聚焦錯(cuò)誤根源探尋破解良策

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坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考中的重要考點(diǎn)，盡管難度不大，但在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，同學(xué)們往往會(huì)忽略一些關(guān)鍵點(diǎn)，如變量的取值范圍、參數(shù)的幾何意義等，從而導(dǎo)致解題失誤。本文浮現(xiàn)坐標(biāo)系與參數(shù)方程中幾類典型的錯(cuò)誤并加以剖析，以期幫助同學(xué)們走出解題的誤區(qū)。

一、混淆直線參數(shù)方程的一般式與標(biāo)準(zhǔn)式過(guò)點(diǎn)P（xo，y）且傾斜角為的直線的（x=xco+tcosa，（t為參數(shù)）中的參參數(shù)方程

y=yo+tsina

數(shù)t具有明顯的幾何意義，運(yùn)用它求解直線和二次曲線相交的距離問題時(shí)，結(jié)合韋達(dá)定理可以大大減少運(yùn)算量，方法十分簡(jiǎn)便。但由于對(duì)直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義理解不透徹，對(duì)含絕對(duì)值的式子不熟悉，解題時(shí)往往會(huì)產(chǎn)生一些典型錯(cuò)誤。

例1（2021年廣西高三模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程

錯(cuò)因分析：應(yīng)用公式AB=|t-t2|求解直線被二次曲線所截得的弦長(zhǎng)時(shí)，直線的參數(shù)方程必需化成標(biāo)準(zhǔn)形式，此題所給的直線的參數(shù)方程并非標(biāo)準(zhǔn)形式，應(yīng)當(dāng)化為直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式后再用公式求解。

為普通方程得y=/3（x-1），直線l過(guò)點(diǎn)（10）且傾斜角為60°，則直線l的參數(shù)方程為

二、忽略直線參數(shù)方程中參數(shù)t的符號(hào)直線參數(shù)方程中假如點(diǎn)A在定點(diǎn)P的上方，則點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的參數(shù)、就表示點(diǎn)A到點(diǎn)P的距離|PA|，即t=|PA|;假如點(diǎn)B在定點(diǎn)P的下方，則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的參數(shù)i就表示點(diǎn)B到點(diǎn)P的距離|PB|的相反數(shù)，即tp=-|PB|，好多同學(xué)對(duì)直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義理解不透徹，忽略t的符號(hào)而致錯(cuò)。

例2（2021年河南高三模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

錯(cuò)解：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程得3p"+p"sin"0=12，化為直角坐標(biāo)方程為3（x？+y）+y？=12，即3x+4y=12。

將直線l的參數(shù)方程代人，化簡(jiǎn)整理得（3cos"a+4sina）t+（6cosa+8sina）t-5=0。

設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t，t2，由根與系數(shù)的關(guān)系可知l+t=

錯(cuò)因分析：利用直線的參數(shù)方程求距離之和、距離之差的關(guān)鍵在于正確理解參數(shù)的值與相應(yīng)點(diǎn)在幾何上的位置關(guān)系。過(guò)點(diǎn)P（xo，y）且傾斜角為a的直線的參數(shù)方程

正解：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程得3p"+p"sin0=12，化為直角坐標(biāo)方程為3（x+y"）+y=12，即3x+4y=12。

將直線l的參數(shù)方程代人，化簡(jiǎn)整理得（3cos"a+4sina）t+（6cosa+8sina）t-5=0。

設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t，tz，由根與系數(shù)的關(guān)系可知十l=

三、忽略極角、參數(shù)的取值范圍

例了（2021年福建高三模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P（2，0）。以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2，Q（p，0）（0《0《n）為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，M為PQ的中點(diǎn)。

（1）請(qǐng)求出點(diǎn)M的軌跡C的直角坐標(biāo)方程;

（2）設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（1，兀），若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且與曲線C交于點(diǎn)E，F(xiàn)，弦EF

錯(cuò)解：（1）由題意可得曲線C的直角坐標(biāo)方程為+y"=4，由于點(diǎn)Q（x，yo）在曲線C上，所以x+y=4。

設(shè)M（x，y），由于M為PQ的中點(diǎn)，

值范圍的關(guān)鍵是聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程的基礎(chǔ)上，利用直線的參數(shù)方程的幾何意義并結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求解。錯(cuò)解中忽略了點(diǎn)Q（p，0）在極坐標(biāo)系中極角的范圍為0《0《，點(diǎn)Q（xo，yo）滿足x+y"=4（y》0）。直線l的參數(shù)方程中的

在處理坐標(biāo)系與參數(shù)方程問題中，除了本