金融數(shù)學課件第四章資本資產定價模型CAPM

金融數(shù)學第四章資本資產定價模型CAPM金融數(shù)學第四章資本資產定價模型CAPM1均值方差模型提出了的證券選擇問題，解決了最優(yōu)地持有有效證券組合，即在同等收益水平之下風險最小的證券組合夏普等人在該模型基礎上發(fā)展了經濟含義任何證券組合收益率與某個共同因素的關系資產定價模型（CAPM）均值方差模型提出了的證券選擇問題，解決了最優(yōu)地持有有效證券組2第一節(jié)傳統(tǒng)標準CAPM的

定價公式推導

一般所說的CAPM就是傳統(tǒng)的標準的在一定假設條件下成立不“傳統(tǒng)的標準的”CAPM，是對假設條件的一些放寬本章主要介紹“傳統(tǒng)的”第一節(jié)傳統(tǒng)標準CAPM的

定價公式推導一般所說的CAP3CAPM的假設條件及其說明

根據“版本”不同，假設條件略有差異，但基本含義相同本教材列舉了9條假設1．投資者僅依據投資收益率的均值和方差作決策，投資者永不滿足2．投資者對預期回報率、標準差和證券之間的協(xié)方差具有相同的理解。3．單期（singleperiod）投資CAPM的假設條件及其說明根據“版本”不同，假設條件略有差44．資產都無限可分，可以購買一個股份的任意比例的部分。市銷的（Marketed），即，可以隨意買入賣出5．對賣空沒有約束6．存在無風險資產，可以以無風險利率貸出或借入任意數(shù)量的該種資產。利率對所有投資者相同7．忽略稅收和交易成本，信息是免費并可立即得到8．沒有通貨膨脹和利率的變化9．單個投資者不能通過其買賣行為影響資產價格，即完全競爭4．資產都無限可分，可以購買一個股份的任意比例的部分。市銷的5假設條件的放寬問題這些假設條件是標準的CAPM的假設有一些明顯與實際情況相違背本章后面將討論這些假設的放寬問題用效用函數(shù)的方式等方式討論更一般形式的最優(yōu)證券組合選擇的問題這些定價公式的“模樣”基本相同假設條件的放寬問題這些假設條件是標準的CAPM的假設6市場有效性假設EMH假設2是以有效性假設EMH為前提EMH是指價格已經反映了所有可能得到的信息。基于某一信息集的交易是否賺取較高的收益，若不能，則說明價格反映了該信息集的所有信息3種形式：弱、半強、強有效弱有效（weakform

efficiency）：信息集僅包含價格或收益的歷史記錄信息；現(xiàn)在的市場價格反映了有關該證券的所有歷史記錄中的信息半強有效（semi-strong

form

efficiency）：信息集包括所有公開的，投資者共知的所有信息；現(xiàn)在的市場價格不僅反映了該證券過去的信息，而且還反映了有關該證券的所有公布于眾的信息市場有效性假設EMH假設2是以有效性假設EMH為前提7強有效（strong

form

efficiency）：信息集包括任何市場參與者所掌握的一切信息；現(xiàn)在的市場不僅反映了有關該證券過去的信息和公布于眾的信息，而且還反映任何交易者掌握的私人信息強有效表明，即使是內線人（insider）也無法壟斷信息，研究者的成果與基金管理者對市場的評估均已反映到市場價格中一些學者用統(tǒng)計檢驗方法證明，對于半強有效，在一些規(guī)范成熟的證券市場中成立證券市場中許多異?，F(xiàn)象（anormalphenomenon）說明，市場不符合強有效在實際證券市場中應用CAPM，還有很大障礙強有效（strongformefficiency）：信息8資本市場線CML

（capitalmarketline）

投資者的最優(yōu)證券組合是風險資產組合e和無風險資產P0的線性組合所有的投資者面對同一個有效前沿進行最優(yōu)組合選擇，他們的差異體現(xiàn)在無差異曲線上如果有效前沿是“直的”射線，最優(yōu)組合有“簡單的”敘述——用點P0和e將最優(yōu)組合線性表示用無風險資產和風險資產組合e的線性組合將最優(yōu)證券組合表示；線性組合中的系數(shù)就是投資的權重投資者之間，無差異曲線的不同將導致選擇的最優(yōu)組合中，無風險P與有風險組合e的比例發(fā)生變化愿意“冒險”的投資者，風險資產組合e的比例大資本市場線CML

（capitalmarketline）9CMLe＝mE(r)0P0CMLe＝mE(r)0P010分離定理

separationtheorem如果把投資者持有的風險資產“挑出來”比較相對于總的資產，單個風險證券的權重不相同僅僅相對于風險資產來說，每種單個的風險資產在總的風險資產中占的比例，對于每個投資者來說是相同的，而且與組合e點“同結構”投資者投資于風險資產的“相對權重”與投資者個人的“風險喜好”程度無關兩者是分離的——分離定理分離定理

separationtheorem如果把投資者持11市場組合Marketportfolio

——切點e投資者通過持有e，間接地體現(xiàn)持有風險資產，而不直接考慮單獨風險資產持有情況定義：證券組合P被稱為市場組合，當且僅當該證券組合P投資于每個風險資產j的權重正好等于WmjWmj表示風險資產j的市值與風險資產的總值的比例

用m表示市場組合切點e就是市場組合（書上有證明過程）市場組合Marketportfolio

——切點e投資者通12兩個結論引理4.1：如果投資者的效用函數(shù)u（·）是嚴格遞增和凹函數(shù)的時候，投資者一定不會持有期望收益率＜rf的證券組合定理4.1：

如果風險厭惡的投資者都具有嚴格遞增的效用函數(shù)，那么當所有風險資產都是嚴格正的供給時，在CAPM假設下，市場證券組合的風險溢價，一定是嚴格正的從而，rf＜A/C一定成立兩個結論引理4.1：如果投資者的效用函數(shù)u（·）是嚴格遞增和13CML的方程式CML表示有效證券組合p的收益與風險之間關系的函數(shù)每個投資者的最優(yōu)組合選擇均取自該直線表達式中用到了市場組合的收益風險假定市場組合的收益風險可以計算出來從圖上可以簡單推導出該方程CML的方程式CML表示有效證券組合p的收益與風險之間關系的14資本資產定價模型—CAPM第三章結論：在市場均衡狀態(tài)下，對任意證券或組合q，可以用（3.35）定價用市場組合m取代（3.35）中的前沿證券P得到CAPMq的β系數(shù)資本資產定價模型—CAPM第三章結論：在市場均衡狀態(tài)下，對任15證券市場線

