幾何概型經(jīng)典練習(xí)題

幾何概型經(jīng)典練習(xí)題幾何概型經(jīng)典練習(xí)題幾何概型經(jīng)典練習(xí)題xxx公司幾何概型經(jīng)典練習(xí)題文件編號(hào)：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度幾何概型題目選講1．在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形面積小于32cm2的概率為()\f(1,6)\f(1,3)\f(2,3)\f(4,5)解析：設(shè)AC＝x，由題意知x(12－x)＜32?0＜x＜4或8＜x＜12，所求事件的概率P＝eq\f(4－0＋12－8,12)＝eq\f(2,3).2．已知圓C：在圓上任取一點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P到直線的距離小于2的事件為A求P(A)的值。解：P(A)=3．設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2,0≤y≤2))表示的平面區(qū)域?yàn)镈.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是解析：坐標(biāo)系中到原點(diǎn)距離不大于2的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)及圓上，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的區(qū)域D為邊長(zhǎng)為2的正方形及其內(nèi)部，所以所求的概率為eq\f(4－\f(π×4,4),4)＝eq\f(4－π,4).4．在區(qū)間[0,9]上隨機(jī)取一實(shí)數(shù)x，則該實(shí)數(shù)x滿足不等式1≤log2x≤2的概率為__________．解析：由1≤log2x≤2，得2≤x≤4，根據(jù)區(qū)間長(zhǎng)度關(guān)系，得所求概率為eq\f(2,9).5．在[－6,9]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)m，設(shè)f(x)＝－x2＋mx＋m，則函數(shù)f(x)的圖像與x軸有公共點(diǎn)的概率等于__________．解析：函數(shù)f(x)的圖像與x軸有公共點(diǎn)應(yīng)滿足Δ＝m2＋4m≥0，解得m≤－4或m≥0，又m∈[－6,9]，故－6≤m≤－4或0≤m≤9，因此所求概率P＝eq\f(2＋9,15)＝eq\f(11,15).6．甲、乙兩艘輪船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘輪船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)任何時(shí)刻到達(dá)是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊時(shí)間都是4小時(shí)，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率；(2)如果甲船的停泊時(shí)間為4小時(shí)，乙船的停泊時(shí)間為2小時(shí)，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率．解析：(1)設(shè)甲、乙兩船到達(dá)時(shí)間分別為x、y，則0≤x＜24,0≤y＜24且y－x≥4或y－x≤－4.作出區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x＜24，,0≤y＜24，,y－x＞4或y－x＜－4.))設(shè)“兩船無(wú)需等待碼頭空出”為事件A，則P(A)＝eq\f(2×\f(1,2)×20×20,24×24)＝eq\f(25,36).(2)當(dāng)甲船的停泊時(shí)間為4小時(shí)，乙船的停泊時(shí)間為2小時(shí)，兩船不需等待碼頭空出，則滿足x－y≥2或y－x≥4.設(shè)在上述條件時(shí)“兩船不需等待碼頭空出”為事件B，畫出區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x＜24，,0≤y＜24，,y－x＞4或x－y＞2.))P(B)＝eq\f(\f(1,2)×20×20＋\f(1,2)×22×22,24×24)＝eq\f(442,576)＝eq\f(221,288).7.知k∈［－2,2］，則k的值使得過A(1,1)可以作兩條直線與圓x2＋y2＋kx－2y－SKIPIF1<0k＝0相切的概率等于【解析】.∵圓的方程化為SKIPIF1<0，∴5k＋k2＋4>0，∴k<－4或k>－1.∵過A(1,1)可以作兩條直線與圓SKIPIF1<0相切，∴A(1,1)在圓外，得SKIPIF1<0，∴k<0，故k∈(－1,0)，其區(qū)間長(zhǎng)度為1，因?yàn)閗∈［－2,2］，其區(qū)間長(zhǎng)度為4，所以P＝SKIPIF1<0.8．已知k∈[－2,2]，則k的值使得過A(1,1)可以作兩條直線與圓x2＋y2＋kx－2y－eq\f(5,4)k＝0相切的概率等于解析：∵圓的方程化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))2＋(y－1)2＝eq\f(5k,4)＋eq\f(k2,4)＋1，∴5k＋k2＋4>0，∴k<－4或k>－1.∵過A(1,1)可以作兩條直線與圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))2＋(y－1)2＝eq\f(5k,4)＋eq\f(k2,4)＋1相切，∴A(1,1)在圓外，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(k,2)))2＋(1－1)2>eq\f(5k,4)＋eq\f(k2,4)＋1，∴k<0，故k∈(－1,0)，其區(qū)間長(zhǎng)度為1，因?yàn)閗∈[－2,2]，其區(qū)間長(zhǎng)度為4，∴P＝eq\f(1,4).9．已知集合A＝{x|－3<x<1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,x－3)<0)))).(1)求A∩B，A∪B；(2)在區(qū)間(－4,4)上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x，求“x∈A∩B”的概率；(3)設(shè)(a，b)為有序?qū)崝?shù)對(duì)，其中a是從集合A中任取的一個(gè)整數(shù)，b是從集合B中任取的一個(gè)整數(shù)，求“b－a∈A∪B”的概率．解：(1)由已知B＝{x|－2<x<3}，A∩B＝{x|－2<x<1}，A∪B＝{x|－3<x<3}．(2)設(shè)事件“x∈A∩B”的概率為P1，這是一個(gè)幾何概型，則P1＝eq\f(3,8).