理論力學(xué)-cha9.0靜力學(xué)能量方法概述

靜力學(xué)能量方法:概述力的功虛功原理廣義坐標(biāo)有

系統(tǒng)的平衡及其穩(wěn)定性靜力學(xué)能量方法:概述力的功虛功原理廣義坐標(biāo)有

系統(tǒng)的平衡及其穩(wěn)定性2W2W2W2W9.0

靜力學(xué)能量方法：概述問(wèn)題:已知各均質(zhì)桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，重為W，求系統(tǒng)在圖示位置平衡時(shí)，所需水平力F

的大小。(忽略所有摩擦）FF

W

tan應(yīng)用靜力學(xué)的矢量方法不易求解。靜力學(xué)能量方法:概述力的功虛功原理廣義坐標(biāo)有

系統(tǒng)的平衡及其穩(wěn)定性在矢徑增量dr下，功的增量或稱元功vzOrr

dr

FyABdrx力的功1力的功元功在變力作用下的質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)。其中用ddW

F

d

r而不是d表示元功,表明d

W

通常不是函數(shù)W

的全微分而僅僅只是一個(gè)無(wú)限小的表達(dá)式。直角坐標(biāo)系表示dFr

FdxixiFdy

yj

jFdz

kz,k自然坐標(biāo)系表示F

Fnn

Fτ

Fbb,

d

r

d

sτdW

F

xd

x

F

y

d

y

Fz

d

zdW

F

d

s

F

cos

d

s1.2

功質(zhì)點(diǎn)在的F作用下從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B相應(yīng)的功為WAB

(F

)

F

d

rAB與運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)時(shí)BWAB

(F

)

F

d

rA直角坐標(biāo)系表示W(wǎng)AB

(F

)

Fx

d

x

Fy

d

y

Fz

d

z

AB自然坐標(biāo)系表示W(wǎng)AB

(F

)

F

d

sAB2

力系的功Fi

(i=1,2,…,n)作用在矢徑為ri的各質(zhì)點(diǎn)上質(zhì)點(diǎn)。力系的元功為ndW

Fi

d

rii1力系的功為WA

B

(F

)

n

Fi

d

rii

ii1

Ai

Bi力系的(元)功為該力系所有力的(元)功的代數(shù)和。例1質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的元功。解:

考慮一對(duì)內(nèi)力FjiOxyzrijrFijrij

dW

F

d

r

F

d

r

F

d

r

F

d

r

ij

i

ji

j

ij

i

ij

j

Fijdi

j

ij

ijr

r

F

d

r當(dāng)且僅當(dāng)兩質(zhì)點(diǎn)間的距離不變時(shí)，非零內(nèi)力的元功為零。彈簧剛性桿不可拉伸繩dl

0內(nèi)力做功的例子：dl

0d

l

0,

F

0d

l

0,

F

0發(fā)

內(nèi)力作正功，汽車加速行駛；機(jī)器中內(nèi)摩擦作負(fù)功，轉(zhuǎn)化為熱能；人騎自行車,內(nèi)力作功，加速行駛；外力使彈性體變形，內(nèi)力作負(fù)功。

力偶的功力偶M所做的元功.M

LFFF

'OLddrdW

F

d

r

FL

d

M

ddW

M

d力矩的功

rA

d

tni12W

1

2

M

d1

作用在剛體上力的元功d

ri

d

rA

ridW

Fi

drA

ri

rA

d

t

n

ni1

i1

Fi

d

rA

Fi

ri

rA

ddW

FR

d

rA

MA

dMO例2輪在水平面上做無(wú)滑移滾動(dòng).一恒力如示作用在輪上。當(dāng)輪心平移距離為

s時(shí)求力的功。解:

將力向運(yùn)動(dòng)已知的點(diǎn)O簡(jiǎn)化。元功dW

F

d

r

M

d

F

cos

d

s

Fr

d功FsoRrFsoRFM

rM

FrW

d

W12

120s

R0Fr

ds

F

cos

d

s

F

cos

d

s

Fr

dR

Fs

cos

Fr

s3

常見(jiàn)力的功

彈簧彈力考慮剛度為k的彈簧，其彈力與彈簧的拉伸壓縮變形成正比。彈簧原長(zhǎng)為l0。求質(zhì)點(diǎn)在任意位移M1

到M2時(shí)彈簧力作用在質(zhì)點(diǎn)上的功。M1M2F

d

r

W

M1M2k(r

l0

)er

d

rrr

2r2re

d

r

r

d

r

1

d(r

r)

1

d(r

2

)

d

r

l0

2l0

10k r

l

d

rW

21

2k

22

萬(wàn)有引力(重力)質(zhì)量為m2的質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)引力場(chǎng)運(yùn)動(dòng)。引力做功1m2mm2r1r2在地球的重力場(chǎng)內(nèi)M1M2F

d

r

W

M1M

2r2rGm1m2

e

d

rer

d

r

er

drer

er

er

d

r

r

d

er

er

er

d

r

rer

d

er

d

rer

d

er

der

er

0r2r2

Gm1m2d

rrW

11

2

Gm

m

1 1

r

r

2 1

r r

2 1

W

mgR2

1

1

mg

r2

r1

摩擦力

平移剛體的滑動(dòng)摩擦vFFNNFFAvM

fM

fAW

fFN

s摩擦力的功取決于質(zhì)點(diǎn)在力作用下的實(shí)際路徑。dW

F

d

r對(duì)恒定FN,

滾動(dòng)剛體滑動(dòng)摩擦dW

F

d

rA

F

vA

d

t純滾動(dòng)dW

0

滾阻力偶f

fdW

M

d

M

d

tN

fF

d

s4

約束力不做功的約束

剛體固定光滑面上的平移:

支座:dr=0

或FN⊥drdW

FN

d

r

0固定鉸鏈支座滑移支座滑動(dòng)導(dǎo)向FN⊥drdW

FN

d

r

0

柔索,帶,鏈,或繩:不可拉伸dW

0

剛體在固定面上的無(wú)滑滾動(dòng)F

FN

活動(dòng)鉸鏈dW

FN

d

r

FNd

r

FN

d

r

FN

d

r

0dW

0靜力學(xué)能量方法：概述力的功虛功原理廣義坐標(biāo)有

系統(tǒng)的平衡及其穩(wěn)定性9.2

虛功原理1

虛位移虛運(yùn)動(dòng)用功的概念分析處于的穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，需引入虛運(yùn)動(dòng)的概念。虛是一個(gè)歷史形成的修飾語(yǔ)，其真正意義為虛構(gòu)的或假想的。在虛運(yùn)動(dòng)中,假設(shè)系統(tǒng)從靜平衡位置開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。在虛運(yùn)動(dòng)中所有作用在系統(tǒng)上的力大小方向保持不變。力的作用點(diǎn)也保持不變。虛位移任何滿足約束條件(運(yùn)動(dòng)學(xué)所允許)的無(wú)限小假想位移稱為虛位移.虛位移實(shí)際可能并未發(fā)生。通常用d表示的(真實(shí)的)無(wú)窮小位移。為強(qiáng)調(diào)虛位移的假象特性，通常用表示虛位移。OArAA

r

A

900OBB

rrB

r

AB

rBrBrA虛位移和真實(shí)位移虛位移和真實(shí)位移2

虛功作用在質(zhì)點(diǎn)上的任意力在虛位移下所做的功稱為虛功.W

F

r對(duì)質(zhì)點(diǎn)系nW

Fi

rii1n平移剛體的光滑平面滑移支座純滾動(dòng)剛體接觸面柔索,帶,鏈,或繩鉸鏈滑動(dòng)導(dǎo)向i1理想約束若質(zhì)點(diǎn)系中約束力在質(zhì)點(diǎn)系任意虛位移上做的虛功之和為零，則該約束稱為理想約束。

