該債券組合市場價值的比重，Di表示債券i的馬考勒久期，k表示債券組合中債券的個數(shù)。第四節(jié)久期、凸度與免疫一、久期（Duration）馬考勒久期定理定理一：貼現(xiàn)債券的馬考勒久期等于到期時間。

其中，cT為第T期支付的現(xiàn)金流，PV(cT)是cT按y折算的現(xiàn)值。