小學(xué)奧數(shù)幾何五大模型鳥(niǎo)頭模型共角定理

小學(xué)奧數(shù)幾何五大模型鳥(niǎo)頭模型共角定理小學(xué)奧數(shù)幾何五大模型鳥(niǎo)頭模型共角定理PAGE9/9PAGE9小學(xué)奧數(shù)幾何五大模型鳥(niǎo)頭模型共角定理PAGE2021年秋天五年級(jí)第三講三角形中的模型(一)周明麗

三角形中的模型〔一〕

知識(shí)點(diǎn)與例題詳解

共角定理〔鳥(niǎo)頭模型〕

兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形．共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角

(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比．

如圖在△ABC中，D,E分別是AB,AC上的點(diǎn)如圖(或D、E分別在BA、CA延伸線上

S△ADEADAEAD×AE小小那么夾角兩邊：×=×=(大)大S△ABCABAC××ABAC即，共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比

證明：

〔1〕共角為相等角

連結(jié)BE，由同高看底，可知

S△ADE=ADS△ABE=AE?(2)將×(2)得:S△AD'E=AD×AE?(1)(1)×S△ABEABS△ABCACS△ABCABAC2〕共角為對(duì)頂角

AB、AC上分別取點(diǎn)D’E’連結(jié)D’E’，那么S△ADE=S△AD'E'連結(jié)BE，同(1)理可證S△AD'E=AD×AES△ABCAB×AC3〕共角為互補(bǔ)角

AB上取一點(diǎn)D’連結(jié)D’E，那么S△ADE=S△AD'E連結(jié)BE，同(1),可證S△AD'E=AD×AES△ABCAB×AC例：1三角形ADE的面積是1，AD:AB=2:3，AE:AC=1:4，求三角形AED的面積2三角形ABC的面積是9，AD:AB=1:2，AE:EC=1:1，求三角形AED的面積

剖析：(1)由鳥(niǎo)頭定理：S△ADE=AD×AE=2×1=1,S△ABC=1×6=6S△ABCABAC346S△ADEADAE1111(2)由鳥(niǎo)頭定理：=×=×=4S△ADE=9×=S△ABCABAC224第1頁(yè)共8頁(yè)年秋天五年級(jí)第三講三角形中的模型(一)周明麗

1

剖析：共角定理〔鳥(niǎo)頭〕：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角兩夾邊的乘積之比S△ADE=AD×AE=2×4=8S△ABCAB×AC5×735

∴S△ABC=16÷8×35=70cm2

2

剖析：共角定理〔鳥(niǎo)頭〕：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角兩夾邊的乘積之比

S△ABC=AB×BC2×24S△ADEBE×BD==5×315∴S△BDE=3÷4×15=2

3

剖析：∵BAC+HAG=180°S△ABC=AB×AC=1×1=1∴S△AHGAH×AG1×11S△ABC=S△AHG=10cm2同理可得S△ABC=S△ECF=S△IBD=10cm2即此外三個(gè)三角形的面積和是30cm2

4

剖析：∵AE=EF,∴S△ADE=S△DEF=5cm2

∵△DAE與△ABC共角∠A∴S△DAE=AD×AE=1×1=1∴S△ABC=5×6=30cm2S△ABCAB×AC2×36第2頁(yè)共8頁(yè)2021年秋天五年第三三角形中的模型(一)周

5

剖析：∵BAC+FAD=180°∴S△ABC=AB×AC=1×1=1∴S△ADF=1×6=6S△FDAAD×AF2×36BCA+FCE=180°∴S△ABC=AC×BC=1×1=1∴S△ECF=1×8=8S△FCECF×CE4×28∵ABC+DBE=180°∴S△ABCAB×BC1×11SDBE=DBBE=1×3=∴S△DBE=1×3=3△×3∴S△DEF=1+6+8+3=18

6

剖析：由共角定理知:∵DAB+FAE=180°∴S△ABD=AD×AB=1×1=1∴S△HAE=8S△ABD△AH×4×28SHAEAE∵ABC+EBF=180°∴S△ABC=AB×BC=1×1=1∴S△FAD=3S△ABCS△FBEBE×BF1×33∵BCD+GCF=180°∴S△BCD=BC×DC=1×1=1∴S△HAE=8S△BCDS△GCFCF×GC2×48∵ADC+HDG=180°∴S△ADC=AD×1×11∴S△HAE=8S△ADCDC==△DH×5×315SHDGDG∵S△ABD=S△ABC=S△BCD=S△ABD=S△ADC=1S△ABCD∴S△ABCD=2S△ABC2=1:18S△EFGH(8+3+8+15+2)S△ABC超凡挑戰(zhàn)剖析：中每相兩個(gè)正方形和其著的兩個(gè)三角形都是“X型〞。以右例，S△ABCABAC=1×1=1∴S△ABC=S△AHGS△AHG=×1×11×所以，中每一個(gè)色三角形和的色三角形面都相等。那么內(nèi)圈三角形石板的面和外圈三角形石板的面一大。