FNi

ri

03

虛功原理

Fi受理想約束的質(zhì)點(diǎn)系其靜平衡的充分必要條件為所有主動(dòng)力在質(zhì)點(diǎn)系的任意虛位移下所做的虛功之和為零.必要性：nri

0i1(i

1,!,

n)Fi

FNi

0

(Fi

FNi

)

ri

0nni1n

ni1

i1

Fi

ri

FNi

ri

0||0充分性?虛功原理,也被稱為虛位移原理FiNiFiri

Fi

ri

0i1平衡例3力矩M作用在曲柄上,已知OA=r,AB=l,和。求為達(dá)到平衡作用在活塞B的水平壓力F。OABθMFB

AA

r.

r

cos

r

cos

90o

r解:研究系統(tǒng)。受理想約束。應(yīng)用虛功原理M

FrB

0.虛位移之間的關(guān)系rB

r

sin

.cosrBr

sin

cos

0.M

F

0.r

sin

cos

0.M

FF

M

cos

.r

sin

OArABθMF例4力F1

、F2

和力偶M作用在圖示結(jié)構(gòu)上。求固定端A處的約束力偶。解:研究系統(tǒng)。所受約束均為理想約束。解出所求約束力偶的約束，把約束力偶變?yōu)橹鲃?dòng)力偶，固定端變?yōu)楣潭ㄣq鏈支對(duì)座系。統(tǒng)應(yīng)用虛功原理F1r1

F2r2

M

MA

0.虛位移之間的關(guān)系r2

2a,3ar1

a

rC

,

rC

r2,1

3F

2a

2aF2A

M

0.

0.AM

2a

1

F

F

.3

1 2

BC

0.rC1raaa1F

2FABMDAaaa1F2Fr2AMBCCMD圖示機(jī)構(gòu)中，O1A=O3C=O3D=l，套筒C可在O2C桿上滑動(dòng)，圖示位置O1A鉛直，桿CD、AB水平，O2B=BC。已知力偶矩M，求平例5Ao602OB1OO3FDδDδrδrAδrBδrCδrrCδre衡時(shí)的力F。解:

研究系統(tǒng)。約束均為理想約束。應(yīng)用虛功原理FrD

M

0.虛位移關(guān)系(運(yùn)動(dòng)學(xué)分析)lδrA

δrB

cos30,

δrC

δrD

,Mδ

δrA

,δrC

δre

δrr

,2e

C2δr

1

δr

,

δrB

1

δre

,3δ

δrD

,8lD

D8lFr

M

3

δr

0.rD

0.3M

.8lF

練習(xí)圖示滑塊連桿機(jī)構(gòu)，已知OA＝r，力偶矩M，求平衡時(shí)力F。FABCD30o30o30oO1OMrFABCDM30o30o30oO1ODδrδrCAδrδrBδ靜力學(xué)能量方法:概述力的功虛功原理廣義坐標(biāo)有

系統(tǒng)的平衡及其穩(wěn)定性9.3

廣義坐標(biāo)1

約束及其分類約束在很多物理和工程問(wèn)題中,質(zhì)點(diǎn)系并非的，而是受運(yùn)動(dòng)學(xué)條件約束限制了

運(yùn)動(dòng)。例如，大部分剛體運(yùn)動(dòng)因?yàn)榕c相鄰機(jī)構(gòu)連接而受到限制。限制剛體運(yùn)動(dòng)(包括位置、速度、甚至加速度)的條件被稱為約束。約束可以看作是阻礙物體運(yùn)動(dòng)的周圍物體。(第一章)約束的數(shù)學(xué)表示為約束方程，雖然必要時(shí)也需要不等式。

