第2章 現(xiàn)代通信原理與技術(shù)第二版課件

2.1隨機(jī)過程的基本概念和統(tǒng)計(jì)特性2.2平穩(wěn)隨機(jī)過程2.3高斯隨機(jī)過程2.4隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2.5窄帶隨機(jī)過程2.6正弦波加窄帶高斯噪聲

第2章隨機(jī)過程2.1隨機(jī)過程的基本概念和統(tǒng)計(jì)特性第2章隨機(jī)過程

2.1隨機(jī)過程的基本概念和統(tǒng)計(jì)特性2.1.1隨機(jī)過程自然界中事物的變化過程可以大致分成為兩類。一類是其變化過程具有確定的形式，或者說具有必然的變化規(guī)律，用數(shù)學(xué)語言來說，其變化過程可以用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間t的確定函數(shù)來描述，這類過程稱為確定性過程。例如，電容器通過電阻放電時(shí)，電容兩端的電位差隨時(shí)間的變化就是一個(gè)確定性函數(shù)。而另一類過程沒有確定的變化形式，也就是說，每次對它的測量結(jié)果沒有一個(gè)確定的變化規(guī)律，用數(shù)學(xué)語言來說，這類事物變化的過程不可能用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間t的確定函數(shù)來描述，這類過程稱為隨機(jī)過程。下面我們給出一個(gè)例子：2.1隨機(jī)過程的基本概念和統(tǒng)計(jì)特設(shè)有n臺性能完全相同的接收機(jī)。我們在相同的工作環(huán)境和測試條件下記錄各臺接收機(jī)的輸出噪聲波形（這也可以理解為對一臺接收機(jī)在一段時(shí)間內(nèi)持續(xù)地進(jìn)行n次觀測）。測試結(jié)果將表明，盡管設(shè)備和測試條件相同，記錄的n條曲線中找不到兩個(gè)完全相同的波形。這就是說，接收機(jī)輸出的噪聲電壓隨時(shí)間的變化是不可預(yù)知的，因而它是一個(gè)隨機(jī)過程。由此我們給隨機(jī)過程下一個(gè)更為嚴(yán)格的定義：設(shè)Sk(k=1,2,…)是隨機(jī)試驗(yàn)。每一次試驗(yàn)都有一條時(shí)間波形（稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)），記作xi(t)，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體{x1(t),x2(t)，…,xn(t)，…}就構(gòu)成一隨機(jī)過程，記作ξ(t)。簡言之，無窮多個(gè)樣本函數(shù)的總體叫做隨機(jī)過程，如圖2-1所示。設(shè)有n臺性能完全相同的接收機(jī)。我們在相同的工圖2-1樣本函數(shù)的總體

圖2-1樣本函數(shù)的總體顯然，上例中接收機(jī)的輸出噪聲波形也可用圖2-1表示。我們把對接收機(jī)輸出噪聲波形的觀測可看作是進(jìn)行一次隨機(jī)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)之后，ξ(t)取圖2-1所示的樣本空間中的某一樣本函數(shù)，至于是空間中哪一個(gè)樣本，在進(jìn)行觀測前是無法預(yù)知的，這正是隨機(jī)過程隨機(jī)性的具體表現(xiàn)。其基本特征體現(xiàn)在兩個(gè)方面：其一，它是一個(gè)時(shí)間函數(shù)；其二，在固定的某一觀察時(shí)刻t1，全體樣本在t1時(shí)刻的取值ξ(t1)是一個(gè)不含t變化的隨機(jī)變量。因此，我們又可以把隨機(jī)過程看成依賴時(shí)間參數(shù)的一族隨機(jī)變量?？梢?，隨機(jī)過程具有隨機(jī)變量和時(shí)間函數(shù)的特點(diǎn)。下面將會看到，在研究隨機(jī)過程時(shí)正是利用了這兩個(gè)特點(diǎn)。顯然，上例中接收機(jī)的輸出噪聲波形也可用圖22.1.2隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)過程的兩重性使我們可以用與描述隨機(jī)變量相似的方法，來描述它的統(tǒng)計(jì)特性。設(shè)ξ(t)表示一個(gè)隨機(jī)過程，在任意給定的時(shí)刻t1∈T，其取值ξ(t1)是一個(gè)一維隨機(jī)變量。而隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。我們把隨機(jī)變量ξ(t1)小于或等于某一數(shù)值x1的概率P［ξ(t1)≤x1］，簡記為F1(x1,t1)，即

F1(x1,t1)=P［ξ(t1)≤x1］(2.1-1)式(2.1-1)稱為隨機(jī)過程ξ(t)的一維分布函數(shù)。2.1.2隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性則稱f1(x1,t1)為ξ(t)的一維概率密度函數(shù)。顯然，隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)僅僅描述了隨機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性，而沒有說明隨機(jī)過程在不同時(shí)刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系，為此需要進(jìn)一步引入二維分布函數(shù)。任給兩個(gè)時(shí)刻t1,t2∈T，則隨機(jī)變量ξ(t1)和ξ(t2)構(gòu)成一個(gè)二元隨機(jī)變量{ξ(t1),ξ(t2)}，稱

F2(x1,x2;t1,t2)=P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2｝(2.1-3)為隨機(jī)過程ξ(t)的二維分布函數(shù)。如果存在如果F1(x1,t1)對x1的偏導(dǎo)數(shù)存在，即有(2.1-2)則稱f1(x1,t1)為ξ(t)的一維概率密度函數(shù)。顯然，則稱f2(x1,x2;t1,t2)為ξ(t)的二維概率密度函數(shù)。同理，任給t1,t2,…,tn∈T,則ξ(t)的n維分布函數(shù)被定義為Fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2,…,ξ(tn)≤xn｝(2.1-4)(2.1-5)如果存在則稱f2(x1,x2;t1,t2)為ξ(t)的二維概率密度則稱fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)為ξ(t)的n維概率密度函數(shù)。顯然，n越大，對隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的描述就越充分，但問題的復(fù)雜性也隨之增加。在一般實(shí)際問題中，掌握二維分布函數(shù)就已經(jīng)足夠了。則稱fn(x1,x2,…,xn;t1,t22.1.3隨機(jī)過程的數(shù)字特征

1.數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)過程ξ(t)在任意給定時(shí)刻t1的取值ξ(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為f1(x1,t1)，則ξ(t1)的數(shù)學(xué)期望為注意，這里t1是任取的，所以可以把t1直接寫為t,x1改為x,這時(shí)上式就變?yōu)殡S機(jī)過程在任意時(shí)刻的數(shù)學(xué)期望，記作a(t)，于是a(t)是時(shí)間t的函數(shù)，它表示隨機(jī)過程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動中心。(2.1-6)2.1.3隨機(jī)過程的數(shù)字特征注意，這里t1是任取的，

2.方差E(2.1-7)

D［ξ(t)］常記為σ2(t)?？梢姺讲畹扔诰街蹬c數(shù)學(xué)期望平方之差。它表示隨機(jī)過程在時(shí)刻t對于均值a(t)的偏離程度。均值和方差都只與隨機(jī)過程的一維概率密度函數(shù)有關(guān)，因而它們描述了隨機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)刻的特征。為了描述隨機(jī)過程在兩個(gè)不同時(shí)刻狀態(tài)之間的聯(lián)系，還需利用二維概率密度引入新的數(shù)字特征。2.方差E(2.1-7)D［ξ(t)］常