越玩越聰慧剖析：道能夠剖析、算以下：在算各個(gè)面上4個(gè)數(shù)的和，點(diǎn)上的數(shù)是分屬3個(gè)不一樣的面，，每個(gè)點(diǎn)上的數(shù)都被重復(fù)算了3次。所以，各個(gè)面?〕×3=108。又因上4個(gè)數(shù)的和1～88個(gè)數(shù)的和的3倍，即〔1+2+3+?+8正方體有6個(gè)面，也就是每個(gè)面上的四個(gè)數(shù)的和是108÷是我填數(shù)的準(zhǔn)。假如在前面上填入1、7、2、8〔如〕，那么右邊上已有2、8，其余兩點(diǎn)只好填3、5。以此推，答案如所示。第3共8年秋天五年級(jí)第三講三角形中的模型(一)周明麗

家庭作業(yè)

1剖析：由共角定理得：S△BDE=BD×BE=2×2=4∴S△BDE=54cm2S△ABCAB×BC3×39÷9×4=24由等積變形得：S△EDC=24÷2=12cm22剖析：由共角定理得：S△ANM=AN×AM=1×1=15515S△ABDAB×AD3×26∴SNMDB=S△ABD=×=662123

剖析：∵BAC+HAG=180°∴S△ABC=AB×AC=1×1=1∴S△ABC=S△AHGS△AHGAH×AG1×11同理可得S△ABC=S△AHG=S△ECF=S△IBD∴S△ABC=(77-9-16-36)÷4=4cm2

剖析：共角定理〔鳥(niǎo)頭〕：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角兩夾邊的乘積之比S△ADE=ADAE=23=6;=BDBE=53=15;=CECF=25=1××S△BDF××S△CEF××S△ABCAB×AC7×535S△ABCAB×BC7×856S△ABCAB×AC5×84令△=1，那么6151S△ADE=;S△BDF=;S△CEF=56354那么S△DEF=1-15-6-1=87?S△ABC=÷87=140cm256354280280剖析:共角定理〔鳥(niǎo)頭〕：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角兩夾邊的乘積之比連結(jié)DB，S△ADB=AD×AB=1×1=1;S△DCB=DC×CB=1×1=1S△AEHAH×AE3×26S△CFGCG×CF2×36S△AEH+S△CFG=6S△ADB+6S△DCB=〔6S△ADB+S△DCB〕=6S△ABCD同理，連結(jié)AC，S△ADC=1×1=1;S△ACB=1×1=1S△HDG3×26S△EBF2×36S△HDG+S△EBF=6S△ADC+6S△ABC=〔6S△ADC+S△ABC〕=6S△ABCD

SEHGF=S△AEH+S△CFG+S△HDG+S△EBF+S△ABCD

=〔6+6+1〕S△ABCD=13×5=65cm2

6

剖析：四次鳥(niǎo)頭得：

S△AEB=BEAE;=DEAE;=BEEC;=DECE×S△ADE×S△EBC×S△EDC×S△EFGEF×FGS△EFGEF×FGS△EFGEF×FGS△EFGEF×FGS△AEB+S△ADE+S△EBC+S△EDC=SABCDS△EFGS△EFGS△EFGS△EFGS△EFG第4頁(yè)共8頁(yè)年秋天五年級(jí)第三講三角形中的模型(一)周明麗

SABCD=BE×AE+DE×AE+BE×EC+DE×ECS△EFG×EFFG(BE+DE)×+(BE+DE)×=AE×ECEFFG=(BE+DE)×(AE+EC)EF×FG=BD×∴S△EFG=SABCD=1ACEF×FG=1教案--根基班1如圖，三角形ABC被分紅了甲(暗影局部)、乙兩局部，BD=DC=4，BE=3，AE=6，乙局部面積是甲局部面積的幾倍？A

EBDC2如圖，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，假如三角形ADE的面積等于1，那么三角形ABC的面積是多少？ADE3BC△DEF的面積為7平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF，求△ABC的面積．

如圖，四邊形EFGH的面積是66平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四邊形ABCD

的面積．

教案—提升班

1如圖在△ABC中，D在BA的延伸線上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2，S△ADE=12平方厘米，求△ABC的面積．

2〔2005年第11屆迎春杯試題〕三角形ABC被線段DE分紅三角形BDE和四邊形ACDE兩局部，問(wèn)：

三角形BDE的面積是四邊形ACDE面積的幾分之幾？

第5頁(yè)共8頁(yè)年秋天五年級(jí)第三講三角形中的模型(一)周明麗

3圖中三角形ABC的面積是180平方厘米，D是BC的中點(diǎn)，AD的長(zhǎng)是AE長(zhǎng)的3倍，EF的長(zhǎng)是BF長(zhǎng)

