《數(shù)學(xué)史》幾何學(xué)的變革-解析

幾何學(xué)的變革第九章

什么叫幾何？幾何，就是爭(zhēng)論空間構(gòu)造及性質(zhì)的一門(mén)學(xué)科。它是數(shù)學(xué)中最根本的爭(zhēng)論內(nèi)容之一，與分析、代數(shù)等等具有同樣重要的地位，并且關(guān)系極為親密。

幾何學(xué)進(jìn)展

幾何學(xué)進(jìn)展歷史悠長(zhǎng)，內(nèi)容豐富。它和代數(shù)、分析、數(shù)論等等關(guān)系極其親密。幾何思想是數(shù)學(xué)中最重要的一類思想。目前的數(shù)學(xué)各分支進(jìn)展都有幾何化趨向，即用幾何觀點(diǎn)及思想方法去探討各數(shù)學(xué)理論。9.4射影幾何的富強(qiáng)非歐幾何提醒了空間的彎曲性質(zhì)，將平直空間的歐氏幾何變成了某種特例．實(shí)際上，假設(shè)將歐幾里得幾何限制于其原先的涵義——三維、平直、剛性空間的幾何學(xué)，那么19世紀(jì)的幾何學(xué)就可以理解為一場(chǎng)廣義的“非歐”運(yùn)動(dòng)：從三維到高維；從平直到彎曲；…而射影幾何的進(jìn)展，又從另一個(gè)方向使“神圣”的歐氏幾何再度“降格”為其他幾何的特例．

在19世紀(jì)以前，射影幾何始終是在歐氏幾何的框架下被爭(zhēng)論的，其早期開(kāi)拓者德沙格〔法國(guó)〕、帕斯卡〔法國(guó)〕等主要是以歐氏幾何的方法處理問(wèn)題，并且他們的工作由于18世紀(jì)解析幾何與微積分進(jìn)展的洪流而被人遺忘．

到18世紀(jì)末與19世紀(jì)初，蒙日〔《畫(huà)法幾何學(xué)〕》等人的工作，重新激發(fā)了人們對(duì)綜合射影幾何的興趣．不過(guò)，將射影幾何真正變革為具有自己獨(dú)立的目標(biāo)與方法的學(xué)科的數(shù)學(xué)家，是曾受教于蒙日的龐斯列(J-V.Poncelet，1788—1867)．龐斯列曾任拿破侖遠(yuǎn)征軍的工兵中尉，1812年莫斯科戰(zhàn)役法軍潰敗后被俘，度過(guò)了兩年鐵窗生活．然而正是在這兩年里，龐斯列不借助于任何書(shū)本，以炭代筆，在俄國(guó)薩拉托夫監(jiān)獄的墻壁上譜寫(xiě)了射影幾何的新篇章．龐斯列獲釋后對(duì)自己在獄中的工作進(jìn)展了修訂、擴(kuò)大，于1822年出版了《論圖形的射影性質(zhì)》，這部著作馬上掀起了19世紀(jì)射影幾何進(jìn)展的巨大波瀾，帶來(lái)了這門(mén)學(xué)科歷史上的黃金時(shí)期．與德沙格和帕斯卡等不同，龐斯列并不限于考慮特殊問(wèn)題．他探討的是一般問(wèn)題：圖形在投射和截影下保持不變的性質(zhì)，這也成為他以后，射影幾何爭(zhēng)論的主題．由于距離和交角在投射和截影下會(huì)轉(zhuǎn)變，龐斯列選擇并進(jìn)展了對(duì)合與調(diào)和點(diǎn)列的理論而不是以交比的概念為根底．與他的教師蒙日也不同，龐斯列承受中心投影而不是平行投影，并將其提高為爭(zhēng)論問(wèn)題的一種方法．在龐斯列實(shí)現(xiàn)射影幾何目標(biāo)的一般爭(zhēng)論中，有兩個(gè)根本原理扮演了重要角色．首先是連續(xù)性原理，它涉及通過(guò)投影或其他方法把某一圖形變換成另一圖形的過(guò)程中的幾何不變性．用龐斯列本人的話說(shuō)，就是：“假設(shè)一個(gè)圖形從另一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)連續(xù)的變化得出，并且后者與前者一樣地—般，那么可以立刻斷定，第一個(gè)圖形的任何性質(zhì)其次個(gè)圖形也有．”而假設(shè)其中的一條割線變成圓的切線，那么這個(gè)定理仍舊成立，只不過(guò)要把這條割線的截段之積換成切線的平方。

