一元二次不等式及其解法課件

一元二次不等式及其解法課件1復(fù)習(xí)一元二次不等式解法

利用函數(shù)把方程與不等式聯(lián)系起來，這樣我們可以通過對二次函數(shù)的研究，來討論方程的解，根據(jù)方程的解進一步來解一元二次不等式。

二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是一個有機的整體。

復(fù)習(xí)一元二次不等式解法利用函數(shù)把方程與不等式2

引例.畫出函數(shù)y=x2-x-6的圖象，并根據(jù)圖象回答：(1).圖象與x軸交點的坐標(biāo)為

,該坐標(biāo)與方程x2-x-6=0的解有什么關(guān)系：

。

(2).當(dāng)x取

時，y=0？當(dāng)x取

時，y>0？當(dāng)x取

時，y<0?(3).由圖象寫出：不等式x2-x-6>0的解集為

。不等式x2-x-6<0的解集為

。(-2,0)，(3,0)

交點的橫坐標(biāo)即為方程的根x=-2或3x<-2或x>3

-2<x<3﹛x|x<-2或x>3﹜﹛x|-2<x<3﹜yx0-23ooooy>0y>0y<0引例.畫出函數(shù)y=x2-x-6的圖象，并根據(jù)圖象3一元二次不等式的解集如下表⊿=b2-4ac⊿>0⊿=0⊿<0

二次函數(shù)

y=ax2+bx+c

(a>0)的圖象

方程ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c>0的解集

ax2+bx+c<0

的解集有兩個不等實根x1≠x2有兩個相等實根x=x2=-b/2a無實根﹛x|x<x1或x>x2﹜{x|x≠-b/2a}R{x|x1<x<x2}

Φ

ΦXY0x1XY0x1x1YX0一元二次不等式的解集如下表⊿=b2-4ac⊿>0⊿=0⊿41分析：類型一：解普通的一元二次不等式1分析：類型一：解普通的一元二次不等式5解一元二次不等式的方法步驟是：（3）根據(jù)圖象寫出解集

步驟：（1）化成標(biāo)準(zhǔn)形式(a>0)：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（2）求⊿，解方程，畫圖象；

方法：數(shù)形結(jié)合解一元二次不等式的方法步驟是：（3）根據(jù)圖象寫出解6例如：解不等式:x2－2x－15≥0解：∵⊿=b2-4ac=22+4×15>0

方程x2－2x－15＝0的兩根為:x＝－3，或x＝5y-350x∴不等式的解集為:{x│x≤－3或x≥5}。。。例如：解不等式:x2－2x－15≥0解：∵⊿=b2-7解一元二次不等式的方法步驟是：（3）根據(jù)圖象寫出解集

步驟：（1）化成標(biāo)準(zhǔn)形式(a>0)：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（2）求⊿，解方程，畫圖象；

方法：數(shù)形結(jié)合解一元二次不等式的方法步驟是：（3）根據(jù)圖象寫出解8解法1：(換元法）設(shè)│x│=t,則t≥0原不等式可化為t2－2t－15≥0由例1可知解為t≥5或t≤－3∵t≥0∴不等式的解集為{t│t≥5}∴│x│≥5∴原不等式的解為{x│x≥5或x≤－5}。練1、解不等式:

分析1：不同于x2－2x－15≥0的根本點在于不等式中含│x│，由于│x│2

=x2

，則可以通過換元令│x│=t，將不等式轉(zhuǎn)化為t2－2t－15≥0求解。x2－2│x│－15≥0解法1：(換元法）練1、解不等式:9

解法2：當(dāng)x＞0時，原不等式可化為x2－2x－15≥0則不等式的解為x≥5或x≤－3∵x＞0∴不等式的解集為{x│x≥5}當(dāng)x≤0時，原不等式可化為x2＋2x－15≥0則不等式的解為x≥3或x≤－5∵x≤0∴不等式的解集為{x│x≤－5}由以上可知原不等式的解為{x│x≥5或x≤－5}。分析2：也可用絕對值定義去掉絕對值將不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的求解。練1、解不等式:x2－2│x│－15≥0解法2：當(dāng)x＞0時，10類型二：含參數(shù)的一元二次不等式的解法例2、解關(guān)于x不等式類型二：含參數(shù)的一元二次不等式的解法例2、解關(guān)于x不等式11解：原不等式可化為它所對應(yīng)的二次方程的兩根為-2a，3a。當(dāng)-2a＞3a，即a＜0時，原不等式的解集為{x︱3a＜x＜-2a}；當(dāng)-2a=3a，即a=0時，原不等式的解集為；當(dāng)-2a＜3a，即a＞0時，原不等式的解集為{x︱-2a＜x＜3a}。小結(jié)：解含有參數(shù)的不等式時，要利用分類討論的思想，確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，對參數(shù)進行分類討論。解：原不等式可化為小結(jié)：解含有參數(shù)的不等式時，要利用分類討論12分析：原不等式轉(zhuǎn)化為：(x-a)(x-a2)<0當(dāng)a>a2即0<a<1時，a2<x<a當(dāng)a<a2即a>1或a<0時，a<x<a2當(dāng)a=a2即a=0或a=1時，x∈φ練習(xí)1、(高考)解關(guān)于x的不等式分析：原不等式轉(zhuǎn)化為：(x-a)(x-a2)<0練習(xí)1、(高13分析：方法1：3是方程ax2-2x+b=0的二根。f(-)=0f(3)=0練習(xí)2：若不等式ax2-2x+b≤0的解集是求a、b的值。分析：方法1：3是方程ax2-2x+b=0的二根14

