概率論第八章假設檢驗

第八章

假設檢驗§8.1

假設檢驗的基本思想§8.2

正態(tài)總體未知參數(shù)的假設檢驗§8.3

單側假設檢驗上一章介紹了對總體中未知參數(shù)的估計方法。本章將統(tǒng)計推斷的另一個重要方面——統(tǒng)計假設檢驗。出于某種需要，對未知的或不完全明確的總體給出某些假設，用以說明總體可能具備的某種性質，這種假設稱為統(tǒng)計假設。如正態(tài)分布的假設，總體均值的假設等。這個假設是否成立，還需要，這一過程稱為假設檢驗，并最終作出判斷，是接受假設還是假設。本章主要介紹假設檢驗的基本思想和常用的檢驗方法，重點解決正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗?！?.1

假設檢驗的基本思想一、假設檢驗問題的提出二、假設檢驗的基本思想三、假設檢驗中兩類錯誤統(tǒng)計推斷的另一個重要問題是假設檢驗問題。在總體的分布函數(shù)未知或只知其形式，但不知其參數(shù)的情況下，為了推斷總體的某些性質，提出某些關于總體的假設。例如，提出總體服從泊松分布的假設，又如，對于正態(tài)總體提出數(shù)學期望

0的假設等。假設檢驗就是根據(jù)樣本對所

假設作出判斷：是接受，還是

。這里，先結合例子來說明假設檢驗的基本思想和做法。一、假設檢驗問題的提出例1已知某煉鐵廠的鐵水含碳量X在某種工藝條件下服從正態(tài)分布N(4.55，0.1082)。現(xiàn)改變了工藝條件，測了五爐鐵水，其含碳量分別為：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37根據(jù)以往的經(jīng)驗，總體的方差2=0.1082一般不會改變。試問工藝條件改變后，鐵水含碳量的均值有無改變？顯然，這里需要解決的問題是，如何根據(jù)樣本判斷現(xiàn)在冶煉的鐵水的含碳量是服從新的≠4.55的正態(tài)分布呢？還是與過去一樣仍然服

從

=4.55的正態(tài)分布呢？若是前者，可以認為新工藝對鐵水的含碳量有顯著的影響；若是后者，則認為新工藝對鐵水的含碳量沒有顯著影響。通常，選擇其中之一作為假設后，再利用樣本檢驗假設的真?zhèn)?。?

某自動車床生產(chǎn)了一批鐵釘，現(xiàn)從該批鐵釘中隨機抽取了11根，測得長度(單位：mm)數(shù)據(jù)為：10.41，10.32，10.62，10.18，10.77，10.64，10.82，10.49，10.38，10.59，10.54。試問鐵釘?shù)拈L度X是否服從正態(tài)分布？在本例中，

關心的問題是總體X是否服從正態(tài)分布。如同例1那樣，選擇“是”或“否”作為假設，然后利用樣本對假設的真?zhèn)巫鞒雠袛唷Ｒ陨蟽衫际菍嶋H問題中常見的假設檢驗問題。把問題中涉及到的假設稱為原假設或稱待檢假設，一般用H0表示。而把與原假設對立的斷言稱為備擇假設，記為H1。如例1，若原假設為H0：=

0=4.55，則備擇假設為H1：≠4.55。若例2的原假設為H0：X服從正態(tài)分布，則備擇假設為H1：X

從正態(tài)分布。當然，在兩個假設中用哪一個作為原假設，哪一個作為備擇假設，視具體問題的題設和要求而定。在許多問題中，當總體分布的類型已知時，只對其中一個或幾個未知參數(shù)作出假設，這類問題通常稱之為參數(shù)假設檢驗，如例1。而在有些問題中，當總體的分布完全不知或不確切知道，就需要對總體分布作出某種假設，這種問題稱為分布假設檢驗，如例2。接下來

要做的事是：給出一個合理的法則，根據(jù)這一法則，利用巳知樣本做出判斷是接受假設H0

，還是

假設H0。二、假設檢驗的基本思想假設檢驗的一般提法是：在給定備擇假設H1下，利用樣本對原假設H0作出判斷，若

原假設H0，那就意味著接受備擇假設H1，否則，就接受原假設H0。換句話說，假設檢驗就是要在原假設H0和備擇假設H1中作出

哪一個和接受哪一個的判斷。究竟如何作出判斷呢？對一個統(tǒng)計假設進行檢驗的依據(jù)是所謂小概率原理，即例如，在100件產(chǎn)品中，有一件次品，隨機地

