52李亞普諾夫穩(wěn)定性分析(閱讀)課件

第五章

控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析第五章

控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性1.外部穩(wěn)定性定義：稱一個(gè)因果系統(tǒng)為外部穩(wěn)定，如果對(duì)任意一個(gè)有界輸入u(t),即滿足的一個(gè)任意輸入u(t),對(duì)應(yīng)的輸出y(t)均為有界，即有注：外部穩(wěn)定性也常稱為有界輸入-有界輸出穩(wěn)定性，簡(jiǎn)稱BIBO穩(wěn)定性。外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性1.外部穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性2.內(nèi)部穩(wěn)定性定義：考慮連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)（u（t)≡0)稱其在t0時(shí)刻內(nèi)部穩(wěn)定，如果有時(shí)刻t0任意非零初始狀態(tài)x(t0)=x0引起的零輸入狀態(tài)響應(yīng)x0u(t)有界；并滿足漸近屬性，即成立.注：內(nèi)部穩(wěn)定性意指自治系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，其實(shí)質(zhì)等同于李雅普諾夫意義下的漸近穩(wěn)定性。外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性2.內(nèi)部穩(wěn)定性注：內(nèi)部穩(wěn)定性意指自治系外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性

結(jié)論1：對(duì)于連續(xù)時(shí)間時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻t0具有內(nèi)部穩(wěn)定性，當(dāng)且僅當(dāng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ（t,t0)對(duì)所有的時(shí)間t有界，且滿足漸近屬性

結(jié)論2：對(duì)線性定常系統(tǒng)其在時(shí)刻t0具有內(nèi)部穩(wěn)定性即漸近穩(wěn)定性的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性結(jié)論1：對(duì)于連續(xù)時(shí)間時(shí)變系統(tǒng)在5.2

李雅普諾夫穩(wěn)定性理論5.2

李雅普諾夫穩(wěn)定性理論基于輸入-輸出描述法描述的是系統(tǒng)的外部特性,因此,經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性一般指輸出(外部)穩(wěn)定性;狀態(tài)空間描述法不僅描述了系統(tǒng)的外部特性,且全面揭示了系統(tǒng)的內(nèi)部特性,因此,借助平衡狀態(tài)穩(wěn)定與否的特征所研究的系統(tǒng)穩(wěn)定性指狀態(tài)(內(nèi)部)穩(wěn)定性。

李亞普諾夫?qū)⑴袛嘞到y(tǒng)穩(wěn)定性的問(wèn)題歸納為兩種方法,即李亞普諾夫第一法和李亞普諾夫第二法。

5.2李雅普諾夫穩(wěn)定性理論基于輸入-輸出描述法描述的是系統(tǒng)的外部特性,因此,經(jīng)

李亞普諾夫第一法(簡(jiǎn)稱李氏第一法或間接法)是通過(guò)解系統(tǒng)的微分方程式，然后根據(jù)解的性質(zhì)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其基本思路和分析方法與經(jīng)典控制理論一致。對(duì)線性定常系統(tǒng),只需解出全部特征根即可判斷穩(wěn)定性;對(duì)非線性系統(tǒng),則采用微偏線性化的方法處理,即通過(guò)分析非線性微分方程的一次線性近似方程來(lái)判斷穩(wěn)定性,故只能判斷在平衡狀態(tài)附近很小范圍的穩(wěn)定性。5.2.1李雅普諾夫第一方法李亞普諾夫第一法(簡(jiǎn)稱李氏第一法或間接法)是通過(guò)解系考察非線性系統(tǒng)，設(shè)在零輸入下的狀態(tài)方程為其中，x為n維狀態(tài)向量，f(x)為n維非線性向量函數(shù)，且它對(duì)狀態(tài)變量xi，(i=1,2,…,n)是連續(xù)可微的?？疾旆蔷€性系統(tǒng)，設(shè)在零輸入下的狀態(tài)方程為將在原點(diǎn)展開(kāi)得，設(shè)，為孤立平衡點(diǎn)。（1）平衡點(diǎn)平移：令則將在原點(diǎn)展開(kāi)得定理5.2.1如果,則漸近穩(wěn)定，(2)近似線性化：如果存在，則不穩(wěn)定；來(lái)決定。如，則的穩(wěn)定性由高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)定理5.2.1如果,則漸近穩(wěn)定，例5.2.1已知非線性系統(tǒng)其中常數(shù)，試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。例5.2.1已知非線性系統(tǒng)其中常數(shù)，試知系統(tǒng)有平衡點(diǎn)解:求平衡狀態(tài)：由下面僅對(duì)情況進(jìn)行研究，其它情況類似知系統(tǒng)有平衡點(diǎn)解:求平衡狀態(tài)：由下面僅對(duì)情況進(jìn)行研計(jì)算由特征方程得：計(jì)算由特征方程得：①當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)在漸近穩(wěn)定；時(shí)，②系統(tǒng)在不穩(wěn)定;③如果,其穩(wěn)定性靠一次近似不能判斷。設(shè)則①當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)在漸近穩(wěn)定；時(shí)，②系統(tǒng)在不5.2.2李亞普諾夫第二方法

