DFT信號頻譜分析中的應用

設計一DFT一、設計題目DFT二、設計目的熟悉DFT的性質。三、設計原理所謂信號的頻譜分析就是計算信號的傅里葉變換便于直接用計算機進行計算，使其應用受到限制，而DFT換，適合數(shù)值運算，成為分析離散信號和系統(tǒng)的有力工具。Xa(t),其頻譜函數(shù)Xa(jW)DFT間信號的頻譜。四、實現(xiàn)方法2離散傅里葉變換是有限長序列的傅里葉變換快速傅里葉變換并不是一種新的變換，它是離散傅里葉變換的一種快速算法，并且主要是基于這樣的思路而發(fā)展起來的（）把長度為N的序列的DFT逐次分解成長度較短的DFTWN(nk)的周期性和對稱性，在DFT運算中適當?shù)姆诸悾?2以提高運算速度（對稱性Wnk2

nk

1;周期性Wn(rNk

WnrNWnk

Wnk，r為任意整數(shù),WnrNN

N N N1）

N N N N離散傅里葉變換的推導：離散傅里葉級數(shù)定義為xp

(n)

1N1xN k0

(k

j2πnkN

（1-1）N將上式兩端乘以ej2πnmN

并對 n

在 0~N-1 求和可得N1

(n)ej2πnmNN

1NN1

(k)ejn(kmNN

N1

(k)

N1ejπn(km)pn0

N pn0k0

pk0

1 N n0 N1 N1 N

11-

j(km)N 因為 Nn0

j2πn(km)N

NNN 用k代替N 1-ej(kNN 用k代替

1km0 kmN所以N1x(n)ejπpNn0

N1k0

(k(km)p

N1xp Nn0N

ejnm得X (k)P

Nn0

x(n)ep

jN

（1-2）令WN

ej2π則（1-2）成為DFS

x(n)Xp

(k)N1pn0

p N

（1-3）（1-1）IDFS

(kxp

(n)

1N1Nn0

(knkp N

（1-4）式1-1-）式構成周期序列傅里葉級數(shù)變換關系。其中x(nX(k)都是周期為Np p的周期序列，DFS[·]表示離散傅里葉級數(shù)正變換，IDFS[·]表示離散傅里葉級數(shù)反變換。習慣上，對于長為N的周期序列，把0nN-1區(qū)間稱為主值區(qū)，把x(0)~x(N1)稱p px(np

(0)~p

(Np

(k)的主值序列。px(nx(n)R(nx(n僅有Np N p研究就可以得到它的全部信息。在主值區(qū)研究xp

(n)與x(n)是等價的，因此在主值區(qū)計算DFS和DFT是相等的，所以DFT計算公式形式與DFS基本相同。其關系為x(n)xp

(n)RN

(n) X(k)

(k)Rp

(k)所以離散傅里葉正變換XkDFTxnN1xnWnkN

0kN-1n0離散傅里葉變換DF）設有限長序列x(n)長為（0nN-，其離散傅里葉變換是一個長為N的頻率有限長序列0kN-，其正變換為XkDFTxnN1xnWN

0

WN-1 （

N

j）Nn0離散傅里葉變換的實質是：把有限長序列當做周期序列的主值序列進行DFS變換，x(n)、X(k)的長度均為Nx(n)確定X(k),已知X(k)可以唯一確定x(n)。雖然離散傅里葉變換是兩個有限長序列之間的變化，但它們是利用DFS因而隱含著周期性。構造離散傅里葉變換的Matlab實現(xiàn)程序如下：function[Xk]=dft(xn,N)n=[0:1:N-1];k=n;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^nk;Xk=xn*WNnk快速傅里葉變換（FFT）并不是與DFT不同的另外一種變換，而是為了減少DFT計算次數(shù)的一種快速有效的算法共軛對稱性：~設有限長序列x(n)的長度為N，以N為周期的周期延拓列為x(n)x((n))~N~ ~ ~x(n)xe

(nxo

(n)分別為~ 1~ ~* 1 x(n)x(n)x(n) x((n))e 2 2

x*((Nn))N

(1-5)~ 1~ ~* 1 x(n)x(n)x(n) x((n))o 2 2

x*((Nn))N

(1-6)~ ~* ~ ~oo同樣可以證明，它們滿足xooe

(n)xe

(n) （1-7）x

(n)

*(n) （1-8）則有限長序列x(n)的圓周共軛對稱分量xep

(nxop

(n)分別定義為：x (n)~ep

(n)RN

(n)1[x((n))

x*((Nn)) ]RN N

(n) （1-9）~ 1x (n)xop

(n)RN

(n) [x((n))2

x*((Nn))N

]R(n) （1-10）N~ ~ ~由于滿足x(n)xe

(n)xo

(n)故~ ~ ~x(n)x(n)RN

(n)[xe

(n)x(n)]RN

(n)xep

(n)xop

(n) 顯然，長度為N的有限長序列x(n)可以分解為圓周共軛對稱分量xep

(n)和圓周共軛反對稱分量xop

(n)之和，xep

(n)xop

的長度皆為N。利用有限長序列與周期序列的共軛對稱分量和反對稱分量的關系式1-）和式1-1，以及式1-1）可以推導出DFT的對稱性質DFT[x*(nX*(kX*(nK)x*(nx(n)的共軛復序列。證明：DFT