SML＝securitiesmarketline將CAPM看成一條直線，就是SML位于SML與CML對比：都是組合p的收益與風險之間關系的函數(shù)SML對任意的證券組合成立CML僅對前沿證券組合成立“橫坐標”不同：標準差，β系數(shù)證券市場線

SML＝securitiesmarketl16SML的含義處在SML上的投資組合點，處于均衡狀態(tài)。如圖中的m、Q點和O點高于或低于直線SML的點，表示投資組合不是處于均衡狀態(tài)。如圖中的O’點和Ｑ’點市場組合m的β系數(shù)βmm＝1，表示其與整個市場的波動相同，即，其預期收益率等于市場平均預期收益率EmSML對證券組合價格有制約作用市場處于均衡狀態(tài)時，SML可以決定單個證券或組合的預期收益率，也可以決定其價格SML的含義處在SML上的投資組合點，處于均衡狀態(tài)。如圖中的17高于SML的點（圖中的O’點）表示價格偏低的證券。（可以買入，需求增加）其市價低于均衡狀況下應有的價格預期收益率相對于其系統(tǒng)風險而言，必高于市場的平均預期收益率價格偏低，對該證券的需求就會“逐漸”增加，將使其價格上升隨著價格的上升，預期收益率將下降，直到下降到均衡狀態(tài)為止O’點下降到其SML所對應的O點高于SML的點（圖中的O’點）表示價格偏低的證券。（可以買入18低于SML的點（圖中的Q’點）表示價格偏高的證券。（應該賣出，供給增加）其市價高于均衡狀況下應有的價格預期收益率相對于其系統(tǒng)風險而言，必低于于市場的平均預期收益率價格偏高，對該證券的供給就會“逐漸”增加，將使其價格下降隨著價格的下降，預期收益率將上升，直到上升到均衡狀態(tài)為止Q’點上升到其SML所對應的Q點低于SML的點（圖中的Q’點）表示價格偏高的證券。（應該賣出19BAEO’mE(r)0βimEQ’EmO’OQ’Qβmm=1BAEO’mE(r)0βimEQ’EmO’OQ’Qβmm20β系數(shù)含義β系數(shù)表示證券或組合的系統(tǒng)風險根據β系數(shù)將證券或組合分為兩種SML上的B點在m點的左邊，其β系數(shù)值小于1。表明證券B的變動幅度小于整個市場的變動，稱為防衛(wèi)性證券或證券組合（defensivesecurities）SML上的A點在m點的右邊，其β系數(shù)值大于1。表明A的變動幅度大于整個市場的變動，稱為攻擊性證券或證券組合（Aggressivesecurities）β系數(shù)含義β系數(shù)表示證券或組合的系統(tǒng)風險21CAPM的事后形式—“特征線”類似于計量經濟中回歸的表達式CAPM的事后形式—“特征線”類似于計量經濟中回歸的表達式22風險的分解由事后形式，忽略聯(lián)動性，近似認為誤差項不相關風險由系統(tǒng)和非系統(tǒng)兩部分組成（等式右邊兩項）公式中X表示投資權重風險的分解由事后形式，忽略聯(lián)動性，近似認為誤差項不相關23非系統(tǒng)風險趨向于0非系統(tǒng)風險是方差表達式中第二項引理4.2：如果每個證券的非系統(tǒng)風險有界，即則，在高度分散化的情況下，組合p的非系統(tǒng)風險趨向于0，即組合p高度分散化是一個極限的過程，應該從“密度”的觀點看待。詳細內容第五章因為能夠被避免，所以稱為可分散風險非系統(tǒng)風險趨向于0非系統(tǒng)風險是方差表達式中第二項24組合風險的近似公式βim作為證券i對組合p的風險做出的“貢獻”的度量證券的系統(tǒng)風險體現(xiàn)在證券的β系數(shù)上βim作為對證券i的系統(tǒng)風險的度量把β系數(shù)看成對證券i的總風險的一個度量——β風險。β風險具有線性可加性是市場真正給予補償或估值的風險單個證券對組合風險的貢獻組合風險的近似公式單個證券對組合風險的貢獻25用風險和風險價格解釋CAPM在CAPM的表達式中，風險溢價（補償）———風險（橫坐標）————風險價格（直線斜率）—單位風險溢價—————用風險和風險價格解釋CAPM在CAPM的表達式中，26度量風險和風險價格的

另外兩種方式

CAPM公式變形度量風險和風險價格的

另外兩種方式CAPM公式變形27第二節(jié)CAPM應用和β系數(shù)估計

運用CAPM公式就需要了解3個數(shù)據1.β系數(shù)2.市場風險溢價3.無風險利率運用CAPM的難點就在于如何計算或估計這3個數(shù)據第二節(jié)CAPM應用和β系數(shù)估計運用CAPM公式就需要了28β系數(shù)的估計

沒有理由認為證券或證券組合的β系數(shù)恒定不變真正的β系數(shù)的取值是未來的β系數(shù)只有當認為未來的情況不會有大的差別時，才將現(xiàn)在的β系數(shù)用于未來先看過去和現(xiàn)在如何，再看將來會發(fā)生什么變化對β系數(shù)的預測還有很多，這里是幾種方法最基本1）用歷史數(shù)據估計出的β值作為β系數(shù)的預測值；2）用歷史的β值調整后得到的值作為β系數(shù)預測值3）用基礎β系數(shù)作為β系數(shù)的預測值

β系數(shù)的估計沒有理由認為證券或證券組合的β系數(shù)恒定不變29事后β系數(shù)的估計所謂事后β系數(shù)，是從市場的實際表現(xiàn)，來估計過去到現(xiàn)在一段時期以來，實際表現(xiàn)的β值是多大，因而它屬于一個實證而非預測的范疇由于用的是歷史的數(shù)據，所以也稱為歷史的β方法假定αi，βi為常數(shù)。用資產i的收益率和市場價格指數(shù)收益（市場組合收益率替代物）的歷史數(shù)據，建立線性回歸模型，得到αi和βi的估計值α*i，β*i：rit＝αi+βirmt+εit，t＝1，2，…，T具體估計過程分選取樣本和估計兩個步驟分段計算β系數(shù)

