線性代數(shù)4分塊矩陣

1.4

分塊矩陣一、矩陣的分塊二、分塊矩陣的運(yùn)算法則三、小節(jié)、思考題一、矩陣的分塊對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，經(jīng)常采用分塊法，使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算.具體做法是：將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.3

B

B2

,B

1

0

1

1

b

1

A

10

0

a

00

b

a

1

0

0例0ab0A

01

0a

0

1

1

0

1

1

b

1B20

BB3即A

1

a

1

0

034C

C2

,1

C

0

a

0

0

C1

0

b

0

1

1

b

a0

A

0

1C1

C21

0a

0 0

0

b

3

4

0

1

1

b

1

C

C

即又例如

A O

,4321b

1

10

AA

0

a

1

0

0a

0

0

b

0

1

11

0

b

0

1

1

b

1A

0

a

1

0

0

a

0

00100

1ba01ab0

010

其中BAOI

I

B

1b01

a102413A

A A

,其中A

a0

01b

1設(shè)矩陣A與B

的行數(shù)相同,列數(shù)相同,采用相同的分塊法,有其中Aij與Bij的行數(shù)相同,列數(shù)相同,那么sr

s1

A

A11

B11A

B

srs1A1r

B1r

.

B

A

B二、分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則sr

sr

B

AA

A1r

A

B

B11

B1r

s1

s1

A11,B

sr

A1r

s1

A

A112設(shè)

A

A

,為數(shù),那末sr

s1

A11

A1r

.

A

AA

3設(shè)A為m

l矩陣,B為l

n矩陣,分塊成

t

1

s

1

B

A

A11A

B

,A1t

B11

B1

r

,

B

Ast

tr

其中Ai1,Ai2

,,Ait的列數(shù)分別等于B1j

,B2

j

,,Btj的行數(shù),那末sr

CAB

C

C

Cs11r

11i

1,

,

s;

j

1,

,

r

.其中Cijt

Aik

Bkjk

1的行數(shù),那末常見(jiàn)的應(yīng)用一般出現(xiàn)在A,B為4

4階方陣中。由于要求Ai1

,Ai2

,,Ait的列數(shù)分別等于B1

j

,B2

j

,,Bij例：2

1

10,0

0

1

0

0

0

1

0

1

3

4

A

00

0

50

6

18

0

1,

0

0

0

0

0 0

B

7計(jì)算：AB5設(shè)A為n階矩陣,若A的分塊矩陣只有在主對(duì)角線上有非零子塊,其

塊都為零矩陣,且非零子塊是都方陣.即,A2O1As

A

AO

sr

A

A1r

As1

A114設(shè)

A

AATT

ssrrATT

ss11

.1r1r1111ATT

,

則

ATT

AAT

T,2As

A

A1AOO其中Ai

i

1,2,s

都是方陣,那末稱A為分塊對(duì)角矩陣.若每個(gè)子塊Ai

i

1,2,,s都可逆,則A、B均可逆,并有,A2As

6設(shè)

A

A1oo21;As

1A

o

A1o1

A1A1

A2

OB

O

AsO

sA1A

OB

A21111

0

0

0

As

0

07

0B2

Bs

2A

0

0

A1

0

0

B1

0

0

000.0s s

2

2

A1B1

0

0

AB

AB10 1

00

0

0

1

0

00

A

1

2

1

1把A,B分塊成1例

設(shè)0A

0

1

0

0

01

0

0,

1

2

1

1

1

0

1求AB.1

1B

1

1

0

1

02

0

1,0

4

1

1

2

0解

A1

I

IO

,10

4

1

1

2

0

1

1

0

1

0

1

2

0B

1

B11I

B

B

21

22則AB

.A1

B22

A1B11

B21

I O

B11

I

A1

I

B21

B22

B11

I.B11A1

B22

A1B11

B21AB

I又A1B11

B21

1

10

1

0

1

1

1

2

1

2

1

0

2

3

4

10

2

4,

11

1

2

4

1 1

2221A

B1

30

3

1

1

3,1

A1

B22

A1B11

B21于是

AB

B11I3

1

1

3 1

1

0

1

0

1

2

0 1

.

2

4

3例

設(shè)1

0

5

0

0A

0

3

1

,

求A

21.1

0

5

0

0解

A

0

3212

,

A1

OA

O1A

5,

1

5

A11

;22A

31,

A1

2

1

2

3

;

1

1

;2A1

2

3

1

1

1

21

O

A1A

1

AO

;1

5

11

A1.3

0

5

0

1

0

0

1

2例

設(shè)0

0

20

4A

00,求A1

.解

顯然將A看成分塊矩陣可簡(jiǎn)化計(jì)算.,21

A O

A取A

O1

1

40

1

2

01則A25

0,0

31,

A于是O

A

1

O

A

1

A21

OA1

A

O112

03

0

00

0

0

5

00

0

1

4

01

2

0

0A12A例

設(shè)n階方陣

A的逆矩陣為B,即滿足AB

I

,可以將B和I都按列分成1

n的分塊矩陣，可得：A[b1,b2

,bn

]

[e1

,e2

,,en

]即：

Abi

ei

(i

1,2,,

n)其中ei是n階單位矩陣的第i列，即ei

[0，，1，，0]T例

試證明：設(shè)A是m

n矩陣，則對(duì)任一n維列向量x,Ax

0的充分必要條件是A

0.證明：充分性（條件

結(jié)論）：A

0

Ax

0

顯然滿足；必要性：（結(jié)論

條件）T由n維列向量的任意性，可取x

ei(i

1,2,,

n),

[0,,1,,0]0

則由Ax

0得Aei

[1,,i

,n

]1

i

0,

0即矩陣A的第i列為零向量。由i的任意性，可知矩陣A的每一列都是零向量，即A

0將矩陣A分塊成A

[1,,i

,n

],例

設(shè)

n階方陣A有分塊形式：A

,

,

,

及A

1

2

n

T

n

T

T21

又有對(duì)角矩陣

diag[1,

2

,

,

n

]，試求矩陣乘積

A；A

.解：依題意，為使

A有意義，必需取矩陣A的行分塊形式，即有

A

12

Tn

n

T

T

2

1

Tn n

T

T2 2

1

1同理，有n

1A

1,

2

,

,

n

2

11,

22

,

,

nn

三、小結(jié)同維矩陣,采用相同的分塊法數(shù)k乘矩陣A,需k乘A的每個(gè)子塊加法數(shù)乘乘法在矩陣?yán)碚摰难芯恐?矩陣的分塊是一種最基本,最重要的計(jì)算技巧與方法.分塊矩陣之間的運(yùn)算分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運(yùn)算性質(zhì)類似若A與B相乘,需A的列的劃分與B的行劃分相一致.(4)

轉(zhuǎn)置A

A

A

11A1r

As1

sr