復變函數(shù)第4章 級數(shù)

第四章級數(shù)1復數(shù)項級數(shù)2.冪級數(shù)4.洛朗級數(shù)3.泰勒級數(shù)1、復數(shù)列的極限：解:2、復數(shù)項級數(shù)：將復數(shù)項級數(shù)的審斂問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)項的審斂問題舉例考察數(shù)列的斂散性考察級數(shù)的斂散性考察級數(shù)的斂散性考察級數(shù)的斂散性復習掌握一、正項級數(shù)收斂法：第四章級數(shù)1復數(shù)項級數(shù)2.冪級數(shù)4.洛朗級數(shù)3.泰勒級數(shù)一、復變函數(shù)項級數(shù)：二、冪級數(shù)：p111舉例求級數(shù)的斂散半徑求級數(shù)的斂散半徑書P113-114P115,例3第四章級數(shù)1復數(shù)項級數(shù)2.冪級數(shù)4.洛朗級數(shù)3.泰勒級數(shù)冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)是解析函數(shù)。研究：一個解析函數(shù)(單連通域）是否能用冪級數(shù)來表達？P117-118問題：泰勒級數(shù)可以將解析函數(shù)展開為冪級數(shù)，但這樣的展開式是否唯一呢？P120

結(jié)論1、任何解析函數(shù)（在單連通域內(nèi)）展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù)，并且是唯一的。收斂半徑的另一種方法已知解析函數(shù)f(z)和展開中心收斂半徑P120實變函數(shù)不易理解的問題:復變函數(shù)很明顯:只對|x|<1成立收斂半徑的應用特殊情形二、求解析函數(shù)泰勒展開式的方法：

直接用泰勒展開定理，根據(jù)函數(shù)的導數(shù)求系數(shù)。1、直接法：例1：2、間接法：a、借助一些常用函數(shù)的泰勒展開式（唯一性）例2：b、運用冪級數(shù)的性質(zhì)（導數(shù)、積分）例3：Taylor展開的方法代換法待定系數(shù)法逐項求導法微分方程法多項式乘法/長除法其它第四章級數(shù)1復數(shù)項級數(shù)2.冪級數(shù)4.洛朗級數(shù)3.泰勒級數(shù)給定一個函數(shù)，以及一個點，若這個函數(shù)在這個點解析，則這個函數(shù)可以在這個點的某個鄰域內(nèi)展成冪級數(shù)的形式-泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)-作為研究函數(shù)在解析點臨近性質(zhì)的重要工具一、討論下列雙邊級數(shù)：在實際中，常遇到的情況是：

函數(shù)在某個點是不解析的，但在其去心鄰域內(nèi)是解析的，我們?nèi)匀恍枰芯吭摵瘮?shù)在該點的臨近性質(zhì)1、雙邊級數(shù)可以分為兩部分：

2、雙邊級數(shù)收斂性：

收斂性：當且僅當正冪項與負冪項都收斂時，級數(shù)才收斂。收斂區(qū)域：為圓環(huán)域3、雙邊級數(shù)性質(zhì)：

在收斂圓環(huán)域內(nèi)，和函數(shù)是解析函數(shù)；可以逐項求導；逐項求積分。級數(shù)的正整次冪部分稱為解析部分；級數(shù)的負整次冪部分稱為主要部分；三、應用和性質(zhì)：

1、唯一性：一個在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正、負冪項的級數(shù)是唯一的，就是它的洛朗級數(shù)。

2、函數(shù)展開中的應用：一般當函數(shù)在不解析，但在的去心鄰域內(nèi)處處解析，函數(shù)的級數(shù)展開為洛朗級數(shù)。

洛朗級數(shù)與泰勒級數(shù)的關(guān)系:洛朗級數(shù)回答了三個基本問題（1）給出了將函數(shù)展成洛朗級數(shù)的充要條件---函數(shù)在某個圓環(huán)內(nèi)解析，則該函數(shù)可在該圓環(huán)內(nèi)展成洛朗級數(shù)（2）給出了將函數(shù)展成洛朗級數(shù)的方法（3）定理保證了函數(shù)展開的唯一性（二）怎么展開：（1）直接法：由定義求太繁雜，一般不用。（2）間接法：

借助一些常用函數(shù)的級數(shù)展開式，以唯一性為依據(jù)，運用冪級數(shù)的性質(zhì)、代數(shù)運算、復合運算、求導和積分等得到解析函數(shù)的洛朗展開式。四、洛朗級數(shù)的展開（一）在哪里展開（1）在某個圓環(huán)內(nèi)展開

（2）在某個點去心鄰域內(nèi)展開

Notes給定函數(shù)f(z)與復平面上一點z以后，由于這個函數(shù)可以在以z為中心的不同圓環(huán)域內(nèi)解析，因此可以在不同的圓環(huán)域中獲得不同的洛朗展開式洛朗展開的唯一性：函數(shù)在某一給定圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開是唯一的Notes不要混淆了！在計算閉路積分中的應用n=-1第四章小結(jié)1、復數(shù)項級數(shù)收斂:

(1)復數(shù)列 收斂的充要條件:同時收斂.(2)復級數(shù):

收斂的充要條件:同時收斂.(3)復級數(shù)絕對收斂:

絕對收斂的充要條件:同時絕對收斂.

2、冪級數(shù)：

(1)Abel定理:收斂范圍為圓域,圓內(nèi)絕對收斂,圓外發(fā)散,圓上不定.(2)收斂半徑求法:(3)性質(zhì):和函數(shù)在收斂圓內(nèi):解析,可逐項求導,可逐項積分.

3、泰勒級數(shù):定理:在以為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)f(z)，可