事后β系數(shù)的估計所謂事后β系數(shù)，是從市場的實際表現(xiàn)，來估計過30金融數(shù)學課件第四章資本資產定價模型CAPM31布魯姆（Blume）歷史調整β法布魯姆1971年提出將樣本期0—T分為兩段，0—T1和T1—T估計第1段和第2段的β值βi1和βi2用橫截面數(shù)據β12，…，βN2，對β11，β21，…，βN1；作最小二乘回歸N＝在樣本期都存在的股票個數(shù)將其作為證券i在下一個時期的β系數(shù)的預測值經驗表明，比直接用βi2預測誤差小查看Blume(1971)布魯姆（Blume）歷史調整β法布魯姆1971年提出32基礎β方法

上市公司的基礎因素（例如公司的規(guī)模、流動性等）影響股票風險。基礎=fundamental選擇市場變量或者反映公司基本特征的基礎變量。如股利支付率（＝股利／每股盈利）、資本增長率（＝資本增長量／總資本）、流動性（流動資產／流動負債）、公司規(guī)模（總資產）和盈利變動性（市盈率的標準差）用基于歷史的β值對基礎變量的橫截面數(shù)據（公司i的基礎變量X1，…，Xk的平均值）進行回歸估計X1，…，Xk，進而估計β值假定所有公司的β對基礎變量的反應程度一樣基礎β方法上市公司的基礎因素（例如公司的規(guī)模、流動性等）影33對未來β系數(shù)的預測

用歷史的β系數(shù)作為預測，承認未來的風險等于過去的風險美林公司公布的β系數(shù)是修正的β系數(shù)，以5年中的舊數(shù)據為抽樣單位國外一些機構定期公市股票β系數(shù)可采用某一機構公布的β系數(shù)，也可對機構公布的β系數(shù)平均預測未來β系數(shù)的最簡單辦法是用最近一段時間的事后β系數(shù)估計值作為未來某個時間段的β系數(shù)的預測值用移動取樣計算事后估計比較合理對未來β系數(shù)的預測用歷史的β系數(shù)作為預測，承認未來的風險等34如果認為時間上相鄰的β系數(shù)之間存在線性關系，可以首先明了這種關系，然后利用這種關系預測未來的β系數(shù)1.計算每個分段時期的β系數(shù)2.利用回歸分析等工具明確β系數(shù)之間的線性關系3.分析各個時間段計算出的β系數(shù)之間的相關性，建立線性關系

如果認為時間上相鄰的β系數(shù)之間存在線性關系，可以首先明了這種35風險價格和無風險收益率估計短期國債收益率作為無風險收益率的估計股票是長期證券，計算股權資本成本，用長期國債收益率真正的市場組合M是理想化的，是不可觀測的用股票價格指數(shù)作為M的替代物如果組合中含有債券，用股票指數(shù)和債券指數(shù)構造一個綜合的指標作為M的替代物選擇股票指數(shù)有“人為性”

市場風險溢價是變化的。如果要用CAPM估算股權收益成本，應該采用本期最新的預測值第四節(jié)有關市場組合的替代物是否“勝任”的問題風險價格和無風險收益率估計短期國債收益率作為無風險收益率的估36用CAPM確定資產價格是否合理

資產j在投資期末的預期價格是隨機變量資產j在投資期末的預期收益率資產j的均衡收益率是期初的市場價格為（已知的）市場組合的收益率資產j的期初均衡價格問題：投資期初的（現(xiàn)在的）市場價格是否合理可否利用該資產的定價偏高或偏低獲得收益用CAPM確定資產價格是否合理資產j在投資期末的預期價格是37用α系數(shù)判斷定價合理定價適當定價偏低定價偏高用α系數(shù)判斷定價合理定價適當38實際中尋找市價與均衡價格有差異的資產

選定過去某時刻到現(xiàn)在（現(xiàn)期）作為樣本期用作線性回歸，得到檢驗常數(shù)項是否與0有顯著差異如果有差異，定價不合理實際中尋找市價與均衡價格有差異的資產選定過去某時刻到現(xiàn)在（39發(fā)現(xiàn)不合理定價后

證券組合調整

發(fā)現(xiàn)了定價不當?shù)馁Y產j后，可以構造新的證券組合PN證券組合PN在坐標系中的點位于市場組合m點的左邊

PN與無風險證券的再組合的前沿為超有效證券前沿（supperefficientportfoliofrontier）

PN的公式復雜Pagexx發(fā)現(xiàn)不合理定價后

證券組合調整發(fā)現(xiàn)了定價不當?shù)馁Y產j后，可40第三節(jié)關于市場組合的替代物的兩個結論

市場組合的收益率是不可觀測的只能觀測替代物（MarketProxy）替代物而在什么情況下可以代表真正的市場組合m兩個有用的結論

第三節(jié)關于市場組合的替代物的兩個結論市場組合的收益率是41定理4.2：如果市場組合m的替代物具有單位β值，即，并且，單個證券j的收益率與替代物之間的線性回歸的余項（誤差項）與真正市場組合m不相關，那么，證券j真正的β系數(shù)是可以估計的，

定理4.2：如果市場組合m的替代物具有單位β值，即，42定理4.3：如果選N個證券為樣本，并且知道它們真正的貝塔值βm＝（β1m，β2m，…，βNm）T，那么可以由這N個樣本證券構造出一個市場組合的替代物，使得這N個樣本證券相對于替代物的β系數(shù)與相對于真正市場組合m的β系數(shù)一致

證明：構造組合的權重如下定理4.3：如果選N個證券為樣本，并且知道它們真正的貝塔值β43第四節(jié)

兩組合分離性

兩組合分離性的=twofundsseparation放寬CAPM模型中假設1的條件將“馬可維茨擁護者”變?yōu)椤帮L險厭惡型投資者”“風險厭惡的投資者”如何選擇最優(yōu)證券組合所有證券組合前沿上的組合可以用任意兩個不相同的前沿證券組合的組合表示“空間的維數(shù)＝2”第四節(jié)兩組合分離性兩組合分離性的=twofund44兩組合分離性定義定義：稱資產集具有兩組合分離性，如果存在兩個資產組合α1和α2，使得，對于任意證券組合ｑ可以找到實數(shù)λ（與ｑ有關），使得下面的不等式對所有凹函數(shù)u成立兩組合分離性定義定義：稱資產集45“二維空間”因為兩個組合α1和α2的組合可以“優(yōu)于”任何一個證券組合只需要考慮α1和α2就夠了盡管不能確定具體是哪兩個組合但是，數(shù)量是確定的＝2類似于線性空間的“維數(shù)”兩組合分離可以理解為是“二維空間”