練3、.已知一元二次不等式ax2＋bx+6>0的解集為{x│－2＜x＜3},求a－b的值.

解：由條件可知：方程ax2＋bx+6＝0的根－2，3又解在兩根之間;

分析:二次不等式的解是通過二次方程的根來確定的，∴a＜0∵6/a＝－2×3＝－6∴a＝－1∵b/a＝－2＋3＝1∴b＝1則a－b＝－2由此可以理解為ax2＋bx+6＝0的根為－2，3。練3、.已知一元二次不等式ax2＋bx15

練4、已知集合A={x│x2－(a+1)x+a≤0},B={x│1≤x≤3}，若A∩B=A,求實數(shù)a取值范圍。解：A∩B=A，則AB∩若a＞1，則A＝｛x│1≤x≤a｝，

若a＜1，則A＝｛x│a≤x≤1｝，∴a取值范圍是1≤a≤3X31aABBAaX13則1＜a≤3那么,A不可能是B的子集；aA分析:觀察不難發(fā)現(xiàn)：a、1是x2－(a+1)x+a=0的根.

若a＝1，則A＝｛1｝，滿足條件;∴a＝1練4、已知集合A={x│x2－(a+1)x+a≤016分析：不等式對任意x∈R恒成立，就是不等式的解集為R。對于二次不等式的解集為R的條件為

例3、不等式對任意x∈R恒成立，求a與m之間的關(guān)系。類型三：恒成立問題分析：不等式對任意x∈R恒成立，就是不等式的解集為R。對于二17解：將原不等式變形為以上不等式對x∈R恒成立。當(dāng)a-m+1=0時，原不等式化為–x-1＞0，與x∈R不符，應(yīng)舍去。解：將原不等式變形為18注意：二次項系數(shù)為0的情況一定要考慮，

當(dāng)a-m+1≠0時，由②得：

∴a＞m，則有a-m＞0③聯(lián)立①③得a＞m。①②注意：二次項系數(shù)為0的情況一定要考慮，當(dāng)a-m+1≠0時，①19

例4.函數(shù)f(x)=lg(kx2－6kx+k+8）的定義域為R,求k的取值范圍解：∵f(x)=lg(kx2－6kx+k+8）的定義域為R,UX0即△=(6k)2－4k(k+8)=32k2－32Ｋ＜0∴0＜k＜1分析：令u=kx2-6kx+k+8,對任意的x，u=kx2-6kx+k+8的值恒大于0函數(shù)u=kx2-6kx+k+8的圖象恒在x軸的上方函數(shù)f(x)的定義域為R∴k≥0當(dāng)k=0時，f(x)=lg8滿足條件.當(dāng)k>0時，∴只要△＜0∴f(x)的定義域為R時，k的取值范圍為0≤k＜1例4.函數(shù)f(x)=lg(kx2－620

例4.函數(shù)f(x)=lg(kx2－6kx+k+8）的定義域為R,求k的取值范圍問題：函數(shù)f(x)=lg(kx2－6kx+k+8）的值域為R,求k的取值范圍。思考例4.函數(shù)f(x)=lg(kx2－621練習(xí)：已知不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.解：有兩種情況，（1）當(dāng)m2+4m-5=0時，m=1或m=-5，m=1時,y=3>0恒成立，m=-5時，不適合；（2）m2+4m-5>0△<0∴1<m<19綜合(1)(2),得到m的取值范圍是{m|1≤m<19}.練習(xí)：已知不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>22思考：不等式2x-1>m(x2-1)對滿足-2≤m≤2的所有m都成立，則x的取值范圍是：

