中考幾何證明題知識點(diǎn)分析

中考幾何證明題知識點(diǎn)分析中考幾何證明題知識點(diǎn)分析29/29中考幾何證明題知識點(diǎn)分析目錄考點(diǎn)總分析知識點(diǎn)講解出題的類型解題思路相關(guān)練習(xí)題幾何證明題專題本題的主要知識點(diǎn)（中考中第3道，分值為8分）七年級上第4章幾何圖形初步七年級下第5章相交線與平行線八年級上第11章三角形第12章全等三角形第13章軸對稱八年級下第17章勾股定理第18章平行四邊形九年級上第23章旋轉(zhuǎn)第24章圓九年級下第27章相似第28章投影與視圖1.幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問題。2.掌握分析、證明幾何問題的常用方法：（1）綜合法（由因?qū)Ч瑥囊阎獥l件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問題的解決；（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問題時，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。3.掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的。幾何證明題重點(diǎn)考察的是學(xué)生的邏輯思維能力，能通過嚴(yán)密的"因?yàn)?、"所以"邏輯將條件一步步轉(zhuǎn)化為所要證明的結(jié)論。這類題目出法相當(dāng)靈活，不像代數(shù)計算類題目容易總結(jié)出固定題型的固定解法，而更看重的是對重要模型的總結(jié)、常見思路的總結(jié)。所以本文對中考中最常出現(xiàn)的若干結(jié)論做了一個較為全面的思路總結(jié)。知識結(jié)構(gòu)圖中考中主要考試的類型一、證明兩線段相等1.兩全等三角形中對應(yīng)邊相等。2.同一三角形中等角對等邊。3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。4.平行四邊形的對邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等。5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。6.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。7.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。8.過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。11.兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比例式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等。12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長相等。13.等于同一線段的兩條線段相等。二、證明兩角相等1.兩全等三角形的對應(yīng)角相等。2.同一三角形中等邊對等角。3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯角或平行四邊形的對角相等。5.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。6.同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎Φ膱A心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。8.相似三角形的對應(yīng)角相等。9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。10.等于同一角的兩個角相等。三、證明兩直線平行1.垂直于同一直線的各直線平行。

2.同位角相等，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。3.平行四邊形的對邊平行。4.三角形的中位線平行于第三邊。

5.梯形的中位線平行于兩底。