[x*(n)]

N

x*

N

x(n)WnkX*(k)

又因為n0

Nn0

NN1 *W

ej(2πN)nN

ejn1 所以DFT[x*(n

x(n)W(Nk)n

X*(Nk)N Nn0復序列實部的DFT等于DFT的圓周共軛對稱部分，即1DFT{Re[x(n)]}Xep證明：

(k)[X(k)X*(Nk)]2DFT {Re[x(n)]} DFT 1[x(n)x*(n)]} = 12 2

{DFT [x(n)] +DFT [x*(n)] }=1[X(k)X*(Nk)]X2

(k)利用DFT的對稱性可求得cosn的DFT:0設x(n)cos0

njsin0

ne則DFT[x(n)] X(k)因為cosnRe[x(n)]0所以

N1 jenenn0

nk N

1ejoNWNkN1ejoWkN

1ejoN1ejoWkNDFT[cos

n]DFT{Re[x(n)]}X0

(k)

X(k)X*(Nk)=2[1ejoN 1ejoWk

1cos N11ejoWk1ejoN]N2

kcos

W

cos( N1)N N12WkN

0cos0

N 0W2kN五、設計內容 MATLAB語言編寫計算序列x(n)的N點DFTm函數(shù)文件dft.m。并與的內部函數(shù)文件fft.m作比較。程序如下：functionXk=dft(xn,N)iflength(xn)<Nxn=[xn,zeros(1,N-length(xn))];endn=0:N-1;fork=0:N-1Xk(1,k+1)=sum(xn.*exp((-1)*j*n*k*(2*pi/N)));End運算量估計：對于N=2M點序列進行時間抽選奇偶分解FFT計算，需分M級，每級計算N/2級需N/2N次復加，因此總共需要進行：復乘：2

MNlog2

N 復加：NMNlog N2直接計算N點的DFT，需要N2N(N-1)N值越大，時間抽選奇偶分解FFTN=2048FFT算法比直接計算DFT300多倍可以用一下Matlab程序比較DFT和FFT的運算時間N=2048;M=11;x=[1:M,zeros(1,N-M)];t=cputime;y1=fft(x,N);Time_fft=cputime-tt1=cputime;y2=dft(x,N);Time_dft=cputime-t1t2=cputime;運行結果：Time_fft=0.0469Time_dft=15.2031由此可見FFT算法比直接計算DFT速度快得多

x(n)作如下譜分析：x(nx(n成為有限長序列N(0nN1)，寫程序計算出x(n)的N點DFT X(k),畫出時域序列圖xn～n和相應的幅頻圖X(k)~k。程序如下：（假設N150≤n≤14時,編寫程序，計算出X(n15DFTn=0:14;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);Xk=fft(xn,15);subplot(2,1,1);stem(n,xn);grid;subplot(2,1,2);stem(n,abs(Xk));grid;將(1)x(n)補零加長至M點，長度M,（可以取兩次值，一次取較小的整數(shù)，一次取較大的整數(shù)，編寫程序計算x(n)的M點DFT,畫出時域序列圖和兩次補零后相應的DFT幅頻圖。（假設M20M65，即分別補50500，得補零后20點的xn165點的序列xn120點DFTXk1和xn265點DFTXk2）n=0:14;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);n1=0:19;xn1=[xn,zeros(1,5)];n2=0:64;xn2=[xn,zeros(1,50)];Xk1=fft(xn1,20);Xk2=fft(xn2,65);subplot(3,1,1);stem(n,xn);grid;subplot(3,1,2);stem(n1,abs(Xk1));grid;subplot(3,1,3);stem(n2,abs(Xk2));grid;(2)用補零DFT計算(1)中Nx(n)X(ej并畫出相應的幅頻圖X(ej)~。假設M取15）n=0:14;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);n1=0:149;xn3=[xn,zeros(1,135)];Xk3=fft(xn3,150);plot(n1,abs(Xk3));grid;研究高密度譜與高分辨率頻譜。對連續(xù)確定信號xa

(t)6.5103t)7103t)9103t)以采樣頻率fs=32kHz對信號x(t)采樣得離散信號x(n)，分析下列三種情況的幅頻特性。ax(n)長度取N=16x(n)16DFTX(k,并畫出相應X(k)~k。x(n)N=1645DFT計算x(n)的頻譜X1(eX1(ej)~。x(n長度取為45Mx(nX(e2并畫出相應的幅頻圖X(ej)~。2程序如下：t=(0:15);xn=cos(2*pi*6.5*10^3*t*T)+cos(2*pi*7*10^3*t*T)+cos(2*pi*9*10^3*t*T);Xk=fft(xn,16);subplot(2,1,1);stem(t,xn);grid;subplot(2,1,2);stem(t,abs(Xk));grid;T=1/(32*10^3);t=(0:15);n1=0:45;xn1=[xn,zeros(1,30)];Xk1=fft(xn1,46);subplot(2,1,1);stem(n1,xn1);grid;subplot(2,1,2);plot(n1,abs(Xk1));grid;T=1/(32*10^3);t=[0:45];xn=cos(2*pi*6.5*10^3*t*T)+cos(