作為這個(gè)原理的一個(gè)例子，龐斯列舉了圓內(nèi)相交弦的截段之積相等的定理，當(dāng)交點(diǎn)位于圓的外部時(shí)，它就變成了割線的截段之積的相等關(guān)系．這個(gè)原理卡諾也曾用過(guò)，但龐斯列將它進(jìn)展到包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情形．因此，我們總可以說(shuō)兩條直線是相交的，交點(diǎn)或者是一個(gè)一般的點(diǎn)，或者是一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)(平行線的情形)．除了無(wú)窮遠(yuǎn)元素，龐斯列還利用連續(xù)性原理來(lái)引入虛元素．例如兩個(gè)相交的圓，其公共弦當(dāng)兩圓漸漸分別并變得不再相交時(shí)，就成為虛的．無(wú)窮遠(yuǎn)元素與虛元素在龐斯列為到達(dá)射影幾何的一般性工作中發(fā)揮了重要作用．龐斯列強(qiáng)調(diào)的另一個(gè)原理是對(duì)偶原理．射影幾何的爭(zhēng)論者們?cè)?jīng)留意到，平面圖形的“點(diǎn)”和“線”之間存在著異乎尋常的對(duì)稱性，假設(shè)在它所涉及的定理中，將“點(diǎn)”換成“線”，同時(shí)將“線”換成“點(diǎn)”，那么就可以得到一個(gè)新的定理．例如考慮著名的帕斯卡定理：假設(shè)將一圓錐曲線的6個(gè)點(diǎn)看成是一個(gè)六邊形的頂點(diǎn)，那么相對(duì)的邊的交點(diǎn)共線。

它的對(duì)偶形式則是：

假設(shè)將一圓錐曲線的6條切線看成是一個(gè)六邊形的邊，那么相對(duì)的頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)。帕斯卡定理的對(duì)偶形式是布里昂雄在1806年覺(jué)察的，所以常被稱為布里昂雄定理，而這離帕斯卡最初陳述他的定理已有近二百年的光景．雖然布里昂雄覺(jué)察了帕斯卡定理的對(duì)偶定理，但包括他在內(nèi)的很多數(shù)學(xué)家對(duì)于對(duì)偶原理為什么行得通仍是不清晰，事實(shí)上，布里昂雄還曾疑心過(guò)這個(gè)原理．龐斯列射影幾何工作中很重要的一局部，就是為建立對(duì)偶原理而進(jìn)展了配極的一般理論．他深入爭(zhēng)論了圓錐曲線的極點(diǎn)與極線的概念，給出了從極點(diǎn)到極線和從極線到極點(diǎn)的變換的一般表述．與龐斯列用綜合的方法為射影幾何奠基的同時(shí)，德國(guó)數(shù)學(xué)家默比烏斯(，1790—1868)和普呂克(J.Plucker，1801—1868)開(kāi)創(chuàng)了射影幾何爭(zhēng)論的解析(或代數(shù))途徑．默比烏斯在《重心計(jì)算》(1827)一書(shū)中第一次引進(jìn)了齊次坐標(biāo)，這種坐標(biāo)后被普呂克進(jìn)展為更一般的形式，它相當(dāng)于把笛卡兒坐標(biāo)換成