“二維空間”因為兩個組合α1和α2的組合可以“優(yōu)于”任何一46兩組合分離的性質

CAPM中的假設1放寬后，在什么情況下，風險厭惡的投資者會偏好于前沿證券組合定理4.4：滿足兩組合分離中定義中的α1和α2一定是前沿證券組合定理4.5：如果資產集具有兩組合分離性，那么，任何兩個不相同的前沿證券都可作為定義中的兩分離組合α1和α2。特別地，可以任意取某個前沿證券p（≠mvp）和它的零協(xié)方差證券組合zc(p)。

兩組合分離的性質CAPM中的假設1放寬后，在什么情況下，風47兩組合分離的等價條件

定理4.6：設p是某個給定的前沿證券組合，下面3種說法等價1）存在兩組合分離性；2）對任意的組合q和所有的凹函數(shù)u3）對任意的組合q，

兩組合分離的等價條件定理4.6：設p是某個給定的前沿證券組48定理4.7：p是某個前沿證券組合，則，如果存在兩組合分離現(xiàn)象，那么，對所有的凹函數(shù)u和任意組合q，λ=0是下面優(yōu)化問題的解定理的證明過程分為兩個部分定理4.7：p是某個前沿證券組合，則，如果存在兩組合分離現(xiàn)象49單組合分離設想：兩組合分離性中的兩個證券組合“相距很近”，其極限結果就是單組合分離性單組合分離性可以理解成兩組合分離性的退化形式定義：對于資產集，如果存在證券組合α，使得，

對任意證券組合ｑ和所有凹函數(shù)u成立，稱資產集具有單組合分離性

單組合分離設想：兩組合分離性中的兩個證券組合“相距很近”，其50單組合分離性是指：對于每個風險厭惡的投資者，存在單獨一個證券組合，它優(yōu)于任何其它可行的證券組合定理4.8：單組合分離性中的證券組合α必定是最小方差的證券組合（mvp）。定理4.9：單組合分離的充要條件是單組合分離性是指：51兩組合分離性資產集的存在性如果資產集如果具有兩組合分離性，那么，任何風險厭惡的投資者都會在證券組合前沿上尋找其最佳投資策略，此時，CAPM的假設1可以去掉，只要求投資者是風險厭惡型。實際市場中，存在具有兩組合分離性的資產集某些證券收益的分布都會產生兩組合分離的現(xiàn)象正態(tài)分布具有兩組合分離性一些穩(wěn)定的Paretian分布和具有相對更極端值的肥尾分布的非穩(wěn)定Paretian分布，也具有兩組合分離性兩組合分離性資產集的存在性如果資產集如果具有兩組合分離性，那52正態(tài)分布情況下隨機變量（資產集）服從正態(tài)分布第一，正態(tài)分布的線性組合仍然是正態(tài)分布第二，兩個正態(tài)分布隨機變量，不相關等價于獨立結論4.1：如果資產集服從多元正態(tài)分布，則，具有兩組合分離性結論4.2：如果資產集合不僅服從多元正態(tài)分布，而且，具有相等的期望值，那么，具有單組合分離性結論4.3：假設投資者的效用函數(shù)都是遞增和嚴格凹的（風險厭惡），則，市場組合是有效前沿證券正態(tài)分布情況下隨機變量（資產集）53第五節(jié)

不存在無風險資產

情況下的CAPM對標準的CAPM中假設6的放寬假設條件6具體內容是：存在無風險資產，單個投資者能以無風險利率借入或貸出任意數(shù)量的該種資產，這個利率對所有投資者都相同現(xiàn)在假設，沒有無風險資產存在針對這種情況，布萊克（Black）1972年得到了一個一般的CAPM，稱之布萊克CAPM第五節(jié)不存在無風險資產

情況下的CAPM對標準的CAP54用zc(m)代替無風險資產根據第3章第5節(jié)的定價公式，任意風險資產i，可以按照下面的公式進行定價本來公式中雙曲線上任何一個非左端點的點這里指定m是市場組合，就是布萊克的CAPM布萊克CAPM中的zc(m)是未觀察的變量比標準的CAPM復雜得多zc(m)相對于m的β系數(shù)βzc(m)m=0布萊克CAPM又被稱為0貝塔CAMPZero-betaCAPM用zc(m)代替無風險資產55第六節(jié)對賣空和無風險證券

條件的放寬

標準CAPM模型的假設5：對賣空沒有約束，允許無限制地賣空實際中，對賣空是有限制的。我國的上海和深圳證券交易所都不允許賣空。在允許賣空情況下，所有投資者都持有的風險證券的“結構”與市場組合中的風險證券“結構”相同?？紤]連接無風險證券和市場組合m的直線的斜率km。第六節(jié)對賣空和無風險證券

條件的放寬標準CAPM模型的假56限制賣空與否不改變CAPM可賣空的規(guī)劃問題P1最大斜率不賣空的規(guī)劃問題P2市場組合M是P1的解，M的權重非負兩個問題的解相同限制賣空與否不改變CAPM可賣空的規(guī)劃問題P1市場組合M57對無風險資產借人貸出假定的修正標準的CAPM假定6：存在無風險資產，單個投資者可以以一個無風險利率貸出（即投資）或借入任意數(shù)量的該種資產。這個利率對所有投資者都相同分為三種情況第一，不能以無風險利率借入，也不能貸出；第二，能貸出，但不能借入；第三，能貸能借，但是借入和貸出的利率不相等對無風險資產借人貸出假定的修正標準的CAPM假定6：58情形1：不能借也不能貸

相當于不存在無風險資產第四節(jié)的Black0βCAPM模型注：羅斯（ROSS）證明：在既不允許以無風險利率借貸，又不允許風險資產賣空時，不能導出簡單的均衡關系情形1：不能借也不能貸相當于不存在無風險資產59情形2：能以無風險利率貸出