3.相關(guān)函數(shù)衡量隨機(jī)過程在任意兩個(gè)時(shí)刻獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度時(shí)，常用協(xié)方差函數(shù)B(t1,t2)和相關(guān)函數(shù)R(t1,t2)來表示。協(xié)方差函數(shù)定義為(2.1-8)式中，t1與t2是任取的兩個(gè)時(shí)刻；a(t1)與a(t2)為在t1及t2時(shí)刻得到的數(shù)學(xué)期望；f2(x1,x2;t1,t2)為二維概率密度函數(shù)。3.相關(guān)函數(shù)(2.1-8)式中，t1與相關(guān)函數(shù)定義為(2.1-9)二者關(guān)系為B(t1,t2)=R(t1,t2)-a(t1)a(t2)(2.1-10)若a(t1)=0或a(t2)=0，則B(t1,t2)=R(t1,t2)。若t2＞t1，并令t2=t1+τ，則R(t1,t2)可表示為R(t1,t1+τ)。這說明，相關(guān)函數(shù)依賴于起始時(shí)刻t1及t2與t1之間的時(shí)間間隔τ,即相關(guān)函數(shù)是t1和τ的函數(shù)。相關(guān)函數(shù)定義為(2.1-9)二者關(guān)系為B(t1,t2)由于B(t1,t2)和R(t1,t2)是衡量同一過程的相關(guān)程度的，因此，它們又常分別稱為自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。對于兩個(gè)或更多個(gè)隨機(jī)過程，可引入互協(xié)方差及互相關(guān)函數(shù)。設(shè)ξ(t)和η(t)分別表示兩個(gè)隨機(jī)過程，則互協(xié)方差函數(shù)定義為Bξη(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-aξ(t1)］［η(t2)-aη(t2)］｝(2.1-11)而互相關(guān)函數(shù)定義為 Rξη(t1,t2)=E［ξ(t1)η(t2)］(2.1-12)由于B(t1,t2)和R(t1,t2)是2.2.1定義所謂平穩(wěn)隨機(jī)過程，是指它的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化。設(shè)隨機(jī)過程{ξ(t)，t∈T},若對于任意n和任意選定t1＜t2＜…＜tn,tk∈T，k=1,2,…,n，以及h為任意值，且x1,x2,…,xn∈R，有fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=fn(x1,x2,…,xn;t1+h,t2+h,…,tn+h) (2.2-1)則稱ξ(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程。該定義說明，當(dāng)取樣點(diǎn)在時(shí)間軸上作任意平移時(shí)，隨機(jī)過程的所有有限維分布函數(shù)是不變的，具體到它的一維分布,則與時(shí)間t無關(guān)，而二維分布只與時(shí)間間隔τ有關(guān)，即有2.2平穩(wěn)隨機(jī)過程2.2.1定義2.2平穩(wěn)隨機(jī)過程

f1(x1,t1)=f1(x1)(2.2-2)和 f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;τ)(2.2-3)以上兩式可由式（2.2-1）分別令n=1和n=2,并取h=-t1得證。于是，平穩(wěn)隨機(jī)過程ξ(t)的均值為一常數(shù)，這表示平穩(wěn)隨機(jī)過程的各樣本函數(shù)圍繞著一水平線起伏。同樣，可以證明平穩(wěn)隨機(jī)過程的方差σ2(t)=σ2=常數(shù)，表示它的起伏偏離數(shù)學(xué)期望的程度也是常數(shù)。(2.2-4)

僅是時(shí)間間隔τ=t2-t1的函數(shù)，而不再是t1和t2的二維函數(shù)。以上表明，平穩(wěn)隨機(jī)過程ξ(t)具有“平穩(wěn)”的數(shù)字特征：它的均值與時(shí)間無關(guān)；它的自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔τ有關(guān)，即 R(t1,t1+τ)=R(τ)注意到式（2.2-1）定義的平穩(wěn)隨機(jī)過程對于一切n都成立，這在實(shí)際應(yīng)用上很復(fù)雜。但僅僅由一個(gè)隨機(jī)過程的均值是常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)是τ的函數(shù)還不能充分說明它符合平穩(wěn)條件，為此引入另一種平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義：而平穩(wěn)隨機(jī)過程ξ(t)的自相關(guān)函數(shù)(2.2-5)僅是時(shí)間間隔τ=t2-t1的函數(shù)，而不再是t1和t2的二維函設(shè)有一個(gè)二階矩隨機(jī)過程ξ(t)，它的均值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)僅是τ的函數(shù)，則稱它為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。相應(yīng)地，稱按式（2.2-1）定義的過程為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程或狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程。因?yàn)閺V義平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義只涉及與一維、二維概率密度有關(guān)的數(shù)字特征，所以一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程只要它的均方值E［ξ2(t)］有界，則它必定是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，但反過來一般不成立。通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。以后討論的隨機(jī)過程除特殊說明外，均假定是平穩(wěn)的，且均指廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，簡稱平穩(wěn)過程。設(shè)有一個(gè)二階矩隨機(jī)過程ξ(t)，它的均值為常2.2.2各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機(jī)過程在滿足一定條件下有一個(gè)有趣而又非常有用的特性，稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”。這種平穩(wěn)隨機(jī)過程，它的數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)的數(shù)字特征（均為時(shí)間平均）來替代。也就是說，假設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程ξ(t)的任意一個(gè)實(shí)現(xiàn)，它的時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別為(2.2-6)2.2.2各態(tài)歷經(jīng)性(2.2-6)如果平穩(wěn)隨機(jī)過程依概率1使下式成立：則稱該平穩(wěn)隨機(jī)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。“各態(tài)歷經(jīng)”的含義：隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此，我們無需（實(shí)際中也不可能）獲得大量用來計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均的樣本函數(shù)，而只需從任意一個(gè)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)字特征，從而使“統(tǒng)計(jì)平均”化為“時(shí)間平均”，使實(shí)際測量和計(jì)算的問題大為簡化。(2.2-7)如果平穩(wěn)隨機(jī)過程依概率1使下式成立：則稱該平穩(wěn)隨機(jī)過程具

注意：具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過程，但平穩(wěn)隨機(jī)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。注意：具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程必定是平穩(wěn)隨

2.2.3平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)對于平穩(wěn)隨機(jī)過程而言，它的自相關(guān)函數(shù)是特別重要的一個(gè)函數(shù)。其一，平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，如數(shù)字特征等，可通過自相關(guān)函數(shù)來描述；其二，自相關(guān)函數(shù)與平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜特性有著內(nèi)在的聯(lián)系。因此，我們有必要了解平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)。設(shè)ξ(t)為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，則它的自相關(guān)函數(shù) R(τ)=E［(ξ(t)ξ(t+τ)］(2.2-8)2.2.3平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)具有下列主要性質(zhì)：（1）R(0)=E［ξ2(t)］=S［ξ(t)的平均功率］(2.2-9）（2）R(∞)=E2［ξ(t)］［ξ(t)的直流功率］(2.2-10）這里利用了當(dāng)τ→∞時(shí)，ξ(t)與ξ(t+τ)沒有依賴關(guān)系，即統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，且認(rèn)為ξ(t)中不含周期分量。這是因?yàn)榫哂邢铝兄饕再|(zhì)：這里利用了當(dāng)τ→∞時(shí)，ξ(t)與ξ(（3） R(τ)=R(-τ)［τ的偶函數(shù)］(2.2-11)這一點(diǎn)可由定義式（2.2-8）得證。（4）|R(τ)|≤R(0)［R(τ)的上界］(2.2-12)考慮一個(gè)非負(fù)式即可得證。（5）R(0)-R(∞)=σ2［方差，ξ(t)的交流功率］ (2.2-13)當(dāng)均值為0時(shí)，有R(0)=σ2。（3） R(τ)=R(-τ)［τ的偶函數(shù)］(2