(3)因?yàn)閍，b∈Z，且a∈A，b∈B，所以，基本事件共12個(gè)：(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)．設(shè)事件E為“b－a∈A∪B”，則事件E中包含9個(gè)基本事件，事件E的概率P(E)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).10．袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個(gè)，其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)．已知從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)是2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a，第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為b.①記事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率；②在區(qū)間[0,2]內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．解：(1)由題意可知：eq\f(n,1＋1＋n)＝eq\f(1,2)，解得n＝2.(2)①不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球的所有基本事件為：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12個(gè)，事件A包含的基本事件為：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4個(gè)．∴P(A)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).②記“x2＋y2>(a－b)2恒成立”為事件B，則事件B等價(jià)于“x2＋y2>4”，(x，y)可以看成平面中的點(diǎn)，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B所構(gòu)成的區(qū)域B＝{(x，y)|x2＋y2>4，(x，y)∈Ω}，∴P(B)＝eq\f(SB,SΩ)＝eq\f(2×2－π,2×2)＝1－eq\f(π,4).11、“已知圓C：x2＋y2＝12，設(shè)M為此圓周上一定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)N，連接MN.”求弦MN的長(zhǎng)超過2eq\r(6)的概率．解：如圖，在圖上過圓心O作OM⊥直徑CD.則MD＝MC＝2eq\r(6).當(dāng)N點(diǎn)不在半圓弧CMeq\x\to(D)上時(shí)，MN＞2eq\r(6).所以P(A)＝eq\f(π×2\r(3),2π×2\r(3))＝eq\f(1,2).12．(1)已知A是圓上固定的一點(diǎn)，在圓上其他位置上任取一點(diǎn)A′，則AA′的長(zhǎng)度小于半徑的概率為________．(2)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，BC＝2.在BC邊上任取一點(diǎn)M，則∠AMB≥90°的概率為________．解析：(1)如圖，滿足AA′的長(zhǎng)度小于半徑的點(diǎn)A′位于劣弧BAeq\x\to(C)上，其中△ABO和△ACO為等邊三角形，可知∠BOC＝eq\f(2π,3)，故所求事件的概率P＝eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3).(2)如圖，在Rt△ABC中，作AD⊥BC，D為垂足，由題意可得BD＝eq\f(1,2)，且點(diǎn)M在BD上時(shí)，滿足∠AMB≥90°，故所求概率P＝eq\f(BD,BC)＝eq\f(\f(1,2),2)＝eq\f(1,4).答案：(1)eq\f(1,3)(2)eq\f(1,4)13．在體積為V的三棱錐S—ABC的棱AB上任取一點(diǎn)P，則三棱錐S—APC的體積大于eq\f(V,3)的概率是________．解析：如圖，三棱錐S—ABC的高與三棱錐S—APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，則PM、BN分別為△APC與△ABC的高，所以eq\f(VS—APC,VS—ABC)＝eq\f(S△APC,S△ABC)＝eq\f(PM,BN)，又eq\f(PM,BN)＝eq\f(AP,AB)，所以eq\f(AP,AB)＞eq\f(1,3)時(shí)，滿足條件．設(shè)eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，則P在BD上，所求的概率P＝eq\f(BD,BA)＝eq\f(2,3).14．在區(qū)間[0,1]上任取兩個(gè)數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b2無(wú)零點(diǎn)的概率為解析：要使該函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，只需a2－4b2＜0，即(a＋2b)(a－2b)＜0.∵a，b∈[0,1]，a＋2b＞0，∴a－2b＜0.作出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤1，,0≤b≤1，,a－2b＜0))的可行域，易得該函數(shù)無(wú)零點(diǎn)的概率P＝eq\f(1－\f(1,2)×1×\f(1,2),1×1)＝eq\f(3,4).15．設(shè)AB＝6，在線段AB上任取兩點(diǎn)(端點(diǎn)A、B除外)，將線段AB分成了三條線段．(1)若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率；(2)若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正實(shí)數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率．解：(1)若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正整數(shù)，則三條線段的長(zhǎng)度的所有可能情況是1,1,4；1,2,3；2,2,2共3種情況，其中只有三條線段長(zhǎng)為2,2,2時(shí)，能構(gòu)成三角形，故構(gòu)成三角形的概率為P＝eq\f(1,3).(2)設(shè)其中兩條線段長(zhǎng)度分別為x，y，則第三條線段長(zhǎng)度為6－x－y，故全部試驗(yàn)結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x＜6，,0＜y＜6，,0＜6－x－y＜6，))即eq\b\lc\{\rc\(