李亞普諾夫第二法（簡(jiǎn)稱李氏第二法或直接法）的特點(diǎn)是不必求解系統(tǒng)的微分方程式,就可以對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析判斷.該方法建立在能量觀點(diǎn)的基礎(chǔ)上:若系統(tǒng)的某個(gè)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的,則隨著系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng),其儲(chǔ)存的能量將隨時(shí)間增長(zhǎng)而不斷衰減,直至t→∞時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)趨于平衡狀態(tài)而能量趨于極小值.由此,李亞普諾夫創(chuàng)立了一個(gè)可模擬系統(tǒng)能量的“廣義能量”函數(shù),根據(jù)這個(gè)標(biāo)量函數(shù)的性質(zhì)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性.5.2.2李亞普諾夫第二方法李亞普諾夫第二法（簡(jiǎn)稱由于該方法不必求解系統(tǒng)的微分方程就能直接判斷其穩(wěn)定性,故又稱為直接法,其最大優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)任何復(fù)雜系統(tǒng)都適用,而對(duì)于運(yùn)動(dòng)方程求解困難的高階系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)以及時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,則更能顯示出優(yōu)越性。由于該方法不必求解系統(tǒng)的微分方程就能直接判斷其穩(wěn)定性

定理5.2.2假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果存在一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)并且滿足條件：1）是正定的；2）是負(fù)定的。那么系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。如果隨著有則在原點(diǎn)處的平衡

狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。

定理5.2.2假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果存在一個(gè)具有定理5.2.2假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果存在一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)并且滿足條件：1）是正定的；2）是半負(fù)定的。那么系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。如果隨著有則在原點(diǎn)處的平衡

狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。3）對(duì)任意的t0和任意的x0≠0,在t≥t0時(shí)不恒等于零。其中表示系統(tǒng)在t0時(shí)從x0出發(fā)在t時(shí)刻達(dá)到的狀態(tài)解。定理5.2.2假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果存在一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)定理5.2.4如果則原點(diǎn)不穩(wěn)定定理5.2.3如果并且對(duì)于任意和則系統(tǒng)在原點(diǎn)一致穩(wěn)定.定理5.2.4如果則原點(diǎn)不穩(wěn)定定理5.2.3如果并且對(duì)于原點(diǎn)處是大范圍漸近穩(wěn)定的解:顯然，原點(diǎn)是唯一平衡點(diǎn)，取，則又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有所以系統(tǒng)在例5.2.2已知系統(tǒng)試用李雅普諾夫第二方法判斷其穩(wěn)定性。原點(diǎn)處是大范圍漸近穩(wěn)定的解:顯然，原點(diǎn)是唯一平衡解:系統(tǒng)具有唯一的平衡點(diǎn)

取

則因?yàn)槌c(diǎn)處外，不會(huì)恒等于零。當(dāng)時(shí)，所以系統(tǒng)在其原點(diǎn)