2.2.4平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度隨機(jī)過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。我們知道，隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)是一個(gè)確定的功率型信號。而對于任意的確定功率信號f(t)，它的功率譜密度為式中，F(xiàn)T(ω)是f(t)的截短函數(shù)fT(t)（見圖2-2）所對應(yīng)的頻譜函數(shù)。我們可以把f(t)看成是平穩(wěn)隨機(jī)過程ξ(t)中的任一實(shí)現(xiàn)，因而每一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度也可用式（2.2-14）來表示。由于ξ(t)是無窮多個(gè)實(shí)現(xiàn)的集合，哪一個(gè)實(shí)現(xiàn)出現(xiàn)是不能預(yù)知的，因此，某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看做是任一實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，即(2.2-14)2.2.4平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度(2.2圖2-2功率信號f(t)及其截短函數(shù)圖2-2功率信號f(t)及其截短函數(shù)ξ(t)的平均功率S則可表示成雖然式（2.2-15）給出了平穩(wěn)隨機(jī)過程ξ(t)的功率譜密度Pξ(ω)，但我們很難直接用它來計(jì)算功率譜。那么，如何方便地求功率譜Pξ(ω)呢？我們知道，確知的非周期功率信號的自相關(guān)函數(shù)與其譜密度是一對傅氏變換關(guān)系。對于平穩(wěn)隨機(jī)過程，也有類似的關(guān)系，即(2.2-15)(2.2-16)ξ(t)的平均功率S則可表示成雖然式（2.2于是因?yàn)镽(0)表示隨機(jī)過程的平均功率，它應(yīng)等于功率譜密度曲線下的面積。因此，Pξ(ω)必然是平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)。所以，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度Pξ(ω)與其自相關(guān)函數(shù)R(τ)是一對傅里葉變換關(guān)系,即其傅里葉反變換為(2.2-17)(2.2-18)于是因?yàn)镽(0)表示隨機(jī)過程的平均功率，它應(yīng)于是因?yàn)镽(0)表示隨機(jī)過程的平均功率，它應(yīng)等于功率譜密度曲線下的面積。因此，Pξ(ω)必然是平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)。所以，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度Pξ(ω)與其自相關(guān)函數(shù)R(τ)是一對傅里葉變換關(guān)系,即于是因?yàn)镽(0)表示隨機(jī)過程的平均功率，它應(yīng)或簡記為R(τ)Pξ(ω)關(guān)系式（2.2-18）稱為維納-辛欽關(guān)系，在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具。它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。或簡記為R(τ)（1）Pξ(ω)≥0，非負(fù)性；（2.2-20）（2）Pξ(-ω)=Pξ(ω)，偶函數(shù)。（2.2-21）因此，可定義單邊譜密度Pξ(ω)為根據(jù)上述關(guān)系式及自相關(guān)函數(shù)R(τ)的性質(zhì)，不難推演功率譜密度Pξ(ω)有如下性質(zhì)：(2.2-22)（1）Pξ(ω)≥0，非負(fù)性；

解(1)先考察ξ(t)是否廣義平穩(wěn)。

ξ(t)的數(shù)學(xué)期望為例2-1某隨機(jī)相位余弦波ξ(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc均為常數(shù)，θ是在(0,2π)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。（1）求ξ(t)的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度；（2）討論ξ(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。解(1)先考察ξ(t)是否廣義平穩(wěn)ξ(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔τ有關(guān)，所以ξ(t)為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。ξ(t)的自相關(guān)函數(shù)為ξ(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔τ有關(guān)，cosωcτπ［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］所以，功率譜密度為Pξ(ω)=［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］平均功率為S=R(0)=根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換，即R(τ)Pξ(ω)，則因?yàn)閏osωcτ比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，得a=,R(τ)=，因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。(2)現(xiàn)在來求ξ(t)的時(shí)間平均。根據(jù)式（2.2-6）可得比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，得a=,

2.3.1定義若隨機(jī)過程ξ(t)的任意n維（n=1,2,…）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過程或正態(tài)過程。其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示如下：2.3高斯隨機(jī)過程2.3.1定義2.3高斯隨機(jī)過程|B|jk為行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子，bjk為歸一化協(xié)方差函數(shù)，且式中,ak=E［ξ(tk)］，σ2k=E［ξ(tk)-ak］2，|B|為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即|B|jk為行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余

