萬有引力知識點

第六章萬有引力與航天7.萬有引力與重力的關系：(1)“黃金代換”公式推導：當時，就會有。(2)注意：①重力是由于地球的吸引而使物體受到的力，但重力不是萬有引力。②只有在兩極時物體所受的萬有引力才等于重力。③重力的方向豎直向下，但并不一定指向地心，物體在赤道上重力最小，在兩極時重力最大。④隨著緯度的增加，物體的重力減小，物體在赤道上重力最小，在兩極時重力最大。⑤物體隨地球自轉所需的向心力一般很小，物體的重力隨緯度的變化很小，因此在一般粗略的計算中，可以認為物體所受的重力等于物體所受地球的吸引力，即可得到“黃金代換”公式。8.萬有引力定律與天體運動：運動性質(zhì)：通常把天體的運動近似看成是勻速圓周運動。從力和運動的關系角度分析天體運動：天體做勻速圓周運動運動，其速度方向時刻改變，其所需的向心力由萬有引力提供，即F需=F萬。如圖所示，由牛頓第二定律得：，從運動的角度分析向心加速度：重要關系式：地球繞太陽公轉的角速度為ω1，軌道半徑為R1，月球繞地球公轉的角速度為ω2，軌道半徑為R2，那么太陽的質(zhì)量是地球質(zhì)量的多少倍？解析：地球與太陽的萬有引力提供地球運動的向心力，月球與地球的萬有引力提供月球運動的向心力，最后算得結果為。9.計算大考點：“填補法”計算均勻球體間的萬有引力：談一談：萬有引力定律適用于兩質(zhì)點間的引力作用，對于形狀不規(guī)則的物體應給予填補，變成一個形狀規(guī)則、便于確定質(zhì)點位置的物體，再用萬有引力定律進行求解。模型：如右圖所示，在一個半徑為R，質(zhì)量為M的均勻球體中，緊貼球的邊緣挖出一個半徑為R/2的球形空穴后，對位于球心和空穴中心連線上、與球心相距d的質(zhì)點m的引力是多大？思路分析：把整個球體對質(zhì)點的引力看成是挖去的小球體和剩余部分對質(zhì)點的引力之和，即可求解。根據(jù)“思路分析”所述，引力F可視作F=F1+F2：則挖去小球后的剩余部分對球外質(zhì)點m的引力為。[能力提升]某小報登載：×年×月×日，×國發(fā)射了一顆質(zhì)量為100kg，周期為1h的人造環(huán)月球衛(wèi)星。一位同學記不住引力常量G的數(shù)值且手邊沒有可查找的材料，但他記得月球半徑約為地球的eq\f(1,4)，月球表面重力加速度約為地球的eq\f(1,6)，經(jīng)過推理，他認定該報道是則假新聞，試寫出他的論證方案。(地球半徑約為6.4×103km)證明：因為Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，所以T＝2πeq\r(\f(R3,GM))，又Geq\f(Mm,R2)＝mg得g＝eq\f(GM,R2)，故Tmin＝2πeq\r(\f(R3,GM))＝2πeq\r(\f(R月,g月))＝2πeq\r(\f(\f(1,4)R地,\f(1,6)g地))＝2πeq\r(\f(3R地,2g地))＝2πeq\r(\f(3×6.4×106,2×9.8))s＝6.2×103s≈1.72h。環(huán)月衛(wèi)星最小周期約為1.72h，故該報道是則假新聞。§6-3由“萬有引力定律”引出的四大考點解題思路——“金三角”關系：萬有引力與向心力的聯(lián)系：萬有引力提供天體做勻速圓周運動的向心力，即是本章解題的主線索。萬有引力與重力的聯(lián)系：物體所受的重力近似等于它受到的萬有引力，即為對應軌道處的重力加速度，這是本章解題的副線索。重力與向心力的聯(lián)系：為對應軌道處的重力加速度，適用于已知g的特殊情況。天體質(zhì)量的估算模型一：環(huán)繞型：談一談：對于有衛(wèi)星的天體，可認為衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動，中心天體對衛(wèi)星的萬有引力提供衛(wèi)星做勻速圓周運動的向心力，利用引力常量G和環(huán)形衛(wèi)星的v、ω、T、r中任意兩個量進行估算（只能估計中心天體的質(zhì)量，不能估算環(huán)繞衛(wèi)星的質(zhì)量）。①已知r和T:②已知r和v:③已知T和v:模型二：表面型：談一談：對于沒有衛(wèi)星的天體（或有衛(wèi)星，但不知道衛(wèi)星運行的相關物理量），可忽略天體自轉的影響，根據(jù)萬有引力等于重力進行粗略估算。變形：如果物體不在天體表面，但知道物體所在處的g，也可以利用上面的方法求出天體的質(zhì)量：處理：不考慮天體自轉的影響，天體附近物體的重力等于物體受的萬有引力，即：[觸類旁通]1、(2013·福建理綜，13)設太陽質(zhì)量為M，某行星繞太陽公轉周期為T，軌道可視作半徑為r的圓。已知萬有引力常量為G，則描述該行星運動的上述物理量滿足(A)A．GM＝eq\f(4π2r3,T2)B．GM＝eq\f(4π2r2,T2)C．GM＝eq\f(4π2r2,T3) D．GM＝eq\f(4πr3,T2)解析：本題考查了萬有引力在天體中的應用。是知識的簡單應用。