高考數(shù)學2022題型通關21講第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（解析版）

第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)高考預測一：根據(jù)解析式研究三角函數(shù)的性質(zhì)類型一化為形式1．已知向量，，，向量，設函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）求在，上的最大值與最小值；（3）若，且，；求的值域．【解析】解：向量，，，向量，函數(shù)；（1）；（2），，；，；當即時，取最小值：；當即時，取最大值：．（3）令，由（2）可得，；所以問題轉(zhuǎn)化為求在，上的值域；又因為時，取最小值；時，．即的值域為：，．2．已知函數(shù)．（1）求的值；（2）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．【解析】解：（1），則．（2）的最小正周期為．令，，得，．故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．3．已知函數(shù)．（1）求的定義域與最小正周期及對稱軸；（2）求函數(shù)在上的值域；（3）討論在區(qū)間上的單調(diào)性．【解析】解：（1），，即函數(shù)的定義域為，則，則函數(shù)的周期，對稱軸為；（2），當，時，，，，，函數(shù)的值域為；（3）由，得，即函數(shù)的增區(qū)間為，當時，增區(qū)間為，，此時，由，得，即函數(shù)的減區(qū)間為，當時，減區(qū)間為，，此時，即在區(qū)間上，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為．4．已知函數(shù)．（1）求的值；（2）求的最大值和最小值，并求當取何值時，取得最大值．【解析】解：（1）（2），當時，的最大值是6；當時，函數(shù)取得最小值是．且當即時，取得最大值．類型二：二次函數(shù)型5．設函數(shù)．（1）當時，用表示的最大值（a）；（2）當（a）時，求的值，并對此值求的最小值．【解析】解：（1）當時，．當時，即時，在取最大值，（a）當時，即時，在取最大值，（a）當時，即時，在取最大值，（a）綜上所述（a）（2）（a）時，由（1）解得或當時，，當時，．當時，，當時，．6．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和對稱軸方程；（2）若關于的方程在上有兩個不同的解，求實數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）由，，函數(shù)的最小正周期為，由，得：，，故函數(shù)的對稱軸方程為：，，（2）由得，當，時，，，由圖象得，函數(shù)的最大值為，要使方程在，上有兩個不同的解，則在，上有兩個不同的解，即函數(shù)和在，上有兩個不同的交點，即，即．高考預測二：利用圖象和性質(zhì)求解析式類型一：圖象型7．已知函數(shù)，，的一段圖象如圖所示，（1）求振幅和周期；（2）求函數(shù)的解析式；（3）求這個函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【解析】解：由圖象可知：振幅，周期，（2）由圖象可知：，，函數(shù)，又點，在圖象上，，，所求函數(shù)解析式為：．（3）由，．可得：，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，．8．已知函數(shù)的圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)，設，求函數(shù)在，上的最大值．【解析】解：（1）由題意可得，最小正周期，則，由，又，可得，所以．（2）由題意可知，所以，由于，，可得：，，可得：．9．已知函數(shù)（其中，，，的部分圖象如圖所示．（1）求，，的值；（2）已知在函數(shù)圖象上的三點，，的橫坐標分別為，1，3，求的值．【解析】解：（1）由圖知，．（1分）的最小正周期，所以由，得．（4分）又且，所以，，解得．（7分）（2）因為，（1），（3），所以，，，設，（9分）在等腰三角形中，設，則．（11分）所以．（13分）類型二：性質(zhì)型10．設，其中．（1）當時，求函數(shù)的值域；（2）若在區(qū)間，上為增函數(shù)，求的最大值．【解析】解：（1），其中．化簡可得：當時，函數(shù)根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：的值域的值域為，．（2）由（1）可得解得：，故得函數(shù)的增區(qū)間為：，．在區(qū)間，上為增函數(shù)，故：且，解得：且，．當時，滿足題意，此時．故得的最大值為．11．設函數(shù)，且圖象的一個對稱中心到離它最近的對稱軸的距離為．（1）求的值；（2）求在區(qū)間，上的最大值和最小值，并求取得最大值與最小值時相應的的值．【解析】解：（1）（2分），（4分）因為圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為，可得周期，又，因此．（6分）（2）由（1）知，（7分）當時，，，，，（8分）故在區(qū)間，上最大值和最小值分別為，．（10分）當，即時，取最大值．（11分），取最小值．（12分）12．已知函數(shù)，是上的偶函數(shù)，其圖象關于點，對稱，且在區(qū)間，上是單調(diào)函數(shù)，（1）求和的值；（2）已知對任意函數(shù)滿足，且當時，，試求：．【解析】解：（1）解：由是偶函數(shù)，得，即，所以，對任意都成立，且，所以得．依題設，所以解得，由的圖象關于點對稱，得，取，得，，，又，得，，1，2，3，，，1，2，當時，，在，上是減函數(shù)，滿足題意；當時，，，在，上是減函數(shù)，滿足題意；當時，，在，上不是單調(diào)函數(shù)；所以，綜合得或2．（2）由（1）得，，又對任意函數(shù)滿足，且當時，，由題意可得函數(shù)圖象關于對稱，即有，，從而解得：或，即是整數(shù)，由（1）可得，，．高考預測三：圖象變換13．已知函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象經(jīng)如下變換得到：先將圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），再將所得的圖象向右平移個單位長度．（1）求函數(shù)的解析式，并求其圖象的對稱軸方程；（2）已知關于的方程在，內(nèi)有兩個不同的解，．①求實數(shù)的取值范圍；②請用的式子表示．【解析】解：（1）將的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變）得到的圖象，再將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，故，從而函數(shù)圖象的對稱軸方程為．（2）①（其中，依題意，在區(qū)間，內(nèi)有兩個不同的解，，當且僅當，故的取值范圍是，．②因為，是方程在區(qū)間，內(nèi)的兩個不同的解，所以，．當時，，即；當時，，即；所以．14．設函數(shù)，其中，已知．（1）求的最小正周期；（2）將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將整個圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間，上的最小值．【解析】解：（1）函數(shù)，又，，，解得，又，，的最小正周期；（2）由（1）知，，將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象；再將得到的圖象向左平移個單位，得到的圖象，函數(shù)；當，時，，，，，當時，取得最小值是．15．某同學用“五點法”畫函數(shù)，在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如表：0050（1）請將上表數(shù)據(jù)補充完整，并直接寫出函數(shù)的解析式；（2）將圖象上所有點向左平移個單位長度，得到的圖象．若圖象的一個對稱中心為，求的最小值．【解析】解：（1）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得，，．數(shù)據(jù)補全如下表：00500且函數(shù)表達式為，（2）由（1）知，，得．因為函數(shù)的圖象的對稱中心為，．（7分）令，，解得，．由于函數(shù)的圖象關于點，成中心對稱，令，，解得，，由可知，當時，取得最小值．預測四：與平面向量結(jié)合16．設向量，．（1）若，，求的值；（2）設函數(shù)，求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．【解析】解：（1）根據(jù)可知，，即，所以，又，故．（2）；最小正周期為，由，解得，故單調(diào)遞增區(qū)間為．17．設向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）設函數(shù)，求的最大值及取得最大值時的值．【解析】解：，且，，，可得，等式兩邊約去，得，因此，可得；，，，．，可得，，當即時，有最大值為1，由此可得：的最大值為，相應的值為．18．已知向量，函數(shù)的最大值為6．（1）求的值及函數(shù)圖象的對稱軸方程和對稱中心坐