2.3.2重要性質(zhì)（1）由式(2.3-1)可以看出,高斯過程的n維分布完全由n個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。因此，對于高斯過程，只要研究它的數(shù)字特征就可以了。（2）如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它的均值與時(shí)間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，由性質(zhì)（1）知，它的n維分布與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。所以，廣義平穩(wěn)的高斯過程也是狹義平穩(wěn)的。（3）如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，即對所有j≠k有bjk=0，這時(shí)式（2.3-1）變?yōu)?.3.2重要性質(zhì)（2.3-2）（2.3-2）（4）高斯過程經(jīng)過線性變換（或線性系統(tǒng)）后的過程仍是高斯過程。這個(gè)特點(diǎn)將在后面討論。在以后分析問題時(shí)，會經(jīng)常用到高斯過程中的一維分布。例如，高斯過程在任一時(shí)刻上的樣值是一個(gè)一維高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)可表示為（2.3-3）式中，a為高斯隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，σ2為方差。f(x)曲線如圖2-3所示。（4）高斯過程經(jīng)過線性變換（或線性系統(tǒng)）后的過程仍是高斯由式（2.3-3）和圖2-3可知f(x)具有如下特性：(1)f(x)對稱于x=a這條直線。(2)且有（2.3-4）（2.3-5）由式（2.3-3）和圖2-3可知f(x圖2-3正態(tài)分布的概率圖2-3正態(tài)分布的概率(3）a表示分布中心，σ表示集中程度，f(x)圖形將隨著σ的減小而變高和變窄。當(dāng)a=0，σ=1時(shí)，稱f(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。當(dāng)我們需要求高斯隨機(jī)變量ξ小于或等于任意取值x的概率P(ξ≤x)時(shí)，還要用到正態(tài)分布函數(shù)。正態(tài)分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的積分，即這個(gè)積分無法用閉合形式計(jì)算，我們要設(shè)法把這個(gè)積分式和可以在數(shù)學(xué)手冊上查出積分值的特殊函數(shù)聯(lián)系起來，一般常用以下幾種特殊函數(shù)：（2.3-6）(3）a表示分布中心，σ表示集中程度，f(（1）誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)。誤差函數(shù)的定義式為它是自變量的遞增函數(shù)，erf(0)=0，erf(∞)=1，且erf(-x)=-erf(x)。我們稱1-erf(x)為互補(bǔ)誤差函數(shù)，記為erfc(x),即它是自變量的遞減函數(shù)，erfc(0)=1，erfc(∞)=0，且erfc(-x)=2-erfc(x)。當(dāng)x>>1時(shí)（實(shí)際應(yīng)用中只要x＞2)即可近似有（2.3-7）（2.3-8）（2.3-9）（1）誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)。誤差函數(shù)的定義式為（2）概率積分函數(shù)和Q函數(shù)。概率積分函數(shù)定義為這是另一個(gè)在數(shù)學(xué)手冊上有數(shù)值和曲線的特殊函數(shù)，有Φ(∞)=1。Q函數(shù)是一種經(jīng)常用于表示高斯尾部曲線下的面積的函數(shù)，其定義為(2.3-10)（2.3-11）（2）概率積分函數(shù)和Q函數(shù)。概率積分函數(shù)定義為比較式（2.3-8）與式（2.3-10）和式（2.3-]11），可得（2.3-12）（2.3-13）（2.3-14）現(xiàn)在讓我們把以上特殊函數(shù)與式（2.3-6）進(jìn)行聯(lián)系，以表示正態(tài)分布函數(shù)F(x)。比較式（2.3-8）與式（2.3-10若對式（2.3-6）進(jìn)行變量代換，令新積分變量 ，就有 ，再與式（2.3-10）聯(lián)系，則有（2.3-15）若對式（2.3-6）進(jìn)行變量代換，令新積分變量 ，有 ，并利用式（2.3-5），則不難得到若對式（2.3-6）進(jìn)行變量代換，令新積分用誤差函數(shù)或互補(bǔ)誤差函數(shù)表示F(x)的好處是，它簡明的特性有助于今后分析通信系統(tǒng)的抗噪聲性能。F(X)=（2.3-16）用誤差函數(shù)或互補(bǔ)誤差函數(shù)表示F(x)的好處是2.3.3高斯白噪聲信號在信道中傳輸時(shí)，常會遇到這樣一類噪聲，它的功率譜密度均勻分布在整個(gè)頻率范圍內(nèi)，即這種噪聲被稱為白噪聲，它是一個(gè)理想的寬帶隨機(jī)過程。式中n0為一常數(shù)，單位是瓦/赫。顯然，白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可借助于下式求得，即(2.3-17)（2.3-18）這說明，白噪聲僅在 時(shí)才相關(guān)，而在任意兩個(gè)時(shí)刻(即)上的隨機(jī)變量都是互不相關(guān)的。圖2-4畫出了白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)的圖形。2.3.3高斯白噪聲(2.3-17)（2.3-18）圖2-4白噪聲的譜密度和自相關(guān)函數(shù)圖2-4白噪聲的譜密度和自相關(guān)函數(shù)這說明，白噪聲只有在τ=0時(shí)才相關(guān)，而它在任意兩個(gè)時(shí)刻上的隨機(jī)變量都是互不相關(guān)的。圖2-4畫出了白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)的圖形。如果白噪聲又是高斯分布的，我們就稱之為高斯白噪聲。由式（2.3-18）可以看出，高斯白噪聲在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的取值之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。應(yīng)當(dāng)指出，我們所定義的這種理想化的白噪聲在實(shí)際中是不存在的。但是，如果噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。第3章將要討論的熱噪聲和散彈噪聲就是近似白噪聲的例子。這說明，白噪聲只有在τ=0時(shí)才相關(guān)，而它在任通信的目的在于傳輸信號，信號和系統(tǒng)總是聯(lián)系在一起的。通信系統(tǒng)中的信號或噪聲一般都是隨機(jī)的，因此在以后的討論中我們必然會遇到這樣的問題：隨機(jī)過程通過系統(tǒng)（或網(wǎng)絡(luò)）后，輸出過程將是什么樣的過程？這里，我們只考慮平穩(wěn)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的情況。隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確知信號通過線性系統(tǒng)的分析原理的基礎(chǔ)之上的。我們知道，線性系統(tǒng)的響應(yīng)vo(t)等于輸入信號vi(t)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)的卷積，即2.4隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)（2.4-1）通信的目的在于傳輸信號，信號和系統(tǒng)總是聯(lián)系或（2.4-2）若線性系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則（2.4-3）（2.4-4）或（2.4-2）若線性系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則（2.4-如果把vi(t)看作是輸入隨機(jī)過程的一個(gè)樣本，則vo(t)可看作是輸出隨機(jī)過程的一個(gè)樣本。顯然，輸入過程ξi(t)的每個(gè)樣本與輸出過程ξo(t)的相應(yīng)樣本之間都滿足式（2.4-4）的關(guān)系。這樣，就整個(gè)過程而言，便有(2.4-5)假定輸入ξi(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程，現(xiàn)在來分析系統(tǒng)的輸出過程ξo(t)的統(tǒng)計(jì)特性。我們先確定輸出過程的數(shù)學(xué)期望、自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度，然后討論輸出過程的概率分布問題。如果把vi(t)看作是輸入隨機(jī)過程的一個(gè)樣本1.輸出過程ξo(t)的數(shù)學(xué)期望

對式（2.4-5）兩邊取統(tǒng)計(jì)平均，有式中利用了平穩(wěn)性假設(shè)E［ξi(t-τ)］=E［ξi(t)］=a(常數(shù))。又因?yàn)?.輸出過程ξo(t)的數(shù)學(xué)期望式中利用求得所以由此可見,輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)期望與直流傳遞函數(shù)H(0)的乘積，且E［ξo(t)］與t無關(guān)。（2.4-6）求得所以由此可見,輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸根據(jù)平穩(wěn)性2.輸出過程ξo(t)的自相關(guān)函數(shù)有（2.4-7）根據(jù)平穩(wěn)性2.輸出過程ξo(t)的自相關(guān)函數(shù)有（2.

3.輸出過程ξo(t)的功率譜密度對式（2.4-7）進(jìn)行傅里葉變換,有令則有即（2.4-8）3.輸出過程ξo(t)的功率譜密度令則有即可見，系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度Pi(ω)與系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)|H(ω)|2的乘積。這是十分有用的一個(gè)重要公式。當(dāng)我們想得到輸出過程的自相關(guān)函數(shù)Ro(τ)時(shí)，比較簡單的方法是先計(jì)算出功率譜密度Po(ω)，然后求其反變換，這比直接計(jì)算Ro(τ)要簡便得多?？梢?，系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度Pi

【例2-2】帶限白噪聲。試求功率譜密度為n0/2的白噪聲通過理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為【例2-2】帶限白噪聲。試求功率譜密度為n0/解由上式得|H(ω)|2=K20，|ω|≤ωH。輸出功率譜密度為可見，輸出噪聲的功率譜密度在|ω|≤ωH內(nèi)是均勻的，在此范圍外則為零，如圖2-5（a）所示，通常把這樣的噪聲稱為帶限白噪聲。其自相關(guān)函數(shù)為解由上式得|H(ω)|2=K20，|ω|≤ωH。輸出功圖2-5帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)圖2-5帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)式中，ωH=2πfH。由此可見，帶限白噪聲只有在τ=k/2fH(k=1,2,3,…)上得到的隨機(jī)變量才不相關(guān)。它告訴我們，如果對帶限白噪聲按抽樣定理抽樣的話，則各抽樣值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量。這是一個(gè)很重要的概念。如圖2-5（b）所示，帶限白噪聲的自相關(guān)函數(shù)Ro(τ)在τ=0處有最大值，這就是帶限白噪聲的平均功率:式中，ωH=2πfH。由此可見，帶限白噪聲總可以確定輸出過程的分布。其中一個(gè)十分有用的情形是：如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。因?yàn)閺姆e分原理來看，上式可表示為一個(gè)和式的極限，即