從中取出一個產(chǎn)品是次品的事件就是小概率事件。因為此事件發(fā)生的概率=0.01很小，因此，從中任意抽一件產(chǎn)品恰好是次品的事件可認為幾乎不可能發(fā)生的，如果確實出現(xiàn)了次品，

就有理由懷疑這“100件產(chǎn)品中只有一件次品”的真實性。那么取值多少才算是小概率呢？這就要視實際問題的需要而定，一般取0.1，0.05，0.01等。以例1為例。首先建立假設：H0：=0=4.55，H1：≠4.55。其次，從總體中作一隨機抽樣得到一樣本觀察值(x1，x2，…，xn)。注意到X

H0正確，則nX

是的無偏估計量。因此，若

ii

11nnixni

1x

100與

的偏差一般不應太大，即

|

x

|不應太大，若過分大，有理由懷疑H0的正確性而拒絕H0。由于~

N

(0,1)

因此，

/

nZ

X

00|

x

|的大小等價于

/

n|

x

0

|的大小，哪么如何判斷

/

n|

x

0

|是否偏大呢？具體設想是，對給定的小正數(shù)，由于事件

/

2

/

n|

X

0

|

z是概率為的小概率事件，即

/

2

0

z

/

n|

X

|P

/

n因此，當用樣本值代入統(tǒng)計量

Z

X

0

;具體計算得到其觀察值|

z

|

|

x

0

|

.

/

n稱為檢驗統(tǒng)計量。統(tǒng)計量

Z

X

0

/

n當檢驗統(tǒng)計量取某個區(qū)域C中的值時，就

H0，則稱C為H0的

域，

域的邊界點稱為臨界值。如例1中域為|

z

|

z

，臨界值為z

z

和

z

z222若|

z

|

z

/2即說明在一次抽樣中，小概率事件居然發(fā)生了。因此依據(jù)小概率原理，有理由若|

z

|

z

/2，則沒有理由H0，接受H1；H0，只能接受H0。將上述檢驗思想歸納起來，可得參數(shù)的假設檢驗的一般步驟：根據(jù)所

的實際問題建立原假設H0及備擇假設H1；選擇合適的檢驗統(tǒng)計量Z，并明確其分布；對預先給定的小概率＞0，由P{|Z|≥z/2}=

確定臨界值z/2

；由樣本值具體計算統(tǒng)計量Z的觀察值z；并作出判斷，若|z|≥z/2

，則

H0，接受H1；若|z|＜z/2

，則接受H0?，F(xiàn)在，

來解決例1

問題：(1)提出假設：H0：=

0=4.55，H1：≠4.55~

N

(0

,

1)

/

n(2)選擇檢驗用統(tǒng)計量：Z

X

0

4.364

4.55

3.9

/

n

0.108

/

5(5)判斷：因為|

z|=3.9＞1.96，所以

H0，接受H1，即認為新工藝改變了鐵水的平均含碳量。故Z的觀察值

z

x

0找臨界值：對于給定小正數(shù)，如=0.05，查標準正態(tài)分表得到臨界值z/2

=z0.025

=1.96；具體計算：這里n=5，x

4.364,

2

0.1082三、假設檢驗中兩類錯誤第Ⅰ類錯誤，當原假設H0為真時，卻作出H0的判斷，通常稱之為棄真錯誤。由于樣本的隨機性，犯這類錯誤的可能性是不可避免的。若將犯這一類錯誤的概率記為

，則有P{

H0|H0為真}=。第Ⅱ類錯誤，當原假設H0不成立時，卻作出接受H0的決定，這類錯誤稱之為取偽錯誤。這類錯誤同樣是不可避免的。若將犯這類錯誤的概率記為

，則有P{接受H0|H0為假}=

。自然，

希望一個假設檢驗所作的判斷犯這兩類錯誤的概率都很小。事實上，在樣本容量n固定的情況下，這一點是辦不到的。因為當減小時，就增大；反之，當減小時，就增大。那么，如何處理這一問題呢？事實上，在處理實際問題中，一般地，對原假設H0，