6.平行于同一直線的兩直線平行。7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。證明兩直線互相垂直1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的對角線互相垂直。10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦。11.利用半圓上的圓周角是直角。五、證明線段的和、差、倍、分1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。4.取長線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。六、證明角的和、差、倍、分1.作兩個角的和，證明與第三角相等。2.作兩個角的差，證明余下部分等于第三角。3.利用角平分線的定義。4.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。七、證明兩線段不等1.同一三角形中，大角對大邊。2.垂線段最短。3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。6.全量大于它的任何一部分。八、證明兩角不等1.同一三角形中，大邊對大角。2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。5.全量大于它的任何一部分。證明比例式或等積式1.利用相似三角形對應(yīng)線段成比例。2.利用內(nèi)外角平分線定理。3.平行線截線段成比例。4.直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理。5.與圓有關(guān)的比例定理相交弦定理、切割線定理與其推論。6.利用比例式或等積式化得。以上九項(xiàng)是中考幾何證明題中最常出現(xiàn)的內(nèi)容，只要掌握了對應(yīng)的方法，再根據(jù)題目中的條件進(jìn)行合理選擇，攻克難題不再是問題！各知識點(diǎn)考查形式圖形的認(rèn)識立體圖形、視圖和展開圖（選擇題）1）幾何體的三視圖，幾何體原型相互推倒2）幾何體的展開圖，立體模型相互推倒線段、射線、直線（解答題）垂直平分線、線段中點(diǎn)性質(zhì)與應(yīng)用結(jié)合圖形判斷、證明線段之間的等量、和差、大小關(guān)系線段長度的求解兩點(diǎn)間線段最短（解決路徑最短問題）角與角分線（解答題）角與角之間的數(shù)量關(guān)系角分線的性質(zhì)與判定（輔助線添加）相交線與平行線余角、補(bǔ)角垂直平分線性質(zhì)應(yīng)用平分線性質(zhì)與判定三角形三角形內(nèi)角和、外角、三邊關(guān)系（選擇題）三角形角分線、高線、中線、中位線性質(zhì)應(yīng)用（輔助線）三角形全等性質(zhì)、判定、融入四邊形證明（必考解答題）三角形運(yùn)動、折疊、旋轉(zhuǎn)、平移（全等變換）、拼接（探究問題）等腰三角形與直角三角形等腰三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理與逆定理等腰三角形、直角三角形與四邊形或圓的綜合銳角三角函數(shù)、特殊角三角函數(shù)、解直角三角形（解答題）等腰、直角、等腰直角三角形與函數(shù)綜合形成的代幾綜合題（壓軸題必考）多邊形：內(nèi)角和公式、外角和定理（選擇題）四邊形（解答題）平行四邊形的性質(zhì)、判定、結(jié)合相似、全等證明特殊的平行四邊形：性質(zhì)、判定、以與與軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移和函數(shù)等結(jié)合應(yīng)用（動點(diǎn)問題、面積問題與相關(guān)函數(shù)解析式問題）梯形：一般梯形與等腰、直角梯形的性質(zhì)、與平行四邊形知識結(jié)合，四邊形計算題，輔助線的添加等圓（必考解答題）圓的有關(guān)概念、性質(zhì)圓周角、圓心角之間的相互聯(lián)系掌握并會利用垂徑定理、弧長公式、扇形面積公式，圓錐側(cè)面面積、全面積公式解決問題圓中的位置關(guān)系：要會判斷：點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓（重點(diǎn)是圓與圓位置關(guān)系）重點(diǎn)：圓的證明計算題（圓的相關(guān)性質(zhì)與幾何圖形綜合）圖形與變換軸對稱：會判斷軸對稱圖形、能用軸對稱的知識解決簡單問題平移：會運(yùn)用平移的性質(zhì)、會畫出平移后的圖形、能用平移的知識解決簡單問題旋轉(zhuǎn)：理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（全等變換），會應(yīng)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決問題（全等證明），會判斷中心對稱圖形相似：會用比例的基本性質(zhì)解題、利用三角形相似的性質(zhì)證明角相等、應(yīng)用相似比求解線段長度（解答題）幾何證明中的幾種技巧一．