二分法求方程的近似解 省賽獲獎(jiǎng)

課題：§3.1.2用二分法求方程的近似解教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與技能通過具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用． 過程與方法能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解，并了解這一數(shù)學(xué)思想，為學(xué)習(xí)算法做準(zhǔn)備． 情感、態(tài)度、價(jià)值觀體會(huì)數(shù)學(xué)逼近過程，感受精確與近似的相對(duì)統(tǒng)一．教學(xué)重點(diǎn)：重點(diǎn)通過用二分法求方程的近似解，體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問題的意識(shí)．難點(diǎn)恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具，利用二分法求給定精確度的方程的近似解．教學(xué)程序與環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)： 創(chuàng)設(shè)情境創(chuàng)設(shè)情境組織探究探索發(fā)現(xiàn)嘗試練習(xí)作業(yè)回饋課外活動(dòng)由二分查找及高次多項(xiàng)式方程的求問題引入．二分法的意義、算法思想及方法步驟．體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)的意義，明確二分法的適用范圍．二分法的算法思想及方法步驟，初步應(yīng)用二分法解決簡(jiǎn)單問題．二分法應(yīng)用于實(shí)際．二分法為什么可以逼近零點(diǎn)的再分析；二分法為什么可以逼近零點(diǎn)的再分析；追尋阿貝爾和伽羅瓦．教學(xué)過程與操作設(shè)計(jì)：環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)師生雙邊互動(dòng)創(chuàng)設(shè)情境材料一：二分查找(binary-search)（第六屆全國(guó)青少年信息學(xué)（計(jì)算機(jī)）奧林匹克分區(qū)聯(lián)賽提高組初賽試題第15題）某數(shù)列有1000個(gè)各不相同的單元，由低至高按序排列；現(xiàn)要對(duì)該數(shù)列進(jìn)行二分法檢索(binary-search)，在最壞的情況下，需檢索（