等式或不等式?用等式形式表示的約束稱為雙面約束。用不等式形式表示的約束稱為單面約束。分類和實(shí)例y

0y

0雙面約束和單面約束的例子x2

y2

l

2x2

y2

l

2雙面約束單面約束

自治或非自治?數(shù)學(xué)表達(dá)式不顯含時(shí)間的約束稱為定常約束。數(shù)學(xué)表達(dá)式顯含時(shí)間的約束稱為非定常約束。x2

y2

l

2x2

y2

(l0

vt)2

可積或不可積?數(shù)學(xué)表達(dá)式不顯含速度或可以積分為不顯含速度形式的約束稱為完整約束。s&R&

0s

R

c

0圓盤純滾動(dòng)約束方程積分完全約束的例子x2

y2

l

2非完整約束的例子冰刀xxyyo

vx!y!tan

y&x&sin

x&cos

y&

0人力車xxcyycov

x!cy!ctan

cy&x&c數(shù)學(xué)表達(dá)式顯含速度且不能積分為不顯含速度形式的約束稱為非完整約束。2

廣義坐標(biāo)系統(tǒng)位形的獨(dú)立參數(shù)稱為該系統(tǒng)廣義坐標(biāo)。廣義坐標(biāo)選取不唯一，可以是(線性)位移或角位移。

系統(tǒng)中所有質(zhì)點(diǎn)的矢徑和直角坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)的函數(shù)：ri

ri

q1,q2,L

,

qs

,t

i

1,2,L

,

N

i

1,2,L

,

N

i

1,2,!,

N

廣義速度：廣義坐標(biāo)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)。k1

qkxi

xi

q1,q2,L

,

qs

,t

,

yi

yi

q1,q2,L

,

qs

,t

,

zi

zi

q1,q2,L

,

qs

,t

sr

r!ir

i

q!kitssx

xy

yk1

qk

k1

qk

k1

qkszzix!

i

kq!

ii,

y!

i

q!k

i

,

z!i

i

q!k

it

t

ti

1,2,!,

N

廣義加速度：廣義坐標(biāo)的2階時(shí)間導(dǎo)數(shù)。k1

qkj1k1

qkqjs

s

sk1sr

2r2r

2r!r!i

i

q!!k

iq!k

q!

j

iq!k

iqkt

ti

1

,

2

,

!

,

N

yAABO

xy圖1yxMll圖2ABAxylo圖3圖4Ay

sin

tABxylo例6求圖示系統(tǒng)的度并選擇廣義坐標(biāo)系。解:3度系統(tǒng)廣義坐標(biāo)的獨(dú)立變分?jǐn)?shù)目稱為該系統(tǒng)的

度數(shù)，簡(jiǎn)稱

度。度就等于廣義坐標(biāo)的數(shù)目。度就等于廣義坐標(biāo)的數(shù)目與非受完整約束系統(tǒng)的受非完整約束系統(tǒng)的完整約束數(shù)目的差?？臻g中不受約束的質(zhì)點(diǎn)位置可由3個(gè)坐標(biāo)描述.因此,受s個(gè)約束的

N個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系，其 度m為m

3N

s空間中作平移運(yùn)動(dòng)或一般平面運(yùn)動(dòng)的剛體 度為3,而繞固定軸旋轉(zhuǎn)的剛體 度為1.解:

當(dāng)做由3個(gè)質(zhì)點(diǎn)A,

B

和C

(同一平面內(nèi))組成的質(zhì)點(diǎn)系時(shí)m

2N

s

2

5

5

1當(dāng)做由4個(gè)剛體O1A,O2B,AB和BC組成系統(tǒng)做平面運(yùn)動(dòng)時(shí)m

3N

s

3

4

2

5

1

1當(dāng)做由5個(gè)剛體O1A,O2B,AB,BC和C組成系統(tǒng)做平面運(yùn)動(dòng)時(shí)m

3N

s

3

5

2

6

2

1ABO2例7將圖示機(jī)構(gòu)分別視作質(zhì)點(diǎn)系和剛體系統(tǒng)，求其

度。O1C4

虛位移用廣義坐標(biāo)(等時(shí))變分表示實(shí)際的無(wú)窮小的位移可以用廣義坐標(biāo)的微分表示類似地，由泰勒展開(kāi)得出虛位移和廣義坐標(biāo)變分間關(guān)系sqrir