都是經(jīng)過充分考慮的情況下建立的，或者認為犯棄真錯誤會造成嚴重的

。例如，原假設是前人工作的結晶，具有穩(wěn)定性，

從經(jīng)驗看，沒有條件發(fā)生變化，是不會輕易被否定的，如果因犯第Ⅰ類錯誤而被否定，往往會造成很大的損失。因此，在H0與H1之間，保護H0，即H0確實成立時，作出上往往傾向于H0的概率應是一個很小的正數(shù)，也就是將犯棄真錯誤的概率限制在事先給定的范圍內，這類假設檢驗通常稱為顯著性假設檢驗，小正數(shù)稱為檢驗水平或稱顯著性水平?！?.2

正態(tài)總體下未知參數(shù)的假設檢驗一、單個正態(tài)總體情形二

兩個正態(tài)1．均值的檢驗原假設H0：

=

0，備擇假設H1：≠

0。(a)2已知由上節(jié)的

可知，在H0成立的條件下，選用檢驗統(tǒng)計量~

N

(0

,

1)nX

0Z

/對給定的檢驗水平，查正態(tài)分布表得臨界值z/2，再由樣本值具體計算統(tǒng)計量Z的觀察值z并與z/2比較

，若|z|≥z/2

，則

H0，接受H1；若|z|＜

z/2

，則接受H0。這種檢驗法常稱為Z檢驗法。一、單個正態(tài)總體情形例1設某車床生產(chǎn)的鈕扣的直徑X服從正態(tài)分布，根據(jù)以往的經(jīng)驗，當車床工作正常時，生產(chǎn)的鈕扣的平均直徑0=26mm，方差2=2.62。某天開機一段時間后，為檢驗車床工作是否正常，隨機地從剛生產(chǎn)的鈕扣中抽檢了100粒，測得均值為26.56。假定方差沒有什么變化。試分別在1=0.05，2=0.01下，檢驗該車床工作是否正常？解：原假設H0：

=

0，備擇假設H1：≠

0。由1=0.05及2=0.01，查正態(tài)分布表，得臨界值z1/2

=z0.025=1.96，z2/2

=z0.005=2.58。而|

z

|

|

x

0

|

|

26.56

26

|

2.15

/

n

2.6

/

100因此，|

z

|=2.15＞1.96，但|

z

|=2.15＜2.58。H0，接受H1，故在檢驗水平1=0.05下，應當即認為該天車床工作不正常；而在檢驗水平2=0.01下，應當接受H0，即認為該天車床工作是正常的。上例說明：1）對于同一個問題，同一個樣本，由于檢驗水平不一樣，可能得出完全相反的結論。因此，在實際應用中，如何合理地選擇檢驗水平是非常重要的。越大z

2越小2故)()顯著性的水平較強.顯著性的水平較低.反之,越小(z

2變大)故域減小即差異(b)2未知由于2未知，因此，不能用Z作為檢驗統(tǒng)計量，但注意到樣本方差2n

11S

i

2(X

X

)ni

1是2的無偏估計量，因此，

自然會想到用s2代替2，而在第六章的定理3也已經(jīng)證明，在H0成立的條件下，統(tǒng)計量t n

1)T

X

0S

/

n于是，對給定的顯著性水平＞0，查t分布表可得臨界值t/2，使P{|t|≥t/2}=成立。再由樣本值具體計算統(tǒng)計量T的觀察值t，并與t/2比較，若|t|≥t/2，則

H0，接受H1；若|t|＜t/2，則接受H0。這種檢驗法也稱為t

檢驗法。例2

某廠利用某種鋼生產(chǎn)鋼筋，根據(jù)長期資料的分析，知道這種鋼筋強度X服從正態(tài)分布，今隨機抽取六根

鋼筋進行強度試驗，測得強度X(單位：kg/mm2)為48.5，49.0，53.5，56.0，52.5，49.5。試問：能否據(jù)此認為這種鋼筋的平均強度為52.0kg/mm2(=0.05)?解設X～N(，2)，依題意建立假設H0：

=

0，H1：≠

0。這里2未知，故在H0成立的條件下應選取檢驗統(tǒng)計量~

t(n

1)T

X

0S

/

n由已知

=0.05，查t分布表得臨界值t/2

=t0.025(6－1)=2.571。又由樣本值算得x

51.5s2

8.9t

51.5

52.0

0.418.9

/

6因為，|t|≈0.41＜2.571，故接受H0，即可以認為這種鋼筋的平均強度為52.0

kg/mm2。2．方差的檢驗設總體X～N(，2)，均未知，(X1，X2，…，Xn)來自總體X的樣本，要求進行的檢驗(設顯著性水平為＞0)為0原假設H

：

21=

，備擇假設H

：2002

≠

。2由于0是

2的無偏估計量，因此由第六章的定理3知當H~

2

(n

1)(n

1)S

22020(X

X

)2i為真時，統(tǒng)計量n

2

i

1

2n

11S

i

2(X

X

)ni

1因此對給定檢驗水平

＞0，由2分布表求得臨界值(n–1)及

(n–1)使2

2

/

2

1

/

22(n

1)}

222

/

21P{

(n

1)}

P{

2

2(n

1)