但不能以無風險利率借入考慮這種情況下的證券前沿組合因可以貸入，切點e點左邊，前沿組合是直線因不能借入，切點e右邊是原來的曲線有效證券前沿＝直線段pe＋曲線ec投資者持有的有效組合中所包含的風險資產組合要么是e，要么是e右邊的位于ec上的組合e是點p(0，rf)引出射線與雙曲線的切點結論4.3：市場組合m必位于e右側的雙曲線上

情形2：能以無風險利率貸出

但不能以無風險利率借入考慮這種情60zc(m)PceE(r)0mzc(m)PceE(r)0m61情形2的定價公式情形2的定價公式62m點趨向于e點。上式“退化成”Black的0貝塔CAPM有效邊界＝pe＋emc投資者在pe上的選擇是，一部分資金投資于組合e，而另一部分資金投資于無風險資產。切點組合e可視為市場組合m和零協(xié)方差組合zc(m)的某個凸組合。投資者在em上的選擇是對市場組合m和組合zc(m)的凸組合；投資者在me上的選擇是賣空zc(m)，并用所的資金加上原先的資金投資于市場組合m。在這種情況下，將涉及到“三組合分離性”m點趨向于e點。上式“退化成”Black的0貝塔CAPM63情形3：無風險資產的借出利率和貸入利率不相等的對于CAPM，在討論能以不等的無風險利率借入貸出的時候，應該假設，借入利率高于貸出利率，即，rB＞rL表明的實際情況是，借入資金的一方所要付出的，出了貸出利率之外，還有進行借入活動的成本情形3：無風險資產的借出利率和貸入利率不相等的對于CAPM，64由PB（0，rB）和PL（0，rL）引出兩條射線射線的做法是與雙曲線相切，切點是B和L有效邊界＝線段PLL、曲線LB＋射線BC市場組合m位于LB之間的曲線上它是有效的風險前沿證券組合，因而，其零協(xié)方差證券組合zc(m)滿足由PB（0，rB）和PL（0，rL）引出兩條射線65zc(m)cLE(r)0mBzc(m)cLE(r)0mB66情形3下的定價公式為考慮B、L和m無限地接近的極限情況“退化成”前面介紹過Black的CAPM布倫南（M．Brennan）討論了不僅借入、貸出時的無風險利率不同，而且這些利率還因人而異，得到了形同0-β的CAPM的均衡方程情形3下的定價公式為考慮B、L和m無限地接近的極限情況67第四章附錄隨機變量的標準化一個重要定理CAPM假設條件放寬的其他兩種情況C—CAPM模型推導和解釋第四章附錄隨機變量的標準化一個重要定理CAPM假設條件68金融數(shù)學第四章資本資產定價模型CAPM金融數(shù)學第四章資本資產定價模型CAPM69均值方差模型提出了的證券選擇問題，解決了最優(yōu)地持有有效證券組合，即在同等收益水平之下風險最小的證券組合夏普等人在該模型基礎上發(fā)展了經濟含義任何證券組合收益率與某個共同因素的關系資產定價模型（CAPM）均值方差模型提出了的證券選擇問題，解決了最優(yōu)地持有有效證券組70第一節(jié)傳統(tǒng)標準CAPM的

定價公式推導

一般所說的CAPM就是傳統(tǒng)的標準的在一定假設條件下成立不“傳統(tǒng)的標準的”CAPM，是對假設條件的一些放寬本章主要介紹“傳統(tǒng)的”第一節(jié)傳統(tǒng)標準CAPM的

定價公式推導一般所說的CAP71CAPM的假設條件及其說明

根據“版本”不同，假設條件略有差異，但基本含義相同本教材列舉了9條假設1．投資者僅依據投資收益率的均值和方差作決策，投資者永不滿足2．投資者對預期回報率、標準差和證券之間的協(xié)方差具有相同的理解。3．單期（singleperiod）投資CAPM的假設條件及其說明根據“版本”不同，假設條件略有差724．資產都無限可分，可以購買一個股份的任意比例的部分。市銷的（Marketed），即，可以隨意買入賣出5．對賣空沒有約束6．存在無風險資產，可以以無風險利率貸出或借入任意數(shù)量的該種資產。利率對所有投資者相同7．忽略稅收和交易成本，信息是免費并可立即得到8．沒有通貨膨脹和利率的變化9．單個投資者不能通過其買賣行為影響資產價格，即完全競爭4．資產都無限可分，可以購買一個股份的任意比例的部分。市銷的73假設條件的放寬問題這些假設條件是標準的CAPM的假設有一些明顯與實際情況相違背本章后面將討論這些假設的放寬問題用效用函數(shù)的方式等方式討論更一般形式的最優(yōu)證券組合選擇的問題這些定價公式的“模樣”基本相同假設條件的放寬問題這些假設條件是標準的CAPM的假設74市場有效性假設EMH假設2是以有效性假設EMH為前提EMH是指價格已經反映了所有可能得到的信息?；谀骋恍畔⒓慕灰资欠褓嵢≥^高的收益，若不能，則說明價格反映了該信息集的所有信息3種形式：弱、半強、強有效弱有效（weakform

efficiency）：信息集僅包含價格或收益的歷史記錄信息；現(xiàn)在的市場價格反映了有關該證券的所有歷史記錄中的信息半強有效（semi-strong

form

efficiency）：信息集包括所有公開的，投資者共知的所有信息；現(xiàn)在的市場價格不僅反映了該證券過去的信息，而且還反映了有關該證券的所有公布于眾的信息市場有效性假設EMH假設2是以有效性假設EMH為前提75強有效（strong

form

efficiency）：信息集包括任何市場參與者所掌握的一切信息；現(xiàn)在的市場不僅反映了有關該證券過去的信息和公布于眾的信息，而且還反映任何交易者掌握的私人信息強有效表明，即使是內線人（insider）也無法壟斷信息，研究者的成果與基金管理者對市場的評估均已反映到市場價格中一些學者用統(tǒng)計檢驗方法證明，對于半強有效，在一些規(guī)范成熟的證券市場中成立證券市場中許多異常現(xiàn)象（anormalphenomenon）說明，市場不符合強有效在實際證券市場中應用CAPM，還有很大障礙強有效（strongformefficiency）：信息76資本市場線CML