由eq\f(GMm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)可得GM＝eq\f(4π2r3,T2)，A正確。2、(2013·全國大綱卷，18)“嫦娥一號”是我國首次發(fā)射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為200km的圓形軌道上運行，運行周期為127分鐘。已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半徑約為1.74×103km。利用以上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量約為(D)A．8.1×1010kgB．7.4×1013kgC．5.4×1019kg D．7.4×1022kg解析：本題考查萬有引力定律在天體中的應用。解題的關鍵是明確探月衛(wèi)星繞月球運行的向心力是由月球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供。由Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,r2)得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，又r＝R月＋h，代入數(shù)值得月球質(zhì)量M＝7.4×1022kg，選項D正確。宇航員站在一顆星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個小球。經(jīng)過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L。若拋出時的初速度增大到2倍，則拋出點與落地點之間的距離為。已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數(shù)為G。求該星球的質(zhì)量M。解析：在該星球表面平拋物體的運動規(guī)律與地球表面相同，根據(jù)已知條件可以求出該星球表面的加速度；需要注意的是拋出點與落地點之間的距離為小球所做平拋運動的位移的大小，而非水平方向的位移的大小。然后根據(jù)萬有引力等于重力，求出該星球的質(zhì)量。天體密度的計算模型一：利用天體表面的g求天體密度：變形變形物體不在天體表面：模型二：利用天體的衛(wèi)星求天體的密度：求星球表面的重力加速度：在忽略星球自轉的情況下，物體在星球表面的重力大小等于物體與星球間的萬有引力大小，即：[牛刀小試]（2012新課標全國卷，21）假設地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。一礦井深度為d。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為(A)A．1－eq\f(d,R)B．1＋eq\f(d,R)C. D.解析：設地球的質(zhì)量為M，地球的密度為ρ，根據(jù)萬有引力定律可知，地球表面的重力加速度g＝eq\f(GM,R2)，地球的質(zhì)量可表示為M＝eq\f(4,3)πR3ρ因質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，所以礦井下以(R－d)為半徑的地球的質(zhì)量為M′＝eq\f(4,3)π(R－d)3ρ，解得M′＝(eq\f(R－d,R))3M，則礦井底部處的重力加速度g′＝eq\f(GM′,R－d2)，所以礦井底部處的重力加速度和地球表面處的重力加速度之比eq\f(g′,g)＝1－eq\f(d,R)，選項A正確§6-4宇宙速度&衛(wèi)星涉及航空航天的“三大速度”：（一）宇宙速度：第一宇宙速度：人造地球衛(wèi)星在地面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動必須具有的速度叫第一宇宙速度，也叫地面附近的環(huán)繞速度，v1=7.9km/s。它是近地衛(wèi)星的運行速度，也是人造衛(wèi)星最小發(fā)射速度。（待在地球旁邊的速度）第二宇宙速度：使物體掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽運動的人造衛(wèi)星或飛到其他行星上去的最小速度，v2=11.2km/s。（離棄地球，投入太陽懷抱的速度）第三宇宙速度：使物體掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽以外的宇宙空間去的最小速度，v2=16.7km/s。（離棄太陽，投入更大宇宙空間懷抱的速度）（二）發(fā)射速度：1.定義：衛(wèi)星在地面附近離開發(fā)射裝置的初速度。2.取值范圍及運行狀態(tài)：①,人造衛(wèi)星只能“貼著”地面近地運行。②，可以使衛(wèi)星在距地面較高的軌道上運行。