21

2(n

1)22o22n

1)(,則2

/12

/2若

2

22n

)或1(

0

2(n

1)s2

2再由樣本值(x1,x2,…,xn)具體計算統(tǒng)計量2的觀察值判斷：0n

1)(,則接受H

;

/12

/2若

2

n

1)(

2

2這種檢驗法稱為2檢驗法。例3

某種電子元件的(單位：h)X～N(，2)，其中，2未知?，F(xiàn)檢測了16只電子元件，其如下：159，280，101，212，224，279，179，264，222，362，168，250，149，260，485，170。試問元件

的方差2是否等于1002(=0.05)？解依題意，假設H0：2=1002，H1：2≠1002，選取檢驗統(tǒng)計量~

2

(n

1)(n

1)S

220

2

0.025n

2

(1)15()

27488

2因此對給定檢驗水平

=0.05，由2分布表求得臨界值(n

1)

20.975(15)

6.26221

/

22又據(jù)樣本值算得：s2

92.4038210020

12.81

2n

1)(s2

92145038.2故

2

因為6.262＜12.81＜27.488，所以，應接受H0，即可以認為電子元件

的方差2與1002無顯著差異。例4

某廠生產(chǎn)的某種型號的電池，其

長期以來服從方差2=5000（小時2）的正態(tài)分布，現(xiàn)有一批這種電池，從它的生產(chǎn)情況來看，變，現(xiàn)隨機抽取26只電池，測出其的波動性有所改的樣本方差s2=9200（小時2）。問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的

波動性較以往有顯著改變（取=0.02)?解:

本題要求在檢驗水平

0.02下檢驗假設:H

:

2

2

5000,

H

:

2

50000

0

1現(xiàn)在n

26,查

2分布表得臨界值:

44.43614.n

1)(s20而由觀察值s2

9200得:

2

20所以

H0，由此可以推斷這批電池的

波動性較以往有顯著改變。0.01n

2

()215()

44.314,

2

/

20.99n

2

()215()

11

,

21

/

2又

2

5000,二

兩個正態(tài)在實際應用中，常常遇到兩正態(tài)總體參數(shù)的比較問題，如兩個車間生產(chǎn)的燈泡

是否相同；兩批電子元件的電阻是否有差別；兩臺機床加工零件的精度是否有差異等等。一般都可歸納為兩正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗。設X

,

X

,,

X

是來自正態(tài)總體N

(

,

2

)的樣1

2

n1

1

1本,

Y

,Y

,,Y

是來自正態(tài)總體N

(

,

2

)的樣本,1

2

n2

2

2兩樣本獨立.

其樣本均值為X

,Y

,

樣本方差為S

2

,

S

2

.1

2顯著性水平為

.1.均值差1

2的檢驗221

2

未知，檢驗假設：原假設：H0：1

2，備擇假設：H1：1

2由第六章的定理4知,在H0成立時,應取檢驗統(tǒng)計量:1

11

21

2nnX

Yt

~

t(n

n

2)SW21

1

1

2

2n

n

2(n

1)S

2

(n

1)S

2W其中S

2因此，對給定顯著性水平＞0，可查t分布表求得臨界值t/2(n1+n2–2)。再由樣本值具體計算統(tǒng)計量T的觀察值t，并與t/2(n1+n2–2)比較，若|t|≥t/2(n1+n2–2)，則

H0，接受H1；若|t|<t/2(n1+n2–2)

，則接受H0。

2

2t

t

(n

1)02t

(n

1)2例5

從甲、乙兩煤礦各抽樣數(shù)次，測得其含灰率(%)如下：甲礦：24.3，20.8，23.7，21.3，17.4；乙礦：18.2，16.9，20.2，16.7假設各煤礦含灰率都服從正態(tài)分布且方差相等。試問甲、乙兩煤礦含灰率有無顯著差異(=0.05)？解依題意，假設H0：1=2，H1：1≠2。對給定的檢驗水平

=0.05，查t分布表得臨界值t

/

2

(n1

n2

2)

t0.025(7)

2.365又由樣本觀察值算得：x

21.5,

y

18,1s2

7.505,2s2

2.5933.