（capitalmarketline）

投資者的最優(yōu)證券組合是風險資產組合e和無風險資產P0的線性組合所有的投資者面對同一個有效前沿進行最優(yōu)組合選擇，他們的差異體現(xiàn)在無差異曲線上如果有效前沿是“直的”射線，最優(yōu)組合有“簡單的”敘述——用點P0和e將最優(yōu)組合線性表示用無風險資產和風險資產組合e的線性組合將最優(yōu)證券組合表示；線性組合中的系數(shù)就是投資的權重投資者之間，無差異曲線的不同將導致選擇的最優(yōu)組合中，無風險P與有風險組合e的比例發(fā)生變化愿意“冒險”的投資者，風險資產組合e的比例大資本市場線CML

（capitalmarketline）77CMLe＝mE(r)0P0CMLe＝mE(r)0P078分離定理

separationtheorem如果把投資者持有的風險資產“挑出來”比較相對于總的資產，單個風險證券的權重不相同僅僅相對于風險資產來說，每種單個的風險資產在總的風險資產中占的比例，對于每個投資者來說是相同的，而且與組合e點“同結構”投資者投資于風險資產的“相對權重”與投資者個人的“風險喜好”程度無關兩者是分離的——分離定理分離定理

separationtheorem如果把投資者持79市場組合Marketportfolio

——切點e投資者通過持有e，間接地體現(xiàn)持有風險資產，而不直接考慮單獨風險資產持有情況定義：證券組合P被稱為市場組合，當且僅當該證券組合P投資于每個風險資產j的權重正好等于WmjWmj表示風險資產j的市值與風險資產的總值的比例

用m表示市場組合切點e就是市場組合（書上有證明過程）市場組合Marketportfolio

——切點e投資者通80兩個結論引理4.1：如果投資者的效用函數(shù)u（·）是嚴格遞增和凹函數(shù)的時候，投資者一定不會持有期望收益率＜rf的證券組合定理4.1：

如果風險厭惡的投資者都具有嚴格遞增的效用函數(shù)，那么當所有風險資產都是嚴格正的供給時，在CAPM假設下，市場證券組合的風險溢價，一定是嚴格正的從而，rf＜A/C一定成立兩個結論引理4.1：如果投資者的效用函數(shù)u（·）是嚴格遞增和81CML的方程式CML表示有效證券組合p的收益與風險之間關系的函數(shù)每個投資者的最優(yōu)組合選擇均取自該直線表達式中用到了市場組合的收益風險假定市場組合的收益風險可以計算出來從圖上可以簡單推導出該方程CML的方程式CML表示有效證券組合p的收益與風險之間關系的82資本資產定價模型—CAPM第三章結論：在市場均衡狀態(tài)下，對任意證券或組合q，可以用（3.35）定價用市場組合m取代（3.35）中的前沿證券P得到CAPMq的β系數(shù)資本資產定價模型—CAPM第三章結論：在市場均衡狀態(tài)下，對任83證券市場線

SML＝securitiesmarketline將CAPM看成一條直線，就是SML位于SML與CML對比：都是組合p的收益與風險之間關系的函數(shù)SML對任意的證券組合成立CML僅對前沿證券組合成立“橫坐標”不同：標準差，β系數(shù)證券市場線

SML＝securitiesmarketl84SML的含義處在SML上的投資組合點，處于均衡狀態(tài)。如圖中的m、Q點和O點高于或低于直線SML的點，表示投資組合不是處于均衡狀態(tài)。如圖中的O’點和Ｑ’點市場組合m的β系數(shù)βmm＝1，表示其與整個市場的波動相同，即，其預期收益率等于市場平均預期收益率EmSML對證券組合價格有制約作用市場處于均衡狀態(tài)時，SML可以決定單個證券或組合的預期收益率，也可以決定其價格SML的含義處在SML上的投資組合點，處于均衡狀態(tài)。如圖中的85高于SML的點（圖中的O’點）表示價格偏低的證券。（可以買入，需求增加）其市價低于均衡狀況下應有的價格預期收益率相對于其系統(tǒng)風險而言，必高于市場的平均預期收益率價格偏低，對該證券的需求就會“逐漸”增加，將使其價格上升隨著價格的上升，預期收益率將下降，直到下降到均衡狀態(tài)為止O’點下降到其SML所對應的O點高于SML的點（圖中的O’點）表示價格偏低的證券。（可以買入86低于SML的點（圖中的Q’點）表示價格偏高的證券。（應該賣出，供給增加）其市價高于均衡狀況下應有的價格預期收益率相對于其系統(tǒng)風險而言，必低于于市場的平均預期收益率價格偏高，對該證券的供給就會“逐漸”增加，將使其價格下降隨著價格的下降，預期收益率將上升，直到上升到均衡狀態(tài)為止Q’點上升到其SML所對應的Q點低于SML的點（圖中的Q’點）表示價格偏高的證券。（應該賣出87BAEO’mE(r)0βimEQ’EmO’OQ’Qβmm=1BAEO’mE(r)0βimEQ’EmO’OQ’Qβmm88β系數(shù)含義β系數(shù)表示證券或組合的系統(tǒng)風險根據β系數(shù)將證券或組合分為兩種SML上的B點在m點的左邊，其β系數(shù)值小于1。表明證券B的變動幅度小于整個市場的變動，稱為防衛(wèi)性證券或證券組合（defensivesecurities）SML上的A點在m點的右邊，其β系數(shù)值大于1。表明A的變動幅度大于整個市場的變動，稱為攻擊性證券或證券組合（Aggressivesecurities）β系數(shù)含義β系數(shù)表示證券或組合的系統(tǒng)風險89CAPM的事后形式—“特征線”類似于計量經濟中回歸的表達式CAPM的事后形式—“特征線”類似于計量經濟中回歸的表達式90風險的分解由事后形式，忽略聯(lián)動性，近似認為誤差項不相關風險由系統(tǒng)和非系統(tǒng)兩部分組成（等式右邊兩項）公式中X表示投資權重風險的分解由事后形式，忽略聯(lián)動性，近似認為誤差項不相關91非系統(tǒng)風險趨向于0非系統(tǒng)風險是方差表達式中第二項引理4.2：如果每個證券的非系統(tǒng)風險有界，即則，在高度分散化的情況下，組合p的非系統(tǒng)風險趨向于0，即組合p高度分散化是一個極限的過程，應該從“密度”的觀點看待。詳細內容第五章因為能夠被避免，所以稱為可分散風險非系統(tǒng)風險趨向于0非系統(tǒng)風險是方差表達式中第二項92組合風險的近似公式βim作為證券i對組合p的風險做出的“貢獻”的度量證券的系統(tǒng)風險體現(xiàn)在證券的β系數(shù)上βim作為對證券i的系統(tǒng)風險的度量把β系數(shù)看成對證券i的總風險的一個度量——β風險。β風險具有線性可加性是市場真正給予補償或估值的風險單個證券對組合風險的貢獻組合風險的近似公式單個證券對組合風險的貢獻93用風險和風險價格解釋CAPM在CAPM的表達式中，風險溢價（補償）———風險（橫坐標）————風險價格（直線斜率）—單位風險溢價—————用風險和風險價格解釋CAPM在CAPM的表達式中，94度量風險和風險價格的