處大范圍漸近穩(wěn)定。例5.2.3已知系統(tǒng)試用李雅普諾夫第二方法判別其穩(wěn)定性。解:系統(tǒng)具有唯一的平衡點(diǎn)取則因?yàn)槌c(diǎn)處外，解:系統(tǒng)具有唯一的平衡點(diǎn)取則于是知系統(tǒng)在原點(diǎn)處不穩(wěn)定。例5.2.4系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)在其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解:系統(tǒng)具有唯一的平衡點(diǎn)取則于是知系統(tǒng)在原點(diǎn)處不穩(wěn)定。例1）對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，李雅普諾夫函數(shù)不是唯一的。2）對(duì)于非線性系統(tǒng)能給出關(guān)于在大范圍內(nèi)穩(wěn)定性的信息。3）關(guān)于穩(wěn)定性的條件是充分的，而不是必要的。4）若不能找到合適的李雅普諾夫函數(shù)就不能得出該系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的任何結(jié)論。5.2.3幾點(diǎn)說(shuō)明1）對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，李雅普諾夫函數(shù)不是2）對(duì)于非線性系統(tǒng)5）李雅普諾夫函數(shù)只能判斷其定義域內(nèi)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。6）如果系統(tǒng)的原點(diǎn)是穩(wěn)定的或漸近穩(wěn)定的，那么具有所要求性質(zhì)的李雅普諾夫函數(shù)一定是存在的。5）李雅普諾夫函數(shù)只能判斷其定義域內(nèi)平衡狀6）如果系統(tǒng)的原點(diǎn)第五章

控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析第五章

控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性1.外部穩(wěn)定性定義：稱一個(gè)因果系統(tǒng)為外部穩(wěn)定，如果對(duì)任意一個(gè)有界輸入u(t),即滿足的一個(gè)任意輸入u(t),對(duì)應(yīng)的輸出y(t)均為有界，即有注：外部穩(wěn)定性也常稱為有界輸入-有界輸出穩(wěn)定性，簡(jiǎn)稱BIBO穩(wěn)定性。外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性1.外部穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性2.內(nèi)部穩(wěn)定性定義：考慮連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)（u（t)≡0)稱其在t0時(shí)刻內(nèi)部穩(wěn)定，如果有時(shí)刻t0任意非零初始狀態(tài)x(t0)=x0引起的零輸入狀態(tài)響應(yīng)x0u(t)有界；并滿足漸近屬性，即成立.注：內(nèi)部穩(wěn)定性意指自治系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，其實(shí)質(zhì)等同于李雅普諾夫意義下的漸近穩(wěn)定性。外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性2.內(nèi)部穩(wěn)定性注：內(nèi)部穩(wěn)定性意指自治系外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性

結(jié)論1：對(duì)于連續(xù)時(shí)間時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻t0具有內(nèi)部穩(wěn)定性，當(dāng)且僅當(dāng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ（t,t0)對(duì)所有的時(shí)間t有界，且滿足漸近屬性

結(jié)論2：對(duì)線性定常系統(tǒng)其在時(shí)刻t0具有內(nèi)部穩(wěn)定性即漸近穩(wěn)定性的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性結(jié)論1：對(duì)于連續(xù)時(shí)間時(shí)變系統(tǒng)在5.2

李雅普諾夫穩(wěn)定性理論5.2

李雅普諾夫穩(wěn)定性理論基于輸入-輸出描述法描述的是系統(tǒng)的外部特性,因此,經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性一般指輸出(外部)穩(wěn)定性;狀態(tài)空間描述法不僅描述了系統(tǒng)的外部特性,且全面揭示了系統(tǒng)的內(nèi)部特性,因此,借助平衡狀態(tài)穩(wěn)定與否的特征所研究的系統(tǒng)穩(wěn)定性指狀態(tài)(內(nèi)部)穩(wěn)定性。

李亞普諾夫?qū)⑴袛嘞到y(tǒng)穩(wěn)定性的問(wèn)題歸納為兩種方法,即李亞普諾夫第一法和李亞普諾夫第二法。

5.2李雅普諾夫穩(wěn)定性理論基于輸入-輸出描述法描述的是系統(tǒng)的外部特性,因此,經(jīng)