4.輸出過程ξo(t)的概率分布從原理上看，在已知輸入過程分布的情況下，通過式（2.4-5），即總可以確定輸出過程的分布。其中一個(gè)十分有用的由于ξi(t)已假設(shè)是高斯型的，所以，在任一時(shí)刻的每項(xiàng)ξi(t-τk)h(τk)Δτk都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時(shí)刻得到的每一隨機(jī)變量，都是無限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和。由概率論得知，這個(gè)“和”的隨機(jī)變量也是高斯隨機(jī)變量。這就證明，高斯過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后其輸出過程仍為高斯過程。更一般地說，高斯過程經(jīng)線性變換后的過程仍為高斯過程。但要注意，由于線性系統(tǒng)的介入，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。由于ξi(t)已假設(shè)是高斯型的，所以，在任一2.5窄帶隨機(jī)過程隨機(jī)過程通過以fc為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出，即是窄帶過程。所謂窄帶系統(tǒng)，是指其通帶寬度Δf<<fc，且fc遠(yuǎn)離零頻率的系統(tǒng)。實(shí)際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系統(tǒng)的信號或噪聲必是窄帶的，如果這時(shí)的信號或噪聲又是隨機(jī)的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機(jī)過程。如用示波器觀察一個(gè)實(shí)現(xiàn)的波形，則如圖2-6(b)所示，它是一個(gè)頻率近似為fc，包絡(luò)和相位隨機(jī)緩變的正弦波。2.5窄帶隨機(jī)過程隨機(jī)過程通過以fc為中心頻圖2-6窄帶過程的頻譜和波形示意圖2-6窄帶過程的頻譜和波形示意因此，窄帶隨機(jī)過程ξ(t)可用下式表示:（2.5-1）等價(jià)式（2.5-2）其中（2.5-3）（2.5-4）因此，窄帶隨機(jī)過程ξ(t)可用下式表示:（2.5-1）2.5.1同相和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性1.數(shù)學(xué)期望對式（2.5-2）求數(shù)學(xué)期望:（2.5-5）因?yàn)橐言O(shè)ξ(t)平穩(wěn)且均值為零，那么對于任意的時(shí)間t，都有E［ξ(t)］=0，所以由式（2.5-5）可得（2.5-6）2.5.1同相和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性（2.5-2.自相關(guān)函數(shù)（2.5-7）2.自相關(guān)函數(shù)（2.5-7）式中因?yàn)棣?t)是平穩(wěn)的，故有

Rξ(t,t+τ)=R(τ)（2.5-8）式中（2.5-8）這時(shí)，顯然應(yīng)有所以，式（2.5-8）變?yōu)椋?.5-9）再取使cosωct=0的所有t值，同理有（2.5-10）這時(shí)，顯然應(yīng)有所以，式（2.5-8）變?yōu)椋?.5-9）再取其中應(yīng)有由以上的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)分析可知，如果窄帶過程ξ(t)是平穩(wěn)的，則ξc(t)與ξs(t)也必將是平穩(wěn)的。進(jìn)一步分析，式（2.5-9）和式（2.5-10）應(yīng)同時(shí)成立，故有 (2.5-12)可見，同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)，而且根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有(2.5-11)其中應(yīng)有由以上的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)分析可知，如果將上式代入式（2.5-12），可得（2.5-13）同理可推得（2.5-14）（2.5-15）將上式代入式（2.5-12），可得（2.5-13）同理可于是，由式（2.5-9）及式（2.5-10）得到（2.5-16）即（2.5-17）于是，由式（2.5-9）及式（2.5-10）得到（2另外，因?yàn)棣?t)是平穩(wěn)的，所以ξ(t)在任意時(shí)刻的取值都是服從高斯分布的隨機(jī)變量，故在式（2.5-2）中有所以ξc(t1)，ξs(t2)也是高斯隨機(jī)變量，從而ξc(t)、ξs(t)也是高斯隨機(jī)過程。又根據(jù)式（2.5-15）可知，ξc(t)、ξs(t)在同一時(shí)刻的取值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量，因而它們還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。另外，因?yàn)棣?t)是平穩(wěn)的，所以ξ(t)在任

2.5.2包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性由上面的分析可知，ξc和ξs的聯(lián)合概率密度函數(shù)為設(shè)aξ,φξ的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f（aξ,φξ），則利用概率論知識，有（2.5-18）（2.5-19）2.5.2包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性得到于是根據(jù)式（2.5-3）和（2.5-4）在t時(shí)刻隨機(jī)變量之間的關(guān)系（2.5-20）得到于是根據(jù)式（2.5-3）和（2.5-4）在t時(shí)刻隨機(jī)變量注意，這里aξ≥0,而φξ在(0，2π)內(nèi)取值。再利用概率論中邊際分布知識將f(aξ,φξ)對φξ積分，可求得包絡(luò)aξ的一維概率密度函數(shù)為（2.5-21）可見，服從瑞利分布。注意，這里aξ≥0,而φξ在(0，2π)可見，φξ服從均勻分布。（2.5-22）可見，φξ服從均勻分布。（2.5-22）綜上所述，我們又得到一個(gè)重要結(jié)論：一個(gè)均值為零，方差為的窄帶平穩(wěn)高斯過程ξ(t)，其包絡(luò)aξ(t)的一維分布是瑞利分布，相位φξ(t)的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，aξ(t)與φξ(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，即有下式成立：（2.5-23）綜上所述，我們又得到一個(gè)重要結(jié)論：一個(gè)均值為信號經(jīng)過信道傳輸后總會受到噪聲的干擾，為了減少噪聲的影響，通常在接收機(jī)前端設(shè)置一個(gè)帶通濾波器，以濾除信號頻帶以外的噪聲。因此，帶通濾波器的輸出是信號與窄帶噪聲的混合波形。最常見的是正弦波加窄帶高斯噪聲的合成波，這是通信系統(tǒng)中常會遇到的一種情況，所以有必要了解合成信號的包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性。設(shè)合成信號為 (2.6-1)2.6正弦波加窄帶高斯噪聲信號經(jīng)過信道傳輸后總會受到噪聲的干擾，為了減式中,n(t)=nc(t)cosωct-ns(t)sinωct為窄帶高斯噪聲，其均值為零，方差為σ2n；正弦信號的A,ωc均為常數(shù)，θ是在(0,2π)上均勻分布的隨機(jī)變量。于是式中（2.6-2）（2.6-3）（2.6-4）式中,n(t)=nc(t)cosωct-ns(t)si合成信號r(t)的包絡(luò)和相位為利用上一節(jié)的結(jié)果，如果θ值已給定，則zc、zs是相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，且有（2.6-5）（2.6-6）合成信號r(t)的包絡(luò)和相位為利用上一節(jié)的結(jié)利用上一節(jié)相似的方法，根據(jù)式（2.6-3）、（2.6-4）可以求得在給定相位θ的條件下的z和φ的聯(lián)合概率密度函數(shù)為利用上一節(jié)相似的方法，根據(jù)式（2.6-3）、（2.6-4）可由于故有求條件邊際分布，有（2.6-7）由于故有求條件邊際分布，有（2.6-7）式中，I0(x)為零階修正貝塞爾函數(shù)。當(dāng)x≥0時(shí)，I0(x)是單調(diào)上升函數(shù)，且有I0(0)=1。因此這個(gè)概率密度函數(shù)稱為廣義瑞利分布，也稱萊斯（Rice）密度函數(shù)。由上式可見，f(z/θ)與θ無關(guān)，故正弦波加窄帶高斯過程的包絡(luò)概率密度函數(shù)為(2.6-8)式中，I0(x)為零階修正貝塞爾函數(shù)。當(dāng)x≥第2章現(xiàn)代通信原理與技術(shù)第二版課件由此可見，信號加噪聲的合成波包絡(luò)分布與信噪比有關(guān)。小信噪比時(shí)，它接近于瑞利分布；大信噪比時(shí)，它接近于高斯分布；在一般情況下它是萊斯分布。圖2-7（a）給出了不同的r值時(shí)f(z)的曲線。關(guān)于信號加噪聲的合成波相位分布f(φ)，由于比較復(fù)雜，這里就不再演算了。不難推想，f(φ)也與信噪比有關(guān)。小信噪比時(shí)，f(φ)接近于均勻分布，它反映這時(shí)窄帶高斯噪聲為主的情況；大信噪比時(shí)，f(φ)主要集中在有用信號相位附近。圖2-7（b）給出了不同的r值時(shí)f(φ)的曲線。由此可見，信號加噪聲的合成波包絡(luò)分布與信噪比有關(guān)。小信圖2–7正弦波加窄帶高斯過程的包絡(luò)與相位分布