齊次坐標(biāo)成為代數(shù)地推導(dǎo)包括對(duì)偶原理在內(nèi)很多射影幾何根本結(jié)果的有效工具．但這種代數(shù)的方法遭到了以龐斯列為首的綜合派學(xué)者的反對(duì)，19世紀(jì)的射影幾何就是在綜合的與代數(shù)的這兩大派之間的劇烈爭(zhēng)論中前進(jìn)的．支持龐斯列的數(shù)學(xué)家還有斯坦納(J.Steiner)、沙勒(M.Chasles)和施陶特(Staudt)等，其中施陶特的工作對(duì)于確立射影幾何的特殊地位有打算性的意義．到1850年前后，數(shù)學(xué)家們對(duì)于射影幾何與歐氏幾何在一般概念與方法上已作出了區(qū)分，但對(duì)這兩種幾何的規(guī)律關(guān)系仍不甚了了．即使是綜合派的著作中也照舊在使用長(zhǎng)度的概念，例如作為射影幾何中心概念之一的交比，就始終是用長(zhǎng)度來(lái)定義的，但長(zhǎng)度在射影變換下會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)變，因而不是射影概念．

施陶特在1847年出版的《位置幾何學(xué)》中提出一套方案，通過(guò)給每個(gè)點(diǎn)適當(dāng)配定一個(gè)識(shí)別標(biāo)記(也稱作坐標(biāo))而給交比作了重新定義．假設(shè)四點(diǎn)的“坐標(biāo)”記為，那么交比就定義為這樣施陶特不借助長(zhǎng)度概念就得以建立射影幾何的根本工具，從而使射影幾何擺脫了度量關(guān)系，成為與長(zhǎng)度等度量概念無(wú)關(guān)的全新學(xué)科。9.5幾何學(xué)的統(tǒng)一

在數(shù)學(xué)史上，羅巴切夫斯基被稱為“幾何學(xué)上的哥白尼”．這是由于非歐幾何的創(chuàng)立不只是解決了兩千年來(lái)始終懸而未決的平行公設(shè)問(wèn)題，更重要的是它引起了關(guān)于幾何觀念和空間觀念的最深刻的革命．

在19世紀(jì)，占統(tǒng)治地位的是歐幾里得確實(shí)定空間觀念．非歐幾何的創(chuàng)始人無(wú)一例外地都對(duì)這種傳統(tǒng)觀念提出了挑戰(zhàn)．

首先，非歐幾何對(duì)于人們的空間觀念產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響．“我越來(lái)越深信我們不能證明我們的歐幾里得幾何具有物理的必定性，至少不能用人類的理智一一給出這種證明．或許在另一個(gè)世界中我們可能得以洞悉空間的性質(zhì)，而現(xiàn)在這是不行能到達(dá)的．”

高斯早在1817年就在給朋友的一封信中寫(xiě)道：高斯曾一度把他的非歐幾何稱為“星空幾何”，而從羅巴切夫斯基到黎曼，他們也都信任天文測(cè)量將能推斷他們的新幾何的真實(shí)性，認(rèn)為歐氏公理可能只是物理空間的近似寫(xiě)照．他們的預(yù)言，在20世紀(jì)被愛(ài)因斯坦的相對(duì)論所證明．正是黎曼幾何為愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論供給了最恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表述，而依據(jù)廣義相對(duì)論所進(jìn)展的一系列天文觀測(cè)、試驗(yàn)，也證明白宇宙流形的非歐幾里得性．其次，非歐幾何的消失打破了長(zhǎng)期以來(lái)只有一種幾何學(xué)即歐幾里得幾何學(xué)的局面．19世紀(jì)中葉以后，通過(guò)否認(rèn)歐氏幾何中這樣或那樣的公設(shè)、公理，產(chǎn)生了各種新而又新的幾何學(xué)，除了上述幾種非歐幾何、黎曼幾何外，還有如非阿基米德幾何、非德沙格幾何、非黎曼幾何、有限幾何等等，加上與非歐幾何并行進(jìn)展的高維幾何、射影幾何，微分幾何以及較晚消失的拓?fù)鋵W(xué)等，19世紀(jì)的幾何學(xué)呈現(xiàn)了無(wú)限寬闊的進(jìn)展前景．在這樣的形勢(shì)下，查找不同幾何學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，用統(tǒng)一的觀點(diǎn)來(lái)解釋它們，便成為數(shù)學(xué)家們追求的一個(gè)目標(biāo)．