角平分線－－軸對稱已知在Δ中，Ｅ為ＢＣ的中點(diǎn)，ＡＤ平分，于Ｄ．ＡＢ＝９，ＡＣ＝１３．求ＤＥ的長．分析：延長ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得Δ≌Δ．則ＢＤ＝ＤＦ．又ＢＥ＝ＥＣ，即ＤＥ為Δ的中位線．∴．已知在Δ中，，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分．求證：ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．分析：在ＢＣ上截?。拢牛剑拢?，連接ＤＥ．可得Δ≌Δ．由已知可得：，，．∴，∴ＣＤ＝ＣＥ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．已知在Δ中，，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分．求證：ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．分析：在ＢＣ上分別截?。拢牛剑拢?，ＢＦ＝ＢＤ．易證Δ≌Δ．∴ＡＤ＝ＥＤ，．由已知可得：，．由∵ＢＦ＝ＢＤ，∴．由三角形外角性質(zhì)可得：．∴ＣＦ＝ＤＦ．∵，∴，∴ＥＤ＝ＦＤ＝ＣＦ，∴ＡＤ＝ＣＦ，∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．已知在Δ中，，，ＡＦ平分，過Ｆ作ＦＤ∥ＢＣ ，交ＡＢ于Ｄ．求證：ＡＣ＝ＡＤ．分析：延長ＤＦ交ＡＣ于Ｇ．∵ＦＤ∥ＢＣ，ＢＣ⊥ＡＣ，∴ＦＧ⊥ＡＣ．易證Δ≌Δ．∴ＥＦ＝ＦＧ．則易證Δ≌Δ．∴ＧＣ＝ＥＤ．∴ＡＣ＝ＡＤ．如圖（１）所示，ＢＤ和ＣＥ分別是的外角平分線，過點(diǎn)Ａ作ＡＦ⊥ＢＤ于Ｆ，ＡＧ⊥ＣＥ于Ｇ，延長ＡＦ與ＡＧ與ＢＣ相交，連接ＦＧ．求證：若（a)ＢＤ與ＣＥ分別是的內(nèi)角平分線（如圖（２））；(b)ＢＤ是Δ的內(nèi)角平分線，ＣＥ是Δ的外角平分線（如圖（３））．則在圖（２）與圖（３）兩種情況下，線段ＦＧ與Δ的三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對其中的一種情況給予證明．圖（１）圖（２）圖（３）分析：圖（１）中易證Δ≌Δ與Δ≌Δ．∴有ＡＢ＝ＢＩ，ＡＣ＝ＣＨ與ＡＤ＝ＩＤ，ＡＧ＝ＧＨ．∴ＧＦ為Δ的中位線．∴．同理可得圖（２）中；圖（３）中如圖，Δ中，Ｅ是ＢＣ邊上的中點(diǎn)，ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，交的平分線ＡＤ于Ｄ，過Ｄ作ＤＭ⊥ＡＢ于Ｍ，作ＤＮ⊥ＡＣ于Ｎ．求證：ＢＭ＝ＣＮ．分析：連接ＤＢ與ＤＣ．∵ＤＥ垂直平分ＢＣ，∴ＤＢ＝ＤＣ．易證Δ≌Δ．∴有ＤＭ＝ＤＮ．∴Δ≌Δ（ＨＬ）．∴ＢＭ＝ＣＮ．如圖，在Δ中，，ＡＤ平分．求證：ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．分析：在ＡＣ上截?。粒牛剑粒?，連接ＤＥ．則有Δ≌Δ．∴ＢＤ＝ＤＥ．∴．又∵，∴．∴ＤＥ＝ＣＥ．∴ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．在四邊形ＡＢＣＤ中，ＡＣ平分，過Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于Ｅ，且．求的度數(shù)．分析：延長ＡＢ到Ｆ，使得ＢＦ＝ＡＤ．則有ＣＥ垂直平分ＡＦ，∴ＡＣ＝ＦＣ．∴．∴有Δ≌Δ（ＳＡＳ）．∴．∴．旋轉(zhuǎn)如圖，已知在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ在ＢＣ上，Ｆ在ＤＣ上，ＢＥ＋ＤＦ＝ＥＦ．求證：．分析：將Δ繞Ａ順時針旋轉(zhuǎn)得．∴．易證Δ≌Δ．∴２.如圖，在中，，ＡＢ＝ＢＣ，Ｄ為ＡＣ中點(diǎn)．ＡＢ的延長線上任意一點(diǎn)Ｅ．ＦＤ⊥ＥＤ交ＢＣ延長線于Ｆ．求證：ＤＥ＝ＤＦ．分析：連接ＢＤ．則可視為繞Ｄ順時針旋轉(zhuǎn)所得．易證ＢＤ⊥ＤＣ與ＢＤ＝ＣＤ．則．又易證．∴Δ≌Δ．∴ＤＥ＝ＤＦ．如圖，點(diǎn)Ｅ在Δ外部，Ｄ在邊ＢＣ上，ＤＥ交ＡＣ于Ｆ．