i

k

1

kqk

i

1,2,L

,

N

sssxiyiqk

1

kqk

1

kqk

1

kzix

i

q

,

y

k

i

q

,

z

k

i

qk

,

i

1,2,L

,

N

i

1,2,L

,

N

sqk

1

kri

rid

r

i

d

qk

t

d

t直角坐標(biāo)表示例

8曲軸的運(yùn)動(dòng)可以通過(guò)廣義坐標(biāo)

描述.已知

OA=r,

AB=l和 。用廣義

坐標(biāo)變分描述A和B虛位移OABθMF是非獨(dú)立的且滿足約束方程l

sin

r

sin.解:幾何關(guān)系xA

r

cos

,

yA

r

sin

;xB

r

cos

l

cos,

yB

0.

和rBl

cos

r

cos.

r

cos

.l

cos計(jì)算變分因此xA

r

sin

,yA

r

cos

;BBl

cos

cosx

r

sin

l

sin

r

cos

r

sin

(

)

,

y

0.與例3

比較

r

sin

.cosAr

r

,

rBOArABθMF例92W

2W

2W

2W每根桿的重量為2

W

，已知。求保持平衡需要施加的力F。Fxy123452yi

L

cos

, (i

1,

2,

3,

4),

x5

4L

sin.解:

研究系統(tǒng)。 度為1，約束均為理想約束。應(yīng)用虛功原理Wy1

W

y2

W

y3

W

y4

F

x5

0.用選擇的廣義坐標(biāo)

下表示相應(yīng)各坐標(biāo)(4WL

sin

4FL

cos

)

0.

0.F

W

tan.Lyi

2

sin

,

x5

4L

cos.代入虛功原理計(jì)算變分5

廣義力虛功用廣義坐標(biāo)變分表示i1i

iW

N

N

sriikk

1

kq

q

F

r

F

N

siki1

k

1qkqF

ris

Niqk

1

i1

ki1F

ris

Nk

1

i1

k

iq

k

iF

q定義廣義坐標(biāo)qs

(s=1,2,…,n)對(duì)應(yīng)的廣義力k

1,2,L

,

s

Ni1riqkQ

k

iF

物理意義，在廣義坐標(biāo)變分qk上作功的力。直角坐標(biāo)表示k

1,2,L

,

s

k

kN

xi

yi

zi

i1

k

Qk

Fix

q

Fiy

q

Fiz

qk

1s

Q

qr

qkk

k例10計(jì)算例子3,4,和8.中的廣義力解:在例3中r

sin

.cosQ

M

F在例4中3Q

F1

2a

2aF2

M

A

.在例9中Q

4WL

sin

4FL

cos.例11確定重力W1

和

W2

在給定的廣義坐標(biāo)yA

和

下的廣義力。解:

用廣義坐標(biāo)表示相應(yīng)力作用點(diǎn)的坐標(biāo)。yAxyloAW1W2

B

AyA

A

BAy

y

,

y

y

l

cos.k

1,2,L

,

s

kN

xiyizi

F

FiziyQk

Fix

qk

i1

W1yA應(yīng)用公式1AQ

W1

yAAW2

yByy2

l

cosAAyA

yWy1

2

W

W

,22yB:令yA0

且=0.Q

W1

yA

W12A

y

l

cos

W

yAW2

W

l

sin.kj

1W

Qj

qj

Q1yA

Q2.Q1yA

W

W1yA

W2yA

W1

W2

yA.Q1

W1

W2.Q2

W2l

sin.令yA=0

且

0.Q2

W

W1

0

W2l

sin

W2l

sin.6

廣義坐標(biāo)表示的虛功原理虛功原理N

Fi

ri

0i1N

s

Fi

ri

Qk

qki1

k

1廣義力的定義sk

1Qk

qk

0完整系統(tǒng)qk的獨(dú)立性Qk

0

k

1,

2,...,

s

受完整理想約束系統(tǒng)保持靜態(tài)平衡的充分必要條件是所有的廣義力為零。yxl1l2m1g2m

gFO解:例12確定平衡位置，已知l1

l2

l,

m1

m2

m,

F

mg力作用點(diǎn)直角坐標(biāo)用廣義坐標(biāo)表示yA

l1

cos

,yB

l1

cos

l2

cos,

xB

l1

sin

l2

sin計(jì)算廣義力完整理想約束系統(tǒng)，廣義力表示的虛功原理2mgl

sin

mgl

cos

0,mgl

sin

mgl

cos

0tan

1

2

,tan

12AQ1

m1g

m

g

yBy

F

xB2Ay

m

g

yBQ2

m1g

F

xB

2mgl

sin

mgl

cos,

mgl

sin

mgl

cos

0,

0

0,

0yx1ll2m1g2m

gF1r:Q

0,(

j

1,2)j

0,

0j12OQjqj

0W

r

r1

2m1g

r1

m2

g

r2

F

r2

0(2mgl

sin

mgl

cos

)

0r2yx1ll2m1g2m

gFOr2

0,

0m2

g

r2

F

r2

0(mgl

sin

mgl

cos)

0tan

1tan

12靜力學(xué)能量方法:概述力的功虛功原理廣義坐標(biāo)有

系統(tǒng)的平衡及其穩(wěn)定性9.4

有勢(shì)場(chǎng)的平衡及其穩(wěn)定行1有

場(chǎng)若質(zhì)點(diǎn)在空間區(qū)域內(nèi)任意位置處都受到大小和方向單值確定的力作用，則稱該區(qū)域?yàn)榱?chǎng)。若力場(chǎng)作用在質(zhì)點(diǎn)上的力沿封閉路徑(初位置末位置相同)做功為零，則該力場(chǎng)被稱作有 場(chǎng)或保守力場(chǎng)。該力稱為有

或保守力.作用在質(zhì)點(diǎn)上有

的功只與初始位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。數(shù)學(xué)等價(jià)條件(2)有勢(shì)(3)無(wú)旋WAB

(F

)

Fx

d

x

Fy

d

y

Fz

d

z

AB存在函數(shù)U使得(1)保守

與路徑無(wú)關(guān)；x

yzF

U

,

F

U

,

F

U

;x

y

zFz

Fy

0,

Fx

Fz

0,

Fy

Fx

0.y

z

z

x

x

y02

勢(shì)能在 場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)系從位形A運(yùn)動(dòng)到參考位形A0過(guò)程中有所做的功，稱為該質(zhì)點(diǎn)系在

A處相對(duì)于A0處的勢(shì)能。V

(x,

y,

z)

WA

A勢(shì)能函數(shù)V(x,y,z)為力函數(shù)U的負(fù)值，即V=。設(shè)勢(shì)能為V(x,y,z)的質(zhì)點(diǎn),受有F

Fxi

Fy

j

Fz

k則Uy

zF

V

,

F

V

,

F

Vx

yzx例如,重力勢(shì)能xyzmgMOA

A0Vg

W

mg

mgzV

g

mgxyzVg

VgF

0,

F

0,

Fxyz

有

的功質(zhì)點(diǎn)從位置A1到位置A2有

的功WA

A

WA

A

WA

A

WA

A

WA

A1

2

1

0

0

2

1

0

2

0

V

x1,

y1,

z1V

x2

,

y2

,

z2

的功等于初位置與末位置處勢(shì)能之差。有例如,彈力勢(shì)能2Vk

1

k

2W

k

2 2

M1

M

212k2

V

(x1,

y1,

z1,L

,

xN

,

yN

,

zN

)