思考：不等式2x-1>m(x2-1)對滿足-2≤m≤2的所有23分析：因為不等式中有兩個字母x、m，而給出m的范圍，求x的范圍，可反客為主。把其看成關(guān)于m的不等式。通過構(gòu)造法構(gòu)造一個關(guān)于m的一次函數(shù)。然后應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解之為好。即可設(shè)f(m)=(x2-1)m-(2x-1)f(2)<0f(-2)<0分析：24解：由數(shù)軸標(biāo)根法（如圖），得01-13+-++--1＜x＜0或1＜x＜3類型四：一元高次不等式的解法解：由數(shù)軸標(biāo)根法（如圖），得01-13+-++--1＜x＜025三、小結(jié)：

四、作業(yè)：⒉一元二次不等式的簡單應(yīng)用⒈一元二次不等式的解法;1、若A=｛x│－1≤x≤1｝，B={x|x2+

(a+1)x

+a≤0｝，若A∩B=B，求a的取值范圍。2、函數(shù)的f(x)=定義域為R求a的取值范圍。3、求函數(shù)y=x2+2ax－3，x∈[0,2]的最值。三、小結(jié)：四、作業(yè)：⒉一元二次不等式的簡單應(yīng)用⒈一26注意：1：先把每項x的系數(shù)化為正2：奇穿偶不穿注意：2：奇穿偶不穿27再見再見28一元二次不等式及其解法課件29復(fù)習(xí)一元二次不等式解法

利用函數(shù)把方程與不等式聯(lián)系起來，這樣我們可以通過對二次函數(shù)的研究，來討論方程的解，根據(jù)方程的解進一步來解一元二次不等式。

二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是一個有機的整體。

復(fù)習(xí)一元二次不等式解法利用函數(shù)把方程與不等式30

引例.畫出函數(shù)y=x2-x-6的圖象，并根據(jù)圖象回答：(1).圖象與x軸交點的坐標(biāo)為

,該坐標(biāo)與方程x2-x-6=0的解有什么關(guān)系：

。

(2).當(dāng)x取

時，y=0？當(dāng)x取

時，y>0？當(dāng)x取

時，y<0?(3).由圖象寫出：不等式x2-x-6>0的解集為

。不等式x2-x-6<0的解集為

。(-2,0)，(3,0)

交點的橫坐標(biāo)即為方程的根x=-2或3x<-2或x>3

-2<x<3﹛x|x<-2或x>3﹜﹛x|-2<x<3﹜yx0-23ooooy>0y>0y<0引例.畫出函數(shù)y=x2-x-6的圖象，并根據(jù)圖象31一元二次不等式的解集如下表⊿=b2-4ac⊿>0⊿=0⊿<0

二次函數(shù)

y=ax2+bx+c

(a>0)的圖象

方程ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c>0的解集

ax2+bx+c<0

的解集有兩個不等實根x1≠x2有兩個相等實根x=x2=-b/2a無實根﹛x|x<x1或x>x2﹜{x|x≠-b/2a}R{x|x1<x<x2}

Φ

ΦXY0x1XY0x1x1YX0一元二次不等式的解集如下表⊿=b2-4ac⊿>0⊿=0⊿321分析：類型一：解普通的一元二次不等式1分析：類型一：解普通的一元二次不等式33解一元二次不等式的方法步驟是：（3）根據(jù)圖象寫出解集

步驟：（1）化成標(biāo)準(zhǔn)形式(a>0)：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（2）求⊿，解方程，畫圖象；

方法：數(shù)形結(jié)合解一元二次不等式的方法步驟是：（3）根據(jù)圖象寫出解34例如：解不等式:x2－2x－15≥0解：∵⊿=b2-4ac=22+4×15>0

方程x2－2x－15＝0的兩根為:x＝－3，或x＝5y-350x∴不等式的解集為:{x│x≤－3或x≥5}。。。例如：解不等式:x2－2x－15≥0解：∵⊿=b2-35解一元二次不等式的方法步驟是：（3）根據(jù)圖象寫出解集

步驟：（1）化成標(biāo)準(zhǔn)形式(a>0)：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（2）求⊿，解方程，畫圖象；

方法：數(shù)形結(jié)合解一元二次不等式的方法步驟是：（3）根據(jù)圖象寫出解36解法1：(換元法）設(shè)│x│=t,則t≥0原不等式可化為t2－2t－15≥0由例1可知解為t≥5或t≤－3∵t≥0∴不等式的解集為{t│t≥5}∴│x│≥5∴原不等式的解為{x│x≥5或x≤－5}。練1、解不等式:

分析1：不同于x2－2x－15≥0的根本點在于不等式中含│x│，由于│x│2

=x2

，則可以通過換元令│x│=t，將不等式轉(zhuǎn)化為t2－2t－15≥0求解。x2－2│x│－15≥0解法1：(換元法）練1、解不等式:37

解法2：當(dāng)x＞0時，原不等式可化為x2－2x－15≥0則不等式的解為x≥5或x≤－3∵x＞0∴不等式的解集為{x│x≥5}當(dāng)x≤0時，原不等式可化為x2＋2x－15≥0則不等式的解為x≥3或x≤－5∵x≤0∴不等式的解集為{x│x≤－5}由以上可知原不等式的解為{x│x≥5或x≤－5}。分析2：也可用絕對值定義去掉絕對值將不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的求解。練1、解不等式:x2－2│x│－15≥0解法2：當(dāng)x＞0時，38類型二：含參數(shù)的一元二次不等式的解法例2、解關(guān)于x不等式類型二：含參數(shù)的一元二次不等式的解法例2、解關(guān)于x不等式39解：原不等式可化為它所對應(yīng)的二次方程的兩根為-2a，3a。當(dāng)-2a＞3a，即a＜0時，原不等式的解集為{x︱3a＜x＜-2a}；當(dāng)-2a=3a，即a=0時，原不等式的解集為；當(dāng)-2a＜3a，即a＞0時，原不等式的解集為{x︱-2a＜x＜3a}。小結(jié)：解含有參數(shù)的不等式時，要利用分類討論的思想，確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，對參數(shù)進行分類討論。解：原不等式可化為小結(jié)：解含有參數(shù)的不等式時，要利用分類討論40分析：原不等式轉(zhuǎn)化為：(x-a)(x-a2)<0當(dāng)a>a2即0<a<1時，a2<x<a當(dāng)a<a2即a>1或a<0時，a<x<a2當(dāng)a=a2即a=0或a=1時，x∈φ練習(xí)1、(高考)解關(guān)于x的不等式分析：原不等式轉(zhuǎn)化為：(x-a)(x-a2)<0練習(xí)1、(高41分析：方法1：3是方程ax2-2x+b=0的二根。f(-)=0f(3)=0練習(xí)2：若不等式ax2-2x+b≤0的解集是求a、b的值。分析：方法1：3是方程ax2-2x+b=0的二根42

練3、.已知一元二次不等式ax2＋bx+6>0的解集為{x│－2＜x＜3},求a－b的值.

解：由條件可知：方程ax2＋bx+6＝0的根－2，3又解在兩根之間;

分析:二次不等式的解是通過二次方程的根來確定的，∴a＜0∵6/a＝－2×3＝－6∴a＝－1∵b/a＝－2＋3＝1∴b＝1則a－b＝－2由此可以理解為ax2＋bx+6＝0的根為－2，3。練3、.已知一元二次不等式ax2＋bx43

練4、已知集合A={x│x2－(a+1)x+a≤0},B={x│1≤x≤3}，若A∩B=A,求實數(shù)a取值范圍。解：A∩B=A，則AB∩若a＞1，則A＝｛x│1≤x≤a｝，

若a＜1，則A＝｛x│a≤x≤1｝，∴a取值范圍是1≤a≤3X31aABBAaX13則1＜a≤3那么,A不可能是B的子集；aA分析:觀察不難發(fā)現(xiàn)：a、1是x2－(a+1)x+a=0的根.

若a＝1，則A＝｛1｝，滿足條件;∴a＝1練4、已知集合A={x│x2－(a+1)x+a≤044分析：不等式對任意x∈R恒成立，就是不等式的解集為R。對于二次不等式的解集為R的條件為

例3、不等式對任意x∈R恒成立，求a與m之間的關(guān)系。類型三：恒成立問題分析：不等式對任意x∈R恒成立，就是不等式的解集為R。對于二45解：將原不等式變形為以上不等式對x∈R恒成立。當(dāng)a-m+1=0時，原不等式化為–x-1＞0，與x∈R不符，應(yīng)舍去。解：將原不等式變形為46注意：二次項系數(shù)為0的情況一定要考慮，

當(dāng)a-m+1≠0時，由②得：

∴a＞m，則有a-m＞0③聯(lián)立①③得a＞m。①②注意：二次項系數(shù)為0的情況一定要考慮，當(dāng)a-m+1≠0時，①47

例4.函數(shù)f(x)=lg(kx2－6kx+k+8）的定義域為R,求k的取值范圍解：∵f(x)=lg(kx2－6kx+k+8）的定義域為R,UX0即△=(6k)2－4k(k+8)=32k2－32Ｋ＜0∴0＜k＜1分析：令u=kx2-6kx+k+8,對任意的x，u=kx2-6kx+k+8的值恒大于0函數(shù)u=kx2-6kx+k+8的圖象恒在x軸的上方函數(shù)f(x)的定義域為R∴k≥0當(dāng)k=0時，f(x)=lg8滿足條件.當(dāng)k>0時，∴只要△＜0∴f(x)的