③,一般情況下人造地球衛(wèi)星發(fā)射速度。（三）運行速度：1.定義：衛(wèi)星在進入運行軌道后繞地球做圓周運動的線速度。2.大?。簩τ谌嗽斓厍蛐l(wèi)星，該速度指的是人造地球衛(wèi)星在軌道上的運行的環(huán)繞速度，其大小隨軌道的半徑r↓而v↑。3.注意：①當衛(wèi)星“貼著”地面飛行時，運行速度等于第一宇宙速度；②當衛(wèi)星的軌道半徑大于地球半徑時，運行速度小于第一宇宙速度。[牛刀小試]1、地球的第一宇宙速度約為8km/s，某行星的質(zhì)量是地球的6倍，半徑是地球的1.5倍。該行星上的第一宇宙速度約為(A)A．16km/s B．32km/s C．46km/s D．2km/s解析：由公式m=G，若M增大為原來的6倍，r增大為原來的1.5倍，可得v增大為原來的2倍。兩種衛(wèi)星：（一）人造地球衛(wèi)星：1.定義：在地球上以一定初速度將物體發(fā)射出去，物體將不再落回地面而繞地球運行而形成的人造衛(wèi)星。2.分類：近地衛(wèi)星、中軌道衛(wèi)星、高軌道衛(wèi)星、地球同步衛(wèi)星、極地衛(wèi)星等。3.三個”近似”：①近地衛(wèi)星貼近地球表面運行，可近似認為它做勻速圓周運動的半徑等于地球半徑。②在地球表面隨地球一起自轉的物體可近似認為地球?qū)λ娜f有引力等于重力。③天體的運動軌道可近似看成圓軌道，萬有引力提供向心力。4.四個等式：①運行速度：。②角速度：。③周期：。。④向心加速度：。（二）地球同步衛(wèi)星：1.定義：在赤道平面內(nèi)，以和地球自轉角速度相同的角速度繞地球運行的衛(wèi)星。2.五個“一定”：①周期T一定：與地球自轉周期相等（24h），角速度ω也等于地球自轉角速度。②軌道一定：所有同步衛(wèi)星的運行方向與地球自轉方向一致，軌道平面與赤道平面重合。③運行速度v大小一定：所有同步衛(wèi)星繞地球運行的線速度大小一定，均為3.08km/s。④離地高度h一定：所有同步衛(wèi)星的軌道半徑均相同，其離地高度約為3.6×104km。⑤向心加速度an大小一定：所有同步衛(wèi)星繞地球運行的向心加速度大小都相等，約為0.22m/s2。注：所有國家發(fā)射的同步衛(wèi)星的軌道都與赤道為同心圓，它們都在同一軌道上運動且都相對靜止。衛(wèi)星變軌問題：1.原因：線速度v發(fā)生變化，使萬有引力不等于向心力，從而實現(xiàn)變軌。2.條件：增大衛(wèi)星的線速度v，使萬有引力小于所需的向心力，從而實現(xiàn)變軌。3.注意：衛(wèi)星到達高軌道后，在新的軌道上其運行速度反而減小；當衛(wèi)星的線速度v減小時，萬有引力大于所需的向心力，衛(wèi)星則做向心運動，但到了低軌道后達到新的穩(wěn)定運行狀態(tài)時速度反而增大。4.衛(wèi)星追及相遇問題：某星體的兩顆衛(wèi)星之間的距離有最近和最遠之分，但它們都處在同一條直線上。由于它們軌道不是重合的，因此在最近和最遠的相遇問題上不能通過位移或弧長相等來處理，而是通過衛(wèi)星運動的圓心角來衡量，若它們初始位置在同一直線上，實際內(nèi)軌道所轉過的圓心角與外軌道所轉過的圓心角之差為π的整數(shù)倍時就是出現(xiàn)最近或最遠的時刻。四、與衛(wèi)星有關的幾組概念的比較總結：1.天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r的比較：衛(wèi)星的軌道半徑r是指衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的半徑，與天體半徑R的關系是r=R+h（h為衛(wèi)星距離天體表面的高度），當衛(wèi)星貼近天體表面運動時，可視作h=0，即r=R。2.衛(wèi)星運行的加速度與物體隨地球自轉的向心加速度的比較：（1）衛(wèi)星運行的加速度：衛(wèi)星繞地球運行，由萬有引力提供向心力，產(chǎn)生的向心加速度滿足,其方向始終指向地心，大小隨衛(wèi)星到地心距離r的增大而減小。物體隨地球自轉的向心加速度：當?shù)厍蛏系奈矬w隨地球的自轉而運動時，萬有引力的一個分力使物體產(chǎn)生隨地球自轉的向心加速度，其方向垂直指向地軸，大小從赤道到兩極逐漸減小。3.自轉周期和公轉周期的比較：自轉周期是天體繞自身某軸線運動一周的時間，公轉周期是某星球繞中心天體做圓周運動一周的時間。一般兩者不等（月球除外），如地球的自轉周期是24h，公轉周期是365天。4.近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星、赤道上的物體的比較：（1）近地衛(wèi)星和赤道上的物體：內(nèi)容近地衛(wèi)星赤道上的物體相同點質(zhì)量相同時，受到地球的引力大小相等不同點受力情況只受地球引力作用且地球引力等于衛(wèi)星做圓周運動所需向心力受地球引力和地面支持力作用，其合力提供物體隨地球自轉做圓周運動的向心力運動