Vi

(xi

,

yi

,

zi

)i1用廣義坐標(biāo)系qk

(k=1,2,…,s)描述該質(zhì)點(diǎn)系，則V

(q1,

q2

,L

,

qs

)

V

(xi

(q1,

q2

,L

,

qs

),

yi

(q1,

q2

,L

,

qs

),

zi

(q1,

q2

,L

,

qs

))

勢(shì)能和廣義力勢(shì)能為Vi(xi,yi,zi)的質(zhì)點(diǎn)Pi

(i=1,2,…,N)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系，若只受有 ，則稱該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)

。質(zhì)點(diǎn)系總勢(shì)能kki1

Qk

Fix

q

Fiy

q

Fiz

qN

Nxiyi

zi

iV

x

V

yi

V

zik

i1

ik

y

q

z

qi

k

i k

x

q廣義力Nk

VqkQQk

0

k

1,2,L

,

s

場(chǎng)中系統(tǒng)平衡的充分必要條件為V

0有3

有

場(chǎng)的平衡用廣義坐標(biāo)qk

(k=1,2,…,s)描述質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)，其勢(shì)能為V。根據(jù)廣義坐標(biāo)表示的虛功原理，平衡的充分必要條件k

1,2,L

,

s

qkW

0V

0kQ

Vqk數(shù)學(xué)上，勢(shì)能為駐定值。V

0直接推導(dǎo)niy

iiz

ii1

ix

iF

x

F

y

F

zW

ni

iiy

zii

xi1

i

V

x

V

y

V

z

V例13臺(tái)面重為W、長(zhǎng)

l、偏心為

a，由3個(gè)不計(jì)質(zhì)量的彈簧支撐，彈簧剛度為k。試確定桌面平衡位置。laWClDABkkk(a)OOyAyCyByDDW(b)解:研究系統(tǒng)，由度為2。選變形y

和轉(zhuǎn)角

作為廣義坐標(biāo)D用。廣義坐標(biāo)表示各受力點(diǎn)坐標(biāo)。yA

yD

l,

yC

yD

a,

yB

yD系統(tǒng)勢(shì)能為

l.

A

B

C

D

g用廣義坐標(biāo)系表示勢(shì)能2122D

DD2DV

(

y

,)

W

(

y

a)

1

k

(

y

l)

kyD

1

k

(

y

l)2

.2V

W

k

(

y

l)

ky

k

(

y

l)

0,

V

Wa

kl(

y

l)

kl(

y

l)

0.D

D

D

D

DyDOOAyyCDyBφy

DW(b)平衡條件y

W

,

Wa

.D3k2kl

222kC

A

DV y

,

y

,

y

,

y

V

V

Wy

1

ky2

1

ky22B

1

ky2

.例14，兩個(gè)長(zhǎng)為l

質(zhì)量不計(jì)的桿AC

和BC共同支撐質(zhì)量為m的物塊。剛度為k的彈簧在兩桿垂直時(shí)為原長(zhǎng)。試用

表示其平衡位置。DABCllθk

Wθ

θ(a)2解:g

kV

V

V

mgl(1

cos

)

1

k

(2l

sin

)2

.平衡條件V

4kl

2

sin

cos

mgl

sin

0.解出平衡位置BVk

kx2

.mg

4kl

.1

24kl

0,

arccos

mgyyCCyCBxBθ=mgθWA

F=kxBxB:C

B應(yīng)用虛功原理W

y

Fx

0.用廣義坐標(biāo)表示力作用點(diǎn)坐標(biāo)yC

l

cos

,

xB

2l

sin.用廣義坐標(biāo)變分表示虛位移yC

l

sin

,Bx

2l

cos

.(mgl

sin

4kl

2

sin

cos

)

0.xyxBl0研究系統(tǒng)。標(biāo)C。0度為1。取角作為廣義坐2