另外兩種方式

CAPM公式變形度量風險和風險價格的

另外兩種方式CAPM公式變形95第二節(jié)CAPM應用和β系數(shù)估計

運用CAPM公式就需要了解3個數(shù)據1.β系數(shù)2.市場風險溢價3.無風險利率運用CAPM的難點就在于如何計算或估計這3個數(shù)據第二節(jié)CAPM應用和β系數(shù)估計運用CAPM公式就需要了96β系數(shù)的估計

沒有理由認為證券或證券組合的β系數(shù)恒定不變真正的β系數(shù)的取值是未來的β系數(shù)只有當認為未來的情況不會有大的差別時，才將現(xiàn)在的β系數(shù)用于未來先看過去和現(xiàn)在如何，再看將來會發(fā)生什么變化對β系數(shù)的預測還有很多，這里是幾種方法最基本1）用歷史數(shù)據估計出的β值作為β系數(shù)的預測值；2）用歷史的β值調整后得到的值作為β系數(shù)預測值3）用基礎β系數(shù)作為β系數(shù)的預測值

β系數(shù)的估計沒有理由認為證券或證券組合的β系數(shù)恒定不變97事后β系數(shù)的估計所謂事后β系數(shù)，是從市場的實際表現(xiàn)，來估計過去到現(xiàn)在一段時期以來，實際表現(xiàn)的β值是多大，因而它屬于一個實證而非預測的范疇由于用的是歷史的數(shù)據，所以也稱為歷史的β方法假定αi，βi為常數(shù)。用資產i的收益率和市場價格指數(shù)收益（市場組合收益率替代物）的歷史數(shù)據，建立線性回歸模型，得到αi和βi的估計值α*i，β*i：rit＝αi+βirmt+εit，t＝1，2，…，T具體估計過程分選取樣本和估計兩個步驟分段計算β系數(shù)

事后β系數(shù)的估計所謂事后β系數(shù)，是從市場的實際表現(xiàn)，來估計過98金融數(shù)學課件第四章資本資產定價模型CAPM99布魯姆（Blume）歷史調整β法布魯姆1971年提出將樣本期0—T分為兩段，0—T1和T1—T估計第1段和第2段的β值βi1和βi2用橫截面數(shù)據β12，…，βN2，對β11，β21，…，βN1；作最小二乘回歸N＝在樣本期都存在的股票個數(shù)將其作為證券i在下一個時期的β系數(shù)的預測值經驗表明，比直接用βi2預測誤差小查看Blume(1971)布魯姆（Blume）歷史調整β法布魯姆1971年提出100基礎β方法

上市公司的基礎因素（例如公司的規(guī)模、流動性等）影響股票風險?；A=fundamental選擇市場變量或者反映公司基本特征的基礎變量。如股利支付率（＝股利／每股盈利）、資本增長率（＝資本增長量／總資本）、流動性（流動資產／流動負債）、公司規(guī)模（總資產）和盈利變動性（市盈率的標準差）用基于歷史的β值對基礎變量的橫截面數(shù)據（公司i的基礎變量X1，…，Xk的平均值）進行回歸估計X1，…，Xk，進而估計β值假定所有公司的β對基礎變量的反應程度一樣基礎β方法上市公司的基礎因素（例如公司的規(guī)模、流動性等）影101對未來β系數(shù)的預測

用歷史的β系數(shù)作為預測，承認未來的風險等于過去的風險美林公司公布的β系數(shù)是修正的β系數(shù)，以5年中的舊數(shù)據為抽樣單位國外一些機構定期公市股票β系數(shù)可采用某一機構公布的β系數(shù)，也可對機構公布的β系數(shù)平均預測未來β系數(shù)的最簡單辦法是用最近一段時間的事后β系數(shù)估計值作為未來某個時間段的β系數(shù)的預測值用移動取樣計算事后估計比較合理對未來β系數(shù)的預測用歷史的β系數(shù)作為預測，承認未來的風險等102如果認為時間上相鄰的β系數(shù)之間存在線性關系，可以首先明了這種關系，然后利用這種關系預測未來的β系數(shù)1.計算每個分段時期的β系數(shù)2.利用回歸分析等工具明確β系數(shù)之間的線性關系3.分析各個時間段計算出的β系數(shù)之間的相關性，建立線性關系

如果認為時間上相鄰的β系數(shù)之間存在線性關系，可以首先明了這種103風險價格和無風險收益率估計短期國債收益率作為無風險收益率的估計股票是長期證券，計算股權資本成本，用長期國債收益率真正的市場組合M是理想化的，是不可觀測的用股票價格指數(shù)作為M的替代物如果組合中含有債券，用股票指數(shù)和債券指數(shù)構造一個綜合的指標作為M的替代物選擇股票指數(shù)有“人為性”

市場風險溢價是變化的。如果要用CAPM估算股權收益成本，應該采用本期最新的預測值第四節(jié)有關市場組合的替代物是否“勝任”的問題風險價格和無風險收益率估計短期國債收益率作為無風險收益率的估104用CAPM確定資產價格是否合理

資產j在投資期末的預期價格是隨機變量資產j在投資期末的預期收益率資產j的均衡收益率是期初的市場價格為（已知的）市場組合的收益率資產j的期初均衡價格問題：投資期初的（現(xiàn)在的）市場價格是否合理可否利用該資產的定價偏高或偏低獲得收益用CAPM確定資產價格是否合理資產j在投資期末的預期價格是105用α系數(shù)判斷定價合理定價適當定價偏低定價偏高用α系數(shù)判斷定價合理定價適當106實際中尋找市價與均衡價格有差異的資產