統(tǒng)—幾何學(xué)的第一個(gè)大膽打算是由德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因(F.Klein，1849--1925)提出的．1872年，克萊因被聘為愛(ài)爾朗根大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，按慣例，他要向大學(xué)評(píng)議會(huì)和哲學(xué)院作就職演講，克萊因的演講以《愛(ài)爾朗根綱領(lǐng)》著稱，正是在這個(gè)演講中，克萊因基于自己早些時(shí)候的工作以及挪威數(shù)學(xué)家李(S.Lie)在群論方面的工作，闡述了幾何學(xué)統(tǒng)一的思想：

克萊因所謂幾何學(xué)，就是爭(zhēng)論幾何圖形對(duì)于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學(xué)問(wèn)，或者說(shuō)任何一種幾何學(xué)只是爭(zhēng)論與特定的變換群有關(guān)的不變量．這樣一來(lái)，不僅19世紀(jì)涌現(xiàn)的幾種重要的、外表上互不相干的幾何學(xué)被聯(lián)系到一起，而且變換群的任何一種分類也對(duì)應(yīng)于幾何學(xué)的一種分類．克萊因用群的觀點(diǎn)來(lái)爭(zhēng)論幾何學(xué)。他的根本觀點(diǎn)是，每種幾何都由變換群所刻劃，并且每種幾何所要做的實(shí)際就是在這種變換群下考慮其不變量。例如(就平面的狀況)，歐幾里得幾何爭(zhēng)論的是長(zhǎng)度、角度、面積等這些在平面中的平移和旋轉(zhuǎn)下保持不變的性質(zhì)．平面中的平移和旋轉(zhuǎn)(也稱剛性運(yùn)動(dòng))構(gòu)成—個(gè)變換群．剛性平面變換可以用代數(shù)式表示出來(lái)：其中．這些式子構(gòu)成了一個(gè)群的元素，而將這種元素結(jié)合在一起的“運(yùn)算”就是依次進(jìn)展這種類型的變換．簡(jiǎn)潔看出，假設(shè)在進(jìn)展上述變換后緊接著進(jìn)展其次個(gè)變換：其中．那么相繼進(jìn)展這兩個(gè)變換的結(jié)果，就等價(jià)于某個(gè)單一的這一類型的變換將點(diǎn)變成點(diǎn).假設(shè)在上述變換中，將限制用更一般的要求來(lái)替代，那么這種新變換也構(gòu)成一個(gè)群．然而，在這樣的變換下，長(zhǎng)度和面積不再保持不變，不過(guò)一個(gè)種類的圓錐曲線(橢圓，拋物線或雙曲線)經(jīng)過(guò)變換后仍是同一種類的圓錐曲線．這樣的變換稱為仿射變換，它們所刻畫(huà)的幾何稱為仿射幾何．因此，依據(jù)克萊因的觀點(diǎn)，歐幾里得幾何只是仿射幾何的一個(gè)特例．

仿射幾何則是更一般的幾何——射影幾何的一個(gè)特例．一個(gè)射影變換可以寫(xiě)成如下形式：其中的行列式必需不為零．射影變換下的不變量有線性、共線性、交比、調(diào)和點(diǎn)組以及保持圓錐曲線不變等．明顯，假設(shè)并且，射影變換就成了仿射變換．下表反映了以射影幾何為根底的克萊因幾何學(xué)分類中一些主要幾何間的關(guān)系：在克萊因的分類中，還包括了當(dāng)時(shí)的代數(shù)幾何和拓?fù)鋵W(xué)．克萊因?qū)ν負(fù)鋵W(xué)的定義是“爭(zhēng)論由無(wú)限小變形組成的變換的不變性”．這里“無(wú)限小變形”就是一一對(duì)應(yīng)的雙方連續(xù)變換。