）個(gè)單元。Ａ．1000Ｂ．10

Ｃ．100

Ｄ．500二分法檢索（二分查找或折半查找）．材料二：高次多項(xiàng)式方程公式解的探索史料由于實(shí)際問題的需要，我們經(jīng)常需要尋求函數(shù)的零點(diǎn)（即的根），對(duì)于為一次或二次函數(shù)，我們有熟知的公式解法（二次時(shí)，稱為求根公式）．在十六世紀(jì)，已找到了三次和四次函數(shù)的求根公式，但對(duì)于高于4次的函數(shù)，類似的努力卻一直沒有成功，到了十九世紀(jì)，根據(jù)阿貝爾（Abel）和伽羅瓦（Galois）的研究，人們認(rèn)識(shí)到高于4次的代數(shù)方程不存在求根公式，亦即，不存在用四則運(yùn)算及根號(hào)表示的一般的公式解．同時(shí)，即使對(duì)于3次和4次的代數(shù)方程，其公式解的表示也相當(dāng)復(fù)雜，一般來講并不適宜作具體計(jì)算．因此對(duì)于高次多項(xiàng)式函數(shù)及其它的一些函數(shù)，有必要尋求其零點(diǎn)的近似解的方法，這是一個(gè)在計(jì)算數(shù)學(xué)中十分重要的課題．師：從學(xué)生感興趣的計(jì)算機(jī)編程問題，引導(dǎo)學(xué)生分析二分法的算法思想與方法，引入課題．生：體會(huì)二分查找的思想與方法．師：從高次代數(shù)方程的解的探索歷程，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)引入二分法的意義．組織探究二分法及步驟：對(duì)于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足·的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．給定精度，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：1．確定區(qū)間，，驗(yàn)證·，給定精度；2．求區(qū)間，的中點(diǎn)；3．計(jì)算：師：闡述二分法的逼近原理，引導(dǎo)學(xué)生理解二分法的算法思想，明確二分法求函數(shù)近似零點(diǎn)的具體步驟．分析條件“·”、“精度”、“區(qū)間中點(diǎn)”及“”的意義．環(huán)節(jié)呈現(xiàn)教學(xué)材料師生互動(dòng)設(shè)計(jì)組織探究eq\o\ac(○,1)若=，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；eq\o\ac(○,2)若·<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）；eq\o\ac(○,3)若·<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）；4．判斷是否達(dá)到精度；即若，則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值（或）；否則重復(fù)步驟2~4．生：結(jié)合引例“二分查找”理解二分法的算法思想與計(jì)算原理．師：引導(dǎo)學(xué)生分析理解求區(qū)間，的中點(diǎn)的方法．例題解析：例1．求函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)（精確到）．分析：首先利用函數(shù)性質(zhì)或借助計(jì)算機(jī)、計(jì)算器畫出函數(shù)圖象，確定函數(shù)零點(diǎn)大致所在的區(qū)間，然后利用二分法逐步計(jì)算解答．解：（略）．注意：eq\o\ac(○,1)第一步確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間，，可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器，但盡量取端點(diǎn)為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長(zhǎng)度，通?？纱_定一個(gè)長(zhǎng)度為1的區(qū)間；eq\o\ac(○,2)建議列表樣式如下：零點(diǎn)所在區(qū)間中點(diǎn)函數(shù)值區(qū)間長(zhǎng)度[1，2]>01[1，]<0[，]<0如此列表的優(yōu)勢(shì)：計(jì)算步數(shù)明確，區(qū)間長(zhǎng)度小于精度時(shí)，即為計(jì)算的最后一步．例2．借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程的近似解（精確到）．解：（略）．思考：本例除借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個(gè)數(shù)外，你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個(gè)數(shù)？結(jié)論：圖象在閉區(qū)間，上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，在，上至多有一個(gè)零點(diǎn)．師：引導(dǎo)學(xué)生利用二分法逐步尋求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，注意規(guī)范方法、步驟與書寫格式．生：根據(jù)二分法的思想與步驟獨(dú)立完成解答，并進(jìn)行交流、討論、評(píng)析．師：引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性確定方程解的個(gè)數(shù)．生：認(rèn)真思考，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)尋求確定方程解的個(gè)數(shù)的方法，并進(jìn)行、討論、交流、歸納、概括、評(píng)析形成結(jié)論．環(huán)節(jié)呈現(xiàn)教學(xué)材料師生互動(dòng)設(shè)計(jì)探究與發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)從“數(shù)”的角度看：即是使的實(shí)數(shù)；從“形”的角度看：即是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若函數(shù)的圖象在處與軸相切，則零點(diǎn)通常稱為不變號(hào)零點(diǎn)；若函數(shù)的圖象在處與軸相交，則零點(diǎn)通常稱為變號(hào)零點(diǎn)．用二分法求函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)二分法的條件·表明用二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn)．師：引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度去體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)的意義，掌握常見函數(shù)零點(diǎn)的求法，明確二分法的適用范圍．嘗試練習(xí)教材P106練習(xí)1、2題；教材P108習(xí)題3．1（A組）第1、2題；求方程的解的個(gè)數(shù)及其大致所在區(qū)間；求方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)；探究函數(shù)與函數(shù)的圖象有無交點(diǎn)，如有交點(diǎn)，求出交點(diǎn)，或給出一個(gè)與交點(diǎn)距離不超過的點(diǎn)．作業(yè)回饋教材P108習(xí)題3．1（A組）第3~6題、（B組）第4題；提高作業(yè)：eq\o\ac(○,1)已知函數(shù)．（1）為何值時(shí)，函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)？（2）如果函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)，求的值．eq\o\ac(○,2)借助于計(jì)算機(jī)或計(jì)算器，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)（精確到）；eq\o\ac(○,3)用二分法求的近似值（精確到）．環(huán)節(jié)呈現(xiàn)教學(xué)材料師生互動(dòng)設(shè)計(jì)課外活動(dòng)查找有關(guān)系資料或利用internet查找有關(guān)高次代數(shù)方程的解