(5

1)

7.505

(4

1)

2.5933

5.405

4

2ws2

2.2451

15

45.40

21.5

181

1n1

n2x

yt

sw由于2.245＜2.365，故接受H0，即可以認為兩煤礦的含灰率無顯著差異。注意到2.245與臨界值2.365比較接近，為慎重起見，最好再抽樣一次，并適當增加樣本容量，重新進行一次計算再作決定。例5

下面分別給出兩個文學家的8篇小品文以及

特·吐溫(Mark

Twain)(Snodgrass)的10篇小品文中由3個字母組成的詞的比例：·吐溫：0.225，0.262，0.217，0.240，0.230，0.229，0.235，0.217特

：0.209，0.205，0.196，0.210，0.202，0.207，0.224，0.223，0.220，0.201設兩組數(shù)據(jù)分別來自正態(tài)總體,且兩總體方差相等,兩樣本相互獨立.問兩個作家所寫的小品文中包含3個字母組成的詞的比例是否有顯著的差異(取=0.05)?解

:

假設 H0

:

1

2

H1

:

1

(

)2

22

1

2對給定的檢驗水平

=0.05，查t分布表得臨界值t

/

2

(n1

n2

2)

t0.025(16)

2.119912現(xiàn)在

x

0.232,

s2

0.000212y

0.2097,

s2

0.0000933

0.00014521

1

1

2

2n

n

2(n

1)s2

(n

1)s2s2w可得

t

3.8796

2.1199H0，即認為兩個作家所寫的小品文中包含由3個字母組成的詞的比例有顯著的差異。,n1

n2s代入t

w1

1x

y的檢驗22、兩總體方差比

1

2

22221

.

1等價于2221注意到n2

11F n1

2222S

/

S

2

/

2由于F

1

12S

2S

2F

10~

F

(n1

1,n2

1)作為檢驗統(tǒng)計量。，

可取2221因此，當H

成立時，即

2221122

210故在1

,2未知,可建立假設:H

:

原假設H

:

,備擇假設例6

兩家工商銀行分別對21個儲戶和16個儲戶的年存款余額進行抽樣

，測得其平均年存款余額分別為26000元和27000元，樣本標準差相應為s1=810元和s2=1050元。假設年存款余額服從正態(tài)分布，試比較兩家銀行的平均年存款余額有無顯著差異(=0.10)？解依題意，需要檢驗1與

2是否相等，但方差未知，而使用t檢驗，必須在方差相等的條件下進行。因此，首先應檢驗σ12，σ22

，是否相等：(1)檢驗假設H

：0

1≠。221

221

，H

：22由于=0.10

，查F分布表可得臨界值F

/

2

(n1

1,

n2

1)

F0.05(20,

15)

2.331

2

0.95F

(n

1,

n

1)

F

(20,

15)

1

/

2

0.452.201F0.05

(15,

20)1

0.59511050281022s2s2f

1計算統(tǒng)計量F的觀察值：因為0.45＜0.5951＜2.33，故應接受H0，即可以認為它們的方差是相等的。(2)檢驗假設：

1=

2，：

1≠

2。由(1)知，因此可用t

檢驗。由于=0.10

，查t

分布表可得臨界值n1

n2

t0.05

()325(

.619)t

/

2計算統(tǒng)計量T的觀察值為：700.891

21

1

1

1n

n

21sx

y

26000

27000

4.299t

w因為|

t

|=4.299＞1.67，故應16H0，接受H1，也就是說兩家銀行客戶的平均年存款余額有顯著差異。例7

從某鋅礦的東,西兩支礦脈中,各抽取樣本容量分別為9與8的樣本進東支:

=0.230.西支:

=0.269,試,得樣本含鋅平均數(shù)及樣本方差如下:2=0.1337.

n

=9；xyn12n2SS1=0.1736,

n2

=8。、西兩支礦脈的含鋅量都服從正態(tài)分布，問東、西兩支礦脈含鋅量的平均值是否可以看作一樣(α=0.05)?解：本題是在未知方差，又沒有說明方差是否相等的情況下要求檢驗兩總體均值是否相等的問題，首先必須檢驗方差是否相等：σ12=σ22,即檢驗假設H0:σ12=σ22?！獸(n1-1，n2-1)(H0為真時)。n2/