若，ＡＣ＝ＡＥ．求證：Δ≌Δ．分析：若Δ≌Δ，則Δ可視為Δ繞Ａ逆時針旋轉(zhuǎn)所得．則有．∵，且．∴．又∵．∴．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴Δ≌Δ．如圖，Δ與Δ均為等腰直角三角形，且Ｃ在ＡＤ上．ＡＥ的延長線交ＢＤ于Ｆ．請你在圖中找出一對全等三角形，并寫出證明過程．分析：將Δ視為Δ繞Ｃ順時針旋轉(zhuǎn)即可．如圖，點(diǎn)Ｅ為正方形ＡＢＣＤ的邊ＣＤ上一點(diǎn)，點(diǎn)Ｆ為ＣＢ的延長線上的一點(diǎn)，且ＥＡ⊥ＡＦ．求證：ＤＥ＝ＢＦ．分析：將Δ視為Δ繞Ａ順時針旋轉(zhuǎn)即可．∵．∴．又∵，ＡＢ＝ＡＤ．∴Δ≌Δ．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ．平移如圖，在梯形ＡＢＣＤ中，ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＣ＝８，ＢＤ＝１５．求梯形ＡＢＣＤ的中位線長．分析：延長ＤＣ到Ｅ使得ＣＥ＝ＡＢ．連接ＢＥ．可得．可視為將ＡＣ平移到ＢＥ．ＡＢ平移到ＣＥ．由勾股定理可得ＤＥ＝１７．∴梯形ＡＢＣＤ中位線長為８．５．已知在Δ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ為ＡＢ上一點(diǎn)，Ｅ為ＡＣ延長線一點(diǎn)，且ＢＤ＝ＣＥ．求證：ＤＭ＝ＥＭ．分析：作ＤＦ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｆ．易證ＤＦ＝ＢＤ＝ＣＥ．則ＤＦ可視為ＣＥ平移所得．∴四邊形ＤＣＥＦ為．∴ＤＭ＝ＥＭ．中點(diǎn)的聯(lián)想倍長已知，ＡＤ為的中線．求證：ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．分析：延長ＡＤ到Ｅ使得ＡＥ＝２ＡＤ．連接ＢＥ易證Δ≌Δ．∴ＢＥ＝ＡＣ．∴ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．如圖，ＡＤ為Δ的角平分線且ＢＤ＝ＣＤ．求證：ＡＢ＝ＡＣ．分析：延長ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．易證Δ≌Δ．∴ＥＣ＝ＡＢ．∵．∴．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ．已知在等邊三角形ＡＢＣ中，Ｄ和Ｅ分別為ＢＣ與ＡＣ上的點(diǎn)，且ＡＥ＝ＣＤ．連接ＡＤ與ＢＥ交于點(diǎn)Ｐ，作ＢＱ⊥ＡＤ于Ｑ．求證：ＢＰ＝２ＰＱ．分析：延長ＰＤ到Ｆ使得ＦＱ＝ＰＱ．在等邊三角形ＡＢＣ中ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，．又∵ＡＥ＝ＣＤ，∴ＢＤ＝ＣＥ．∴Δ≌Δ．∴．∴．易證Δ≌Δ．得ＢＰ＝ＢＦ，又．∴Δ為等邊三角形．∴ＢＰ＝２ＰＱ．中位線已知在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｅ和Ｆ分別為ＢＤ與ＡＣ的中點(diǎn)．求證：．分析：?。模弥悬c(diǎn)Ｇ，連接ＥＧ與ＦＧ．則ＥＧ為Δ中位線，ＦＧ為Δ的中位線．∴ＥＧ∥＝，ＦＧ∥＝．∵ＡＤ∥ＢＣ．∴過一點(diǎn)Ｇ有且只有一條直線平行于已知直線ＢＣ，即Ｅ、Ｆ、Ｇ共線．∴．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半已知，在中．Ｅ為ＯＡ的中點(diǎn)，Ｆ為ＯＤ中點(diǎn)，Ｇ為ＢＣ中點(diǎn)．求證：ＥＦ＝ＥＧ．分析：連接ＢE．∵，ＡＥ＝ＯＥ．∴ＢＥ⊥ＣＥ，∵ＢＧ＝ＣＧ．∴．又ＥＦ為Δ的中位線．∴．∴ＥＦ＝ＥＧ．在Δ中，ＡＤ是高，ＣＥ是中線，ＤＣ＝ＢＥ，ＤＧ⊥ＣＥ于Ｇ．求證：（１）ＣＧ＝ＥＧ．（２）．分析：（１）連接ＤＥ．則有ＤＥ＝ＢＥ＝ＤＣ．∴Δ≌Δ（ＨＬ）．∴ＥＧ＝ＣＧ．∵ＤＥ＝ＢＥ．∴．∵ＤＥ＝ＣＤ．∴．∴．已知：在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，．Ｅ、Ｆ、Ｇ分別是ＯＡ、ＯＢ、ＣＤ的中點(diǎn)．求證：Δ是等邊三角形．分析：連接ＥＤ、ＦＣ．易證Δ與Δ均為正三角形．由已知可得．在Δ與Δ中，有．∴ＥＦ＝ＥＧ＝ＦＧ．即是等邊三角形．等面積法已知在Δ中，，ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ．ＡＢ＝８，ＡＣ＝１５．求ＡＤ的長．分析：．已知Ｐ為矩形ＡＢＣＤ中ＡＤ上的動點(diǎn)（Ｐ不與Ａ或Ｄ重合）．ＰＥ⊥ＡＣ于