選定過去某時刻到現(xiàn)在（現(xiàn)期）作為樣本期用作線性回歸，得到檢驗常數(shù)項是否與0有顯著差異如果有差異，定價不合理實際中尋找市價與均衡價格有差異的資產選定過去某時刻到現(xiàn)在（107發(fā)現(xiàn)不合理定價后

證券組合調整

發(fā)現(xiàn)了定價不當?shù)馁Y產j后，可以構造新的證券組合PN證券組合PN在坐標系中的點位于市場組合m點的左邊

PN與無風險證券的再組合的前沿為超有效證券前沿（supperefficientportfoliofrontier）

PN的公式復雜Pagexx發(fā)現(xiàn)不合理定價后

證券組合調整發(fā)現(xiàn)了定價不當?shù)馁Y產j后，可108第三節(jié)關于市場組合的替代物的兩個結論

市場組合的收益率是不可觀測的只能觀測替代物（MarketProxy）替代物而在什么情況下可以代表真正的市場組合m兩個有用的結論

第三節(jié)關于市場組合的替代物的兩個結論市場組合的收益率是109定理4.2：如果市場組合m的替代物具有單位β值，即，并且，單個證券j的收益率與替代物之間的線性回歸的余項（誤差項）與真正市場組合m不相關，那么，證券j真正的β系數(shù)是可以估計的，

定理4.2：如果市場組合m的替代物具有單位β值，即，110定理4.3：如果選N個證券為樣本，并且知道它們真正的貝塔值βm＝（β1m，β2m，…，βNm）T，那么可以由這N個樣本證券構造出一個市場組合的替代物，使得這N個樣本證券相對于替代物的β系數(shù)與相對于真正市場組合m的β系數(shù)一致

證明：構造組合的權重如下定理4.3：如果選N個證券為樣本，并且知道它們真正的貝塔值β111第四節(jié)

兩組合分離性

兩組合分離性的=twofundsseparation放寬CAPM模型中假設1的條件將“馬可維茨擁護者”變?yōu)椤帮L險厭惡型投資者”“風險厭惡的投資者”如何選擇最優(yōu)證券組合所有證券組合前沿上的組合可以用任意兩個不相同的前沿證券組合的組合表示“空間的維數(shù)＝2”第四節(jié)兩組合分離性兩組合分離性的=twofund112兩組合分離性定義定義：稱資產集具有兩組合分離性，如果存在兩個資產組合α1和α2，使得，對于任意證券組合ｑ可以找到實數(shù)λ（與ｑ有關），使得下面的不等式對所有凹函數(shù)u成立兩組合分離性定義定義：稱資產集113“二維空間”因為兩個組合α1和α2的組合可以“優(yōu)于”任何一個證券組合只需要考慮α1和α2就夠了盡管不能確定具體是哪兩個組合但是，數(shù)量是確定的＝2類似于線性空間的“維數(shù)”兩組合分離可以理解為是“二維空間”

“二維空間”因為兩個組合α1和α2的組合可以“優(yōu)于”任何一114兩組合分離的性質

CAPM中的假設1放寬后，在什么情況下，風險厭惡的投資者會偏好于前沿證券組合定理4.4：滿足兩組合分離中定義中的α1和α2一定是前沿證券組合定理4.5：如果資產集具有兩組合分離性，那么，任何兩個不相同的前沿證券都可作為定義中的兩分離組合α1和α2。特別地，可以任意取某個前沿證券p（≠mvp）和它的零協(xié)方差證券組合zc(p)。

兩組合分離的性質CAPM中的假設1放寬后，在什么情況下，風115兩組合分離的等價條件

定理4.6：設p是某個給定的前沿證券組合，下面3種說法等價1）存在兩組合分離性；2）對任意的組合q和所有的凹函數(shù)u3）對任意的組合q，

兩組合分離的等價條件定理4.6：設p是某個給定的前沿證券組116定理4.7：p是某個前沿證券組合，則，如果存在兩組合分離現(xiàn)象，那么，對所有的凹函數(shù)u和任意組合q，λ=0是下面優(yōu)化問題的解定理的證明過程分為兩個部分定理4.7：p是某個前沿證券組合，則，如果存在兩組合分離現(xiàn)象117單組合分離設想：兩組合分離性中的兩個證券組合“相距很近”，其極限結果就是單組合分離性單組合分離性可以理解成兩組合分離性的退化形式定義：對于資產集，如果存在證券組合α，使得，

對任意證券組合ｑ和所有凹函數(shù)u成立，稱資產集具有單組合分離性

單組合分離設想：兩組合分離性中的兩個證券組合“相距很近”，其118單組合分離性是指：對于每個風險厭惡的投資者，存在單獨一個證券組合，它優(yōu)于任何其它可行的證券組合定理4.8：單組合分離性中的證券組合α必定是最小方差的證券組合（mvp）。定理4.9：單組合分離的充要條件是單組合分離性是指：119兩組合分離性資產集的存在性如果資產集如果具有兩組合分離性，那么，任何風險厭惡的投資者都會在證券組合前沿上尋找其最佳投資策略，此時，CAPM的假設1可以去掉，只要求投資者是風險厭惡型。實際市場中，存在具有兩組合分離性的資產集某些證券收益的分布都會產生兩組合分離的現(xiàn)象正態(tài)分布具有兩組合分離性一些穩(wěn)定的Paretian分布和具有相對更極端值的肥尾分布的非穩(wěn)定Paretian分布，也具有兩組合分離性兩組合分離性資產集的存在性如果資產集如果具有兩組合分離性，那120正態(tài)分布情況下隨機變量（資產集）服從正態(tài)分布第一，正態(tài)分布的線性組合仍然是正態(tài)分布第二，兩個正態(tài)分布隨機變量，不相關等價于獨立結論4.1：如果資產集服從多元正態(tài)分布，則，具有兩組合分離性結論4.2：如果資產集合不僅服從多元正態(tài)分布，而且，具有相等的期望值，那么，具有單組合分離性結論4.3：假設投資者的效用函數(shù)都是遞增和嚴格凹的（風險厭惡），則，市場組合是