圖2–7正弦波加窄帶高斯過程的包絡(luò)與相位分布2.1隨機(jī)過程的基本概念和統(tǒng)計(jì)特性2.2平穩(wěn)隨機(jī)過程2.3高斯隨機(jī)過程2.4隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2.5窄帶隨機(jī)過程2.6正弦波加窄帶高斯噪聲

第2章隨機(jī)過程2.1隨機(jī)過程的基本概念和統(tǒng)計(jì)特性第2章隨機(jī)過程

2.1隨機(jī)過程的基本概念和統(tǒng)計(jì)特性2.1.1隨機(jī)過程自然界中事物的變化過程可以大致分成為兩類。一類是其變化過程具有確定的形式，或者說具有必然的變化規(guī)律，用數(shù)學(xué)語言來說，其變化過程可以用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間t的確定函數(shù)來描述，這類過程稱為確定性過程。例如，電容器通過電阻放電時(shí)，電容兩端的電位差隨時(shí)間的變化就是一個(gè)確定性函數(shù)。而另一類過程沒有確定的變化形式，也就是說，每次對它的測量結(jié)果沒有一個(gè)確定的變化規(guī)律，用數(shù)學(xué)語言來說，這類事物變化的過程不可能用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間t的確定函數(shù)來描述，這類過程稱為隨機(jī)過程。下面我們給出一個(gè)例子：2.1隨機(jī)過程的基本概念和統(tǒng)計(jì)特設(shè)有n臺性能完全相同的接收機(jī)。我們在相同的工作環(huán)境和測試條件下記錄各臺接收機(jī)的輸出噪聲波形（這也可以理解為對一臺接收機(jī)在一段時(shí)間內(nèi)持續(xù)地進(jìn)行n次觀測）。測試結(jié)果將表明，盡管設(shè)備和測試條件相同，記錄的n條曲線中找不到兩個(gè)完全相同的波形。這就是說，接收機(jī)輸出的噪聲電壓隨時(shí)間的變化是不可預(yù)知的，因而它是一個(gè)隨機(jī)過程。由此我們給隨機(jī)過程下一個(gè)更為嚴(yán)格的定義：設(shè)Sk(k=1,2,…)是隨機(jī)試驗(yàn)。每一次試驗(yàn)都有一條時(shí)間波形（稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)），記作xi(t)，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體{x1(t),x2(t)，…,xn(t)，…}就構(gòu)成一隨機(jī)過程，記作ξ(t)。簡言之，無窮多個(gè)樣本函數(shù)的總體叫做隨機(jī)過程，如圖2-1所示。設(shè)有n臺性能完全相同的接收機(jī)。我們在相同的工圖2-1樣本函數(shù)的總體

圖2-1樣本函數(shù)的總體顯然，上例中接收機(jī)的輸出噪聲波形也可用圖2-1表示。我們把對接收機(jī)輸出噪聲波形的觀測可看作是進(jìn)行一次隨機(jī)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)之后，ξ(t)取圖2-1所示的樣本空間中的某一樣本函數(shù)，至于是空間中哪一個(gè)樣本，在進(jìn)行觀測前是無法預(yù)知的，這正是隨機(jī)過程隨機(jī)性的具體表現(xiàn)。其基本特征體現(xiàn)在兩個(gè)方面：其一，它是一個(gè)時(shí)間函數(shù)；其二，在固定的某一觀察時(shí)刻t1，全體樣本在t1時(shí)刻的取值ξ(t1)是一個(gè)不含t變化的隨機(jī)變量。因此，我們又可以把隨機(jī)過程看成依賴時(shí)間參數(shù)的一族隨機(jī)變量?？梢姡S機(jī)過程具有隨機(jī)變量和時(shí)間函數(shù)的特點(diǎn)。下面將會看到，在研究隨機(jī)過程時(shí)正是利用了這兩個(gè)特點(diǎn)。顯然，上例中接收機(jī)的輸出噪聲波形也可用圖22.1.2隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)過程的兩重性使我們可以用與描述隨機(jī)變量相似的方法，來描述它的統(tǒng)計(jì)特性。設(shè)ξ(t)表示一個(gè)隨機(jī)過程，在任意給定的時(shí)刻t1∈T，其取值ξ(t1)是一個(gè)一維隨機(jī)變量。而隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。我們把隨機(jī)變量ξ(t1)小于或等于某一數(shù)值x1的概率P［ξ(t1)≤x1］，簡記為F1(x1,t1)，即

F1(x1,t1)=P［ξ(t1)≤x1］(2.1-1)式(2.1-1)稱為隨機(jī)過程ξ(t)的一維分布函數(shù)。2.1.2隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性則稱f1(x1,t1)為ξ(t)的一維概率密度函數(shù)。顯然，隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)僅僅描述了隨機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性，而沒有說明隨機(jī)過程在不同時(shí)刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系，為此需要進(jìn)一步引入二維分布函數(shù)。任給兩個(gè)時(shí)刻t1,t2∈T，則隨機(jī)變量ξ(t1)和ξ(t2)構(gòu)成一個(gè)二元隨機(jī)變量{ξ(t1),ξ(t2)}，稱