的3倍．那么三角形AEF的面積是多少平方厘米？

4如圖，將四邊形ABCD的四條邊AB、CB、CD、AD分別延伸兩倍至點(diǎn)E、F、G、H，假定四邊形ABCD

的面積為5，那么四邊形EFGH的面積是．

教案—尖子班

1四邊形ABCD中，CD=3DF，AE=3ED，三角形BFC的面積是6，四邊形BEDF的面積為7，求大四

邊形ABCD的面積。

如圖以直角三角形的三邊分別向外做三個(gè)正方形ABIH、ACFG、BCED，連結(jié)HG、EF、ID，又獲得三

個(gè)三角形，AB=3厘米，AC=4厘米，求六邊形DEFGHI的面積。

三角形ABC面積為1，延伸AB至D，使BD=aAB；延伸BC至E，使CE=bBC；延伸CA至F，

AF=cAC，求三角形DEF的面積。

4以下列圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為8厘米，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)，G是BF的中點(diǎn)，三角形ABG的面積是多少平方厘米？

第6頁(yè)共8頁(yè)年秋天五年級(jí)第三講三角形中的模型(一)周明麗

答案--根基班

剖析:由BD=DCBD=1BC；2

BE=3，AE=6，有BE=1AB.3由鳥(niǎo)頭定理有S甲=1×1×S?ABC=1S?ABC326S乙=S?ABC-S甲=5S?ABC16故甲乙.S=5S即，乙局部面積是甲局部面積的5倍剖析：共角定理〔鳥(niǎo)頭〕：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角兩夾邊的乘積之比

S△ADE=AD×AE=1×1=1∴S△×cm2S△ABCAB×AC5×315ABC=115=15

剖析：共角定理〔鳥(niǎo)頭〕：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角兩夾邊的乘積之比S△ADE=AD×AE=1×1=1;S△BDF=BD×BE=1×1=1;S△CEF=CE×CF=1×3=3S△ABCAB×AC5×315S△ABCAB×BC3×26S△ABCAB×AC2×48令S△=1，那么113ABCSADE=;SBDF=;SCEF=△6△6△8那么S△DEF=1-1-1-3=7?S△ABC=7÷7=24cm26682424剖析:共角定理〔鳥(niǎo)頭〕：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角兩夾邊的乘積之比

連結(jié)DB，S△ADB=AD×AB=1×1=1;S△DCB=DC×CB=1×1=1SAHAE2×12SCGCF△AEH×△CFG×1×22S△AEH+S△CFG=2S△ADB+2S△DCB=〔2S△ADB+S△DCB〕=2S△ABCD同理，連結(jié)AC，S△ADC=1×1=1;S△ACB=1×1=1S△HDG2×12S△EBF1×22S△HDG+S△EBF=2S△ADC+2S△ABC=〔2S△ADC+S△ABC〕=2S△ABCD∴SEHGF=SDHG+SBFE+SAHE+SCFB+SABCD=5SABCD∴SABCD=66????5答案--提升班

剖析：共角定理〔鳥(niǎo)頭〕：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角兩夾邊的乘積之比S△ADE=AD×AE=2×3=6∴S△ABC=12÷6×25=50cm2SABAC×525△ABC×5剖析：共角定理〔鳥(niǎo)頭〕：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角兩夾邊的乘積之比S△BDE=BEBD=2×3=3∴S△BDE=3=3×SACDE28-325S△ABCAB×BC8×728第7頁(yè)共8頁(yè)2021年秋天五年級(jí)第三講三角形中的模型(一)周明麗

剖析：依據(jù)鳥(niǎo)頭定理或等積變形可得S△AEF=3S△ABE=1×1S△ABD=3×1×1S△ABC=1S△ABC=180=cm244343288剖析：

共角定理〔鳥(niǎo)頭〕：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角兩夾邊的乘積之比連結(jié)，得S△ABCAB×BC1×11S△ACD=AD×CD=1×11S△EBFS△DHGDH×DG2×2EB×BF2×244∴S△EBF+S△DHG=4S△ABC+4S△ACD=4S△ABCDS△ABAD=1×1=1,S△BCD=BCCD=1×1=1連結(jié)BD，得ABD=××S△AEHAE×AH3×39S△FCGFC×CG3×39∴S△AEH+S△FCG=9S△ABD+9S△BCD=9S△ABCD∴SEFGH=S△EBF+S△DHG+S△AEH+S△FCG-S△ABCD=12S△ABCD=12×5=60答案--尖子班

剖析:由鳥(niǎo)頭定理或等積變形可得S△DBF=1S△FBC=1×6=322S△EDB=7-3=4，S△EAB=3S△DBE=3×4=12

SABCD=6+7+12=25

剖析：∵BAC+HAG