S

2n1選取統(tǒng)計量F=S

2又因F=

/=0.1337/0.1736=0.7702。2n1S2n2S而由題設知F0.975(7，8)=1/4.9=0.204，F(xiàn)0.025(7，8)=4.53，因0.204<f=0.7702<4.57，故接受H0，可以認為σ12=σ22。下面在未知方差但知相等的條件下，檢驗假設H0

：μ1=μ2，H1

：μ1≠μ2.1

11

221nnX

YT

~

t(n

n

2)SW為此選取統(tǒng)計量：H0

的

域為|t|>

t/2(n1+n2-2),由n1=9，n2=8,

=0.05,

得t

/2(n1-1，n2-2)=t0.025(15)=2.1315。因此H0

的域為|t|>2.1315。

0.1523982n2S

2n1

S(92

1()81)ws2

0.20560.1523 1

/

9

1

/

8因t沒有落入域，故應授受H0

，即可以認為東、西兩支礦脈的平均含鋅量可以看作一樣，無顯著差異。樣本均值之間的差異是由隨機性所導致的，而不是系統(tǒng)偏差。n1

n20.230

0.269sx

yt

w1

1§8.3

單側假設檢驗以上介紹的假設檢驗，歸納起來為下面兩種形式：原假設H0：=0，備擇假設H1：≠0，其中0為某一常數(shù)；原假設H0：1=2，備擇假設H1：1≠2，其中1，2分別為兩相互獨立的總體X與Y的參數(shù)。這類假設的共同特點是，將檢驗統(tǒng)計量的觀察值與臨界值比較，無論是偏大還是偏小，都應否定

H0，接受H1。因此，通常也稱為雙側假設檢驗。但在某些實際問題中，例如，對于設備、元件的

來說，

越長越好，而產(chǎn)品的廢品率當然越低越好，同時均方差越小也是

所希望的。因此，在實際應用中，除了上述的雙側假設檢驗之外，還有許多其它形式的假設檢驗問題：(3)原假設H0：≥0(或≤0)，備擇假設H1：＜0(或＞0)。其中為總體X的未知參數(shù)，0為一常數(shù)；(4)原假設H0：1≥2(或1≤2)，備擇假設H1：1＜2(或1＞2)。其中1，2為相互獨立的總體X與Y的未知參數(shù)。(3)、(4)兩種統(tǒng)計假設，常稱之為單側假設，相應的假設檢驗稱為單側（左、右）假設檢驗。例1

某廠生產(chǎn)的電子元件的

(單位：h)X～N(，2)，其中未知。但據(jù)以往的經(jīng)驗，電子元件的壽命一直穩(wěn)定在0=200小時，現(xiàn)該廠對生產(chǎn)工藝作了某些改進，為了了解技術革新的效果，從剛生產(chǎn)的電子元件中任意抽取16只，測得

如下：199，280，191，232，224，279，179，254，222，192，168，250，189，260，285，170。試問：工藝改進后，在檢驗水平=0.05下是否可以認為元件的平均

有了顯著的提高？解

顯然，該問題是要判斷新產(chǎn)品的

是否服從＞200小時的正態(tài)分布？由此，建立假設原假設H0：≤0=200，備擇假設H1：＞200。下面分兩種情況

：1)當=0時，由于2未知，取統(tǒng)計量~

t(n

1)T

X

0S

/

n因此，對給定的小正數(shù)，由P{t≥t(n-1)}得臨界值t(n-1)。

t

(n

1)

S

/

n

X

0顯然，是概率為的小概率事件或t≥

t(n-1)是H0的

域。02)當<

時，應當S

/

nT

X

~

t(n

1)S

/

n但由于未知，故仍取統(tǒng)計量

T

X

0作為檢驗統(tǒng)計量。X

0

X

S

/

n S

/

n由于

S

/

n

S

/

n

X

0

t

(n

1)

X

t

(n

1)于是

t

n

1)(

S

/

n

X

t n

1)(

P0

S

/

nX

由此可得 P

t

(n

1)X

0S

/

n即 T

t

(n

1)t

x

0s

/

n是更小概率事件。因此如果統(tǒng)計量T

的觀察值則應

H0，接受H1；如果t＜t(n-1)，則只能接受H0。綜合上述兩種情況，對于假設檢驗問題H0：≤0，H1：

>0。只要由樣本值計算統(tǒng)計量T的觀察值t≥t(n-1)，就應當

H0，接受H1；否則就接受H0?，F(xiàn)在來解決例1。由樣本觀察值具體計算得:

x

223.375,

s

40.707由=0.05查t分布表得臨界值0.05

2003752.297

t

(15

1.7)