F2(x1,x2;t1,t2)=P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2｝(2.1-3)為隨機(jī)過程ξ(t)的二維分布函數(shù)。如果存在如果F1(x1,t1)對x1的偏導(dǎo)數(shù)存在，即有(2.1-2)則稱f1(x1,t1)為ξ(t)的一維概率密度函數(shù)。顯然，則稱f2(x1,x2;t1,t2)為ξ(t)的二維概率密度函數(shù)。同理，任給t1,t2,…,tn∈T,則ξ(t)的n維分布函數(shù)被定義為Fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2,…,ξ(tn)≤xn｝(2.1-4)(2.1-5)如果存在則稱f2(x1,x2;t1,t2)為ξ(t)的二維概率密度則稱fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)為ξ(t)的n維概率密度函數(shù)。顯然，n越大，對隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的描述就越充分，但問題的復(fù)雜性也隨之增加。在一般實(shí)際問題中，掌握二維分布函數(shù)就已經(jīng)足夠了。則稱fn(x1,x2,…,xn;t1,t22.1.3隨機(jī)過程的數(shù)字特征

1.數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)過程ξ(t)在任意給定時(shí)刻t1的取值ξ(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為f1(x1,t1)，則ξ(t1)的數(shù)學(xué)期望為注意，這里t1是任取的，所以可以把t1直接寫為t,x1改為x,這時(shí)上式就變?yōu)殡S機(jī)過程在任意時(shí)刻的數(shù)學(xué)期望，記作a(t)，于是a(t)是時(shí)間t的函數(shù)，它表示隨機(jī)過程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動中心。(2.1-6)2.1.3隨機(jī)過程的數(shù)字特征注意，這里t1是任取的，

2.方差E(2.1-7)

D［ξ(t)］常記為σ2(t)?？梢姺讲畹扔诰街蹬c數(shù)學(xué)期望平方之差。它表示隨機(jī)過程在時(shí)刻t對于均值a(t)的偏離程度。均值和方差都只與隨機(jī)過程的一維概率密度函數(shù)有關(guān)，因而它們描述了隨機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)刻的特征。為了描述隨機(jī)過程在兩個(gè)不同時(shí)刻狀態(tài)之間的聯(lián)系，還需利用二維概率密度引入新的數(shù)字特征。2.方差E(2.1-7)D［ξ(t)］常

3.相關(guān)函數(shù)衡量隨機(jī)過程在任意兩個(gè)時(shí)刻獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度時(shí)，常用協(xié)方差函數(shù)B(t1,t2)和相關(guān)函數(shù)R(t1,t2)來表示。協(xié)方差函數(shù)定義為(2.1-8)式中，t1與t2是任取的兩個(gè)時(shí)刻；a(t1)與a(t2)為在t1及t2時(shí)刻得到的數(shù)學(xué)期望；f2(x1,x2;t1,t2)為二維概率密度函數(shù)。3.相關(guān)函數(shù)(2.1-8)式中，t1與相關(guān)函數(shù)定義為(2.1-9)二者關(guān)系為B(t1,t2)=R(t1,t2)-a(t1)a(t2)(2.1-10)若a(t1)=0或a(t2)=0，則B(t1,t2)=R(t1,t2)。若t2＞t1，并令t2=t1+τ，則R(t1,t2)可表示為R(t1,t1+τ)。這說明，相關(guān)函數(shù)依賴于起始時(shí)刻t1及t2與t1之間的時(shí)間間隔τ,即相關(guān)函數(shù)是t1和τ的函數(shù)。相關(guān)函數(shù)定義為(2.1-9)二者關(guān)系為B(t1,t2)由于B(t1,t2)和R(t1,t2)是衡量同一過程的相關(guān)程度的，因此，它們又常分別稱為自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。對于兩個(gè)或更多個(gè)隨機(jī)過程，可引入互協(xié)方差及互相關(guān)函數(shù)。設(shè)ξ(t)和η(t)分別表示兩個(gè)隨機(jī)過程，則互協(xié)方差函數(shù)定義為Bξη(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-aξ(t1)］［η(t2)-aη(t2)］｝(2.1-11)而互相關(guān)函數(shù)定義為 Rξη(t1,t2)=E［ξ(t1)η(t2)］(2.1-12)由于B(t1,t2)和R(t1,t2)是2.2.1定義所謂平穩(wěn)隨機(jī)過程，是指它的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化。設(shè)隨機(jī)過程{ξ(t)，t∈T},若對于任意n和任意選定t1＜t2＜…＜tn,tk∈T，k=1,2,…,n，以及h為任意值，且x1,x2,…,xn∈R，有fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=fn(x1,x2,…,xn;t1+h,t2+h,…,tn+h) (2.2-1)則稱ξ(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程。該定義說明，當(dāng)取樣點(diǎn)在時(shí)間軸上作任意平移時(shí)，隨機(jī)過程的所有有限維分布函數(shù)是不變的，具體到它的一維分布,則與時(shí)間t無關(guān)，而二維分布只與時(shí)間間隔τ有關(guān)，即有2.2平穩(wěn)隨機(jī)過程2.2.1定義2.2平穩(wěn)隨機(jī)過程

f1(x1,t1)=f1(x1)(2.2-2)和 f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;τ)(2.2-3)以上兩式可由式（2.2-1）分別令n=1和n=2,并取h=-t1得證。于是，平穩(wěn)隨機(jī)過程ξ(t)的均值為一常數(shù)，這表示平穩(wěn)隨機(jī)過程的各樣本函數(shù)圍繞著一水平線起伏。同樣，可以證明平穩(wěn)隨機(jī)過程的方差σ2(t)=σ2=常數(shù)，表示它的起伏偏離數(shù)學(xué)期望的程度也是常數(shù)。(2.2-4)

僅是時(shí)間間隔τ=t2-t1的函數(shù)，而不再是t1和t2的二維函數(shù)。以上表明，平穩(wěn)隨機(jī)過程ξ(t)具有“平穩(wěn)”的數(shù)字特征：它的均值與時(shí)間無關(guān)；它的自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔τ有關(guān)，即 R(t1,t1+τ)=R(τ)注意到式（2.2-1）定義的平穩(wěn)隨機(jī)過程對于一切n都成立，這在實(shí)際應(yīng)用上很復(fù)雜。但僅僅由一個(gè)隨機(jī)過程的均值是常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)是τ的函數(shù)還不能充分說明它符合平穩(wěn)條件，為此引入另一種平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義：而平穩(wěn)隨機(jī)過程ξ(t)的自相關(guān)函數(shù)(2.2-5)僅是時(shí)間間隔τ=t2-t1的函數(shù)，而不再是t1和t2的二維函設(shè)有一個(gè)二階矩隨機(jī)過程ξ(t)，它的均值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)僅是τ的函數(shù)，則稱它為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。相應(yīng)地，稱按式（2.2-1）定義的過程為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程或狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程。因?yàn)閺V義平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義只涉及與一維、二維概率密度有關(guān)的數(shù)字特征，所以一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程只要它的均方值E［ξ2(t)］有界，則它必定是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，但反過來一般不成立。通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。以后討論的隨機(jī)過程除特殊說明外，均假定是平穩(wěn)的，且均指廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，簡稱平穩(wěn)過程。設(shè)有一個(gè)二階矩隨機(jī)過程ξ(t)，它的均值為常2.2.2各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機(jī)過程在滿足一定條件下有一個(gè)有趣而又非常有用的特性，稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”。這種平穩(wěn)隨機(jī)過程，它的數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)的數(shù)字特征（均為時(shí)間平均）來替代。也就是說，假設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程ξ(t)的任意一個(gè)實(shí)現(xiàn)，它的時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別為(2.2-6)2.2.2各態(tài)歷經(jīng)性(2.2-6)如果平穩(wěn)隨機(jī)過程依概率1使下式成立：則稱該平穩(wěn)隨機(jī)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。“各態(tài)歷經(jīng)”的含義：隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此，我們無需（實(shí)際中也不可能）獲得大量用來計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均的樣本函數(shù)，而只需從任意一個(gè)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)字特征，從而使“統(tǒng)計(jì)平均”化為“時(shí)間平均”，使實(shí)際測量和計(jì)算的問題大為簡化。(2.2-7)如果平穩(wěn)隨機(jī)過程依概率1使下式成立：則稱該平穩(wěn)隨機(jī)過程具