李亞普諾夫第一法(簡(jiǎn)稱李氏第一法或間接法)是通過(guò)解系統(tǒng)的微分方程式，然后根據(jù)解的性質(zhì)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其基本思路和分析方法與經(jīng)典控制理論一致。對(duì)線性定常系統(tǒng),只需解出全部特征根即可判斷穩(wěn)定性;對(duì)非線性系統(tǒng),則采用微偏線性化的方法處理,即通過(guò)分析非線性微分方程的一次線性近似方程來(lái)判斷穩(wěn)定性,故只能判斷在平衡狀態(tài)附近很小范圍的穩(wěn)定性。5.2.1李雅普諾夫第一方法李亞普諾夫第一法(簡(jiǎn)稱李氏第一法或間接法)是通過(guò)解系考察非線性系統(tǒng)，設(shè)在零輸入下的狀態(tài)方程為其中，x為n維狀態(tài)向量，f(x)為n維非線性向量函數(shù)，且它對(duì)狀態(tài)變量xi，(i=1,2,…,n)是連續(xù)可微的?？疾旆蔷€性系統(tǒng)，設(shè)在零輸入下的狀態(tài)方程為將在原點(diǎn)展開(kāi)得，設(shè)，為孤立平衡點(diǎn)。（1）平衡點(diǎn)平移：令則將在原點(diǎn)展開(kāi)得定理5.2.1如果,則漸近穩(wěn)定，(2)近似線性化：如果存在，則不穩(wěn)定；來(lái)決定。如，則的穩(wěn)定性由高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)定理5.2.1如果,則漸近穩(wěn)定，例5.2.1已知非線性系統(tǒng)其中常數(shù)，試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。例5.2.1已知非線性系統(tǒng)其中常數(shù)，試知系統(tǒng)有平衡點(diǎn)解:求平衡狀態(tài)：由下面僅對(duì)情況進(jìn)行研究，其它情況類似知系統(tǒng)有平衡點(diǎn)解:求平衡狀態(tài)：由下面僅對(duì)情況進(jìn)行研計(jì)算由特征方程得：計(jì)算由特征方程得：①當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)在漸近穩(wěn)定；時(shí)，②系統(tǒng)在不穩(wěn)定;③如果,其穩(wěn)定性靠一次近似不能判斷。設(shè)則①當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)在漸近穩(wěn)定；時(shí)，②系統(tǒng)在不5.2.2李亞普諾夫第二方法

李亞普諾夫第二法（簡(jiǎn)稱李氏第二法或直接法）的特點(diǎn)是不必求解系統(tǒng)的微分方程式,就可以對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析判斷.該方法建立在能量觀點(diǎn)的基礎(chǔ)上:若系統(tǒng)的某個(gè)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的,則隨著系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng),其儲(chǔ)存的能量將隨時(shí)間增長(zhǎng)而不斷衰減,直至t→∞時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)趨于平衡狀態(tài)而能量趨于極小值.由此,李亞普諾夫創(chuàng)立了一個(gè)可模擬系統(tǒng)能量的“廣義能量”函數(shù),根據(jù)這個(gè)標(biāo)量函數(shù)的性質(zhì)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性.5.2.2李亞普諾夫第二方法李亞普諾夫第二法（簡(jiǎn)稱由于該方法不必求解系統(tǒng)的微分方程就能直接判斷其穩(wěn)定性,故又稱為直接法,其最大優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)任何復(fù)雜系統(tǒng)都適用,而對(duì)于運(yùn)動(dòng)方程求解困難的高階系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)以及時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,則更能顯示出優(yōu)越性。由于該方法不必求解系統(tǒng)的微分方程就能直接判斷其穩(wěn)定性

定理5.2.2假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果存在一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)并且滿足條件：1）是正定的；2）是負(fù)定的。那么系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。如果隨著有則在原點(diǎn)處的平衡

狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。

定理5.2.2假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果存在一個(gè)具有定理5.2.2假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果存在一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)并且滿足條件：1）是正定的；2）是半負(fù)定的。那么系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。如果隨著有則在原點(diǎn)處的平衡

狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。3）對(duì)任意的t0和任意的x0≠0,在t≥t0時(shí)不恒等于零。其中表示系統(tǒng)在t0時(shí)從x0出發(fā)在t時(shí)刻達(dá)到的狀態(tài)解。定理5.2.2假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果存在一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)定理5.2.4如果則原點(diǎn)不穩(wěn)定定理5.2.3如果并且對(duì)于任意和則系統(tǒng)在原點(diǎn)一致穩(wěn)定.定理5.