351因為t

x

0

223.s

/

n

40.707

/

16所以，應后，元件的平均H0，接受H1，即認為經(jīng)過工藝改進有了顯著的提高。其它類似的情況見書P165頁表8-1。由本例可知，單側假設檢驗與雙側假設檢驗所采用的檢驗統(tǒng)計量是相同的，差別在域上，雙側假設檢驗的備擇假設H1分散在H0的兩側，而單側假設檢驗的備擇假設H1在H0的一側（參閱下圖）。雙側檢驗單邊右側檢驗單邊左側檢驗例2

某工廠生產(chǎn)的固體

推進器的

率X服從正態(tài)分布N(，σ2)，

=40cm/s，

σ=2cm/s。

現(xiàn)在用新方法生產(chǎn)了一批推進器,從中隨機地取n=25只,測得燃燒率的樣本均值為x=41.25cm/s.設在新方法下總體均方差仍為2cm/s,這批推進器的燃燒率是否較以往生產(chǎn)的推進器的燃燒率有顯著的提高？取顯著性水平α=0.05。解

按題意需檢驗假設H0:≤0=40（即假設新方法沒有提高燃燒率）H1:>0（即假設新方法提高了燃燒率）即z的值落在下，應

H0。即認為這批推進器的

率較以往生產(chǎn)的有顯著地提高。2

/

25域中。所以在顯著性水平α=0.05而現(xiàn)在z

41.25

40

3.125

1.645

1.645

/

n0.05Z

X

0

z這是右側檢驗問題，其域為x

946樣本方差s2

下(1)這批燈泡的(2)這批燈泡是否合格？解：（1）檢驗假設：H0：

0

1000；H1：

10002.試120在顯著性水平

0.05只,1測6

得例3

設某廠生產(chǎn)的燈泡0

未知.,現(xiàn)10隨00機抽取樣本20.025(15)

2.13當

0.05,得雙側臨界值接受H0

,即燈泡

與1000無顯著差異。(2)燈泡合格，即燈泡的使用

應不顯著低于標準值

0=1000小時，因而屬單邊左側檢驗。故待驗假設應為H0：

0

1000；H1：

1000而

t

||120

4

10009640.025

t

(185.1

.123)n

511()5(

1.7)

5由

0.05,得單側臨界值t120

4H0，即該批燈泡不合格故又t

964

1000

1.8

1.75注：題解中的能否換成H0：

≤1000，H1：

>1000(單邊右側檢驗)呢？答案是否定的。因為，此時，t

=－1.8<1.75。故應考慮接受H0：

≤1000。但此時，既不能認為這批元件是不合格的(有可能

=1000)，也不能認為是合格的(有可能<1000)。由此可見，就本題的題設而言，待檢假設只能是H0：

≥1000，H0：<1000(單邊左側檢驗)。否則將得不到任何有效的結論。例4

某種導線，要求其電阻的標準差不得超過0.005(歐姆)。今在生產(chǎn)一批導線中取樣品9根，測得s=0.007(歐姆)，設總體為正態(tài)分布。問在水平=0.05下以能否認為這批導線的標準差顯著地偏大?解：假設：H0

:

0.005

H1

:

0.005

15.68

15.5070.00528

0.0072又

2

20.058

15.5072由

分布表查得臨界值H0，即認為這批導線的標準差顯著地偏大。例5

用機器包裝食鹽，假設每袋鹽的凈重X(單位：g)服從正態(tài)分布N(，2)，規(guī)定每袋標準重量500g，標準差

過10

g。某天開工后，為檢驗其機器工作是否正常，從裝好的食鹽中隨機抽取9袋，測

得其凈重為：497，507，510，475，488，524，491，515，484。試問這天包裝機工作是否正常(=0.05)？解依題設，需檢驗假設H0

:

0

500,H1

:

500.(1)檢驗假設H0：

0

500,H1

:

500由于2未知，應選擇檢驗統(tǒng)計量T

X

500

~

t(n

1)S

/

n由=0.05，查t分布表得臨界值0.025(8)

2.306及

H2

2

220

0

1:

10

，H

:

102由樣本觀察值具體計算，得x

499s

16.03t

x

500

499

500

0.187s

/

n

16.03

/

9因為

t

0.187

2.306，故可以認為平均每袋鹽的凈重為500g，即機器包裝沒有產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。2≤10

，20H

:

(2)檢驗假設

21H

:

102。這是方差的單側檢驗問題，選取檢驗統(tǒng)計量~

2

(n

1)102(n

1)S

2

2

由=0.05

，查2分布表得臨界值20.052

(n

1)

102

102(8)

15.5

1()916.032

20.

