概率論試題(含解析)

一、單項選擇題（本大題共5小題，每題3分，共15分）。1、事件A、B獨立，且P(AB)__0.8,P(A)0.4，則P(B|A)等于（A）0；（B）1/3；（C）2/3；（D）2/5.答：（B）2、設fx是連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數,則以下選項正確的選項是（A）fx連續(xù)；（B）P(Xa)f(a),aR；（C）fx的值域為[0,1]；（D）fx非負。答：（D）3、隨機變量X~N(,2)，則概率P{X1}跟著的變大而（A）變??；（B）變大；（C）不變；（D）沒法確立其變化趨向。答：（A）4、已知連續(xù)型隨機變量X、Y互相獨立,且擁有同樣的概率密度函數f(x)，設隨機變量Zmin{X,Y}，則Z的概率密度函數為（A）2；（）z；（C）2z.f(u)duf(z)；（D）2(1f(u)du)f(z)[f(z)]B21[1f(z)]答:（D）5、設X1,X2,L,Xm,Xm+1,L,Xn是來自正態(tài)整體N(0,1)的容量為n的簡單樣本，則統(tǒng)計mXi2(nm)量ni1聽從的散布是Xi2im1（A）F(nm,m)（B）F(nm1,m1)（C）F(m,nm)（D）F(m1,nm1)答:（C）二、填空題（本大題共5小題，每題3分，共15分）。6、某人投籃，每次命中的概率為2，現(xiàn)獨立投籃3次，則起碼命中1次的概率為2627.3(x1)7、已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數為f(x)Ae2,x1，則常數A=.0,12其余8、二維隨機變量(X,Y)的散布函數為F(x,y)(12x)(13y),x0,y0，則概率0,其余P(Y1)=23.9、已知隨機變量X、Y的方差分別為DX2,DY1，且協(xié)方差Cov(X,Y)0.6，則D(XY)=.10、某車間生產滾珠，從長久實踐中知道，滾珠直徑X（單位：cm）聽從正態(tài)散布,0.32)，從某天生產的產品中隨機抽取_N(9個產品，測其直徑，得樣本均值x＝，則的置信度為的置信區(qū)間為(0.924,1.316).（已知z0.0251.96，z0.051.65，t0.025(8)2.3060，t0.05(8)1.8595）三、解答題（本大題共6小題，每題10分，共60分）。11、玻璃杯成箱銷售，每箱20只，設每箱含0,1,2只殘品的概率分別為,,.顧客購置時，售貨員任意取一箱，而顧客任意查察四只，若無殘品，則買下，不然，退回。現(xiàn)售貨員任意取一箱玻璃杯，求顧客買下的概率。（結果保存3個有效數字）解：設B表示售貨員任意取一箱玻璃杯，顧客買下；Ai表示取到的一箱中含有i個殘品，0,1,2，則所求概率為2P(B)P(B|Ai)P(Ai(5')i00.810.1191817160.118171615...........................(9')20191817201918170.943...................................................................................................(10')12、已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數為f(x)2(x2x),0x1，30,其余（1）求概率P(0X1/2)；（2）求E(1).X解：（1）由題意P(0X12)122x)dx....................................................(4')2(x031(5')6（2）由隨機變量函數的數學希望的性質E(1)1f(x)dx11)dx............................................(9')2(xXx03(10')0,x013、已知連續(xù)型隨機變量X的散布函數為F(x)Aarcsinx,0x1，1,x1（1）求常數A；（2）求P(1/2X3/2)；（3）求X的概率密度函數f(x).解：（1）由散布函數的性質F(1)F(1)Aarcsin11...........................................................(1')所以可得A2...........................................................................(3')（2）由散布函數的性質P(1/2X3/2)F(3/2)F(1/2).........................................(5')22arcsin(1/2)13............................................(7')arcsin(3/2)2，x1............（3）由密度函數的定義f(x)dF(x)0(10')1x2dx0,其余14、已知二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的結合概率密度函數為f(x,y)ey,0xy，0,其余1）求概率P(XY1)；2）分別求出(X,Y)對于X、Y的邊沿密度函數fX(x)、fY(y),并判斷X,Y能否獨立。解：（1）由題意P(XY1)f(x,y)dxdy...............................................(2'){xy1}121xydy12xe(1x))dy.....................................(4')0dxe(ex0(1e12)2...............................................................................(5')（2）由邊沿密度函數的定義eydy,xfX(x)x0,其余yydx,yfY(y)e00,其余由于當x0,y0時，f(x,y)

0ex,x0')0,..............................(7其余0yey,y00,.............................(9')其余fX(x)fY(y)，故X、Y不獨立。.........(10')15、已知二元失散型隨機變量(X,Y)的結合散布律為（1）分別求出(X,Y)對于X、Y的邊沿散布律；（2）分別求出EX,EY,DX,DY,XY.解：（1）(X,Y)對于X的邊沿密度函數為01............................(2')0.20.8101..........................(5')(X,Y)對于Y的邊沿密度函數為0.30.60.1（2）由Y（1）可得-101X01EX0.8,DX0.16;EY0.5,DY0.45..................(7')又E(XY)(1)10.08110.480.40.......................................(8')則Cov(X,Y)E(XY)EXEY0.40.80.5.................(10')XYDXDY0DXDY16、已知整體X聽從參數為p(0p1)的幾何散布，即X的散布律為PXxp(1p)x1，x1,2,L，若X1,X2,L,Xn為來自整體X的一個容量為n的簡單樣本，求參數p的最大似然預計量。np)xi1............................................................解：似然函數為L(p)p(1(3')i1n對數似然函數ln[L(p)]nlnp(xin)ln(1p)..............................(5')i1n令dln[L(p)]nnxi0i10.....................................................(8')dpp1p^np的最大似然預計量pnXi...........................................................(10')i1四、應用題（本大題共1個小題，5分）。17、一系統(tǒng)由n個獨立起作用的零件構成，每個零件正常工作的概率為0.9，且起碼有80%的零件正常工作，系統(tǒng)才能運轉。問n起碼為多大時，才能使系統(tǒng)能夠運轉的概率不低于0.95（已知(1.65)0.95）解：設X表示n個零件中正常工作的零件數，則X:b(n,0.9).................(1')近似由中心極限制理X:N(0.9n,0.09n)......................................................(2')由題意，要求知足P(X80%)0.95的最小的n，而nP(X0.8n)0.95P(X0.9n0.8n0.9n)0.950.3n0.3n(n3)0.95(1.65)n31.65n24.5.......................(4')即n起碼為25............................................................................................(5')五、證明題（本大題共1個小題，5分）。18、已知一母雞所下蛋的個數X聽從參數為的泊松散布，即X的散布律為P(Xk)ke0,1,2,L，而每個雞蛋能夠孵化成小雞的概率為p.證明：這只母,kk!雞后輩（小雞）的個數Y聽從參數為p的泊松散布，即P(Yr