注意：具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過程，但平穩(wěn)隨機(jī)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。注意：具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程必定是平穩(wěn)隨

2.2.3平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)對于平穩(wěn)隨機(jī)過程而言，它的自相關(guān)函數(shù)是特別重要的一個(gè)函數(shù)。其一，平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，如數(shù)字特征等，可通過自相關(guān)函數(shù)來描述；其二，自相關(guān)函數(shù)與平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜特性有著內(nèi)在的聯(lián)系。因此，我們有必要了解平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)。設(shè)ξ(t)為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，則它的自相關(guān)函數(shù) R(τ)=E［(ξ(t)ξ(t+τ)］(2.2-8)2.2.3平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)具有下列主要性質(zhì)：（1）R(0)=E［ξ2(t)］=S［ξ(t)的平均功率］(2.2-9）（2）R(∞)=E2［ξ(t)］［ξ(t)的直流功率］(2.2-10）這里利用了當(dāng)τ→∞時(shí)，ξ(t)與ξ(t+τ)沒有依賴關(guān)系，即統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，且認(rèn)為ξ(t)中不含周期分量。這是因?yàn)榫哂邢铝兄饕再|(zhì)：這里利用了當(dāng)τ→∞時(shí)，ξ(t)與ξ(（3） R(τ)=R(-τ)［τ的偶函數(shù)］(2.2-11)這一點(diǎn)可由定義式（2.2-8）得證。（4）|R(τ)|≤R(0)［R(τ)的上界］(2.2-12)考慮一個(gè)非負(fù)式即可得證。（5）R(0)-R(∞)=σ2［方差，ξ(t)的交流功率］ (2.2-13)當(dāng)均值為0時(shí)，有R(0)=σ2。（3） R(τ)=R(-τ)［τ的偶函數(shù)］(2

2.2.4平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度隨機(jī)過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。我們知道，隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)是一個(gè)確定的功率型信號。而對于任意的確定功率信號f(t)，它的功率譜密度為式中，F(xiàn)T(ω)是f(t)的截短函數(shù)fT(t)（見圖2-2）所對應(yīng)的頻譜函數(shù)。我們可以把f(t)看成是平穩(wěn)隨機(jī)過程ξ(t)中的任一實(shí)現(xiàn)，因而每一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度也可用式（2.2-14）來表示。由于ξ(t)是無窮多個(gè)實(shí)現(xiàn)的集合，哪一個(gè)實(shí)現(xiàn)出現(xiàn)是不能預(yù)知的，因此，某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看做是任一實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，即(2.2-14)2.2.4平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度(2.2圖2-2功率信號f(t)及其截短函數(shù)圖2-2功率信號f(t)及其截短函數(shù)ξ(t)的平均功率S則可表示成雖然式（2.2-15）給出了平穩(wěn)隨機(jī)過程ξ(t)的功率譜密度Pξ(ω)，但我們很難直接用它來計(jì)算功率譜。那么，如何方便地求功率譜Pξ(ω)呢？我們知道，確知的非周期功率信號的自相關(guān)函數(shù)與其譜密度是一對傅氏變換關(guān)系。對于平穩(wěn)隨機(jī)過程，也有類似的關(guān)系，即(2.2-15)(2.2-16)ξ(t)的平均功率S則可表示成雖然式（2.2于是因?yàn)镽(0)表示隨機(jī)過程的平均功率，它應(yīng)等于功率譜密度曲線下的面積。因此，Pξ(ω)必然是平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)。所以，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度Pξ(ω)與其自相關(guān)函數(shù)R(τ)是一對傅里葉變換關(guān)系,即其傅里葉反變換為(2.2-17)(2.2-18)于是因?yàn)镽(0)表示隨機(jī)過程的平均功率，它應(yīng)于是因?yàn)镽(0)表示隨機(jī)過程的平均功率，它應(yīng)等于功率譜密度曲線下的面積。因此，Pξ(ω)必然是平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)。所以，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度Pξ(ω)與其自相關(guān)函數(shù)R(τ)是一對傅里葉變換關(guān)系,即于是因?yàn)镽(0)表示隨機(jī)過程的平均功率，它應(yīng)或簡記為R(τ)Pξ(ω)關(guān)系式（2.2-18）稱為維納-辛欽關(guān)系，在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具。它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式?；蚝営洖镽(τ)（1）Pξ(ω)≥0，非負(fù)性；（2.2-20）（2）Pξ(-ω)=Pξ(ω)，偶函數(shù)。（2.2-21）因此，可定義單邊譜密度Pξ(ω)為根據(jù)上述關(guān)系式及自相關(guān)函數(shù)R(τ)的性質(zhì)，不難推演功率譜密度Pξ(ω)有如下性質(zhì)：(2.2-22)（1）Pξ(ω)≥0，非負(fù)性；

解(1)先考察ξ(t)是否廣義平穩(wěn)。

ξ(t)的數(shù)學(xué)期望為例2-1某隨機(jī)相位余弦波ξ(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc均為常數(shù)，θ是在(0,2π)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。（1）求ξ(t)的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度；（2）討論ξ(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。解(1)先考察ξ(t)是否廣義平穩(wěn)ξ(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔τ有關(guān)，所以ξ(t)為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。ξ(t)的自相關(guān)函數(shù)為ξ(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔τ有關(guān)，cosωcτπ［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］所以，功率譜密度為Pξ(ω)=［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］平均功率為S=R(0)=根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換，即R(τ)Pξ(ω)，則因?yàn)閏osωcτ比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，得a=,R(τ)=，因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。(2)現(xiàn)在來求ξ(t)的時(shí)間平均。根據(jù)式（2.2-6）可得比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，得a=,

2.3.1定義若隨機(jī)過程ξ(t)的任意n維（n=1,2,…）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過程或正態(tài)過程。其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示如下：2.3高斯隨機(jī)過程2.3.1定義2.3高斯隨機(jī)過程|B|jk為行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子，bjk為歸一化協(xié)方差函數(shù)，且式中,ak=E［ξ(tk)］，σ2k=E［ξ(tk)-ak］2，|B|為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即|B|jk為行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余

2.3.2重要性質(zhì)（1）由式(2.3-1)可以看出,高斯過程的n維分布完全由n個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。因此，對于高斯過程，只要研究它的數(shù)字特征就可以了。（2）如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它的均值與時(shí)間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)