15.55n

1)(s2

2

故

H0，接受H1

，即認為其方差超過102。即包裝機工作雖然沒有系統(tǒng)誤差，但是不夠穩(wěn)定。因此，在顯著性水平=0.05下，可以認定該天包裝機工作不夠正常。例6有兩臺車床生產(chǎn)同一種型號的鋼球，根據(jù)已往的經(jīng)驗可以認為，這兩臺機床生產(chǎn)的鋼球的直徑均服從正態(tài)分布?，F(xiàn)從這兩臺車床生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出8個和9個鋼球，測得鋼球的直徑如下

(單位：mm)：甲車床：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8；乙車床：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.9。試問據(jù)此是否可以認為乙車床生產(chǎn)的產(chǎn)品的方差比甲車床小(取=0.05)？~

F

(n1

1,

n2

1)S

2解提出假設H0

：σ12≤σ22，H1：σ12>σ22S

2選取檢驗統(tǒng)計量

F

12由=0.05

，查F分布表得臨界值F

(n1

1,

n2

1)

F0.05

(7

,

8)

3.50由樣本觀察值具體計算，得1s2

0.0962s2

0.026

3.69

3.500.0260.0962s

2s2f

1又故應

H0，接受H1，即可以認為乙車床產(chǎn)品的直徑的方差比甲車床小。例7

為了了解某種添加劑對預制板的承載力有無提高作用。現(xiàn)用原方法(無添加劑)及新方法(添加該種添加劑)各澆制了10塊預制板，其承載數(shù)據(jù)(單位：kg/cm2)如下：原方法：78.1，72.4，76.2，74.3，77.4，78.4，76.0，75.5，76.7，77.3；新方法：79.1，81.0，77.3，79.1，80.0，79.1，79.1，77.3，80.2，82.1。設兩種方法所得的預制板的承載力均服從正態(tài)分布。試問新方法能否提高預制板的承載力(取=0.05)？解用X，Y分別表示兩種方法下預制板的承載力。依題設，

，因不知 ，

，是否相等，故首先應檢驗假設21

1X~N

(

,

)222Y

~

N

(

,

)由假設知應選擇檢驗統(tǒng)計量：2n

1)1~

F

(n

1,221S

2F

S由=0.05

，查F分布表得臨界值F

/

2

(n1

1,

n2

1)

F0.025(9,9)

4.03F1

/

2

(n1

1,

n2

1)

F0.975(9,

9)1

1

0.248F0.025(9,

9)

4.0321220

121H

：22=21，H

：

≠

2212由樣本觀察值具體計算，得

s2

3.325,

s2

2.225

1.492.2253.3252s2s2f

1又因為0.248＜1.49＜4.03。故應接受H0，即認為兩種方法的方差無顯著差異，可以認為相等，亦即

2

21

2其次在

2

2

的前提下，檢驗假設：1

2H0

：1≥

2，H

：

1＜

2。1由于兩總體方差相等，因此可選擇檢驗統(tǒng)計量1

11

21

2nnX

YT

~

t(n

n

2)SW由=0.05

，查t分布表得臨界值t

(n1

n2

2)

t0.05(18)

1.734又x

76.23y

79.4310

10

29

3.325

9

2.225(n

1)s2

(n

1)s2sw

1

1

2

2n1

n2

2

2.775

4.2952.7751

110

1076.23

79.431

1n1

n2x

yt

sw由于－4.295＜－1.734，所以應

，即認為加進添加劑生產(chǎn)的預制板承載力有明顯提高。例8

按規(guī)定，每100g的罐頭，番茄汁中VC的含量不得少于21mg，現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的一批罐頭中任取17個，測得VC的含量（單位：mg）為16，22，21，20，23，21，19，15，13，23，17，20，29，18，22，16，25。已知VC的含量服從正態(tài)分布，試以0.025的檢驗水平檢驗該批罐頭的VC含量是否合格。解：假設：H0

:

0

21;H1

:

0由樣本觀測算得：x

340

/

17

20,

s2

3.8723.87

/

1720

21

1.065t

x

0S

/

n而由

0.025查正態(tài)分布表