拓?fù)鋵W(xué)在20世紀(jì)才獲得獨(dú)立的進(jìn)展并成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心學(xué)科之一．并非全部的幾何都能納入克萊因的方案，例如今日的代數(shù)幾何和微分幾何，然而克萊因的綱領(lǐng)確實(shí)能給大局部的幾何供給一個(gè)系統(tǒng)的分類方法，對(duì)幾何思想的進(jìn)展產(chǎn)生了長(zhǎng)久的影響．克萊因發(fā)表愛(ài)爾朗根綱領(lǐng)時(shí)年僅23歲．1886年，他受聘到哥廷根大學(xué)擔(dān)當(dāng)教授．克萊因是這樣一位數(shù)學(xué)家，在他身上，制造天才與組織力量完善地融合在一起．他的到來(lái)，使哥廷根這座具有高斯、黎曼傳統(tǒng)的德國(guó)大學(xué)更富科學(xué)魅力?？巳R因在被引向哥廷根的很多年輕數(shù)學(xué)家中，最重要的一位是希爾伯特(D.Hilbert，1862—1943)．正是這位希爾伯特，在來(lái)到哥廷根3年以后，提出了另一條對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)影響深遠(yuǎn)的統(tǒng)一幾何學(xué)的途徑——公理化方法．公理化方法始于歐幾里得，然而當(dāng)19世紀(jì)數(shù)學(xué)家們重新打量《原本》中的公理體系時(shí)．卻覺(jué)察它有很多隱蔽的假設(shè)，模糊的定義及規(guī)律的缺陷，這就迫使他們著手重建歐氏幾何以及其他包含同樣弱點(diǎn)的幾何的根底．這項(xiàng)探究從一開(kāi)頭就是在對(duì)幾何學(xué)作統(tǒng)一處理的觀點(diǎn)下進(jìn)展的．在全部這些努力中，希爾伯特在《幾何根底》(1899)中使用的公理化方法最為成功．幾何根底與希爾伯特德國(guó)數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特〔1862-1943〕是20世紀(jì)最宏大的數(shù)學(xué)家之一．他在1899年出版的《幾何根底》成為近代公理化方法的代表作，且由此推動(dòng)形成了“數(shù)學(xué)公理化學(xué)派”。公理化方法是從公理動(dòng)身來(lái)建筑各種幾何．希爾伯特在這方面的劃時(shí)代奉獻(xiàn)在于，他比任何前人都更加透徹地弄清了公理系統(tǒng)的規(guī)律構(gòu)造與內(nèi)在聯(lián)系．《幾何根底》中提出的公理系統(tǒng)包括了20條公理，希爾伯特將它們劃分為五組：Ⅰ.1—8關(guān)聯(lián)公理；Ⅱ．1—4挨次公理；Ⅲ．1—5合同公理；Ⅳ．平行公理；Ⅴ．1—2連續(xù)公理．〔重點(diǎn)〕在這樣自然地劃分公理之后，希爾伯特在歷史上第一次明確地提出了選擇和組織公理系統(tǒng)的原則，即：1．相容性．從系統(tǒng)的公理動(dòng)身不能推出沖突，故亦稱“無(wú)沖突性”；2．獨(dú)立性．系統(tǒng)的每一條公理都不能是其余公理的規(guī)律推論；3．完備性．系統(tǒng)中全部的定理都可由該系統(tǒng)的公理推出．

在這樣組織起來(lái)的公理系統(tǒng)中，通過(guò)否認(rèn)或者替換其中的一條或幾條公理，就可以得到相應(yīng)的某種幾何．例如用羅巴切夫斯基平行公理替代歐幾里得平行公理，而保持其余全部公理不變，就可以得到雙曲幾何；假設(shè)在拋棄歐氏平行公理的同時(shí)，添加任意兩條直線都有一個(gè)公共點(diǎn)或至少有一個(gè)公共點(diǎn)的公理，并適當(dāng)轉(zhuǎn)變另外一些公理，就分別得到單重與雙重橢圓幾何，等等．這樣的做法，不僅給出了已有幾門(mén)非歐幾何的統(tǒng)一處理，而且還可以引出新的幾何學(xué)．最好玩的例子便是“非阿基米德幾何”，即通過(guò)無(wú)視連續(xù)公理(亦稱阿基米德公理)而建筑的幾何學(xué)．這是希爾伯特本人的